國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文
指導教授：郭伯臣 博士
數學科建構反應題診斷系統的建置
－以五年級「平行四邊形和三角形的面
積」單元為例
研究生：張永鑫 撰
中
華
民
國
九
十
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年
七
月
謝辭
時光匆匆，想起兩年前的暑假才初次踏入台中教育大學的校門，轉眼間， 研究所的求學時代就要結束。這期間經歷了家庭、課業與教職三重壓力的忙碌 生活，但如今回想起來，這一段求學過程不但充實而且意義非凡。 這一路走來，對於許多鼓勵與協助我的人只有滿滿的感激。首先感謝指導 教授郭伯臣博士的專業指導，教授對於論文內容總有獨到的見解再加上高標準 的要求，總讓我備感壓力，但在其不厭其煩的傾囊相授下，不但讓本論文的內 容更為充實，變得更有價值，也讓我的學習過程變得有意義，不僅學到研究的 方法，更學得為人處事須盡心力求完美的道理。其次感謝論文口試時蕭顯勝教 授及劉子鍵教授提供的精闢指正與建議，使本論文架構更趨嚴謹。 感謝博士班彥鈞學長、俊華學長在相關系統研發及建置提供充分的協助。 特別是彥鈞學長這兩年期間不間斷的指導，尤其在我達不到教授要求，而教授 火力全開時先為我搭起一座座的防火牆，而後更能協助我達到教授的要求標 準。其次感謝在職進修期間和我一起攜手並進的同學們：格為，沒有你的幫忙， 我的程式可能永遠跑不完；俊賢、文信，沒有你們的鼓勵與支持，我的學習過 程將走得孤單而寂寞。 感謝我的家人，特別是年事已高的父母，謝謝您們總是默默的支持我，在 我每一個進修的日子辛苦的照顧你們的ㄧ對小孫女。最後，要感謝的是我的牽 手慧蓉和孩子們，這兩年期間不能時時陪伴在你們身旁陪著你們一起成長是我 最大的損失，但沒有你們的鼓勵與支持，我可能連進修的第一步都還沒踏出去 呢！ 最後，僅以此篇論文獻給我親愛的老婆－慧蓉，和一雙可愛的女兒－夢湲、 夢恬，以及所有協助、關心愛護我的人們，謝謝大家！摘要
運用建構反應試題（constructed-response items）進行測驗能測量學生運用思 考、解決問題、組織統整和表達想法的能力，而電腦化診斷測驗則能節省測驗時 間與快速計分。本研究希望結合建構反應試題與電腦化診斷測驗的優點，開發建 構反應題題型及計分模式並建置以建構反應題題型為基礎之診斷系統，而後評估 其成效。 首先針對選定單元的教材內容及相關文獻中學生解題歷程之錯誤類型進行 分析，並擬定建構反應題的錯誤類型分類及計分模式，而後依據專家知識結構命 題。進行施測後即可利用撰寫的PHP程式對儲存於資料庫中的學生解題歷程即刻 進行錯誤類型的自動化判別及計分。 研究顯示平均每一題建構反應題學生會有17種錯誤類型，從受試者的解題歷 程記錄更可以了解學生在進行實作問題時的構思模式及解題策略，也可以看出一 些紙筆測驗所無法發現的錯誤類型，對於教師在判斷受試者的迷思概念時能更精 準，進行補救教學時也更能事半功倍。 從全部選擇題型與包含部分建構題的多點計分題型之測驗信度比較發現，加 入建構題型的測驗信度優於全部選擇題型（.801＞.776）。因此，在相同測驗長 度的情況下，如能加入部分建構題就可以提高測驗的信度。 關鍵詞：建構反應試題、電腦化診斷測驗、錯誤類型英文摘要
Abstract
The constructed-response items can examine the students’ abilities of thinking, problem solving, orgnization and expression. And the computer-based diagnostic tests can save the examining time and score quickly. This search expects to combine the advantage of two to develop constructed-response items and score models, and then estimate its result with the base of the constructed-response items diagnostic system.
First, analyze the students problem-solving error types in the selected units and literatures to draft the constructed-response items error types and score models. And then, according to the structure of expert’s knowledge to design the questions. After examining, the PHP program will distinct the error type of the problem solving in the database automatically.
The research shows the average for each constructed-response item has 17 error types for students’ problem solving. From the record, we can not only understand students’ thinking and strategies, but also find some error types which can not be found from the written examination. It can help the teachers judge the students misconcept more precisely and do remedial teaching much more efficiently.
Furthermore, the reliability of added constructed-response items is better than the multiple-choice types (.801>.776). Therefore, in the case of the same test length, if the questions can be added a part of constructed-response items, the reliability will be higher.
目錄
謝辭 ...I 摘要 ... II 英文摘要 ... III 表目錄 ... V 圖目錄 ... VII 第一章 緒論 ...1 第一節 研究動機 ...1 第二節 研究目的 ...2 第三節 名詞釋義 ...3 第二章 文獻探討 ...5 第一節 建構反應題題型 ...5 第二節 國際評量測驗之建構反應題題型 ...6 第三節 電腦化診斷測驗 ...14 第四節 「平行四邊形和三角形的面積」概念分析 ...21 第三章 研究方法 ...29 第一節 研究流程 ...29 第二節 研究工具 ...32 第三節 研究範圍與限制 ...33 第四節 電腦化建構反應題系統介面 ...34 第四章 研究結果 ...39 第一節 建構反應題型的計分模式分析 ...39 第二節 診斷系統成效評估 ...40 第三節 選擇題及建構反應題題型之錯誤類型差異 ...43 第四節 不同建構題中的錯誤一致性 ...67 第五章 結論與建議 ...71 第一節 結論 ...71 第二節 建議 ...72 參考文獻 ...75 中文部分 ...75 英文部分 ...78 附錄 ...81表目錄
表 2-1 PISA 的建構反應題型計分代號之間的關係摘要 ... 13 表 2-2 TIMSS 2007 數學評量架構內容領域百分比（四年級） ... 13 表 2-3 TIMSS 2007 數學評量架構內容領域百分比（八年級） ... 13 表 2-4 TIMSS 的建構反應題型題目範例（四年級） ... 14 表 2-5 TIMSS 的建構反應題型計分說明範例 ... 14 表 2-6 國小學童在面積學習時的迷思概念 ... 24 表 2-7 「平行四邊形和三角形的面積」單元選擇題的錯誤類型範例 ... 26 表 3-1 「平行四邊形和三角形的面積」單元的子技能 ... 30 表 3-2 建構題第 2 題的解題路徑 ... 37 表 4-1 建構題第 2 題的正確動作配分表 ... 39 表 4-2 建構題第 2 題各解題策略的計分模式 ... 40 表 4-3 選擇題正式測驗之信度分析資料 ... 41 表 4-4 全部選擇題型與建構題的多點計分題型測驗信度比較表 ... 42 表 4-5 建構題第 1 題題目 ... 43 表 4-6 建構題第 1 題各解題策略人數統計表 ... 44 表 4-7 建構題第 1 題的單一錯誤類型人次統計 ... 45 表 4-8 建構題第 1 題的主要錯誤類型統計表 ... 45 表 4-9 選擇題第 23 題各選項的錯誤類型表 ... 46 表 4-10 建構題第 1 題與選擇題第 23 題的平均得分比較 ... 46 表 4-11 建構題第 1 題與選擇題第 23 題作答反應的人數比較 ... 46 表 4-12 建構題第 1 題與選擇題第 23 題各選項的錯誤類型百分比 ... 47 表 4-13 建構題第 1 題的單一錯誤類型人次統計 ... 48 表 4-14 建構題第 2 題題目 ... 49 表 4-15 建構題第 2 題各項解題策略人數統計表 ... 49 表 4-16 建構題第 2 題的錯誤類型統計表 ... 49 表 4-17 選擇題第 24 題各選項的錯誤類型表 ... 50 表 4-18 建構題第 2 題與選擇題第 24 題的平均得分比較 ... 50 表 4-19 建構題第 2 題與選擇題第 24 題作答反應的人數比較 ... 51 表 4-20 建構題第 2 題與選擇題第 24 題各選項的錯誤類型百分比 ... 52 表 4-21 建構題第 2 題的單一錯誤類型人次統計 ... 53 表 4-22 建構題第 3 題題目 ... 54 表 4-23 建構題第 3 題各項解題策略人數統計表 ... 54 表 4-24 建構題第 3 題的錯誤類型統計表 ... 55 表 4-25 選擇題第 25 題各選項的錯誤類型表 ... 56表 4-27 建構題第 3 題與選擇題第 25 題的作答反應人數比較 ... 56 表 4-28 建構題第 3 題與選擇題第 25 題各選項的錯誤類型百分比 ... 57 表 4-29 建構題第 3 題的單一錯誤類型人次統計 ... 57 表 4-30 建構題第 4 題題目 ... 58 表 4-31 建構題第 4 題各項解題策略人數統計表 ... 59 表 4-32 建構題第 4 題主要解題策略統計表 ... 59 表 4-33 選擇題第 26 題的各選項錯誤類型表 ... 60 表 4-34 建構題第 4 題與選擇題第 26 題的平均得分比較 ... 60 表 4-35 建構題第 4 題與選擇題第 26 題的作答反應的人數比較 ... 60 表 4-36 建構題第 4 題與選擇題第 26 題各選項的錯誤類型百分比 ... 61 表 4-37 建構題第 4 題的單一錯誤類型人次統計 ... 62 表 4-38 建構題第 5 題題目 ... 63 表 4-39 建構題第 5 題各項解題策略人數統計表 ... 63 表 4-40 建構題第 5 題的主要錯誤類型統計表 ... 64 表 4-41 選擇題第 27 題的各選項錯誤類型表 ... 65 表 4-42 建構第 5 題與選擇題第 27 題的平均得分比較 ... 65 表 4-43 建構第 5 題與選擇題第 27 題作答反應的人數比較 ... 65 表 4-44 建構題第 5 題與選擇題第 27 題各選項的錯誤類型百分比 ... 66 表 4-45 建構題第 5 題的單一錯誤類型人次統計 ... 67 表 4-46 建構題第二題和第四題選用「尺」畫高的一致性錯誤比例 ... 68 表 4-47 建構題第二題和第四題直接以畫線工具畫高的一致性錯誤比例 ... 68 表 4-48 建構題第三題和第五題計算錯誤的一致性錯誤比例 ... 69 表 4-49 建構題第一題和第三題「底」辨識錯誤的一致性錯誤比例 ... 69 表 4-50 建構題第一題和第三題「高」辨識錯誤的一致性錯誤比例 ... 70
圖目錄
圖 2-1 NAEP 數學領域之評量架構 ... 8 圖 2-2 PISA 數學領域之評量架構圖 ... 11 圖 2-3 攜手計畫國語科選擇題型 ... 16 圖 2-4 攜手計畫國語科建構題型 ... 16 圖 2-5 攜手計畫數學科選擇題型 ... 17 圖 2-6 攜手計畫測驗結果報告 ... 17 圖 2-7 KSAT 進行測驗介面 ... 19 圖 2-8 KSAT 受試者測驗結果查詢介面 ... 19 圖 2-9 KSAT 學圖習診斷報告 ... 20 圖 2-10 電腦適性測驗系統進行測驗介面圖 ... 20 圖 2-11 電腦適性測驗系統診斷報告 ... 21 圖 2-12 電腦適性測驗系統教學動畫 ... 21 圖 3-1 研究流程圖 ... 29 圖 3-2 平行四邊形和三角形的面積單元專家知識結構圖 ... 31 圖 3-3 建構反應題題型介面操作說明 ... 34 圖 3-4 建構題第 2 題的解題策略模型樹狀圖 ... 38 圖 4-1 選擇題第 23 題題目（與建構題第 1 題有相同測驗概念） ... 45 圖 4-2 建構題第 1 題與選擇題第 23 題各選項的錯誤類型百分比長條圖 ... 47 圖 4-3 選擇題第 24 題題目（與建構題第 2 題有相同測驗概念） ... 50 圖 4-4 建構題第 1 題與選擇題第 23 題在選擇題中各選項的錯誤類型百分比長條圖 . 52 圖 4-5 圖建構題第 2 題與選擇題第 23 題各錯誤類型比較長條圖 ... 53 圖 4-6 選擇題第 25 題題目（與建構題第 3 題有相同測驗概念） ... 55 圖 4-7 建構題第 3 題的錯誤類型與百分比分佈長條圖 ... 57 圖 4-8 建構題第 3 題與選擇題第 25 題各錯誤類型比較長條圖 ... 58 圖 4-9 選擇題第 26 題題目（與建構題第 4 題有相同出題概念） ... 59 圖 4-10 建構題第 4 題的錯誤類型與百分比分佈長條圖 ... 61 圖 4-11 建構題第 4 題與選擇題第 26 題各錯誤類型比較長條圖 ... 62 圖 4-12 選擇第 27 題（與建構題第 5 題有相同出題概念） ... 64 圖 4-13 建構題第 5 題的錯誤類型與百分比分佈長條圖 ... 66 圖 4-14 建構題第 5 題與選擇題第 27 題各錯誤類型比較長條圖 ... 67第一章 緒論
第一節 研究動機
教育的基本理念是希望能達到開展學生潛能、培養學生適應與改善生活環 境的一種學習過程。九年一貫課程強調學習者才是教育的主體，完整的知識學 習是教育的主軸，而其目標是希望學習者能終身學習。 數學科的教學成效評估不該只是檢視學習者答案的對錯，學習者的思考歷 程不但應該是評鑑學習者學習成效的一部分，更是實施補救教學的重要參考指 標。 紙筆測驗的的優點是評分客觀、計分容易，教師能快速的進行測驗及得到檢 測結果，但得到的測驗總分卻不容易進行學生學習盲點的分析，因而難以進行補 救教學。其次，得分相同的學生並不代表其能力、學習困難或補救方式相同。欲 瞭解學生的解題模式及錯誤概念就必須記錄學生的解題歷程，而電腦化測驗能協 助我們達到此一目的。 目前電腦化診斷測驗的缺點在於大部分仍以選擇題型式呈現，雖然能紀錄受 試者的答題結果與自動計分，但其診斷學生錯誤類型的功能有限，也無法避免學 生猜題。但建構反應試題屬於開放式問題，允許學生自由建構、組織和呈現想法， 雖然可以記錄學生的多元解題歷程，但通常需要人工閱卷和計分，耗時費力。然 而國外大型入學測驗開發的建構反應題型已達到可記錄學生多元解題歷程的技 術。因此，本研究希望探討九年一貫課程的學生在數學科的建構反應模式，藉此 瞭解學生多元之解題歷程及學習盲點，以利進行補救教學並提升學習成效。 面積單元在「國民中小學九年一貫課程正式綱要」屬於「幾何」主題，幾何 主題包含「數、量、形」三個領域。學生在「形」的學習需要依靠「操作」與「推理」來建立幾何概念，若只是靠背誦、記憶公式來學習，將阻礙學生的推理能力 （譚寧君，1993）。「幾何」概念的學習有其順序，複雜的幾何概念需有簡單的幾 何概念為基礎，所以診斷學生的錯誤幾何概念是提升學習成效與進行補救教學的 依據（沈佩芳，2002）。平行四邊形面積的概念是由長方形沿續而來，而平行四 邊形的面積又是學習三角形、梯形等面積的先備概念，學生在此單元容易產生的 迷思概念包括：誤用公式、面積與周長的混淆等（高敬文，1989、譚寧君，1998、 戴政吉，2001、王選發，2002），故研究學生的平行四邊形概念至為重要。 本研究以五年級「平行四邊形和三角形的面積」單元進行分析。分析的試題 均採自行編製，除了選擇題型外，亦開發部分建構反應題題型，並將單元試題電 腦化，使診斷系統能針對學生在建構反應題之解題過程進行診斷及自動化分析， 找出學生的錯誤類型，診斷學習盲點，達到降低教師負擔，並能掌握學生的迷思 概念，以利後續多元化的補救教學之進行。
第二節 研究目的
基於上述之研究動機，本研究欲探討的目的分為以下三部分： 一、開發五年級「平行四邊形和三角形的面積」單元的建構反應題型及計分模式。 二、建置以建構反應題題型為基礎之診斷系統，並評估其成效。 三、比較傳統選擇題題型及建構反應題題型之錯誤類型差異。 四、比較不同建構題中的一致性錯誤。第三節 名詞釋義
壹、建構反應題
建構反應題（constructed-response items）在本研究單元是指非選擇題。建構
反應題的優點是能夠測量學生在「說明、整合、應用、分析、評估和傳達科學資 訊」的能力（National Assessment Governing Board，2004，以下簡稱 NAGB）。
Linn & Gronlund（2000）亦認為，建構反應試題能測量學生運用思考、解決問題、
組織統整和表達想法的能力。學生在建構反應題的作答反應通常不只一種，需要 以人工方式閱卷與計分，常見的建構反應題為填充題（completion item）和論文 題（essay question）。
貳、錯誤類型
本研究之錯誤類型是指學生在解決數學問題時，具備的相關知識概念不同於 專家或教學者公認的想法。本研究中的錯誤類型制定是根據文獻、教材、教師手 冊、教育現場的教師與專家學者意見之資料蒐集。叁、解題策略
本研究之解題策略是指將解題時產生的每一種解題過程加以分類。試題編製 者針對所編製的試題預先想定學生的解題策略，在解題進行時將解題動作進行分 類，通常以「二分法」來進行分類，常見的錯誤類型則將其獨立出來，以此方式 建立每題建構題的「解題策略計分模型樹狀圖」。不同的解題策略通常都代表受 試者具有某一種錯誤類型，將學生的解題策略加以分類有助於更精確的判定受試 者的錯誤類型。第二章 文獻探討
本研究欲以自編的建構反應題題型來建置線上診斷系統，以分析受試者在建 構反應題題型中所產生的錯誤類型和種類，試題編製以南一版國民小學五年級數 學領域第十冊的「平行四邊形和三角形的面積」單元作為本研究所探討的範圍。 相關文獻部分，針對建構反應題型、國際評量測驗之建構反應題題型、電腦 化診斷測驗及「平行四邊形和三角形的面積」教材概念分析四部分來探討。第一節 建構反應題題型
建構論強調知識是由學生自己創造的，學生在他既有的知識架構中整合知識 （蘇雅雯，2008）。教師應引導學生問題解決（problem solving），發展多元性的 解答途徑及培養從錯誤中自我引導的能力。 Linn et al.（2000）認為教師須提供鷹架支持（scaffolding），讓學生能夠了 解評量的內容及評量所期望的行為表現。以「建構反應題」進行評量時經由瞭解 學生的建構反應過程即可明瞭其解題思維及能力表現。 建構反應試題能測量學生運用思考、解決問題、組織統整和表達想法的能力 （教育部，2004)。建構反應試題屬於開放式問題，允許學生自由組織、建構和表 達自己的想法，依據試題給予學生組織和表達的自由程度，開放式問題可分為兩 大類：限制反應題（restricted response question）和擴展反應題（extended responsequestion）擴展反應題又稱申論題（教育部，2004)。盧雪梅（2009）的研究中將
壹、填充題與簡答題
填充題和簡答題（short answer）的命題性質是一樣的，只是題幹的敘述方式 不同。填充題以不完全敘述句命題，簡答題則以直接問句方式命題，均要求學生 根據理解、記憶回答重要的關鍵性概念。答案無法猜測，是最簡單的建構反應題。貳、限制反應題
限制反應題明確指定學生討論的主題及反應方式。限制反應題可以測量以下 能力（Linn et al.，2000）：描述原理原則、說明假定、陳述假設、方法和程序的 解釋、陳述結論、描述資料的限制、提出論證、因果關係的解釋。叁、擴展反應題
擴展反應題給予學生自由組織、整合相關知識並將其呈現出來。可以用來評 量高層次的認知能力。擴展反應題可以測量以下各項能力（Linn et al.，2000）： 發表和組織及表達想法、統整不同領域的知識、創新獨特的設計、文學的寫作能 力。 本研究使用的建構反應題題型屬限制反應題，除可記錄受試者完整作答反應 外，亦可避免受猜測度的影響，完整取得學生的迷思概念。第二節 國際評量測驗之建構反應題題型
國外的大型測驗已陸續加入建構反應題題型，如美國的國家教育進展評量（National Assessment of Educational Progress，以下簡稱NAEP）、經濟合作暨發 展組織（Organisation for Economic Co-operation and Development，以下簡稱
OECD）委託計畫的國際受試者評量（The Programme for International Student Assessment，以下簡稱PISA）及國際教育成就調查委員會（International Association for the Evaluation of Educational Achievement，以下簡稱IEA）舉辦的國際數理趨
勢研究（The Trends in International Mathematics and Science Study，以下簡稱
TIMSS）均已加入建構反應題型。以下簡介這三個測驗的建構反應題題型以做為 研究中錯誤類型分析之用。
壹、國家教育進展評量（NAEP）
一、簡介 NAEP 實施評量的課程領域有 11 個（張鈿富、王世英、吳慧子、周文菁， 2006）：藝術（TheArts）、公民（Civics）、經濟（Economics）、外國語文（Foreign Language）、地理（Geography）、數學（Mathematics）、閱讀（Reading）、科學（Science）、美國歷史（U.S. History）、世界歷史（World History）、寫 作（Writing）。常見的評量領域為：閱讀、數學、科學、寫作、美國歷史、公 民、地理、和藝術。全國性主要 NAEP（Main NAEP）定期評量四、八、十二 年級學生在各評量學科上的成就表現，以了解學生的學習狀況，藉以促進教育 改革與課程教學革新，並了解影響教育表現之因素。主要評量的評量內容每十 年都會重新檢視與更新（Lee, Grigg & Dion，2007）。NAEP 數學領域之評量架 構主要包含三大向度：內容成分（content strands）、數學能力（mathematical
abilities）、數學力（mathematical power）。
圖圖 2-1 NAEP 數學領域之評量架構(Lee et al., 2007) 圖圖 二、NAEP的建構反應題型範例 測驗試題以三個成就水準界定學習目標（NAEP，2008）：基本(Basic)，精熟 (Proficient)，和高階(Advanced)三級。以2009年4年級的建構反應題型測驗試題為 例： （一）、題目（Question） 1、在下面的網格上畫出座標為(B ,1)、(B ,3)、(D ,5)的點。
On the grid below, plot the points that have coordinates (B,1),(B,3),and(D,5).
2、在網格上畫出另外 3 個點，使這 6 個點的連線形成一個矩形。列出這 3 個新點的座標
Plot 3 more points on the grid so that when you connect all 6 points you will make a rectangle. List the coordinates for the 3 new points. ）
3、將這 6 個點連接，顯示你畫出的矩形。 Connect the 6 points to show your rectangle.
（二）、關鍵和評分說明（Key/Scoring Guide）
1、樣本的正確反應（Sample Correct Responses）:
（1）、正確的畫出(B,1), (B,3), and (D,5)這 3 點。
Correctly plots the points (B,1)、(B,3),and(D,5).
（2）、正確的畫出其他 3 點以形成一個矩形並寫出其座標。
Correctly plots 3 other points that form a rectangle and gives their coordinates.
（3）、連接所有的點以形成一個矩形
Connects the dots to form a rectangle. 2、得分與說明（Score & Description）
（1）、Extended
正確的回答 Correct response
（2）、令人滿意的答案（Satisfactory）
a.畫出 3 個給定的點並畫出 3 個新點的正確座標去形成一個矩形，
但未將各點連成一個矩形。
Plots 3 given points and plots 3 new points to form a rectangle, gives correct coordinates of new points, but does not draw the rectangle.
b.畫出的矩形包含 3 個給定的點和 3 個新的點，但其中有 1 個點
畫得不清楚。
Draws rectangle that contains the 3 given points and gives coordinates of 3 other points on the rectangle but one point is not clearly plotted.
c.畫出 3 個給定的點、3 個新點的正確座標且能連成矩形，但其
中有 1 個點畫在網格時座標畫錯（例如：將（D,3）畫成（D,2））。
Plots 3 given points, plots 3 new points, draws rectangle, gives coordinates for 3 new points but one of the coordinates given does not match the point plotted. (e.g., gives (D, 2) instead of (D, 3)).
（3）、部分答對（Partial）
a.畫出 3 個給定的點並畫出 2 或 3 個新點而明顯形成一個矩形；
寫出 1 或 2 個新點的正確座標；也許能，也許不能畫出這個正 確的矩形。
Plots 3 given points and plots 2 or 3 new points that clearly form a rectangle;gives correct coordinates of 1 or 2 of the new points; may or may not draw the rectangle correctly.
個矩形（但未畫出這些新的點）
Plots 3 given points correctly and gives coordinates of 3 new points that clearly form a rectangle (but does not plot the new points).
c.畫出 3 個給定的點和 3 個新的點，且能畫出或辨識出矩形上添
加的點。
Plots 3 given points and 3 new points and plots/identifies additional point(s) on rectangle.
（4）、答對最小部分（Minimal）
a.能畫出 3 個點（包含給定的 3 點或新的 3 點或給定與新點的其
中 3 個）
Plots 3 points clearly (either given points or new points or a combination).
b.正確的畫出 2 個給定的點並利用此 2 點畫出矩形（所有的點必
須明確標明）
Plots 2 of the given points correctly and draws a rectangle using those 2 points. Points must be clearly marked.
c.連接列出的 3 個新點座標後可明確產生一個矩形（例如：
（D,1）、（D,3）、（B,5））；可能沒有畫出這些點。
Lists coordinates for 3 new points that would clearly form a rectangle (e.g., (D, 1), (D, 3), (B, 5)) when connected; points may not be plotted.
d.畫出一個包含 3 個指定點的矩形；但可能沒有很清楚的畫出這
些點。
Draws a rectangle that includes the 3 given points, but points may not be clearly plotted.
（5）、錯誤的回答（Incorrect） 錯誤的反應 Incorrect response
貳、國際受試者評量（PISA）
一、簡介 PISA 是由 OECD 於 1990 年代末期開始對 15 歲受試者的數學、科學、及閱 讀進行持續、定期的國際性比較研究。台灣於 2006 年的第三次調查開始參與此 項計畫。評量會從數學、科學及閱讀三個領域中選定一個主要領域，賦予較多的重 要性，另外二個次領域較未深入評量，2009 的主要領域為閱讀（學生能力國際 評量計劃中文網站）。 PISA 是以年齡為導向的調查研究，採取素養（literacy）的觀點設計測驗 (吳 書銘，2008 )。PISA 評估的是學生閱讀能力所能達到的理解和詮釋的程度、運 用數學知識去解決數學難題所能達到的程度以及運用科學知識和技能去解決各 種科學情境及挑戰所能達到的程度。 PISA 數學領域的評量包括計算及數學思考與分析能力（洪碧霞、蕭嘉偉、
林素微，2010）。主要架構包含三大向度：情境和脈絡（situation and context）、 數學歷程（mathematical process）、以及數學內容（mathematical content）。
PISA 2009 Assessment Framework Key competencies in reading, mathematics and science
圖 圖 圖 圖 2-2 PISA 數學領域之評量架構圖 二、PISA的建構反應題型範例（學生能力國際評量計劃中文網站數學科樣本試題，2006） 1、題目 下圖為南極洲地圖。
利用地圖的比例尺，估算出南極洲的面積。寫出你的作法並解釋你是如何估 計的。 (若利用作圖能幫助你估計的話，可直接畫在地圖上。) 2、計分說明 （1）滿分 估計方法正確，答案正確（面積在 12,000,000 平方公里與 18,000,000 平方公里之間）。代號的第二碼代表不同的估計方法。 代號 21 ：畫一個正方形或長方形做估計。 代號 22 ：畫一個圓形做估計。 代號 23 ：以數個規則的幾何圖形做估計。 代號 24 ：運用其它正確方法做估計。 代號 25 ：答案正確，但沒有顯示計算方法。 （2）部份分數 估計方法正確，但答案不正確或不完整。這些代號的第二碼與滿分代 號的第二碼相同。 代號 11： a.畫一個正方形或長方形估計。 b.畫一個長方形，長乘以寬，但答案過大或過小 c.畫一個長方形，長乘以寬，但位數不正確 d.忘記利用比例尺轉為平方公里 e.有列式但沒有進一步的計算。 代號12：畫一個圓形估計，但答案不正確或不完整。 代號13：加上數個規則的幾何圖形估計，方法正確，但答案不正確或不 完整。 代號14：運用其它正確方法估計，但答案不正確或不完整。 （3）零分 代號01：計算周長，但沒有計算面積。 代號02：其他答案（沒有顯示計算方法，答案也不正確）。 代號99：沒有作答
表2-1 PISA的建構反應題型計分代號之間的關係摘要的建構反應題型計分代號之間的關係摘要的建構反應題型計分代號之間的關係摘要的建構反應題型計分代號之間的關係摘要 估計方法 代號 滿分－ 12,000,000＜正確答案＜18,000,000 平 方公里之間。 部份分數－ 正確方法但答案 不正確或不完整。 零分 畫一個長方形 21 11 － 畫一個圓 22 12 － 增加一些規則的圖形 23 13 － 其他正確方法 24 14 － 沒有顯示 25 － － 周長 － － 01 其他不正確方法 － － 02 沒有作答 － － 99 三、國際數理趨勢研究（TIMSS） （一）簡介 IEA 於 1970 年舉行第一次國際數學與科學教育成就調查，主要目的在於了 解各國受試者數學及科學學習成就及其與各國文化背景、教育環境等影響因子 之相關性，並進一步作國際間之比較分析。 TIMSS 2007數學試題評量架構主要是整合TIMSS 2003的內容領域以設定具 體的評量目標，並分別在四年級和八年級提出新的內容領域（Mullis, Martin,
Kennedy, & Foy, 2007）：
表2-2 TIMSS 2007數學評量架構內容領域百分比數學評量架構內容領域百分比數學評量架構內容領域百分比數學評量架構內容領域百分比（（（（四年四年四年四年級級級級））））
Fourth-Grade Content Domains（（（四年級內容領域）（ ）） ） Percentages（（（（百分比））））
Number（數） 50% Geometric Shapes and Measures（幾何圖形與測量） 35% Data Display（資料呈現） 15% 表2-3 TIMSS 2007數學評量架構內容領域百分比數學評量架構內容領域百分比數學評量架構內容領域百分比數學評量架構內容領域百分比（（（八年級（八年級八年級八年級））））
Eighth-Grade Content Domains（（（八年級內容領域）（ ）） ） Percentages（（（百分比）（ ）））
Number（數） 30% Algebra（代數） 30% Geometry（幾何） 20% Data and Chance（資料與機率） 20%
（二）、TIMSS的建構反應題型範例
1、題目
表2-4 TIMSS的建構反應題型題目範例的建構反應題型題目範例的建構反應題型題目範例的建構反應題型題目範例（（（四年級（四年級四年級）四年級）） ）
Item ID M041258A Subject M Grade 4 Block M04 Block
Seq 09
TIMSS2007
Mathematics
Fourth Grade
Content Domain
Geometric Shapes and Measures
Cognitive Domain 請描述下面圖形的ㄧ個相同點和一個不同點。
Two shapes are shown below.Describe one way they are the same and one way they are different.
A. Same（相同） B. Different（不同） Reasoning 2、計分說明 表2-5 TIMSS的建構反應題型計分說明範例的建構反應題型計分說明範例的建構反應題型計分說明範例的建構反應題型計分說明範例
Code Response Item:M041258A
正確回答 Correct Response
10
都是三角形/都有 3 個邊/都有相同的邊數/都有 3 個角/都有 3 個頂點或等 效的描述
Both are triangles/both have 3 sides/both have same number of sides/both have 3 angles/ both have 3 corners or equivalent statements.
不正確的回答 Incorrect Response
70 都是相同的形狀 They are the same shape.
71 邊都是直的 Both have straight sides.
79
其他的錯誤（包含畫掉、擦掉、雜亂的符號、字跡模糊、與題目無關的）
Other incorrect (including crossed out, erased, stray marks, illegible, or off task) 沒有回答 Nonresponse 99 空白 Blank
第三節 電腦化診斷測驗
壹、線上診斷測驗的優點
利用電腦進行測驗的優點在於可節省測驗時間與成績計算快速。線上測驗有以下優點（周文正，1998）： 一、能蒐集學生反應資訊，利於測驗分析。 二、提升測驗與計分效率。 三、降低人工出錯的機會。 四、可反覆練習，並給予學生即時回饋。 五、可進行適性測驗。 六、試題製作具一致性，使施測更趨標準化。 七、可利用網路進行施測。 對於教學者，線上診斷測驗有下列的優點（黃國禎、朱蕙君、王榕榆，2007）： 一、提供即時回饋給受試者，讓受試者明瞭自己的學習障礙，進而能調 整學習方法。 二、提供回饋給教學者以提高教學的成效，利於實施補救教學。 三、依受試者的學習狀況適時調整教材難易度，作為改進課程的依據。
貳、國外的「網路實作技能系統」
NetPASS 是一套由 Cisco Networking Academy Program（CNAP）研發的線
上的模擬及訓練系統，此系統可供受試者用於電腦網路設計、結構和偵測錯誤 的評量及訓練，並得到回饋。
當受試者登入後可選擇不同的難度等級進行模擬訓練，操作完成部分的網 路設定後 NetPASS 會針對受試者的錯誤予以回饋並利用貝氏網路進行能力估 計，顯示受試者專業表現之可能性分布（the distribution of likelihoods）。
教育部為協助國民中小學落實弱勢低成就學生學習輔導，而進行攜手計畫課 後扶助計畫。為找出需輔導學生，在每年6月實施篩選測驗，其中四至八年級採 用電腦化測驗；9月、12月進行學習成長測驗，五至九年級採用電腦化測驗。測 驗科目為國語及數學科（教育部，2010）。 圖 圖 圖 圖 2-3 攜手計畫國語科選擇題型（註：取自 http://asaptbt.nutn.edu.tw/cda/） 圖 圖 圖 圖 2-4 攜手計畫國語科建構題型（註：取自 http://asaptbt.nutn.edu.tw/cda/）
圖 圖 圖 圖 2-5 攜手計畫數學科選擇題型（註：取自 http://asaptbt.nutn.edu.tw/cda/） 圖 圖 圖 圖 2-6 攜手計畫測驗結果報告（註：圖片取自教育部攜手計畫電腦化測驗系統網站，
攜手計畫電腦化測驗系統能自動計分，即時回饋學生的測驗 T 分數、PR 值， 並以中文說明其表現結果，作出測驗結果報告。系統並提供國語科的建構題型， 讓學生能組織統整自己的概念與想法之後進行敘述性的作答，可以測得學生較 高層次的能力。但測驗結果報告並未看到建構題的得分與表現描述報告，尚未 達到建構題自動計分及判斷學生錯誤類型之功能。
肆、本研究所團隊已開發之測驗系統
臺中教育大學教育測驗統計研究所已開發多個線上測驗系統，包含「以知 識結構為基礎之適性化測驗系統（Knowledge Structure based Adaptive Test，以 下簡稱 KSAT）」、「以試題反應理論為基礎之適性測驗系統」等，以下分別 介紹說明。 一、以知識結構為基礎之適性化測驗系統 KSAT 為國科會補助研究計畫「國小數學科電腦化適性診斷測驗 (I)(II)(III) （郭伯臣，2003-2005）」之技術轉移及「以試題結構理論為 基礎之國小五、六年級數學領域電腦適性診斷測驗與適性補救教學模 式」建教合作計畫之研究成果。 （一）、KSAT 特點 KSAT 根據受試者知識結構設計適性測驗，對不同的受試者會給 予適當的試題，並精確估計受試者的能力，藉此達到「因材施測」及 「因材施教」，是具有診斷受試者錯誤概念的電腦化適性測驗（郭伯 臣、謝友振、張峻豪、蔡坤穎，2005）。KSAT 的優點為： 1、系統中的評量、診斷與補救教學皆適性、個別化，達到「因材施 測」、「因材施教」的目的。 2、當預測精準度設定為 0.95 時，KSAT 與紙筆測驗試題相比，平均可節省 50%以上的施測題目。 3、在受試者同分情形下，可區辨不同錯誤類型之受試者。 4、全系統皆網路化，隨時可以進行施測與補救教學。 5、KSAT 測驗系統圖，如圖 2-7、2-8、2-9 所示。 圖 圖圖 圖 2-7 KSAT 進行測驗介面 圖 圖 圖 圖 2-8 KSAT 受試者測驗結果查詢介面
圖 圖 圖 圖2-9 KSAT學圖習診斷報告 二、試題反應理論為基礎之適性測驗系統 受試者的測驗表現結果以數學模式運算可以評估其能力和測驗反應間之關 係，亦即可由受試者的測驗結果估計其能力(ability)或心理特質(latent traits) (余 民寧，1991)。臺中教育大學教育測驗統計研究所目前已發展的試題反應理論為 基礎之適性系統有題庫系統、測驗系統、補救教學系統（王淑卿，2005；鄧景 麟，2005；劉泰成，2005）、適性診斷測驗暨學習系統。系統的施測介面如圖 2-10、2-11、2-12 所示。 圖 圖 圖 圖 2-10 電腦適性測驗系統進行測驗介面圖
圖 圖 圖 圖 2-11 電腦適性測驗系統診斷報告 圖 圖 圖 圖 2-12 電腦適性測驗系統教學動畫
第四節 「平行四邊形和三角形的面積」概念分析
壹、教材分析
本研究所選取之南一出版社五年級第9冊「平行四邊形和三角形的面積」單元 的能力指標範圍係指教育部92年發佈之「國民中小學九年一貫課程網要」中數學 學習領域第二學習階段。此單元需培養的能力指標為：一、N-2-19 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。 二、A-2-04 能使用中文簡記式記錄常用的公式。 「面積」在九年一貫課程的數學領域中被歸類在「量與實測」部分。而「量」 的概念發展需經歷「量的初步概念」、「間接比較」、「個別單位」、「單位 化聚」、「公式化的概念」五個階段才能形成（教育部，2001）。 在圖形切割、拼湊的操作方面，王選發（2002）指出學生的面積概念是覆 蓋活動的抽象結果，有操作、點數、切割、比較與拼湊等活動的進行其發展才 能從具象到心象再進到抽象，最後為求效率，才有公式的使用。面積的學習不 能只靠記憶公式，而必須瞭解每個面積公式的意義和推算過程，如此才能有效 地應用公式來增進解題能力（譚寧君，1995a，民 1995b，1995c）。因此，在學 習平行四邊形、三角形面積的求法時，應讓學生主動思考，嘗試將平行四邊形 和三角形改變為其他圖形，例如將圖形切割後拼湊成長方形或正方形而引入長 方形或正方形面積求法的舊經驗，讓學生主動建構平行四邊形、三角形面積的 求法。 在面積公式的應用部分，兒童在面積測量問題時因為死記面積公式，解題 時受視覺影響甚鉅，常憑直覺解題，對題意不求甚解，如遇到有變化的題型通 過率未達兩成（高敬文，1989；王選發，2002）。譚寧君（1999）研究發現學 生常出現誤用公式的錯誤，甚至會遷就公式，自行改變題目中的已知條件（陳 鉪逸，1996）。三角形、平行四邊形、梯形的面積計算奠基在長方形面積的概 念上，平行四邊形可切割後拼成長方形；兩個全等的三角形則可組合成一個平 行四邊形；兩個全等的梯形可組合成一個平行四邊形，兩兩圖形之間都有關聯 存在。在各種圖形的面積公式若只靠機械式的記憶，不但難背且複雜，但如能 透過彼此間存在的關係則可找出彼此間的相關脈絡（許嵐婷，2003）。因此， 在本研究單元中，學童在學習平行四邊形、三角形面積前，須有正方形面積和
長方形面積的概念與應用正方形面積和長方形面積公式的能力。 對於底和高的定義方面，溫山明(2009)研究發現，學童在解決面積公式計 算的問題時，認為高是由水平底邊連到對應頂點的直線，對於非水平或垂直類 型的題目易受視覺影響而失敗。王選發（2002）研究指出六年級學童三角形及 平行四邊形的「畫高」能力則尚待加強。國內高年級學童約有 15﹪～23﹪的受 試者認為幾何圖形的底一定要在水平線上，高一定要在鉛直線上（陳鉪逸， 1996）。部分學生對高的定義不清楚，誤以為高一定要過頂點向頂邊所做的垂 直線才稱為高（陳鉪逸，1997）。平行四邊形、三角形的底並非唯一，因透過 幾何的旋轉，多邊形的每一個邊都可以變成水平的，都可以當作底，且每一底 都有其相對的高，代表著頂點到底的相對高度（黃金鐘，2009）。「高」可以 代表測量的長度也代表著一條垂直於底邊或其延長線的線段，以平行四邊形來 說，「高」指的是兩條平行線的其中一條到對邊的垂直線段及該線段的長度， 但根據此一定義，平行四邊形的高會有無限多條高，常讓學生無所適從，造成 學習困難。 在平行四邊形和三角形面積的錯誤類型部分，許嵐婷（2003）在研究中指出 學生解題的錯誤類型有： 一、三角形面積公式誤列式成平行四邊形面積公式或是該用平行四邊形面積公 式卻用成三角形面積公式。 二、對面積公式的定義不清楚，誤用無關的訊息進行面積計算。
Clements ＆ Battista（1989）、Fuys；Geddes ＆ Tischler（1988）的研究中
指出受試者會產生平行四邊形的高就是底邊的鄰邊之錯誤概念。Hildreth（1983） 發現五、七年級的學童有以周長代表面積、單位錯誤等一些不當的面積估測方式。
貳、兒童在面積的迷思概念
一、兒童在學習面積單元時的迷思概念
迷思概念（Arnaudin，1983；陳啟明，1991）是指學生所建構的知識概念與
專家、教師有所不同。在不同的研究領域，迷思概念的定義也不盡相同，例如 使用「前期概念」（Preconceptions，Ausubel；Novak & Hanesian，1978）；Driver
(1981)則使用「另有架構」（Alternative frameworks），但均是指受試者有別於一 般專家所認同的知識架構。迷失概念是思考與判斷錯誤所造成的，也是造成學 習障礙最大的原因（陳鉪逸，1996）。 表2-6 國小學童在面積學習時的迷思概念國小學童在面積學習時的迷思概念國小學童在面積學習時的迷思概念 國小學童在面積學習時的迷思概念 類別 迷思概念 術語的迷思概念 1.對面積的定義不了解，無法區別面積與周長的不同（陳鉪逸，1996、1997） 單位的錯誤 1. 用邊長來測量面積（Dickson，1984，1989） 2. 無面積單位量的概念（高敬文，1989；陳鉪逸，1997；吳德邦，1997； 譚寧君，1998） 3. 單位錯誤、漏寫（洪義德，2001） 單位換算的錯誤 1. 未注意面積的單位是兩個面向的關係（陳鉪逸，1997；林慈容，2001） 2. 無法掌握不同維度間的轉換（李宏彥，2001） 3. 將面積單位的轉換誤以為是長度單位關係，1m2=100cm（王選發，2002） 2 對單位與測量的 關係不了解 1. 以切割的方式計算面積時，未選取相同的單位。（譚寧君，1998、1999） 2. 提供測量方格時未注意單位格子邊長的大小（王選發，2002） 底和高辨別有困 難 1. 認為幾何圖形的底要在水平邊上，高要在鉛直線上（陳鉪逸，1997； 王選發，2002） 2. 如果指定的底邊非水平線段，則畫高通過率則大幅下降（陳鉪逸，1997） 3. 無法畫出鈍角三角形的高（譚寧君，1998） 對面積公式的不 了解且過度依賴 公式 1. 死記面積公式、面積公式的誤用（高敬文，1987；高敬文、黃金鐘， 1988；譚寧君，1998） 2. 自行改變已知的條件以遷就所使用的公式。（陳鉪逸，1996） 3. 不瞭解面積公式的定義。（譚寧君，1995；戴政吉，2001） 4. 無法區辨可用資訊與多餘資訊。（王選發，2002） 面積與周長之間 的誤解 1. 認為有周長相同面積就相同；周長越長面積就越大。（譚寧君，1995；
戴政吉，2001；Dembo、Levin & Siegler，1997；王選發，2002） 2. 面積與周長概念混淆（James， 1981） 缺乏面積的保留 概念 1. 等積異形的圖形切割組合後面積會改變（陳鉪逸，1997） 2. 認為底和高都相等的三角形中兩腰邊長較長的三角形面積較大（王選 發，2002）
二、兒童在選擇題和建構題的解題歷程與得分判定的差異 選擇題是最常見的測驗型式，其選項經過設計，可對應到相關的錯誤類型， 但受試者選擇錯誤選項的原因除了是犯此種錯誤類型外，也包含猜測的因素。以 下利用受試者解題歷程可能包含的幾種情形來說明建構反應題題型與選擇題題 型之差異： （一）三角形或平行四邊形的底、高選擇正確，面積計算正確，答案正確。 （二）三角形或平行四邊形的底、高選擇正確，面積計算錯誤，答案錯誤。 （三）三角形或平行四邊形的底、高選擇錯誤，面積計算錯誤，答案正確。 （四）三角形或平行四邊形的底、高選擇正確，面積計算正確，答案錯誤。 （五）三角形或平行四邊形的底、高選擇錯誤，面積計算錯誤，答案錯誤。 （六）三角形或平行四邊形的底、高選擇錯誤，面積計算正確，答案錯誤。 （七）三角形或平行四邊形的底、高選擇錯誤，面積計算正確，答案正確。 （八）三角形或平行四邊形的底、高選擇正確，面積計算錯誤，答案正確。 選擇題型施測只以最後的答案作為學生是否具備某一能力的依據，（一）和 （三）的最後答案都是答對，但（三）應是猜測而答對，無法確定受試者是否具 有此能力；而（二）和（四）雖然答案是錯誤的，但（二）應該是學生的計算能 力有問題，而（四）極可能只是答案輸入錯誤，可部份給分。若以建構反應題進 行施測，不但可區分此四種情形，且能區辨學生是否進行猜題。學生的解題過程 及最後答案皆可藉由電腦的資料庫加以記錄，提供更多訊息，作為判讀其迷思概 念的參考。以下以「平行四邊形和三角形的面積」單元中的一個選擇題例題加以 說明。
表2-7 「「「「平行四邊形和三角形的面積平行四邊形和三角形的面積平行四邊形和三角形的面積平行四邊形和三角形的面積」」」」單元選擇題的錯誤類型範例單元選擇題的錯誤類型範例單元選擇題的錯誤類型範例單元選擇題的錯誤類型範例 編號 編號 編號 編號 n-2-19-s18（28） 專家知識結構 能利用公式計算三角形的面積 題目 求下圖中三角形的面積 作答區 ○ （1）、72 平方公分 ○ （2）、48 平方公分 ○ （3）、36 平方公分 ○ （4）、24 平方公分 選項 選項 1 選項 2 選項 3 選項 4 錯誤類型 將三角形面積公 式誤以為是平行 四邊形面積公式 無 法 判 斷 底 或 高 的 情 形 下 誤 用 三 角形面積公式 正確選項 無 法 判 斷 三 角 形 的底 在上述試題的選項設計中，除了正確答案外，其餘選項皆包含錯誤類型， 同一種錯誤類型，可能有不同之解題歷程，不同解題歷程代表不同之迷思概念。 學生即使選了正確的答案，也不代表真正答對。選項 1 是三角形面積公式的基 本概念錯誤，若選擇 1，則表示其可有「將三角形面積公式誤以為是平行四邊 形面積公式」的錯誤類型；若選擇選項 2 表示其對三角形的底或高的判斷、面 積公式的定義概念錯誤，可能有「對三角形的高必須通過頂點及面積公式誤用」 或「無法判斷三角形的底及面積公式誤用」的錯誤類型；若選擇選項 4，則表 示其對三角形「底」的定義不清楚，可能有「無法判斷三角形的底邊」的錯誤 類型。 在本單元中，對於相同的答案，學生可能有很多種不同的解題過程，以選項 2為例，當受試者答案選擇「48平方公分」時，其迷思概念除了都有「三角形面 積公式誤用」的情形外，還有「對高的定義不清楚」或「對底的定義不清楚」。 若以選擇題型施測，則無法判定受試者到底是對「高」或「底」產生迷思。若以 建構反應題進行測驗，則可以從受試者的作答情形去加以判斷，若其列式為 「10*4.8」，其迷思概念是「對高的定義不清楚」，而選擇了錯誤的高；若其列 式為「8*6」，其迷思概念是「對底的定義不清楚」，而選擇了錯誤的底。
在給分方面，若以選擇題型施測，受試者只有答對而拿到全部的分數或答錯 而沒有任何分數這兩種情形。若以建構反應題進行測驗，雖然其答案是錯的，但 從受試者的作答反應可以發現其「長度測量」、「計算能力」等部分是沒有問題 的，其能力與一個完全都不會的受試者是有所不同的，應該給予部份分數的回饋。 在實際狀況中，受試者的作答反應可能超出出題者的出題設計，若受試者的 反應模式不在出題者的預設之中，以選擇題型施測時，受試者在選項中找不到與 自己相符的答案，其作答反應可能就會用猜的，如此一來，所測得的受測者作答 反應就不是教師所想要的錯誤類型了。若能利用建構反應題，就能清楚掌握受試 者的猜測行為，而可以更仔細的知道受試者之迷思概念及學習狀況。 綜合以上文獻資料，從瞭解建構反應題題型種類的不同可以提供本研究在設 計建構題型時，可依據測量學生能力的要求而決定採用限制反應題型；從瞭解國 際評量測驗的建構反應題型可以提供本研究作為出題與評分的設計標準與依 據；從瞭解目前電腦化診斷測驗系統的優缺點可以提供本研究在診斷系統設計時 加入適性測驗系統與建構題型的優點且能避免建構題型人工閱卷耗時費力的缺 點；最後依據學生在本研究單元的迷思概念設計測驗試題，可以使本研究的測驗 能真實測量到學生的真正能力，利於補救教學的進行。
第三章 研究方法
本章節分為研究流程、研究工具、研究範圍與限制、電腦化建構反應題系統 介面與建構反應題之解題策略分析流程五個部分來說明整個研究方法。第一節 研究流程
以下針對研究設計流程與試題編製流程分別加以說明：壹、研究流程圖
本單元的研究流程圖如下圖所示。 圖 圖 圖 圖 3-1 研究流程圖 在確立研究主題後蒐集相關文獻以進行自編試題，先編製選擇題型試題，經 預試、修刪題之後由這些試題中挑選適合的題目另行編製建構反應題，而後研發 以建構反應題為基礎之數學科診斷系統並建置自動化計分流程，最後分析成效。貳、試題的編製流程
一、歸納出本單元的子技能 依據教育部編訂之九年一貫數學領域課程綱要（2003），本單元能力指標 確 立 研 究 主 題 文 獻 探 討 文 獻 中 的 錯 誤 類 型 分 析 施 測 系 統 建 置 自 編 單 元 試 題 （ 選 擇 題 ） 選擇題 介面 建構題 介面 選 擇 題 線 上 預 試 、 修 刪 題 蒐 集 學 生 作 答 資 料 建 構 反 應 作 答 錯 誤 類 型 分 析 建 立 解 題 策 略 計 分 模 型 計 分 模 式 探 討 成 效 分 析 自 編 單 元 試 題 （ 建 構 題 ） 診 斷 系 統 建 置 正 式 線 上 施 測 結 論 與 建 議為n-2-19（同s-2-08），依其教學目標可歸納出學生在本單元中應學得的子技能， 見表3-1，並利用子技能建立本單元的專家知識結構。 表3-1 「「「「平行四邊形和三角形的面積平行四邊形和三角形的面積平行四邊形和三角形的面積」平行四邊形和三角形的面積」」」單元的子技能單元的子技能單元的子技能 單元的子技能 二、建立專家知識結構以進行選擇題出題 由具有豐富編製知識結構經驗的教師根據知識結構編製原則（趙琬津， 2006，見附錄1），訂出本單元各概念間的上下位次序關係，建立知識結構草案。 並由4 位有編製電腦化適性診斷測驗經驗的國小教師，根據知識結構檢核表（趙 琬津，2006，見附錄2），建立本單元的專家知識結構圖。 子技能 n-2-19-s01 能了解平行四邊形的底和高之間的關係並量出其長度 n-2-19-s02 能了解在平行四邊形上，四個邊都能當作底邊（能指出平行四邊形的四個底邊） n-2-19-s03 能判別平行四邊形指定邊上的高 n-2-19-s04 能在平行四邊形上畫出指定底邊上的高 n-2-19-s05 能了解在平行四邊形上，同一個底邊上的高不只一條 n-2-19-s06 能了解在平行四邊形上，同一個底邊畫出的高都等長 n-2-19-s07 能將平行四邊形切割，拼湊成長方形 n-2-19-s08 能指出平行四邊形的底和高和長方形的長和寬一樣長 n-2-19-s09 能從長方形的面積求法，理解平行四邊形的面積求法 n-2-19-s10 能利用公式計算平行四邊形的面積（量出底和高帶入公式求面積） n-2-19-s11 能了解平行四邊形的底或高產生變化時對面積的影響 n-2-19-s12 能辨認三角形的底和高 n-2-19-s13 能利用三角板畫出三角形指定邊上的高 n-2-19-s14 三角形的底邊只能畫出一條通過頂點的高 n-2-19-s15 能透過移轉和拼湊將兩個全等三角形變成平行四邊形 n-2-19-s16 了解當三角形與平行四邊形高與底都相等時，三角形的面積只有平行四邊形的一半 n-2-19-s17 能利用平行四邊形的面積求法導出三角形的面積公式 n-2-19-s18 能利用公式計算三角形的面積 n-2-19-s19 能了解不同的三角形，當底相等時，高越長面積越大 n-2-19-s20 能了解不同的三角形，當高相等時，底越長面積越大 n-2-19-s21 三角形面積相等時，底越長，高越短；底越短，高越長 n-2-19-s22 能了解三角形的底或高產生變化時對面積的影響
圖 圖 圖 圖 3-2 平行四邊形和三角形的面積單元專家知識結構圖 知識結構的每一個節點編製至少一題試題，並邀請具有知識結構編製專長的 教師檢核試題。
三、選擇題的預試與修題 編製好的試題先進行預試。預試樣本為彰化縣某國小之五年級學生計3班， 共97位學生。預試後根據所收集的受測資料進行修、刪題，針對預試卷的錯誤進 行修正並修改部分試題的題幹和選項的內容敘述方式，使試題更淺顯易懂，以提 高本次測驗的信度。 四、建構題的編製 本單元的建構反應題期望能評量學生在進行「平行四邊形與三角形的面積」 解題時，瞭解其對「底和高的辨別能力」、如何進行「底和高的長度測量」、「對 面積公式的了解和依賴」之情形。因此，我們從選擇題型中挑選適合進行建構反 應檢測的題目，以相同的出題概念將其改編製為建構反應題型，共計5題。
第二節 研究工具
本研究之研究工具為PHP程式語言、MySQL資料庫。壹、PHP程式語言
PHP（hypertext preprocessor）是一種內崁於 HTML 檔案裡的 script 語言，
可以把程式碼混合 HTML 撰寫，透過程式的控制，可讓網站與使用者進行互動， 進而設計出動態網頁（Dynamic Homepage）。PHP 的優點有安全性高、互動性 佳、與其他程式語言的相容性高、語法簡單易懂、支援多數作業系統與各種資 料庫、執行效率高且開放原始程式碼。
貳、MySQL資料庫
MySQL 是一套資料庫伺服器，是一個 SQL 主從式關聯式資料庫管理系 統，支援各種 UNIX、Windows 平台。MySQL 資料庫的優點有、速度快、容易 使用、免費、支援查詢語言、性能佳、安全高且可跨平台使用。第三節 研究範圍與限制
壹、測驗對象
測驗施測對象為九十八學年度國小五年級學生，包括3所彰化縣國小和1所台 中市國小，共施測11個班級，有效樣本計335人。貳、範圍與限制
本研究因時間、資源、教材及人力的限制，所探討的「平行四邊形和三角形 的面積」單元僅以國小五年級數學能力指標中「N-2-19 能運用切割重組，理解三 角形、平行四邊形與梯形的面積公式」中的三角形與平行四邊形的面積內容為 主。測驗的試題、子技能和錯誤類型皆和該單元有關，電腦測驗系統也以該範圍 為限，無法作為其他單元或其他年級類似單元的測驗平台。 研究樣本以中部地區之國小五年級學童為主。因此，可能會受到取樣的影響 而造成結果推論上的限制。 本研究之效度分析採用專家效度。首先將自編試題委請三位現職國小五年級 數學科教師審閱，而後將試題與學生的線上施測預試結果委請專家(包括一位教 授，以及五位專家教師)進行試題分析，透過相互校正建立施測試題的效度。因此， 試題的效度部分會受分析者主觀的判斷而有所爭議，較難取得其一致性。第四節 電腦化建構反應題系統介面
本系統使用臺中教育大學教育測驗統計研究所郭伯臣教授與曾彥鈞（2007） 所開發之以貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗系統進行施測，相關系統研發 及建置由研究者及臺中教育大學教育測驗統計研究所曾彥鈞、陳俊華共同完成。 以下將分為建構反應題題型介面操作及資料庫記錄內容加以說明。壹、建構反應題題型介面操作說明
建構反應題題型之介面操作以本單元的建構第2題加以說明，操作畫面如圖 3-3所示。 圖 圖 圖 圖 3-3 建構反應題題型介面操作說明 繪圖工具與操作介紹： ：點選後，可利用滑鼠在作答區畫出線段以代表所畫出的「高」。 ：點選後，可移動滑鼠到作答區已畫出的線段上進行線段的消除 ：點選後，可清除所有已畫出的線段。：點選後，可將滑鼠移動到欲選擇的繪圖工具上，利用拖曳的方 式將繪圖工具擺放到作答區的定點上。若需再次移動工具，可 以利用滑鼠按住圖形中的綠色圓點，利用拖曳的方式將繪圖工 具擺放到作答區的其他定點上。 ：點選後，繪圖工具中的綠色圓點會變成圖釘的形狀，將滑鼠移 動到圖釘上的圓點後可利用拖曳的方式將繪圖工具進行旋轉， 以進行測量或畫線動作。 ：顯示目前點選工具所擺放的角度。
貳、資料庫記錄資料說明
資料庫所記錄的內容說明如下： 一、工具的操作過程記錄，所記錄的資料包括： （一）、操作何種圖形工具（尺、三角板或量角器）。 （二）、每個動作的最後放置座標。 （三）、每個工具的最後放置角度。 （四）、完成每個動作時在電腦上記錄的時間點。 二、改變工具狀態的記錄，所記錄的資料包括： （一）、工具的移動位置。 （二）、工具的旋轉角度。 （三）、完成每個動作時在電腦上記錄的時間點。 三、畫出單一線段的記錄，所記錄的資料包括： （一）、線段的起始座標和終點座標。 （二）、完成畫線動作時在電腦上記錄的時間點。四、刪除單一線段的記錄，所記錄的資料包括： （一）、選定刪除線段。 （二）、完成刪除動作時在電腦上記錄的時間點。 五、刪除全部線段的記錄，所記錄的資料包括： （一）、選擇「全部清除」功能。 （二）、完成全部清除動作時在電腦上記錄的時間點。
第五節 建構反應題之解題策略流程分析
經由專家判別學生解題歷程之後將學生在操作過程中的解題的路徑、所犯錯 誤類型加以編碼後建立解題策略計分模型以進行診斷系統的建置。壹、解題策略
在建立解題策略計分模型前，首先必須考慮到學生在解題過程中每一個可能 的操作步驟，且為了讓所有學生的每一種解題過程都能在計分模型中歸納到一種 特定的錯誤類型，所有的操作基本上是以「二分法」進行分類，但若解題過程出 現文獻中常見的錯誤類型時，這些錯誤類型就將其獨立出來，因此，利用解題策 略計分模型來做錯誤類型分類時應能百分之百將所有學生的解題策略作出分 類。以下以建構題第2題作為說明，其他建構題的解題策略請參閱附錄8～附錄12。 一、題目 下圖的平行四邊形中，若 A 點是指定底邊上的一個點，請利用工具畫出通 過 A 點的高?二、解題動作與路徑 本題依解題動作與路徑可分類為14種不同的解題策略（a1～a14），見表3-2。 表3-2 建構題第建構題第建構題第2題的解題路徑建構題第 題的解題路徑題的解題路徑題的解題路徑 解題策略 解題動作 解題路徑 a1 a.選用三角板→d.放到指定的底邊→n.畫出正確的高 a→d→n a2 a.選用三角板→d.放到指定的底邊→o.畫出錯誤的高 a→d→o a3 a.選用三角板→e.放到水平的邊→p.畫出正確的高 a→e→p a4 a.選用三角板→e.放到水平的邊→q.畫出錯誤的高 a→e→q a5 a.選用三角板→f.放和 d、e 不同的位置→r.畫出正確的高 a→f→r a6 a.選用三角板→f.放和 d、e 不同的位置→s.畫出錯誤的高 a→f→s a7 b.選用尺→g.放到指定的底邊→t.畫出正確的高 b→g→t a8 b.選用尺→g.放到指定的底邊→u.畫出錯誤的高 b→g→u a9 b.選用尺→h.在水平的邊上畫高 b→h a10 b.選用尺→i.畫出的高是水平線段 b→i a11 b.選用尺→j.畫出和 h、i 不同的高 b→j a12 c.未選用輔助工具畫高→k.畫出正確的高 c→k a13 c.未選用輔助工具畫高→l.畫出錯誤的高 c→l a14 c.未選用輔助工具畫高→m.沒有畫高動作 c→m 註：a～u 為各種操作動作的代碼
貳、解題策略編碼
本單元共有三種不同的編碼類型，其編碼規則說明如下 一、解題策略編碼：二碼～三碼（例如：a1、a2、b10、b12…） （一）、英文小寫字母a、b：代表不同的數學概念，若一題中包含二個可分開獨 立、互不影響的概念則給予二個不同的字母予以區 別。（例如：a代表測量概念；b代表角度概念） （二）、數字序碼：將受試者可能的操作路徑設定成不同的解題策略，給予不同 解題策略的序碼。（例如：a1代表a概念的第1種解題流程分 類）。 建構題每一題的解題策略編碼詳見附錄8～附錄12。二、錯誤類型編碼：三碼（例如：M01、M14、M35…） （一）、英文大寫字母M：受試者解題的錯誤類型，即所謂的「迷思概念」。 （二）、數字序碼：不同錯誤類型的序碼。（例如：M26代表判斷學生的錯誤類 型是第26種）。 學生所有的錯誤類型編碼詳見附錄7。 叁、建立解題策略計分模型 以建構題第2題為例，題目所有的解題策略加上編碼後將其繪製成樹狀圖， 建立解題策略計分模型。 圖 圖圖 圖 3-4 建構題第 2 題的解題策略模型樹狀圖
第四章 研究結果
本章節依據研究目的，分別於以下各節中探討其研究結果，將研究結果分為 三個部分：第一節建構反應題型的計分模式分析；第二節診斷系統成效評估；第 三節選擇題題型及建構反應題題型之錯誤類型差異；第四節不同建構題中的錯誤 一致性。第一節 建構反應題型的計分模式分析
「平行四邊形和三角形的面積」單元有5 題建構反應題題型。以下以建構題 第2題說明如何進行學生之解題過程計分，其餘題目之計分方式詳見附錄9～附錄 14。壹、計分方式說明
本題滿分為5分，能畫出正確的高給2分；能判定正確的底邊給2分；知道底和 高必須垂直給1分，每做對一個動作配分如下： 表4-1 建構題第建構題第建構題第建構題第2題的正確動作配分表題的正確動作配分表題的正確動作配分表題的正確動作配分表 正確動作代碼 操作 配分 a 選擇三角板做為畫高的輔助工具 1 d、g 將工具放到指定的底邊，並擺放到正確的畫高位置 2 n、o、p、r、t、k 畫出正確的高 2貳、解題策略計分說明
表4-2 建構題第建構題第建構題第建構題第2題各題各題各解題策略題各解題策略解題策略的計分模式解題策略的計分模式的計分模式 的計分模式 解題策略 解題動作 錯誤類型 得分 a1 a→d→n 全對 5 a2 a→d→o 全對 5 a3 a→e→p M13 3 a4 a→e→q M13 1 a5 a→f→r M11 3 a6 a→f→s M11 1 a7 b→g→t M08 4 a8 b→g→u M08 2 a9 b→h M08+M13 0 a10 b→i M08 0 a11 b→j M08+M11 0 a12 c→k M08 2 a13 c→l M08 0 a14 c→m M43 0 註：a～u 為各種操作動作，只要能正確做出 a 和 d 的動作則判定為全對 舉例來說，如某位學生在建構題第2題的解題過程是：選擇三角板來當畫高 的輔助工具，然後將三角板直角的2個鄰邊的其中一邊與平行四邊形水平的邊重 疊切齊，最後利用畫線工具畫出錯誤的高。則系統計錄其解題路徑為a→e→q，得 分為1分；「解題策略」為「a4」。第二節 診斷系統成效評估
本研究所使用的試題為自編之「三角形與平行四邊形的面積」單元試題， 詳如附錄 3。應用本研究所建置的「BNAT 適性診斷測驗暨學習系統」進行施 測，以下針對全選擇題型、加入建構題型的試題作試題分析。壹、選擇題的試題分析
全部的有效樣本共有 335 人，以二元計分的方式利用古典測驗理論進行試 題的鑑別度、 難度和信度分析，其結果如下表：表4-3 選擇題正式測驗之信度分析資料選擇題正式測驗之信度分析資料選擇題正式測驗之信度分析資料選擇題正式測驗之信度分析資料 古典測驗理論 受試者＝335 Cronbach's Alpha＝.776 選 擇 題 鑑別度 難度 刪題後信度 2 0.5000 0.5341 0.766 4 0.2273 0.7159 0.765 5 0.2273 0.7159 0.764 6 0.5795 0.5170 0.764 7 0.5795 0.4830 0.762 8 0.5682 0.6477 0.76 10 0.5682 0.5455 0.769 11 0.5909 0.6023 0.761 13 0.4886 0.7557 0.756 14 0.3409 0.4318 0.76 15 0.4318 0.7386 0.759 16 0.6591 0.5909 0.777 18 0.3523 0.6648 0.778 19 0.6932 0.5852 0.767 20 0.5795 0.6761 0.763 21 0.6932 0.5284 0.764 22 0.3295 0.6420 0.777 23 0.5114 0.5511 0.77 24 0.2614 0.4375 0.763 25 0.5682 0.5568 0.777 26 0.5455 0.7045 0.774 27 0.5114 0.6875 0.764 經分析學生選擇題作答情形，測驗內部一致性的數值，Cronbach α係數值為 0.776，符合信度分析之標準。接著進行試題參數分析，試題的古典測驗理論鑑別 度除第4、5約題0.22稍低外其餘試題均大於0.25，具有相當的鑑別度。而從「刪 除後的alpha係數」可看出其值都相當接近，刪題均會造成總alpha係數減少。
貳、加入建構題型的試題分析
為了瞭解試題中加入建構題的多點計分題型是否能提高測驗信度，因此將 選擇題中與建構題出題概念相同的 5 題選擇題的學生得分資料移除，加入 5 題要進行分析的 17 題選擇題以得分代替二元計分資料，意即選擇題答對該題滿 分，答錯則該題 0 分；5 題建構題也以該題得分作為分析資料，然後進行多點 計分的信度分析。全部選擇題型與建構題的多點計分題型測驗信度比較結果見 表 4-4。 表4-4 全部選擇題型與建構題的多點計分題型測驗信度比較表全部選擇題型與建構題的多點計分題型測驗信度比較表全部選擇題型與建構題的多點計分題型測驗信度比較表全部選擇題型與建構題的多點計分題型測驗信度比較表 試卷題型 全部選擇題型 加入建構題的多點計分題型 樣本數 335
試卷信度 Cronbach's Alpha＝ .776 Cronbach's Alpha＝ .801
題號 刪題後信度 刪題後信度 1 .770 .778(建構題) 2 .766 .795 3 .763 .794(建構題) 4 .765 .795 5 .764 .793 6 .764 .796 7 .762 .792 8 .760 .790 9 .777 .786(建構題) 10 .769 .792 11 .761 .791 12 .774 .792(建構題) 13 .756 .801 14 .760 .794 15 .759 .791 16 .777 .801 17 .764 .784(建構題) 18 .778 .789 19 .767 .791 20 .763 .791 21 .764 .802 22 .777 .794 從全部選擇題型與建構題的多點計分題型測驗信度比較表可以看出每一題 建構題的信度優於同樣出題概念的選擇題，若以建構題取代選擇題則整份測驗 的信度可以由 .776 提升到 .801，可見只要少數幾題建構題就能有效提升測驗 的信度。
