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一~九年級數學平面幾何教材內容之分析研究

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Academic year: 2021

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授: 曹 博 盛. 博士. 一~九年級數學平面幾何教材內容之分析研究. 研 究 生:楊 承 鑫. 中 華 民 國 一 百 零 二 年 七 月.

(2) 致 謝. 詞. 首先,要對我的指導教授曹博盛老師致上最崇高的敬意,老師在忙碌 之餘總不忘循循善誘、耐心的指導我。在研究上遭遇任何困難時,老師給 予我極多的想法,以及適度的鼓勵;在日常生活中,老師也常會輕聲的叮 嚀我要注意這個、小心那個,真的很慶幸自己有這麼一位善解人意的好老 師。 除此之外,也要感謝李源順教授以及陳創義教授特地抽空參加我的碩 士論文口試,並提出文中不詳盡之處以及給予建議,讓我在撰寫論文的同 時,擁有更多面向的思考,使得這篇論文可以更加完美。 另外,感謝 M410 以及 M408 研究室的大家,每當唸書或撰寫論文疲倦 時,想到身旁還有你們這群戰友,就能打起精神繼續和大家一起奮戰下去, 在攻讀碩班的這段期間裡,無論何時大家都是一起努力著,真是永生難忘 的回憶。 最後,要感謝我親愛的家人,父母、岳父母、姊妹們以及愛妻,總是 在我感到無助時給予極大的鼓勵,在我苦無方法的時候提出解決之道,他 們的支持真的是我最大的原動力。 這篇論文光靠一己之力實在無法順利完成,有太多太多要感謝的人, 在此致上最崇高的謝意,由衷感謝您們的幫忙。 楊承鑫. 謹誌 102.07.

(3) 一~九年級數學平面幾何教材內容之分析研究 楊承鑫 國立臺灣師範大學數學研究所. 摘 要 本研究旨在探討一~九年級三個版本數學領域教科書中,版本間關於 平面幾何圖形之教材內容與組織上的差異,以及各版本教科書對幾何能力 指標之對應程度。本研究以 van Hiele 幾何思考層次理論為主要的理論基礎, 將一~九年級平面幾何圖形教材分為「圖形的外觀」 、 「圖形的組成要素」、 「圖形組成要素之間的關係」 、 「圖形的性質」 、 「形式化演繹」等五大類目, 使用內容分析法進行分析。主要研究結果如下: 一、各版本平面幾何教材的份量,不論以題目數或是類目來計算,經卡方 百分比同質性考驗結果皆呈現出顯著差異。 二、各版本平面幾何教材內容在三個數學學習階段中分別著重於「圖形的 外觀」佔 63.86%~73.06%、 「圖形組成要素之間的關係」佔 62.11%~71.07 和「圖形的性質」佔 91.7%~93.41%,且在組織上均依循以實際操弄 辨識形體為先、掌握形體要素、發現形體性質、進而從非形式化推理 到形式化推理作為主要的發展脈絡。 三、在各脈絡之首例引入時間點上,各版本「三角形概念」 、 「四邊形概念」 以及「圓形和扇形概念」之課程發展過程均具有差異性。 四、課程內容與九年一貫能力指標的對應程度,有出現教材內容與指標不 相符的情況。. 關鍵詞:數學教科書、平面幾何、van Hiele 幾何思考層次理論.

(4) 目. 錄. 目錄. I. 圖目錄. III. 表目錄. IX. 第壹章 緒論. 1. 第一節 研究動機與背景. 1. 第二節 研究目的與研究問題. 6. 第三節 理論基礎. 7. 第四節 名詞釋義. 15. 第貳章 文獻探討. 16. 第一節 幾何圖形概念的意義與形成. 16. 第二節 教科書之相關研究與實徵研究. 24. 第叁章 研究方法. 31. 第一節 內容分析法. 31. 第二節 研究對象. 46. 第三節 研究流程. 47. 第四節 資料分析. 49. 第五節 研究限制. 53. 第肆章 結果與討論. 53. 第一節 教科書中平面幾何圖形教材的份量之分析比較. 53. 第二節 教科書中平面幾何圖形教材之課程發展脈絡的異同 73 第三節 教科書中平面幾何圖形教材內容與能力指標的對應程度173 第伍章 結論與建議. 191. 第一節 結論. 191. 第二節 建議. 201 I.

(5) 參考文獻. 199. 中文部分. 204. 英文部份. 208. II.

(6) 圖 目. 錄. 圖 2-1-1. 抽象作用簡圖. 19. 圖 2-1-2. 第二層次抽象作用簡圖. 19. 圖 3-1-1. Krippendorff(1980)提出的分析架構. 30. 圖 3-1-2. 「分析對象」和「內容分析」的關係圖. 31. 圖 3-1-3. 98 學年國小教科書市場總佔有率. 33. 圖 3-1-4. 98 學年國小教科書主科佔有率. 33. 圖 3-1-5. 98 學年國中教科書市場總佔有率. 34. 圖 3-1-6. 98 學年國中教科書主科佔有率. 34. 圖 3-3-1. 研究流程圖. 47. 圖 4-2-1. H-1-4-2-1 認識圖形. 75. 圖 4-2-2. H-4-8-2-1 排成三角形. 75. 圖 4-2-3. H-2-7-1-2 比一比. 76. 圖 4-2-4. H-4-8-2-2 邊、頂點、角. 76. 圖 4-2-5. H-5-2-3-1 找出三角形. 77. 圖 4-2-6. H-9-4-3-e1 量出底的長度. 77. 圖 4-2-7. H-4-8-2-3 三邊等長的三角形. 78. 圖 4-2-8. H-4-8-E-1A 正三角形的辨認. 78. 圖 4-2-9. H-5-9-3-2 量出三角形的面積. 79. 圖 4-2-10. H-J3-2-3-P8 勾股定理. 80. 圖 4-2-11. H-J5-3-2-P2 三角形的外心. 80. 圖 4-2-12. H-J4-2-3-P6 等腰三角形底邊的高. 81. 圖 4-2-13. H-11-5-2-1 放大、縮小的相對關係. 81. 圖 4-2-14. H-J4-2-3-P22 作出三角形的高. 82. 圖 4-2-15. H-J5-3-1-P1 幾何證明. 82. 圖 4-2-16. H 版三角形脈絡首例引入時間點分佈圖. 84. 圖 4-2-17. N-1-2-3-1 圖形分類. 86. 圖 4-2-18. N-2-6-1-1 做圖形. 86. 圖 4-2-19. N-2-6-2-1:排圖形. 87 III.

(7) 圖 4-2-20. N-4-10-1-2 邊、角、頂點. 87. 圖 4-2-21. N-8-8-4-2A 辨認圖形. 88. 圖 4-2-22. N-5-3-4-3 測量正三角形的周長. 88. 圖 4-2-23. N-4-10-2-1 認識正三角形. 89. 圖 4-2-24. N-4-10-2-2 辨認正三角形. 89. 圖 4-2-25. N-6-4-5-1 切割、重組圖形. 90. 圖 4-2-26. N-9-3-3-2A 邊、角的常用符號. 90. 圖 4-2-27. N-J5-3-2-P1 三角形的外心. 91. 圖 4-2-28. N-J4-2-2-4A 畫線對稱圖形. 91. 圖 4-2-29. N-12-4-2-1A 對應點、對應角和對應邊. 92. 圖 4-2-30. N-J4-2-3-e8 作出三角形的高. 92. 圖 4-2-31. N-J5-3-1-P1 實驗與證明. 93. 圖 4-2-32. N 版三角形脈絡首例引入時間點分佈圖. 95. 圖 4-2-33. K-1-6-2-2 圖形的分類. 97. 圖 4-2-34. K-1-6-2-1 描繪和拓印. 97. 圖 4-2-35. K-2-10-1-1 找出相同的圖形. 97. 圖 4-2-36. K-4-9-1-2 邊、角、頂點. 97. 圖 4-2-37. K-7-8-1-1 三角形. 98. 圖 4-2-38. K-6-3-3-2 三角形的周長. 98. 圖 4-2-39. K-4-9-2-1 正三角形. 98. 圖 4-2-40. K-7-8-2-5 正三角形和等腰三角形. 99. 圖 4-2-41. K-6-3-2-1B 面積的計算. 99. 圖 4-2-42. K-J3-2-3-P5 勾股定理. 100. 圖 4-2-43. K-J5-3-2-P1 三角形的外心. 100. 圖 4-2-44. K-J4-2-2-P11 等腰三角形的對稱軸. 101. 圖 4-2-45. K-11-9-2-2: 繪製縮圖. 101. 圖 4-2-46. K-J4-2-3-e11 作出三角形的高. 102. 圖 4-2-47. K-J5-1-2-P3 幾何證明的意義. 102. 圖 4-2-48. K 版三角形脈絡首例引入時間點分佈圖. 104. 圖 4-2-49. 三版本教科書中,三角形脈絡首例引入時間點分佈圖. 105. IV.

(8) 圖 4-2-50. H-1-4-2-1 認識圖形. 110. 圖 4-2-51. H-1-4-3-1 畫圖形. 111. 圖 4-2-52. H-2-7-1-2:比一比. 111. 圖 4-2-53. H-5-2-1-1 周界、內部與外部. 111. 圖 4-2-54. H-5-2-3-2 找出長方. 112. 圖 4-2-55. H-4-5-4-1 面積的大小. 112. 圖 4-2-56. H-4-8-2-4 四邊等長的四邊形. 113. 圖 4-2-57. H-4-8-E-1B 正方形的辨認. 113. 圖 4-2-58. H-5-2-5-1 剪剪拼拼做圖形. 114. 圖 4-2-59. H-J4-2-1-P30 平行四邊形的定義. 114. 圖 4-2-60. H-J4-2-3-e2 線對稱圖形. 115. 圖 4-2-61. H-11-5-1-1 放大圖. 115. 圖 4-2-62. H-J4-4-2-9 做出平行四邊形. 116. 圖 4-2-63. H-J5-3-1-P2 幾何證明. 116. 圖 4-2-64. H 版四邊形脈絡首例引入時間點分佈圖. 118. 圖 4-2-65. N-1-2-3-1 圖形分類. 120. 圖 4-2-66. N-2-6-1-1 做圖形. 120. 圖 4-2-67. N-2-6-2-2 排圖形. 121. 圖 4-2-68. N-4-10-3-1 邊、角、頂點. 121. 圖 4-2-69. N-4-10-E-3A 辨認正方形. 121. 圖 4-2-70. N-3-9-2-2 面的大小. 122. 圖 4-2-71. N-4-10-4-2 長方形. 122. 圖 4-2-72. N-4-10-4-e1 辨認正方形. 122. 圖 4-2-73. N-5-3-5-1 畫出正方形和長方形. 123. 圖 4-2-74. N-J4-2-1-P13 特殊四邊形的定義. 123. 圖 4-2-75. N-J4-2-2-e10 線對稱圖形. 124. 圖 4-2-76. N-12-4-1-1A 縮圖. 124. 圖 4-2-77. N-J4-4-3-6 作正方形. 125. 圖 4-2-78. N-J4-4-2-1 學習說理. 125. 圖 4-2-79. N 版四邊形脈絡首例引入時間點分佈圖. 127. V.

(9) 圖 4-2-80. K-1-6-2-2 圖形的分類. 129. 圖 4-2-81. K-1-6-2-1:描繪和拓印. 129. 圖 4-2-82. K-2-10-1-1 找出相同的圖形. 130. 圖 4-2-83. K-4-9-1-3:邊、角、頂點. 130. 圖 4-2-84. K-8-11-1-1 四邊形. 130. 圖 4-2-85. K-3-6-3-1:面積. 131. 圖 4-2-86. K-4-9-2-4 正方形和長方形. 131. 圖 4-2-87. K-4-9-2-5 找出正方形和長方形. 131. 圖 4-2-88. K-5-3-3-1:切割與拼湊. 131. 圖 4-2-89. K-J4-2-1-P25 四邊形與多邊形. 132. 圖 4-2-90. K-J4-2-2-P12 正方形的對稱軸. 132. 圖 4-2-91. K-11-9-1-1 縮圖和放大圖. 133. 圖 4-2-92. K-J4-4-2-4 做出平行四邊形. 133. 圖 4-2-93. K-J5-3-1-5 四邊形四邊中點連線. 134. 圖 4-2-94. K 版四邊形脈絡首例引入時間點分佈圖. 136. 圖 4-2-95. 三版本教科書中,四邊形脈絡首例引入時間點分佈圖. 137. 圖 4-2-96. H-1-4-2-1 認識圖形. 142. 圖 4-2-97. H-2-7-1-2 比一比. 142. 圖 4-2-98. H-5-2-1-1 周界、內部與外部. 143. 圖 4-2-99. H-6-3-4-e1 畫出不一樣的圓. 143. 圖 4-2-100. H-5-2-E-2 內部或外部. 143. 圖 4-2-101 H-6-3-3-3 圓的半徑與直徑. 144. 圖 4-2-102 H-J4-2-1-P1 辨認圖形. 144. 圖 4-2-103 H-11-7-2-1 圓周率的應用. 145. 圖 4-2-104 H-J4-2-1-P42 圓的定義. 145. 圖 4-2-105 H-J5-2-1-P2 點與圓的位置關係. 145. 圖 4-2-106 H-J4-2-1-P43 弦的定義. 146. 圖 4-2-107 H-J5-2-2-P10 圓周角的定義. 146. 圖 4-2-108 H-10-4-4-1 圓的幾分之幾. 147. 圖 4-2-109 H-J4-2-3-9 扇形作圖. 147 VI.

(10) 圖 4-2-110 H-J5-3-1-5 內幂性質. 147. 圖 4-2-111 H 版圓形與扇形脈絡首例引入時間點分佈圖. 149. 圖 4-2-112 N-1-2-3-1 圖形分類. 151. 圖 4-2-113 N-5-10-2-1 描繪圓形. 151. 圖 4-2-114 N-3-9-E-1 面的大小. 152. 圖 4-2-115 N-5-3-1-1A 周界、內部和外部. 152. 圖 4-2-116 N-10-6-1-3B:辨認扇形. 152. 圖 4-2-117 N-5-10-4-2 畫圓. 153. 圖 4-2-118 N-5-10-3-3 半徑與直徑. 153. 圖 4-2-119 N-10-3-1-7C 圓的對稱軸. 154. 圖 4-2-120 N-J4-2-1-P18 圓的定義. 154. 圖 4-2-121 N-J5-2-1-P3 點與圓的位置關係. 155. 圖 4-2-122 N-J4-2-1-P19 弦的定義. 155. 圖 4-2-123 N-J5-2-2-P8 圓周角的定義. 156. 1 圓的扇形 2. 156. 圖 4-2-125 N-J5-2-1-5 找圓弧的圓心. 156. 圖 4-2-126 N-J5-3-1-6 平行弦夾等弧. 157. 圖 4-2-127 N 版圓形與扇形脈絡首例引入時間點分佈圖. 159. 圖 4-2-128 K-1-6-2-2 圖形的分類. 161. 圖 4-2-129 K-1-6-2-1 描繪和拓印. 161. 圖 4-2-130 K-2-10-1-1 找出相同的圖形. 161. 圖 4-2-131 K-5-8-1-2 認識圓. 162. 圖 4-2-132 K-9-7-4-2 辨認扇形. 162. 圖 4-2-133 K-5-3-1-3A 圓的周界、內部與外部. 163. 圖 4-2-134 K-5-8-1-3C 量直徑. 163. 圖 4-2-135 K-J4-2-1-e1 生活中的平面幾何圖形. 163. 圖 4-2-136 K-9-7-4-e1 扇形之圓心角. 164. 圖 4-2-137 K-J4-2-1-P32 圓的定義. 164. 圖 4-2-138 K-J5-2-1-P1 點與圓的位置關係. 165. 圖 4-2-124 N-10-6-3-1C. VII.

(11) 圖 4-2-139 K-J4-2-1-P34 弦的定義. 165. 圖 4-2-140 K-J5-2-2-P7 圓周角的定義. 165. 圖 4-2-141 K-9-7-4-3. 1 圓的扇形 2. 166. 圖 4-2-142 K 版圓形與扇形脈絡首例引入時間點分佈圖 圖 4-2-143. 168. 三版本教科書中,圓形與扇形脈絡首例引 入時間點分佈圖. 169. 圖 4-3-1. H-J4-4-2-P3 平行四邊形面積公式. 190. 圖 4-3-2. N-J4-4-2-5 平行四邊形面積公式. 190. VIII.

(12) 表 目. 錄. 表 1-3-1. van Hiele 幾何層次的描述. 9. 表 3-1-1. 國民中小學 99 學年度上學期審定本教科圖書一覽表. 32. 表 3-1-2. 國民中小學 99 學年度下學期審定本教科圖書一覽表. 32. 表 3-1-3. 平面幾何圖形概念類目表. 35. 表 3-1-4. H 版國小第一冊第二單元「比一比」題目分配表. 40. 表 3-1-5. N 版國小第一冊第二單元「認識形狀」題目分配表. 40. 表 3-1-6. K 版國小第一冊第二單元「比長短」題目分配表. 41. 表 3-1-7. H 版國中第三冊第二章「二次方根與勾股定理」 段落和題目分配表. 表 3-1-8. 41. N 版國中第三冊第二章「平方根與勾股定理」 段落和題目分配表. 表 3-1-9. 43. K 版國中第三冊第二章「平方根與勾股定理」 段落和題目分配表. 43. 表 3-4-1. 平面幾何圖形概念評分員相互同意度一覽表. 50. 表 3-4-2. 平面幾何圖形概念平均相互同意度、信度一覽表. 50. 表 3-4-3. 研究者相互同意度、信度一覽表. 50. 表 4-1-1. 各版本各冊數學教科書平面幾何教材 所佔題目數份量統計表. 表 4-1-2. 53. 各版本一~九年級數學教科書平面幾何教材 所佔題目數份量統計表. 56. 表 4-1-3. 各版本各年級平面幾何所佔份量大小排序之統計表. 57. 表 4-1-4. 各版本三階段數學教科書平面幾何教材 所佔題目數份量統計表. 表 4-1-5. 60. 各版本四階段數學教科書平面幾何教材所 佔題目數份量統計表. 62. 表 4-1-6. 各版本各階段平面幾何所佔份量大小排序之統計表. 63. 表 4-1-7. 各版本平面幾何教材中主類目所佔份量統計表. 65. IX.

(13) 表 4-1-8. 各版本平面幾何教材中次類目所佔份量統計表. 69. 表 4-2-1. H 版三角形脈絡題目數. 74. 表 4-2-2. H 版三角形各脈絡首例. 82. 表 4-2-3. N 版三角形脈絡題目數. 84. 表 4-2-4. N 版三角形各脈絡首例. 93. 表 4-2-5. K 版三角形脈絡題目數. 95. 表 4-2-6. K 版三角形各脈絡首例. 102. 表 4-2-7. 三角形脈絡之引入時間的差異表. 108. 表 4-2-8. H 版四邊形脈絡題目數. 109. 表 4-2-9. H 版四邊形各脈絡首例. 116. 表 4-2-10 N 版四邊形脈絡題目數. 119. 表 4-2-11 N 版四邊形各脈絡首例. 125. 表 4-2-12 K 版四邊形脈絡題目數. 128. 表 4-2-13 K 版四邊形各脈絡首例. 134. 表 4-2-14. 140. 四邊形脈絡之引入時間的差異表. 表 4-2-15 H 版圓形與扇形脈絡題目數. 141. 表 4-2-16 H 版圓形與扇形各脈絡首例. 148. 表 4-2-17 N 版圓形與扇形脈絡題目數. 150. 表 4-2-18 N 版圓形與扇形各脈絡首例. 157. 表 4-2-19 K 版圓形與扇形脈絡題目數. 160. 表 4-2-20 K 版圓形與扇形各脈絡首例. 166. 表 4-2-21. 圓形與扇形脈絡之引入時間的差異表. 172. 表 4-3-1. 國小平面幾何分年細目對照表. 174. 表 4-3-2. H 版第一冊第二單元比一比活動三「認識直線和曲線」. 178. 表 4-3-3. H 版第五冊第二單元平面圖形活動三「找找看」. 178. 表 4-3-4. H 版第七冊第三單元垂直與平行活動一「認識直角」. 178. 表 4-3-5. H 版第七冊第三單元垂直與平行活動二 「垂直相交成直角」. 179. X.

(14) 表 4-3-6. H 版第七冊第三單元垂直與平行活動四 「用垂直線判斷平行」. 179. 表 4-3-7. N 版第九冊第三單元「多邊形」. 179. 表 4-3-8. 國中平面幾何分年細目對照表. 181. 表 4-3-9. N 版國中第四冊第二章第三節. 185. 表 4-3-10. N 版國中第五冊第三章第一節. 185. 表 4-3-11. K 版國中第四冊第二章第一節. 186. 表 4-3-12. K 版國中第四冊第三章第一節. 186. 表 4-3-13. K 版國中第四冊第三章第四節. 187. 表 4-3-14. K 版國中第四冊第四章第二節. 187. 表 5-1-1. 國小 H 版本教材有編列分年細目,但卻 沒有對應內容的活動. 表 5-1-2. 199. 國小 N 版本教材有編列分年細目,但卻 沒有對應內容的活動. 表 5-1-3. 199. 國中 N 版本教材有編列分年細目,但卻 沒有對應內容的活動. 表 5-1-4. 199. 國中 K 版本教材有編列分年細目,但卻 沒有對應內容的活動. 200. XI.

(15) 第壹章 緒論 本研究參照「國民中小學九年一貫課程綱要」,探討民間三個版本一~九年 級數學教科書,幾何教材中的平面幾何圖形內容之發展設計。本章共分成五節, 分別就研究動機與背景、研究目的與研究問題、理論基礎、名詞釋義等加以說明。. 第一節. 研究動機與背景. 壹、教科書在教學活動中的重要性 由國外學者 Troy, Aina, Barbara and Brian(2006)對美國當地六個州中的 11 所中學研究調查指出,使用教科書至少占所有教學天數之 90%的教師有 30%, 每四天至少有三天使用教科書的教師超過了 70%,只有一位教師使用教科書不到 教學天數 30 天的一半。由此可知美國絕大多數的教師都經常地使用教科書,使 得教科書在教學中佔有了重要的地位。反觀我國,教育部(2008)在「國民中小 學九年一貫課程綱要總綱」的修訂背景中提到:『教育部依據行政院核定之「教 育改革行動方案」,進行國民教育階段之課程與教學革新,鑑於學校教育之核心 為課程與教材,此亦為教師專業活動之根據,乃以九年一貫課程之規劃與實施為 首務。』從柯華葳(1995)及周祝瑛(1995)的研究中可發現到,無論國小或國 中教師課堂上之教學活動是以教科書為主體的講述教學。高新建(1991)的研究 發現,90%以上的國內國小教師都是按照課本來進行教學。除此之外,游家政 (1998)也指出,中小學教師的教學內容和活動大多依據教科書和教學指引,教 科書不但是教師教學的主要依據,同時也是學生學習的重要教材。由此可知教科 書在我國的教學歷程中亦是扮演著重要的角色,教科書儼然成為各階段教學的主 要依據。. 貳、現今在使用教科書時所面臨的問題 美國數學教師協會(National Council of Teacher of Mathematics[NCTM],2000) -1-.

(16) 在「學校數學的原則與標準」(Principle and standards for school mathematics)中 指出:「學校數學課程應該提供一條道路圖,幫助教師引導學生增加其複雜度和 深度的知識。這種指引需要一個良好的銜接課程,使教師在每個層級中能了解學 生已經學習到先前的層級以及在接下來的層級該著重在什麼地方。」教育部(2008) 在「國民中小學九年一貫課程綱要-數學學習領域」的實施要點中也提到: 「教科 書的編寫,應配合課程綱要之基本理念、課程目標與能力指標,以協助教師教學、 家長輔導與學生(較高年級)自學為目標。」以上這些都表明了,教科書應當協 助教師從事教學活動。但因為教師長期任教於特定年級階段,養成任教此年段之 習慣,對教科書安排的「先備經驗」與「發展教材」可能未必有連貫性的了解。 既然教科書是各階段教學的主要依據,若對各個年級的教材加以分析,將能成為 提供給教師對於數學概念縱向發展情況的重要來源。 另外,在我國教育改革的過程中,自 85 學年度開始將國小全部的教學科目 都開放由民間出版業者參與編輯,直到今日,國中教科書也已經全面開放給民間 業者編輯。然而在教科書一綱多本的情形下,造成許多學校都面臨到在各年級階 段會使用到不同版本的教科書。坊間各出版社所出版的教科書,在同一年級不同 版本的內容可能互有差異,甚至完全不同。當同一班級在不同學習階段使用不同 出版社的教科書時,若教師不了解各版本間的差異情形並也沒有施以補救活動時, 就可能會出現教學內容重複或學生遺漏應學習能力卻無人聞問的現象。而當學生 轉學時,除非前後就讀學校使用的教科書版本完全一致,也會面臨不銜接的問題 (陳浙雲,2006)。所以為了避免遺漏學生應學而未學之處,有必要進行各版本 之異同分析,讓教師能依據分析結果而了解到各版本之間的異同,並採取適切的 銜接補救措施。因此,進行各版本間異同的比較是一件很有意義的事情,而本研 究將對此進行研究。. 参、學習幾何的重要性及平面幾何圖形的重要性. -2-.

(17) 在我國數學課程標準改革發展史中,從民國 64 年,將國民小學數學課程內 容分為數與量、實測與計算、圖形與空間、統計與圖表、集合與關係、數語與符 號等六大類(教育部,1975),有關形的幾何方面教材由實測與計算中分出另一 類,使數學課程規劃成數、量、形三個領域;經過民國 82 年國民小學數學課程 標準,將數學課程教材改為數與計算、量與實測、圖形與空間、統計圖表、數量 關係、術語與符號六個主題,課程內涵亦分為數、量、行三大領域(教育部,1993); 然而民國 90 年公佈的國民中小學九年一貫課程暫行綱要,將數學學習領域分為 數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、連結五大主題(教育部,2001);直 到現今所實施的國民中小學九年一貫課程綱要中,將數學學習領域分為數與量、 幾何、代數、統計與機率、連結五大主題(教育部,2008)。由上述可知,幾何 教材在數學課程裡是佔有舉足輕重的地位。 平面幾何學是幾何學發展的基礎,項武義(2009)提到: 平面乃是僅次於全空間的平直子集,它是一種介乎於直線和全空間之間,而又具有連點 直線段和直線這種空間基本結構的子空間。所以,平面乃是一種既比空間簡單而又保有空間 基本結構的幾何結構。平面幾何學的課題就是研究平面上所保有的空間基本結構和所反映的 各種性質。它是進而研討空間(立體)幾何學的自然而且非常理想的中途站。 (頁 8). 另外,在國中小階段所學習的幾何教材亦多屬於平面幾何學,而平面幾何圖形中 的三角形、四邊形以及圓形這幾種簡單幾何形體就佔了其中的絕大部分,所以研 究者將選定幾何教材中的平面幾何圖形作為教材分析的對象。 在研究者的求學與教學經驗中,發現多數的學生對於國中階段的幾何推理與 證明存在著極大的困境。國內研究學者盧銘法(1996)指出,幾何學習涉及數學 教材中數、量、形三個領域,學童對於幾何教材的學習仍然感到相當困難。沈佩 芳(2002)的研究指出,幾何教材的概念建立有先後順序,前一幾何單元概念若 未建立,將造成後續概念學習的困難。教師如果不去了解學生過去幾何概念的程 度為何,就無法立即診斷學生的幾何概念形成及錯誤的原因,易造成教學的盲點。 對於國中生學習幾何單元存在著困難,其造成原因可能為在小學學習階段早已存 在的問題所導致。另外,研究者發現,國內對於幾何教材的研究,其範圍多屬於 -3-.

(18) 國小學習階段或者只針對單一年級或單一階段做研究,沒有以貫穿九年一貫之各 個年級的相關研究。 教育部(2008)在「國民中小學九年一貫課程綱要-數學學習領域」的五大 主題的幾何主題說明中明確指出:「幾何形體的理解包含了察覺、操作、構造、 推理證明等諸面向。小學的幾何教學,應讓學生發揮、拓展其幾何直覺,在操作 中認識各種簡單幾何形體與其性質,再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間關係。 國中的幾何學習,乃由直覺、歸納轉入幾何推理與證明。幾何教學起初仍然以學 生的幾何直覺經驗為前導,但要開始強調幾何觀念的明確定義,及幾何相關量的 計算,甚至代數演算,學生同時應開始學習閱讀幾何性質的嚴格推理,最後再學 習自己動手寫出較短的証明。」由此可得知幾何概念的發展在課程指標的鋪成下 是具有銜接性的,而且也有參考幾何歷史發展的軌跡與學生認知發展階段。然而 縱使現今國中小教科書都依照「國中小九年一貫課程綱要」中的能力指標以及分 年細目進行編輯,但各版本在課程內容的發展活動量數目和引入時間點以及課程 細部與能力指標的對應程度上,都可能產生差異。李宜蓉(2009)在分析代數符 號與等號概念的歷程中,發現到教材內容與九年一貫能力指標有些微出入,其中 與指標不相符合的情況主要可分成以下兩類:一是教材有編列內容,但並未編列 與教材對應的指標;二是教材有編列指標,但卻沒有對應的內容。相對於此,各 版本在幾何教材活動內容與能力指標對應程度是否也存在著這種不相符合的情 況,這也是本研究要加以探討的部份。. -4-.

(19) 第二節. 研究目的與研究問題. 本研究基於上節所述之研究動機與背景,擬從縱向九年以及橫向三個版本的 角度,依據九十二年公布的「國民中小學九年一貫課程綱要」,探討數學教科書 中,關於平面幾何圖形之發展設計。. 壹、研究目的 本研究之主要目的如下: 一、探討一~九年級三個版本數學領域教科書中,各版本關於平面幾何圖形之 教材內容及組織上的差異。 二、探討一~九年級三個版本數學領域教科書中,各版本關於平面幾何圖形與 九年一貫課程綱要中關於平面幾何圖形之幾何能力指標的對應程度。. 貳、研究問題 根據上述的研究目的,本研究將探討的問題如下: 一、一~九年級三個版本數學領域教科書中,各版本關於平面幾何圖形之教材 內容的份量有何差異? 二、一~九年級三個版本數學領域教科書中,各版本關於平面幾何圖形之教材 內容的課程發展脈絡有何差異? 三、一~九年級三個版本數學領域教科書中,各版本關於平面幾何圖形與九年 一貫課程綱要中關於平面幾何圖形之幾何能力指標的對應程度是否有差 異?. -5-.

(20) 第三節. 理論基礎. 由劉好(1994、2000)的研究得知,van Hiele 的層次模式可以合理的解釋 兒童幾何概念發展的層次,也可以評估學生的幾何能力與教材內容,是許多國家 編輯課程的依據。然而我國的九年一貫數學課程「幾何」領域,其課程綱要也是 依據 van Hiele 的幾何思考層次理論。由於本研究欲探討一~九年級三個版本數 學領域教科書中,各版本關於平面幾何圖形之教材內容及組織上的異同,所以研 究者將以 van Hiele 幾何思考層次理論為本研究主要的理論基礎。故本節將就 van Hiele 幾何思考層次理論加以說明,其中又分成以下三個部分,第一部分說明 van Hiele 幾何思考的發展模式,第二部分則在說明 van Hiele 幾何思考層次的特性, 最後的第三部分則針對 van Hiele 幾何思考發展層次做詳細的闡述說明。. 壹、van Hiele 幾何思考的發展模式 van Hiele 幾何思考的發展模式包含了五個層次,分別為視覺(Visualization)、 分析(Analysis)、非形式的演繹(Informal Deduction)、形式演繹(Deduction)和嚴密 性(Rigor)。以下就各個層次的要點加以敘述(Crowley, 1987;Fuys, Geddes, & Tischler, 1988): (一)Level 0:視覺(Visualization) 在此層次的學生能根據幾何圖形的外表來定義、命名、比較和運算。(如: 三角形、角、相交或平行)。學生主要是透過圖形的整體外觀來辨認幾何圖形, 而不是由圖形的組成要素或屬性來辨認,所以在這此層次的學生能學會幾何詞彙、 辨認特定的形狀以及複製一個給定的圖形。 (二)、Level 1:分析(Analysis) 在此層次的學生能從圖形的組成要素以及其組成要素之間的關係來分析圖 形,並且憑經驗去發現某些類型形狀的性質或規則(如:利用摺疊、測量、使用 -6-.

(21) 格子或圖表),但無法解釋性質之間的關係。例如,學生可經由觀察和實驗去辨 認圖形的特徵,然後利用這些特徵將形狀做概念化的分類。 (三)、Level 2:非形式演繹(Informal Deduction) 在此層次的學生能符合邏輯地提出或採用非正式的論據將先前所發現的性 質或規則使互相有關聯,能建立圖形性質以及圖形之間性質的內在關係(例如一 個四邊形如果相對的邊均平行,必為平行四邊形),可以對一個圖形的性質做推 論並且認識圖形的分類,即能對圖形做有意義的定義和了解圖形之間的包含關係 (例如能了解正方形是菱形的一種)。但在此層次的學生無法了解作為整體或公 理作用之推論的重要性。 (四)、Level 3:形式演繹(Formal Deduction) 在此層次的學生能了解在一個公理系統中做為建立幾何理論方法之一的推 論的意義;能理解未被定義的術語、公理、假設、定義、定理和證明之間的關係 以及它們的作用;能不只有透過記憶去寫出證明;能了解發展一個證明的可能性 不只有一種;能理解必要和充分條件的互相影響;能區分正逆命題之間的差異性。 例如,要求學生證明「同一圓弧所對之圓周角等於其所對之圓心角的一半」時, 學生要能提出一連串具邏輯性的敘述,以證明這結論是由一連串的「已知」條件 推得的必然結果。 (五)、Level 4:嚴密性(Rigor) 在此層次的學生能在各種的公理系統中建立定理,並且對這些不同的系統做 分析比較,亦能了解抽象化的幾何。此層次一般人很難達到,即使以數學為專業 者亦不易達成。. 貳、van Hiele 幾何思考層次的特性 van Hieles 曾指出:幾何思考層次具有某些固定的特性。綜合各學者的研究 (Crowley, 1987;Clements & Battista, 1992)得到這些思考層次特性具有順序性. -7-.

(22) (Sequential)、進展性(Advancement)、內在和外在性(Intrinsic and Extrinsic)、語言 性(Linguistics)和不配合性(Mismatch)等五個性質。分述如下: (一)順序性(Sequential) 幾何思考的發展有一定的順序,即都是從層級 0 依序發展到層級 4。學生必 須通過先前的層次,要能先適當地經驗該層次的幾何思考,並在心中建立概念或 關係,才能進入下一個層次。 (二)進展性(Advancement) 從某一層級進展到下一個層級,受到教學比受到年齡影響的因素還大。適當 的教學可以提升學生的發展,但任何的教學都不可能使學生從某一層級跳過高一 層級而到達更高的層級。 (三)內在和外在性(Intrinsic and Extrinsic) 在某一層級的性質是內在的,但可能到下一個層級就變成外顯的。例如層次 0 僅由外觀來辨識圖形,但到層次 1 則由發現圖形特徵和組成要素來進行分析。 (四)語言性(Linguistics) 每一個層級都有屬於自己的語言符號以及連結這些符號敘述的系統。所以在 某一層級的敘述是對的,可能在另一個層級就必須修正。 (五)不配合性(Mismatch) 如果學生的幾何思考達到某一層級而接受不同層級的幾何思考教學時,學生 將無法學習得到應有的發展。特別是,如果教師、教學材料、內容、詞彙等等, 都超出學習者的層級時,學生將沒辦法跟上其思考過程。. 叁、van Hiele 幾何思考發展層次的詳細闡述 Fuys, Geddes, and Tischler(1988)曾就 van Hiele 幾何思考之發展模式的各 個層次加以詳細敘述以及舉出學生相對反應的例子,而研究者將以此對照表作為 建構分析類目的主要依據(詳見第叁章),用以分析各版本關於平面幾何圖形之. -8-.

(23) 教材內容及組織上的異同。以下為各個層次與其詳細敘述的對照表: 表 1-3-1 van Hiele 幾何層次的描述 層次 0:學生依據外觀,辨認並操作各種形狀的圖形(如正方形、三角形)與 其他的幾何構圖(如線、角、方格) 層次 0 的描述 能在下列情況中,由外觀辨認出某一形狀 a、在簡單的繪圖、圖表或剪下的圖形中。 1 b、在位置不同的圖形中。 c、在一個圖形或更複雜的構圖中。 2. 能製作、手繪或描繪一個圖形。 能為圖形或幾何構圖命名或標示;並能適當地使用標準或非標準的名稱或. 3 記號。 4. 能根據圖形的外觀來做比較和分類。. 5. 能就圖形外觀以口語描述圖形。. 6. 能直接操作圖形以解決例行性的問題,而不是使用一般可適用的性質。 能辨認圖形的某些部分,但是: a、不能以組成要素來分析圖形。. 7 b、無法想到刻畫該類圖形的性質。 c、無法使用相關的語詞將個別圖形的性質一般化。. 層次 1:學生能依照圖形的組成要素和這些要素間的關係去分析圖形,主動 的建立某類型圖形的特性,並用這些特性解決問題。 層次 1 的描述 (續下頁) -9-.

(24) 能確認並檢驗圖形組成要素之間的關係(如:平行四邊形對邊相等、嵌瓷 1 圖案中的角全等)。 能說出組成要素的名稱以及適當地描述其間的關係(如:對邊、對角相等, 2 對角線互相平分)。 3a. 能依組成要素之間的關係去比較兩個圖形的異同。 能依據某些性質將圖形做各種分類,包括把符合條件和不符合條件的例子. 3b 分開。 4a. 能了解利用其性質對於圖形所作的文字描述,並能依此描述作圖。. 4b. 能了解以文字或符號描述的規則並能應用之。. 5. 能經由實驗發現特定圖形的性質,並推廣為該類圖形的性質。. 6a. 能用其性質描述某一類的圖形(如:平行四邊形)。. 6b. 能說出符合所給予性質的圖形是什麼。 能辨別某一類圖形特性的性質也適用於另一類的圖形並就其性質比較這. 7 兩類的圖形。 8. 能發現不熟悉之圖形的性質。. 9. 能利用圖形的已知性質或洞察所隱含的性質去解決幾何問題。 能形成和使用圖形的性質並使用相關語詞(如:所有、每一個、沒有), 但是 a:無法解釋圖形中某些特性之間的關係。 b:無法形成或使用正式的定義。. 10 c:除了對特定的圖形能依據條列的性質逐一檢查外,無法解釋各類圖形 之間的從屬關係。 d:對於由實驗所發現的推論無法了解需要給予證明或邏輯解釋,並且無 法正確地使用關係語詞(如:若…則…,因為)。 (續下頁) - 10 -.

(25) 層次 2:學生能形成並使用定義、提出非正式的推論、將發現的性質排序,並 跟著做演繹推論且提出演繹推論。 層次 2 的描述 a、能辨認刻畫某類圖形的各組性質並檢驗這些性質的充分性。 1. b、能辨認各種描繪一個圖形的最少性質。 c、能形成並使用某類圖形的定義。 能給出非形式化的推論(使用圖表、剪下折疊的圖形或其他材料來表達) a、能從給定的資訊中推導出結論,用邏輯關係證明結論。 b、能將各類圖形做排序。. 2 c、能將兩個性質做排序。 d、能應由演繹發現新的性質。 e、能建立家譜來呈現一些性質之間的內部連結。 能提出非形式化的演繹推論 a、能跟著做演繹推論並提供部分推論。 3 b、能將演繹推論作總結或作變化。 c、能自己提出演繹推論。 4. 能提出多種解釋來證明某些性質並能以家譜來檢驗這些性質。. 5. 能非形式地辨識敘述和其逆敘述之間的不同。. 6. 能辨認並使用策略或可洞察的理由來解決問題。 能辨識演繹推論的角色並以這種方式來解決問題,但是 a、不能掌握公理化演繹的意義(如:不了解定義和基本假設的需要)。. 7. b、不能形式地區分敘述和其逆敘述(如:不能區分〝邏輯雙胞胎〞─ 敘述和其逆敘述)。 c、尚未建立定理網絡之間的內部關係。 (續下頁) - 11 -.

(26) 層次 3:學生在一個公設體系中建立各種定理以及這些定理系統之間的關係。 層次 3 的描述 1. 能辨識無定義名詞、定義和基本假設的必要性(如:公設)。. 2. 能辨識一個正式定義的特徵(如:充要條件)以及和定義的等價敘述。. 3. 能在一個公設系統下證明在第 2 層次已經非正式說明過的關係。. 4. 能證明定理和有關敘述之間的關係(如:逆命題、否定命題、否逆命題)。. 5. 能建立各定理系統之間的關係。. 6. 能比較和對照同一定理的各種不同證明方法。. 7. 能檢驗在一個邏輯推理序列中改變最初的定義或公設所造成的影響。. 8. 能建立一個用來統一某些不同定理的一般原則。. 9. 能經常地從公設出發來證明並使用一個模型來支持論證。 能給出正式的演繹推論,但無法探討公設系統本身或作不同公設系統的比. 10 較。. 層次 4:學生能嚴格地在不同公設系統中建立定理並分析比較這些系統。 層次 4 的描述 能嚴格地在不同公設系統中建立定理(如:用 Hilbert 建立幾何基礎的方 1 法) 能比較不同公設系統(如:歐氏與非歐氏幾何);同時能探討改變公設會 2 如何影響所衍生的幾何。 能建立一組公設的一致性、一個公設的獨立性和不同公設之間的等價關 3 係;創造一個幾何的公設系統。 4. 能發明解一組題目的一般方法。. (續下頁) - 12 -.

(27) 5. 能找尋一個定理或原理所能應用的最大範圍。 能對一個科目的邏輯作深入的探討,以發展出新的看法和方法來作邏輯推. 6 理。. - 13 -.

(28) 第四節. 名詞釋義. 以下為針對本研究中所使用的重要名詞,分別做界定與說明:. 壹、教科書 本研究所稱的教科書,指的是經由教育部國立編譯館所審定合格的教科書。 本研究僅以九十九學年度教育部審定合格,且各年級出版齊全之數學課本為研究 主要的內容。. 貳、平面幾何圖形 教科書中的平面幾何圖形,指的是根據九年一貫課程綱要『數學領域』中, 依據「幾何」主題之能力指標所編製的教科書內容,其中包含了有關平面幾何圖 形之基本圖形(三角形、四邊形、多邊形、圓形和扇形)的概念與性質,以及組 成基本圖形之要素的圖形(簡稱組成要素圖形)的教材內容,如點、線、角。. - 14 -.

(29) 第貳章. 文獻探討. 本章共分成兩小節,第一節說明幾何圖形概念的意義與形成,第二節探討國 內外教科書之相關實徵研究。. 第一節. 幾何圖形概念的意義與形成. 本研究是以一~九年級數學領域教科書中平面幾何圖形概念為探討主題,因 此有必要先釐清幾何圖形概念的意義與形成。故本節首先說明「概念」意義的解 釋,接著再針對幾何圖形概念做說明,最後部分在探討概念與幾何圖形概念的形 成。. 壹、概念的意義: 「概念」(concept)是什麼呢?許多研究者或專家對「概念」有各種不同的 說法如下: 以心理學的觀點來看,概念是思維形式之一。它反映客觀事物本質的一種理 性知識,人類在認識過程中,把所感知的事物共同特點抽象出來,加以概括,就 成為概念(王明良,1982)。 以社會科學的觀點來看,概念是指各種不同物體或事物根據其之間共同特色 或屬性被分為一類的情形(楊亮功,1970)。 以教育觀點來看,概念是人類思考的一種形式。但是概念並不是一成不變的, 隨著社會歷史的改變,有些概念的內涵也在發展著,並經歷著不斷的變化。概念 具有外延和內涵兩個方面。例如:鳥的概念的外延是指所有各式各樣的鳥;而鳥 概念的內涵包含鳥有羽毛和鳥是動物等。不同時空、不同身分的人對同一概念都 可能有不同的認知,因此其意義必須視其所使用的脈絡位置才能決定(顏慶祥、 - 15 -.

(30) 湯維玲,1994)。 國內學者張春興(1996)認為,概念是對具有共同屬性事物的概括性認識。 概念分為兩類,一類是具體概念(concrete concept):指事物的共同屬性具體顯 現者,例如形狀(如三角形) 、顏色(如紅色) ;另一類是定義概念(defined concept) : 它不能用指認的方式來學習的抽象概念,例如民族、秩序、快樂、痛苦等概念。 Vinner(1983)認為對於每一個數學概念,將會有兩個不同的部分是存在於 個體的認知結構之中,即概念定義(concept definition)和概念心像(concept image) 。這裡所謂的概念定義是指以一種直截了當的方式精確地解釋了此概念的 文字定義(verbal definition) ,而概念心像則是由心智圖像(mental picture)和一 些與此概念有相關的性質所形成的。其中心智圖像是指所有曾經與此概念有相關 的圖像(pictures)所成的集合,而圖像則是以最廣義的方式來解釋它,它是包 含了任何一種此概念的視覺表徵,甚至是符號表徵。Tall and Vinner(1981)指 出許多在數學中所遭遇的概念在它們正式地被定義之前就已經以一些形式或其 他的形式被我們所遭遇到,且當此概念被喚起時,存在於每個人腦中的複雜認知 結構就產生了各種個人的心智圖像(mental image)。而此處的心智圖像(mental image)是由心智圖像(mental picture)附加上與此概念有相關之性質所形成的。 概念定義可能也是一種經由學生自己重建後的定義,所以概念定義又可分成個人 的概念定義(personal concept definition)和正式的概念定義(formal concept definition),其中前者是學生用來解釋自己概念心像時所使用的措詞形式,而後 者是一種廣泛地被數學界所接受的概念定義。 綜合上述的看法,由於研究的角度不同,各類學科領域對概念的定義方式就 會有所差異。而以數學概念而言,研究者認為學童所要學習的概念是具有共通屬 性的科學概念,是代表事物屬性的抽象化,學童能透過學習經驗的累積,將其共 通屬性抽離出來,加以概括而形成。. - 16 -.

(31) 貳、幾何圖形概念: 沈佩芳(2002)指出: 在認知心理學上概念和心像(images)是有所區別的,概念通常定義成對物體或事件 一個抽象的、一般化的表徵,另一方面,心像(images,特別是視覺心像)是對物體或事件 知覺上的呈現。因為視覺心像具有向外延、形狀、位置、大小的空間特性,有時候會被描 述成「心智的圖片」。 這兩個範疇(心像和概念)經常在心智活動中交互影響,基本上是不能比較的。因此 有人定義了第三種心智表徵的範疇,它同時具有前兩種範疇的特性,那就是幾何圖形。它 是抽象的、觀念的實體,點、線、面、圓、立方體等擁有這些特性,它們是概念。另一方 面它們也有知覺的特性,也就是空間的特性,即形狀、位置、大小。 因此,同時具有知覺的表徵和概念的實體,我們稱為圖形概念。在這共存關係中,圖 形的組成要素提供實際的操作意義:去修改、取代、切斷、重疊等,知覺的組成要素提供 邏輯的意義和一致性。 (頁 9). 對於幾何概念,NCTM(1991)提出:幾何乃研究空間中的形狀和空間關係, 幾何可以幫助人們用有條理的方式,表現和描述生活的世界。幾何學所探討的主 要對象為物體之結構和形狀之特性及變化(劉好,1998)。幾何是一門探討空間 關係與邏輯推理的數學。幾何概念與表徵是數學與真實世界溝通的重要方式,且 與數學其它領域緊密連結(左台益、梁勇能,2001)。劉秋木(1996)在研討幾 何概念的意義中也提到,人類生存於世界便需要認識世界的種種性質,人們透過 知覺運動與世界互動中,發現有些東西是可以滾,有些是可堆疊的,於是加以分 析歸納,分別出平的與曲的兩種屬性,形成平面和曲面的概念。在這種探索中人 們分析出許多有用的屬性,如形狀、大小、方向等等。依據這些屬性,幾何學家 建立了他們的幾何學問,而產生一些幾何系統。 其次,就幾何圖形概念而言,劉好(2000)曾做出以下描述:圖形並非實際 存在的東西,它是附著於具體存在的物體上,從具體實物中摒棄其顏色、氣味、 材質、輕重、硬度、厚度、大小、…特性之抽象結果。簡單地說,它僅是實物外 觀的樣子。我們最常接觸的是立體的圖形,平面圖形是將具體物的表面拓印出來 的結果,通常透過立體圖形的面來辨識。林碧珍(1993)也曾對兒童形狀的概念. - 17 -.

(32) 做出描述:一個實物皆可能存在顏色、大小、圖案、材質、用途、擺放的位置、 物體的輕重、厚薄、形狀、…等。其中顏色、大小、…、厚薄,均可由肉眼具體 明確的觀察,唯有此物體的「形狀」對兒童而言是較為抽象的,它必須摒棄此物 體各種不相干的屬性,它不因物體的顏色或大小或擺放位置而改變它。 綜合上述幾何圖形概念的描述可知,日常生活中經常與幾何息息相關。在真 實世界中,張眼所見都是各種不同形狀的物體,如學童所用的長方形教科書、衣 服上的不規則三角形圖案、臉上的圓形眼鏡等等,使得我們所處的環境,處處充 滿了幾何形體。在自然界中,也到處充滿著幾何形體,如蜂窩的六角形、行星的 橢圓軌道等等,都和平面、空間的幾何有密不可分的關係,也就是說,我們時時 刻刻均與幾何同在。然而建立空間的概念與圖形之間的察覺、辨識、發現性質與 關係是有互相關聯的,所以本研究將針對幾何概念中的平面幾何圖形作為研究的 主要內容。. 叁、概念與幾何圖形概念的形成: 概念的形成也是一個學習的歷程,個體必須把一類具有共同屬性的事物,將 之抽象化納入一個概括性的概念內(張春興,2000)。 數學教育家 Richard R. Skemp (1987/ 1995)曾在 The Psychology of Learning Mathematics 中提到,透過分類(classifying)來說明概念的形成:在較低層次的 知覺中,每次將所知覺到的事物和先前經驗過的事物做比較、分類,雖然沒有任 何兩次輸入的感官資料是完全相同的,但從以前多次輸入的變因(variants)中 我們會抽象出該事物的不變因(invariants),即這些知覺的相似性、共通性,則 人們會自然地從這些事物中抽出這些相似性和共通性,最後給予此事物共同的性 質就是所謂的概念。例如圖 1-3-1,以 C1 、 C2 、 C3 ……代表我們先前對「椅子」 的多次知覺經驗,將這些知覺抽象而得椅子不變的一些通性,記為 C 。. - 18 -.

(33) 圖 2-1-1 抽象作用簡圖 C. C1. C2. C3 …. Cn. 資料來源:陳澤民(譯)(1995)。數學學習心理學,p.16。 接著由各式各樣椅子中,我們得到一系列通性 C 、 C ' 、 C " ……,經由二階 抽象(Second-order abstraction)發展出更進一步、更高一層的抽象通性 Ch ,如 圖 2-1-2。經過這許多複雜步驟,我們就得到了椅子的概念。 圖 2-1-2 第二層次抽象作用簡圖 Ch. C. C'. C". 資料來源:陳澤民(譯)(1995)。數學學習心理學,p.17。 所以「抽象化」 (abstracting)是一種心智活動過程,使我們了解各種周為環 境經驗之間的相似性和共通性;「分類」是把具有相似性和共通性的經驗歸在一 起。「概念」(concept)就是泛指抽象化的結果、過程,是一種延續性的心智變 化,使我們能用已經分類的舊經驗知相似性和共通性來認知新經驗。因此要形成 一個概念就必須先有實際經驗,而這些經驗又有某些相似性和相通性。 Duval(1995)把幾何圖形視為一個認知的「理解」 (apprehension) ,而理解 這個字是指有很多不同方式來看繪圖或一個外在刺激的視覺陳列。他認為是圖形 的認知可分為四種理解:知覺性(perceptual)、序列性(sequential)、論述性 (discursive)和操作性(operative),分別說明如下: 一、知覺性的理解(perceptual apprehension) - 19 -.

(34) 一個知覺的幾何圖形是如何展示出來是決定於圖形的組織法則和繪圖的線 索。它是無意識整合的結果,而知覺的幾何圖形和視網膜的影像是不同的。我們 可以把知覺圖形以平面或透視的方式去辨認給予圖形的一些子圖形,這些子圖形 可能是它的組成要素,但不見得能架構出整個圖形。 二、序列性的理解(sequential apprehension) 當我們在架構一個圖形或描述圖形的架構時,就需要序列性的理解。不同圖 形單位的出現是有特定的順序。在序列性的理解中,圖形的組織(或基本的圖形 單位)不是靠知覺的法則和線索,而是靠技術性的限制和數學的性質。技術性的 限制是隨著使用工具而改變的(如尺、圓規、幾何軟體等)。 三、論述性的理解(discursive apprehension) 圖形所代表的數學性質並不能完全靠著繪圖來呈現,有些必須靠著「言詞」 (speech)、「名稱命名」(denomination)、「假設」(hypothesis)以及其他的性質 來描述。一個沒有名稱命名和假設的繪圖是一個含糊不清的呈現。假如一個數學 性質觀察少了言詞,我們會面臨像下面的教室狀況:一些學生認為:這兩條線幾 乎平行。這似乎是好的描述,事實上這樣的描述是建立在對於第一次繪圖軌跡的 言詞推理。在任何幾何的表徵中,幾何圖形的知覺辨識必須在敘述說明的控制之 下。一個幾何圖形怎麼展示(show)和怎麼表徵(represent)有一個程度上的不 同,知覺的幾何圖形的展示指的是看到了什麼,這並不包含有意識的分析。而知 覺的幾何圖形的表徵是由言詞的行動來決定。因此對於相同的繪圖我們並不需要 改變知覺性的理解,只要修飾第一次的言詞決定或給定假設,論述性的理解也可 以改變。 四、操作性的理解(operative apprehension) 當觀察一個圖形時,透過操作性的理解我們可以增加解題的洞察力。對於修 正一個圖形,操作性的理解建立在一些不同的方式: (一)分割組合的方式(the mereologic way):. - 20 -.

(35) 我們可以把一個全體的圖形分割成幾個部分的圖形,也可以把這幾個部分的 圖形連結成另一個圖形或子圖形。 (二)光學的方式(the optic way): 我們可以使用透鏡或鏡子,來放大或縮小以及傾斜圖形。 (三)平移的方式(the place way): 在一個平面圖形或螢幕中,我們可以改變圖形的位置或方位。 這樣的操作構成了一個特殊的圖形化過程,這提供了幾何圖形一個啟發性的 作用。在一個幾何的問題上,一個或更多的操弄可以突顯出一個圖形的變化,這 變化增加了我們對幾何問題的解決或證明步驟更敏銳的洞察力。 Duval 認為一個幾何圖形要產生功能,其必須要能引發知覺性理解的圖形辨 識,以及至少其他三種理解中的一種。然而當我們在利用幾何圖形進行解題活動 時,經常需要這些幾何認知理解的相互作用。 左台益(2002)指出,個體在學習幾何時,通常會先對其所觀察、知覺到的 圖形的形狀、性質及子圖間的關係投射至其心智中形成心智圖像,視覺化可作為 瞭解抽象幾何概念和知識的基礎。幾何圖形的解析常需掌握其中所蘊含的脈絡訊 息,這是一個複雜的認知歷程。 吳貞祥(1986)針對圖形概念的形成提出了以下的看法:單純的圖形概念是 由具體物的抽象化而獲得,然而圖形的概念並非僅由抽象化的過程而獲得。所以 圖形概念的形成,尚有「由一般化(又稱概括化)而形成」、「由特殊化而形成」 以及「由類推而形成」等三個層面。其中一般化與特殊化的概念形成,具有一個 共同特徵,即此兩種過程所形成的概念與其基礎概念都在同一空間內,而由類推 所形成的概念,則是把某一空間所獲得的概念,在其他空間內實現時的作用。因 為本研究所要探討的主題為平面幾何圖形,屬同一空間內的概念,故只針對「由 一般化而形成」和「由特殊化而形成」這兩個層面做以下的說明: (一)由一般化(又稱概括化)而形成:. - 21 -.

(36) 如正多角形的概念形成,其前提並不是具體的存在,而是著眼於正三角形、 正方形、正五邊形、正六邊形等,這些圖形共同的性質─即等邊性與等角性,同 時不拘泥於其頂點個數的不同,所產生出來的觀念。這時正三角形與正多角形的 關係,與其說具體與抽象的關係,不如把它視做特殊與一般的關係來得適切。因 此,正多角形的新觀念,可以說是由一般化的過程所形成的。 (二)由特殊化而形成: 如有關三角形的問題,通常教材的編排次序,有下述的情形: (1)直角三角形,等腰三角形,正三角形 三角形. 銳角三角形. 鈍角三角. 形。 (2)三角形→直角三角形,等腰三角形、正三角形。 就以(1)來說,第一個箭頭表示一般化,而第二個箭頭乃表示特殊化。因為 要獲得一般三角形的概念,並不需要所謂銳角三角形或鈍角三角形等用語所示的 三角形的把握方法或看法。當一般三角形的概念形成之後,對三角形要更進一步 去探討的時候,才需要銳角三角形或鈍角三角形的分類,於是有關這些特殊的三 角形之概念方告形成。 綜合上述的描述可知,概念是一種抽象化的結果,而概念的形成也是一個學 習的歷程,必須先透過實際經驗,而這些經驗又有某些相似性和相通性,因此個 體必須把一類具有共同屬性的事物,將之抽象化納入一個概括性的概念內。然而 圖形概念的形成並非只有抽象化的單一過程,尚有「由一般化(又稱概括化)而 形成」 、 「由特殊化而形成」以及「由類推而形成」等三個層面,因此幾何圖形概 念的形成是一個複雜的認知歷程。. - 22 -.

(37) 第二節. 教科書之相關研究與實徵研究. 壹、教科書的相關研究 就教科書的角色而言,國內學者黃譯瑩(1997)提出從過去到現在,教科用 書在教育系統中扮演至少三個重要的角色: (一)學科資料庫:儲存某學科從過去到出版前所累積的知識。 (二)教學工具:提供教師在該學科的教學上一種秩序的表現。 (三)學習進程:提供基礎的事實、概念與更深入的研究之入門介紹,讓教育 工作者能夠掌握學習者在那一學科之學習進度與程度。 就教科書的功能而言,綜合專家學者(黃政傑,1989;柯華葳,1993;周珮 儀,2002)的研究,將教科書的功能簡述如下: (一)傳遞相關知識價值: 教科書是文化的成品(cultural artifact) ,也是課程的代表(surrogate curriculum) (Venezky,1992) 。教科書將龐雜紛亂的人類知識、經驗及價值去蕪存菁,有系 統地陳述學科課程內容,以合邏輯和教育目的的次序,安排教學內容與主題。教 科書是社會中有效知識的權威版本、文化傳統的貯藏所,支援真實有效的知識。 (二)實現國家教育目標 教材是學習活動的內容,教科書是教材的一部份。然而教科書可以齊一教育 內涵,提供最低限度的教育內容,實現國民教育目標,貫徹國家教育的政策。 (三)減輕教師教學負擔 教師在實際教學時,教科書和相關的教學指引與習作,提供教師發問的問題、 測驗題目、學生的活動和正確的解答,用以減輕教師的教學負擔,增進教師運用 教學時間的效率。 (四)提供經驗引導學習 教師透過閱讀教科書明瞭學生的先備知識,利用教科書的習題做視窗,藉以 - 23 -.

(38) 觀察學生數學學習經驗,設定教師和學生的主要學習歷程,使教師、學生、家長 和行政人員,藉此瞭解教學進行的順序和目的,以及學生的學習狀況,做為輔導 與改進的依據,引導學生學習。 (五)支援教師發展與執行課程 由於課程內容具有各種不同學科,教師實難兼具各類專業知識,教科書乃經 由專家學者與有經驗教師精心編撰而成,可提供某種層次的專門知識。高品質的 教科書可以支援、整合與增進教師執行數學課程的能力。 嚴翼長(1989)將教科書的功能歸納成以下幾點: (一)提供訊息的功能:按照課程標準綱要提供教材。 (二)引導的功能:組織教材,引導教學的程序。 (三)激發學習動機的功能:引起學習的興趣。 (四)保證效果的功能:各種練習、複習和應用可以鞏固學習到的知能。 (五)協調的功能:教科書和其他教材及參考書之間的協調。 (六)合理化的功能:有了教科書在教學或自修時都能充分利用時間、控制時 間及使用便利。 吳正牧(1994)亦將教科書的功能歸類如下: (一)對教師而言: 1、節省編選教材時間與精力,減少自編教材可能的缺師,可以將更多的時 間與精力用在教學活動或學習指導上。 2、提供學習的重要依據,代替教師部分的工作,彌補教師課程設計能力之 不足及不合格教師能力之不足。 (二)對學生而言: 1、教科書是學生最能把握的對象,印刷裝訂較為理想,保存容易,可以隨 時反覆利用。 2、教科書由優良教師或學者專家編輯,品質優於一般教師自編之教材,提. - 24 -.

(39) 供學生較可以依賴的內容,促進學習的進步。 3、使學習、自修、評量或聯考有固定明確之範圍,學生準備有所依據,可 減低焦慮。 (三)對家長而言: 減低家長對學生學習環境、教師素質、教學設備水準不一的疑慮,給與家 長安全感。 (四)對整體教育而言: 1、便於統一教材、教學進度,齊一各地學生的程度。 2、可以有效控制教學內容,實現國家的教育目標。 綜合以上所述,教科書呈現了多樣性的功能。以社會層面來看,它傳遞了文 化遺產的精華;以教師的角度來看,教科書是教師教學重要的依據,其教材內容 的組織與引導教學的程序,都替教師節省了自行編選教材的時間與精力;以學生 的角度來看,教科書是一種最明確且利於自修和準備考試的學習材料;對家長和 其他相關人員而言,能減少對學校教學的疑慮,以及瞭解教學進行的順序和目 的。. 貳、教科書的實徵研究 一、林秀瑾(2004)在「台灣地區三十年來國編版小學幾何教材內容範圍分析研 究」中,經由文獻探討整理分析架構:將國民小學幾何教材類目,區分為「行 體外觀之辨識」、「平面圖形與立體形體之建製與轉換」、「形體組成要素及其 關係之探究」、「形體性質之探究並運用期推理解題」和「空間方位」等五大 項,並以此分析架構為基準,採「內容分析法」去探討台灣地區近三十年間, 亦即自民國五十七年至八十二年間,各時期國編版國民小學幾何教材內容範 圍之差異。其研究結果發現,幾何教材佔全部教材的份量變化自五十七年版 到七十六年版(由 8.9%增到 16.6%) ,均有顯著增加,但八十二年版卻下降到. - 25 -.

(40) 10.3%,明顯不足。在國小幾何教材各類目中,以「形體組成要素及其關係之 探究」為最重要之內容(約在 64%~89%之間),然而在「空間方位」的教材 編排上,除了五十七年版佔 34%之外,其他各時期都在 9%以下,均呈現明顯 不足。 二、莊月嬌(2005)在「九年一貫課程小學幾何教材內容分析研究」中,經由文 獻探討整理分析後,將小學幾何教材內容分為「形體外觀之辨識與建製」 、 「形 體組成要素之辨識、發現與應用」 、 「形體性質之探究並運用其性質解題」 、 「形 體之切割、重組與變換」和「空間概念」等五大類目,並以此分析各版本幾 何教材的範圍份量、內容組織,並探究各審訂本教科書對幾何能力指標詮釋 之情形。其研究結果發現如下: 1、各版本小學教科書幾何教材的份量差異很大(頁數、授課節數和類目)。 2、各版本小學教科書中幾何教材內容範圍以「空間概念」的差異最大。 3、各版本數學教科書中幾何教材的內容組織有諸多差異。 4、各版本教科書中幾何能力指標呈現的時機與次序有許多差異。 5、各版本幾何教材對幾何能力指標詮釋的方式及內容有許多差異。 三、孫菁璣(2008)在「九年一貫課程數學學習領域一到三年級教科書之比較研 究」中,以內容分析方式,探討國民小學九年一貫數學學習領域依「暫行綱 要」 、 「正式綱要」編輯康軒、南一版本教科書數學教材內容範圍的差異情形, 以及對數學能力指標詮釋之情形。其研究結果發現: 1、康軒、南一版本教科書,在每週基本教學節數不變的情形下,數學教材設 計的內容皆呈現增加的現象,其教材內容亦呈現加深加廣的趨勢。 2、康軒、南一兩家版本「數與量」 、「幾何」暫行綱要能力指標與正式綱要分 年細目,呈現時機與順序及所佔份量,有明顯差異現象。 四、李豪文(2008)在「從課程組織探討一到三年級數學教科書之幾何內容」中, 採用內容分析法,探討了以下六個重點:第一、計算九年一貫課程第一階段. - 26 -.

(41) 數學教科書幾何內容活動數在各版本的比重情形和分布狀況;第二、計算九 年一貫第一階段數學教科書幾何內容授課節數在各版本的比重情形和分布狀 況;第三、探討九年一貫第一階段數學教科書幾何內容活動數與授課節數間 的關係與分佈差異情形;第四、以「繼續性」的觀點,探討並檢視九年一貫 課程第一階段各版本數學教科書幾何內容的教材組織及呈現情形;第五、以 「順序性」的觀點,探討並檢視九年一貫課程第一階段各版本數學教科書幾 何內容的教材組織排序及呈現情形;第六、以「統整性」的觀點,探討各版 本與學生生活經驗統整並產生關連得情形。其研究結果發現與幾何教材內容 有相關的如下: 1、幾何內容活動在各版本的比重與分佈差異很大。 2、幾何內容授課節數在各版本的比重與分佈差異很大。 3、活動數和授課節數間的關連性較不足,兩者比值於各年級、各冊的分布與 差異較大。 五、李盈荻(2008)在「國小一年級數學教科書分析之比較研究」中,針對康軒、 南一和部編版國小一年級數學教科書,採用內容分析法與比較分析法,經由 單元章節、教材脈絡、教材內容等三部分的分析比較,探討不同版本數學教 科書在數學內容的四個面向:數的概念、數的計算、量與實測、幾何之特色 與差異。其研究結果發現與幾何教材內容有相關的如下: 1、在單元章節上,康軒版並重數的概念與數的計算,南一和部編版偏重數的 計算,三個版本皆是幾何最少。部編版數的計算單元較集中。 2、在教材內容上,康選版大多以生活的情境佈題,多元的活動內容,考量不 同層次學童的運思,重視解題過程的表達與認知;南一版大多能考量學童 的學習心理,多以積木為表徵物,重視學童解題策略的發展;部編版偏好 以數學術語呈現問題,主要以積木為表徵物,重視計算技巧及算則的發 展。. - 27 -.

(42) 六、廖曼伶(2008)在「國小二年級數學教科書內容之比較研究」中,針對康軒、 南一和部編版國小二年級數學教科書,以內容分析法為主,訪談法為輔,經 由單元章節、教材脈絡、教學目標、教材內容等方式,探討不同版本數學教 科書在數、計算、量與實測、幾何之特色與差異。其研究結果發現與幾何教 材內容有相關的如下: 1、在單元節數上,各版本皆以計算為主,幾何部分最少。單元順序各版本大 致依數、量、形互相穿插出現,部編版、南一版部分計算單元較集中。 2、在教學目標上,各版本大致清楚明確。不同的是部編版在整數、計算部分 較多算則,重量與容量的部分較為密集,幾何單元內目標之間無連結;康 軒、南一版較多操作活動。 七、李宜蓉(2010)在「一到九年級數學教科書中代數符號及等號概念之發展設 計」中,以 Ausubel 的「有意義的學習論」、Kuchemann 的孩童文字符號使用 層次理論為主要的理論架構,採用內容分析法,針對三個版本的國中、小數 學教科書中的代數符號及等號概念發展進行九年的課程分析。其研究結果發 現如下: 1、此概念之課程發展過程,三個版本主要差異性為題目數與引入時間點。 2、概念啟蒙例的呈現上,三個版本有情境佈題與描述方式上的差異性。 3、先備知識的複習上,三個版本課程內容的表現有安排與呈現方式上的差 異。 4、課程內容與九年一貫能力指標的對應程度,有出現教材內容與指標不相符 的情況。 由以上的文獻發現,國內對於幾何教材的研究,其範圍多屬於國小學習階段 或者只針對單一年級或單一階段而去做各版本教科書的分析研究,沒有貫穿九年 一貫各年級的相關研究。故研究者將擬從縱向九年以及橫向三個版本的角度,來 分析九年一貫教科書之幾何教材內容以及與課程綱要之幾何能力指標的對應程. - 28 -.

(43) 度。教科書內容分析多採用內容分析法,內容分析法已成為數學教科書研究常用 的方法。因此,本研究也將採用內容分析法,來分析九年一貫教科書之幾何教材 內容以及與課程綱要之幾何能力指標的對應程度。. - 29 -.

(44) 第参章 研究方法 本章共分成五小節,第一節為內容分析法,第二節為研究對象,第三節為研 究流程,第四節為資料分析,最後一節為研究限制。. 第一節. 內容分析法. 本研究採用內容分析法(content analysis) 。此一方法係對文件內容做出有效 推論的一組程序(Robert P. Weber,1985,林義男主譯,1989)。對於內容分析的 定義,D. P. Cartwright 在 1953 年提出:「內容分析」與「編碼」可以交換使用, 指以客觀的、系統的,以及量的方式描述任何符號的行為(王文科,1990)。B. Berelson 在 1954 年所下的定義為:內容分析是一種研究的技術,針對溝通產生 的內容做客觀的、系統的,以及量的描述(王文科,2007)。而學者歐用生綜合 各學者定義「內容分析法是透過量化技巧與質的分析,以客觀和系統態度,對文 件內容進行研究與分析,藉以產生該項文件內容的環境背景,及其意義的一種研 究方法。」(高明,2005)。 Krippendorff(1980)則提出內容分析的架構: 圖 3-1-1 Krippendorff(1980)提出的分析架構. 目標. 真實現象. 結果=推論 可能跡象. 參考表現 周圍環境 條件與現象. 穩定. 提供. 關係. 因素. 資料. 資料. 資料的真實情境. 分析者建構出來的情境. 內容分析. 分析架構. 資料來源:Krippendorff, K.(1980). Content Analysis:An Introduction to Its Methodology, p. 28. - 30 -.

(45) 李宜蓉(2009)依據此架構,並參考楊孝濚(1978,楊國樞等編)「內容分 析」一文,製作了「分析對象」和「內容分析」的關係圖,如下所示: 圖 3-1-2 「分析對象」和「內容分析」的關係圖 透過系統化方法之分析 Who?編輯者(出版社) Why?編輯目標(92 課綱) How?編輯方式 What?內容 With what effect?產生的影響 To whom?接受者. 建 構 類 目. 界 定 分 析 單 位. 建 立 量 化 系 統. 執 行 預 測. 建 立 信 度. 進 行 編 碼. 分 析 資 料. 從 分 析 結 果 做 成 推 論. 資料來源:李宜蓉(2009)。一~九年級數學教科書中代數符號及等號概念之發 展設計,p. 27。. 本研究將以上述的關係圖做為本研究的分析架構。 內容分析的方法可細分為四個方面,分別為:一、抽樣;二、分析類目;三、 分析單元以及四、信度及效度之分析。信度及效度之分析部分將於本章第四節中 詳加描述,以下為抽樣、分析類目與分析單元部分的解釋:. 壹、抽樣 由於本研究是針對一~九年級數學教科書進行探究,所以必須先了解目前一 ~九年級通過審核之教科書名單。下表 3-1-1 及表 3-1-2 為自國立編譯館,九年 一貫教科書審定資訊網查詢,一~九年級通過審核之教科書名單的整理:. - 31 -.

(46) 表 3-1-1 國民中小學 99 學年度上學期審定本教科圖書一覽表 第一冊. 仁林、牛頓、南一、康軒、教研院、翰林. 第三冊. 仁林、牛頓、南一、康軒、教研院、翰林. 國民小學. 第五冊. 仁林、牛頓、南一、康軒、教研院、翰林. 數學. 第七冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 第九冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 第十一冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 第一冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 第三冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 第五冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 國民中學 數學. 表 3-1-2 國民中小學 99 學年度下學期審定本教科圖書一覽表 第二冊. 仁林、牛頓、南一、康軒、教研院、翰林. 第四冊. 仁林、牛頓、南一、康軒、教研院、翰林. 國民小學. 第六冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 數學. 第八冊. 南一、康軒、教研院、翰林. 第十冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 第十二冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 第二冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 第四冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 第六冊. 仁林、南一、康軒、教研院、翰林. 國民中學 數學. 一般常用方法為「隨機抽樣」 ,但由表 3-1-1 及表 3-1-2 可知,99 上下學年度 - 32 -.

(47) 一~九年級的教科書,皆通過審核之版本有「南一」 、 「康軒」 、 「教研院」和「翰 林」四個版本。藍順德(2010)在「教科書政策、制度與研究」中提供了 98 學 年度國中小教科書市場總佔有率及主科佔有率,如圖 3-1-3~3-1-6。由圖可知, 國中小教科書無論市場總佔有率及主科佔有率都是以「南一」 、 「康軒」和「翰林」 三版本較高,故挑選出「南一」 、 「康軒」和「翰林」此三版本為本研究的分析對 象。 圖 3-1-3 98 學年國小教科書市場總佔有率. 南一, 26.9% 翰林, 29.0%. 牛頓(育橋), 1.9%. 康軒, 38.3% 部編本, 3.9%. 資料來源:藍順德(2010)。教科書政策、制度與研究。 圖 3-1-4 98 學年國小教科書主科佔有率. 南一, 29.5% 翰林, 25.4%. 康軒, 35.1%. 牛頓(育橋), 3.3% 部編本, 6.7%. 資料來源:藍順德(2010)。教科書政策、制度與研究。. - 33 -.

(48) 圖 3-1-5 98 學年國中教科書市場總佔有率. 南一, 16.8%. 翰林, 29.5%. 康軒, 51.0%. 仁林&育成, 1.7% 部編本, 1.0%. 資料來源:藍順德(2010)。教科書政策、制度與研究。. 圖 3-1-6 98 學年國中教科書主科佔有率. 南一, 27.2%. 康軒, 38.0%. 翰林, 33.0% 部編本, 1.8%. 資料來源:藍順德(2010)。教科書政策、制度與研究。. 貳、分析類目 分析類目是內容歸類的標準。一般而言,分析類目可分為說什麼(What is said) 和如何說(How it is said): 一、說什麼(What is said):實質類目,即實質內容,常見有「主題」、「特性」 、「目標」等。. - 34 -.

(49) 二、如何說(How it is said):形式類目,即內容的表達形式,常見有「敘述」 、「強度」、「策略」等。(王石番,1991) 分析類目的發展,主要有兩種形式,一為依據理論或過去研究結果發展而成, 二為研究者自行發展而成(歐用生,1991) 。本研究根據 van Hiele 幾何思考層次 理論以及參考 Fuys 等人(1988)對於 van Hiele 幾何思考之發展模式各個層次的敘 述,由研究者自行發展出「平面幾何圖形概念類目」,詳如下表 3-1-3: 表 3-1-3 平面幾何圖形概念類目表 主類目. 次類目. 說明 根據圖形外觀做圖形的認識、命名、分類和. A.1 口語描述。如認識長度的意義;認識平行和 依外觀辨識圖形 垂直的現象。 A.2 手繪、複製和製作圖形。 A.. 繪製圖形. 圖形的外. 進行或利用整體圖形的直接操作,如平移、. 觀. 翻轉、拼貼、鋪設、點數和長度的實測(個 A.3 別、標準單位)、比較(直接、間接比較)等, 直接操作圖形及其應 以解決相關例行性的問題。例如解七巧板拼 用 圖問題、鋪設和點數整體圖形的方式去比較 或計算圖形的面積(直接、間接比較)。 認識圖形的組成要素以及說出或描述該圖. B. B.1. 形所組成的要素。如點(頂點、圓心)、線. 認識圖形的組成要素. 和線段(邊、直半徑、周界、圓周)和角(內. 圖形的組 成要素 角、圓心角)。 (續下頁) - 35 -.

(50) B.2 依組成要素認定圖形. 根據圖形的組成要素做圖形的確認或做圖. 或辨別圖形之間的異. 形之間的分類比較。. 同 對圖形的組成要素進行實測或實作(圖形的 邊長與周長以及面積的意義和矩形的面積 B.3 公式)或利用圖形的組成要素去解決相關的 應用圖形的組成要素 問題,如利用圖形的周界判斷其內外部;利 用圖形的組成要素去繪製此圖形。 經由實測或直接、間接比較方式或直觀察覺 及描述出該圖形組成要素之間的關係,如邊 之間的關係(大小、垂直、平行);角之間 的關係(比大小、內角和);邊角之間的關 C.1 係;不相鄰頂點之間的關係(對角線) ;高; 認識圖形組成要素之 直徑與半徑的關係;直徑與圓周的關係(圓. C. 間的關係 圖形組成. 周率);認識角度(旋轉角和角度的意義以及. 要素之間. 角度的實測);認識角的種類(銳角、直角、. 的關係. 鈍角、平角、周角) ;認識垂直和平行的意 義。 C.2. 根據圖形組成要素之間的關係做圖形的確. 依組成要素之間的關. 認或做圖形之間的分類比較。. 係辨認圖形或辨別圖 形之間的異同 (續下頁). - 36 -.

參考文獻

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