第肆章 結果與討論
N- J5-3-1-6 平行弦夾等弧
表 4-2-18
N 版圓形與扇形概念各脈絡首例
（1）A.圖形的外觀：
A.1 依外觀辨識圖形 N-1-2-3-1：圖形分類
A.2 繪製圖形 N-5-10-2-1：描繪圓形
A.3 直接操作圖形及其應用 N-3-9-E-1：面的大小
（2）B.圖形的組成要素：
B.1 認識圖形的組成要素 N-5-3-1-1A：周界、內部和外部
B.2 依組成要素認定圖形或辨別圖形之間的異 同
N-10-6-1-3B：辨認扇形
B.3 應用圖形的組成要素 N-5-10-4-2：畫圓
（3）C.圖形組成要素之間的關係：
C.1 認識圖形組成要素之間的關係 N-5-10-3-3：半徑與直徑 C.2 依組成要素之間的關係辨認圖形或辨別圖
形之間的異同
無相關內容
（續下頁）
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C.3 操作圖形或應用圖形組成要素之間的關係 N-10-3-1-7C：圓的對稱軸
（4）D.圖形的性質：
D.1 理解組成要素圖形的性質及其應用 無相關內容
D.2 理解基本圖形的性質及其應用 N-J4-2-1-P18：圓的定義
D.3 理解點和基本圖形之間的性質及其應用 N-J5-2-1-P3：點與圓的位置關係 D.4 理解線和基本圖形之間的性質及其應用 N-J4-2-1-P19：弦的定義
D.5 理解角和基本圖形之間的關係及其應用 N-J5-2-2-P8：圓周角的定義 D.6 理解基本圖形之間的性質及其應用 N-10-6-3-1C：1
2圓的扇形
D.7 尺規作圖 N-J5-2-1-5：找圓弧的圓心
（5）E.形式化證明：
E.1 形式化幾何證明 N-J5-3-1-6：平行弦夾等弧
由圖 4-2-127 知，「B.圖形的組成要素」和「C.圖形組成要素之間的關係」的 首例都是在三年級引入，但再從表 4-2-16 觀察可知，「B.圖形的組成要素」的首 例引入時間點是先於「C.圖形組成要素之間的關係」，因此圓形與扇形概念各個 主脈絡的引入時間具有順序性。在子脈絡部份，「A.圖形的外觀」類中的「A.2 繪製圖形」和「A.3 直接操作圖形及其應用」的脈絡首例的引入時間不具順序性；
「B.圖形的組成要素」類中的「B.2 依組成要素認定圖形或辨別圖形之間的異同」
和「B.3 應用圖形的組成要素」的脈絡首例的引入時間也不具順序性；「C.圖形組 成要素之間的關係」類中的「C.2 依組成要素之間的關係辨認圖形或辨別圖形之 間的異同」在一～九年級的教材中沒有呈現有關的活動，而「C.1 認識圖形組成 要素之間的關係」和「C.3 操作圖形或應用圖形組成要素之間的關係」的脈絡首 例的引入時間具有順序性；「D.圖形的性質」類中各個子脈絡首例引入時間點以 震盪方式呈現。
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們各自的名字，如圖 4-2-128。
「A.2 繪製圖形」的首例出現在第一冊第六單元，活動內容為立體圖形的面 進行描繪和拓印，如圖 4-2-129。
圖 4-2-128 圖 4-2-129
K-1-6-2-2 圖形的分類 K-1-6-2-1 描繪和拓印
「A.3 直接操作圖形及其應用」的首例出現於第二冊第十單元，活動內容為 在一堆的圖形板中，利用平移、翻轉、拼貼的疊合活動，找出形狀和大小相同的 圖形，如圖 4-2-130。
圖 4-2-130 K-2-10-1-1 找出相同的圖形
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「B.1 認識圖形的組成要素」的首例出現於第五冊第八單元，活動內容為藉 由射箭情境引導學生察覺原有中心點，且越靠近圓的中心點就越準，此處為認識 圓的組成要素─圓心的引入，如圖 4-2-131。
圖 4-2-131
K-5-8-1-2 認識圓
「B.2 依組成要素認定圖形或辨別圖形之間的異同」的首例出現在第九冊第 七單元，活動內容為讓學生判斷辨認教師在黑板上張貼課本情境掛圖中，哪些圖 形的鋪色部份是扇形，並說明理由，如圖 4-2-132。
圖 4-2-132
K-9-7-4-2 辨認扇形
「B.3 應用圖形的組成要素」的首例出現於第五冊第三單元，活動內容為在 地上畫出半經約 20 公分的圓來進行丟花片活動，依照丟完花片的情形去判斷在 圓的內部、外部和周界上的花片各有幾個，如圖 4-2-133。
「C.1 認識圖形組成要素之間的關係」的首例出現於第五冊第八單元，活動
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內容為透過測量去察覺圓的每一條直徑都會一樣長，如圖 4-2-134。
圖 4-2-133 圖 4-2-134
K-5-3-1-3A 圓的周界、內部與外部 K-5-8-1-3C 量直徑
「C.2 依組成要素之間的關係辨認圖形或辨別圖形之間的異同」的首例出現 在第十六冊（國中第四冊）第二章第一節，活動內容為讓學生指出教室內至少三 種平面幾何圖形，例如黑板、課桌、時鐘等等，如圖 4-2-135。
圖 4-2-135 K-J4-2-1-e1 生活中的平面幾何圖形
「C.3 操作圖形或應用圖形組成要素之間的關係」的首例出現於第九冊 第七單元，活動內容為算出圖色區域扇形之圓心角的度數，如圖 4-2-136。
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圖 4-2-136
K-9-7-4-e1 扇形之圓心角
本研究判別「D.1 理解組成要素圖形的性質及其應用」題目的關鍵在於所要 探討的圖形沒有依附於「基本圖形」，而圓形和扇形都是基本圖形中的一種，因 此一～九年級有關三角形概念的題目內容都將不會在此脈絡裡面。
「D.2 理解基本圖形的性質及其應用」的首例出現在第十六冊（國中第四冊）
第二章第一節，活動內容為理解圓的定義，即與圓心距離相等的所有點所組成的 圖形，如圖 4-2-137。
圖 4-2-137
K-J4-2-1-P32 圓的定義
「D.3 理解點和基本圖形之間的性質及其應用」的首例出現於第十七冊（國 中第五冊）第二章第一節，活動內容為理解點與圓的位置關係只有三種情形，一 是點在圓外，二是點在圓上，三是點在圓內，如圖 4-2-138。
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圖 4-2-138
K-J5-2-1-P1 點與圓的位置關係
「D.4 理解線和基本圖形之間的性質及其應用」的首例出現在第十六冊（國 中第四冊）第二章第一節，活動內容為理解弦的定義，即圓上任意兩點所連接的 線段，如圖 4-2-139。
圖 4-2-139
K-J4-2-1-P34 弦的定義
「D.5 理解角和基本圖形之間的關係及其應用」的首例出現在第十七冊（國 中第五冊）第二章第二節，活動內容為理解圓周角的定義，即當兩條弦的交點在 圓周上，而所形成的角，如圖 4-2-140。
圖 4-2-140
K-J5-2-2-P7 圓周角的定義
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「D.6 理解基本圖形之間的性質及其應用」的首例出現於第九冊第七單元，
活動內容為教師指導學生先利用圓規畫一個圓，再做出1
2圓的扇形，並求出此1 2 圓之扇形的圓心角角度，如圖 4-2-141。
圖 4-2-141
K-9-7-4-3 1
2圓的扇形
在一～九年級的教材中沒有呈現與
「D.7 尺規作圖」和「E.1 形式化幾何證明」有關的活動。
表 4-2-20
K 版圓形與扇形各脈絡首例
（1）A.圖形的外觀：
A.1 依外觀辨識圖形 K-1-6-2-2：圖形的分類
A.2 繪製圖形 K-1-6-2-1：描繪和拓印
A.3 直接操作圖形及其應用 K-2-10-1-1：找出相同的圖形
（2）B.圖形的組成要素：
B.1 認識圖形的組成要素 K-5-8-1-2：認識圓
B.2 依組成要素認定圖形或辨別圖形之間的異 同
K-9-7-4-2：辨認扇形
B.3 應用圖形的組成要素 K-5-3-1-3A： 圓的周界、內部與外部
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（3）C.圖形組成要素之間的關係：
C.1 認識圖形組成要素之間的關係 K-5-8-1-3C：量直徑 C.2 依組成要素之間的關係辨認圖形或辨別圖
形之間的異同
K-J4-2-1-e1：生活中的平面幾何圖形
C.3 操作圖形或應用圖形組成要素之間的關係 K-9-7-4-e1：扇形之圓心角
（4）D.圖形的性質：
D.1 理解組成要素圖形的性質及其應用 無相關內容
D.2 理解基本圖形的性質及其應用 K-J4-2-1-P32：圓的定義
D.3 理解點和基本圖形之間的性質及其應用 K-J5-2-1-P1：點與圓的位置關係 D.4 理解線和基本圖形之間的性質及其應用 K-J4-2-1-P34：弦的定義
D.5 理解角和基本圖形之間的關係及其應用 K-J5-2-2-P7：圓周角的定義 D.6 理解基本圖形之間的性質及其應用
K-9-7-4-3：1
2圓的扇形
D.7 尺規作圖 無相關內容
（5）E.形式化證明：
E.1 形式化幾何證明 無相關內容
由圖 4-2-142 知，「B.圖形的組成要素」和「C.圖形組成要素之間的關係」的 首例都是在三年級引入，再從表 4-2-18 觀察可知，「B.圖形的組成要素」的首例 引入時間點是先於「C.圖形組成要素之間的關係」，因此圓形與扇形概念各個主 脈絡的引入時間具有順序性。在子脈絡部份，「A.圖形的外觀」類中的「A.1 依 外觀辨識圖形」和「A.2 繪製圖形」的脈絡首例的引入時間不具順序性；「B.圖 形的組成要素」類中的「B.2 依組成要素認定圖形或辨別圖形之間的異同」和「B.3 應用圖形的組成要素」的脈絡首例的引入時間不具順序性；「C.圖形組成要素之 間的關係」類中的「C.2 依組成要素之間的關係辨認圖形或辨別圖形之間的異同」
和「C.3 操作圖形或應用圖形組成要素之間的關係」的脈絡首例的引入時間不具 順序性；「D.圖形的性質」類中各個子脈絡首例引入時間點以震盪方式呈現。
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移、翻轉和疊合等圖形操作去辨認其形狀和大小是否一樣，和在一堆的圖形板中，
利用平移、翻轉、拼貼的疊合活動，找出形狀和大小相同的圖形，而 N 版本的 活動為透過直接比較的方式，去比較給定之長方形和圓形的面積大小。
三個版本在「B.1 認識圖形的組成要素」和「B.3 應用圖形的組成要素」的 引入時間點，皆呈現出一致性，且全都在第五冊引入。在「B.2 依組成要素認定 圖形或辨別圖形之間的異同」的引入時間點上皆有所差異，以 H 版本（第六冊）
引入最快，N 版本（第十冊）引入最慢，H 版本的活動為利用圓規畫出 2 個大小 不一樣的圓，而 N 版本的活動則是在畫有圖形的圖卡中，辨認塗色部分是否為 扇形。在「B.圖形的組成要素」脈絡下，「B.1 認識圖形的組成要素」和「B.2 依 組成要素認定圖形或辨別圖形之間的異同」的首例引入順序應具有階段性，由圖 4-2-143 知，三個版本的首例引入順序皆與冊別的發展順序具有一致性。
三個版本在「C.圖形組成要素之間的關係」之各個子脈絡的引入時間點上皆 有所差異。在「C.1 認識圖形組成要素之間的關係」中，N 版本和 K 版本皆在第 五冊引入，H 版本（第六冊）則引入最慢，其中 N 版本和 K 版本的活動分別為 透過觀察察覺出半徑是直徑的一半，和透過測量去察覺圓的每一條直徑都會一樣 長，而 H 版本則是透過實測察覺圓的半徑都一樣長，且每一條直徑都通過圓心，
可看作是 2 條半徑連成的線段；在「C.2 依組成要素之間的關係辨認圖形或辨別 圖形之間的異同」中，H 版本和 K 版本皆在第十六冊引入，其活動分別為辨認 生活中一些常見的平面幾何圖形，和讓學生指出教室內至少三種平面幾何圖形，
例如黑板、課桌、時鐘等等，而 N 版本在一～九年級的教材中沒有呈現與之有 關的活動；在「C.3 操作圖形或應用圖形組成要素之間的關係」中，以 K 版本（第
例如黑板、課桌、時鐘等等，而 N 版本在一～九年級的教材中沒有呈現與之有 關的活動；在「C.3 操作圖形或應用圖形組成要素之間的關係」中，以 K 版本（第