幾何圖形概念的意義與形成

本章共分成兩小節，第一節說明幾何圖形概念的意義與形成，第二節探討國 內外教科書之相關實徵研究。

第一節 幾何圖形概念的意義與形成

本研究是以一～九年級數學領域教科書中平面幾何圖形概念為探討主題，因 此有必要先釐清幾何圖形概念的意義與形成。故本節首先說明「概念」意義的解 釋，接著再針對幾何圖形概念做說明，最後部分在探討概念與幾何圖形概念的形 成。

壹、概念的意義：

「概念」（concept）是什麼呢？許多研究者或專家對「概念」有各種不同的 說法如下：

以心理學的觀點來看，概念是思維形式之一。它反映客觀事物本質的一種理 性知識，人類在認識過程中，把所感知的事物共同特點抽象出來，加以概括，就 成為概念（王明良，1982）。

以社會科學的觀點來看，概念是指各種不同物體或事物根據其之間共同特色 或屬性被分為一類的情形（楊亮功，1970）。

以教育觀點來看，概念是人類思考的一種形式。但是概念並不是一成不變的，

隨著社會歷史的改變，有些概念的內涵也在發展著，並經歷著不斷的變化。概念 具有外延和內涵兩個方面。例如：鳥的概念的外延是指所有各式各樣的鳥；而鳥 概念的內涵包含鳥有羽毛和鳥是動物等。不同時空、不同身分的人對同一概念都 可能有不同的認知，因此其意義必須視其所使用的脈絡位置才能決定（顏慶祥、

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湯維玲，1994）。

國內學者張春興（1996）認為，概念是對具有共同屬性事物的概括性認識。

概念分為兩類，一類是具體概念（concrete concept）：指事物的共同屬性具體顯 現者，例如形狀（如三角形）、顏色（如紅色）；另一類是定義概念（defined concept）： 它不能用指認的方式來學習的抽象概念，例如民族、秩序、快樂、痛苦等概念。

Vinner（1983）認為對於每一個數學概念，將會有兩個不同的部分是存在於 個體的認知結構之中，即概念定義（concept definition）和概念心像（concept image）。這裡所謂的概念定義是指以一種直截了當的方式精確地解釋了此概念的 文字定義（verbal definition），而概念心像則是由心智圖像（mental picture）和一 些與此概念有相關的性質所形成的。其中心智圖像是指所有曾經與此概念有相關 的圖像（pictures）所成的集合，而圖像則是以最廣義的方式來解釋它，它是包 含了任何一種此概念的視覺表徵，甚至是符號表徵。Tall and Vinner（1981）指 出許多在數學中所遭遇的概念在它們正式地被定義之前就已經以一些形式或其 他的形式被我們所遭遇到，且當此概念被喚起時，存在於每個人腦中的複雜認知 結構就產生了各種個人的心智圖像（mental image）。而此處的心智圖像（mental image）是由心智圖像（mental picture）附加上與此概念有相關之性質所形成的。

概念定義可能也是一種經由學生自己重建後的定義，所以概念定義又可分成個人 的概念定義（personal concept definition）和正式的概念定義（formal concept definition），其中前者是學生用來解釋自己概念心像時所使用的措詞形式，而後 者是一種廣泛地被數學界所接受的概念定義。

綜合上述的看法，由於研究的角度不同，各類學科領域對概念的定義方式就 會有所差異。而以數學概念而言，研究者認為學童所要學習的概念是具有共通屬 性的科學概念，是代表事物屬性的抽象化，學童能透過學習經驗的累積，將其共 通屬性抽離出來，加以概括而形成。

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貳、幾何圖形概念：

沈佩芳（2002）指出：

在認知心理學上概念和心像（images）是有所區別的，概念通常定義成對物體或事件 一個抽象的、一般化的表徵，另一方面，心像（images，特別是視覺心像）是對物體或事件 知覺上的呈現。因為視覺心像具有向外延、形狀、位置、大小的空間特性，有時候會被描 述成「心智的圖片」。

這兩個範疇（心像和概念）經常在心智活動中交互影響，基本上是不能比較的。因此 有人定義了第三種心智表徵的範疇，它同時具有前兩種範疇的特性，那就是幾何圖形。它 是抽象的、觀念的實體，點、線、面、圓、立方體等擁有這些特性，它們是概念。另一方 面它們也有知覺的特性，也就是空間的特性，即形狀、位置、大小。

因此，同時具有知覺的表徵和概念的實體，我們稱為圖形概念。在這共存關係中，圖 形的組成要素提供實際的操作意義：去修改、取代、切斷、重疊等，知覺的組成要素提供 邏輯的意義和一致性。（頁 9）

對於幾何概念，NCTM（1991）提出：幾何乃研究空間中的形狀和空間關係，

幾何可以幫助人們用有條理的方式，表現和描述生活的世界。幾何學所探討的主 要對象為物體之結構和形狀之特性及變化（劉好，1998）。幾何是一門探討空間 關係與邏輯推理的數學。幾何概念與表徵是數學與真實世界溝通的重要方式，且 與數學其它領域緊密連結（左台益、梁勇能，2001）。劉秋木（1996）在研討幾 何概念的意義中也提到，人類生存於世界便需要認識世界的種種性質，人們透過 知覺運動與世界互動中，發現有些東西是可以滾，有些是可堆疊的，於是加以分 析歸納，分別出平的與曲的兩種屬性，形成平面和曲面的概念。在這種探索中人 們分析出許多有用的屬性，如形狀、大小、方向等等。依據這些屬性，幾何學家 建立了他們的幾何學問，而產生一些幾何系統。

其次，就幾何圖形概念而言，劉好（2000）曾做出以下描述：圖形並非實際 存在的東西，它是附著於具體存在的物體上，從具體實物中摒棄其顏色、氣味、

材質、輕重、硬度、厚度、大小、…特性之抽象結果。簡單地說，它僅是實物外 觀的樣子。我們最常接觸的是立體的圖形，平面圖形是將具體物的表面拓印出來 的結果，通常透過立體圖形的面來辨識。林碧珍（1993）也曾對兒童形狀的概念

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做出描述：一個實物皆可能存在顏色、大小、圖案、材質、用途、擺放的位置、

物體的輕重、厚薄、形狀、…等。其中顏色、大小、…、厚薄，均可由肉眼具體 明確的觀察，唯有此物體的「形狀」對兒童而言是較為抽象的，它必須摒棄此物 體各種不相干的屬性，它不因物體的顏色或大小或擺放位置而改變它。

綜合上述幾何圖形概念的描述可知，日常生活中經常與幾何息息相關。在真 實世界中，張眼所見都是各種不同形狀的物體，如學童所用的長方形教科書、衣 服上的不規則三角形圖案、臉上的圓形眼鏡等等，使得我們所處的環境，處處充 滿了幾何形體。在自然界中，也到處充滿著幾何形體，如蜂窩的六角形、行星的 橢圓軌道等等，都和平面、空間的幾何有密不可分的關係，也就是說，我們時時 刻刻均與幾何同在。然而建立空間的概念與圖形之間的察覺、辨識、發現性質與 關係是有互相關聯的，所以本研究將針對幾何概念中的平面幾何圖形作為研究的 主要內容。

叁、概念與幾何圖形概念的形成：

概念的形成也是一個學習的歷程，個體必須把一類具有共同屬性的事物，將 之抽象化納入一個概括性的概念內（張春興，2000）。

數學教育家 Richard R. Skemp （1987/ 1995）曾在 The Psychology of Learning Mathematics 中提到，透過分類（classifying）來說明概念的形成：在較低層次的 知覺中，每次將所知覺到的事物和先前經驗過的事物做比較、分類，雖然沒有任 何兩次輸入的感官資料是完全相同的，但從以前多次輸入的變因（variants）中 我們會抽象出該事物的不變因（invariants），即這些知覺的相似性、共通性，則 人們會自然地從這些事物中抽出這些相似性和共通性，最後給予此事物共同的性 質就是所謂的概念。例如圖 1-3-1，以

C 、

C 、

C ……代表我們先前對「椅子」

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圖 2-1-1 抽象作用簡圖

C

C

C

C …

C

資料來源：陳澤民（譯）（1995）。數學學習心理學，p.16。

接著由各式各樣椅子中，我們得到一系列通性C、C^'、C^"……，經由二階 抽象（Second-order abstraction）發展出更進一步、更高一層的抽象通性Ch，如 圖 2-1-2。經過這許多複雜步驟，我們就得到了椅子的概念。

圖 2-1-2

第二層次抽象作用簡圖

Ch

C C^' C^"

資料來源：陳澤民（譯）（1995）。數學學習心理學，p.17。

所以「抽象化」（abstracting）是一種心智活動過程，使我們了解各種周為環 境經驗之間的相似性和共通性；「分類」是把具有相似性和共通性的經驗歸在一 起。「概念」（concept）就是泛指抽象化的結果、過程，是一種延續性的心智變 化，使我們能用已經分類的舊經驗知相似性和共通性來認知新經驗。因此要形成 一個概念就必須先有實際經驗，而這些經驗又有某些相似性和相通性。

Duval（1995）把幾何圖形視為一個認知的「理解」（apprehension），而理解 這個字是指有很多不同方式來看繪圖或一個外在刺激的視覺陳列。他認為是圖形 的認知可分為四種理解：知覺性（perceptual）、序列性（sequential）、論述性

（discursive）和操作性（operative），分別說明如下：

一、知覺性的理解（perceptual apprehension）

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一個知覺的幾何圖形是如何展示出來是決定於圖形的組織法則和繪圖的線 索。它是無意識整合的結果，而知覺的幾何圖形和視網膜的影像是不同的。我們 可以把知覺圖形以平面或透視的方式去辨認給予圖形的一些子圖形，這些子圖形 可能是它的組成要素，但不見得能架構出整個圖形。

二、序列性的理解（sequential apprehension）

當我們在架構一個圖形或描述圖形的架構時，就需要序列性的理解。不同圖 形單位的出現是有特定的順序。在序列性的理解中，圖形的組織（或基本的圖形 單位）不是靠知覺的法則和線索，而是靠技術性的限制和數學的性質。技術性的

當我們在架構一個圖形或描述圖形的架構時，就需要序列性的理解。不同圖 形單位的出現是有特定的順序。在序列性的理解中，圖形的組織（或基本的圖形 單位）不是靠知覺的法則和線索，而是靠技術性的限制和數學的性質。技術性的