van Hiele 的幾何思考發展理論

本節主要在探討van Hiele 幾何思考發展理論，包括 van Hiele 幾何思考五層 次模式、van Hiele 幾何思考模式的特性、van Hiele 幾何思考模式之學習階段及 van Hiele 理論之相關研究。

壹、van Hiele 幾何思考五層次模式

有關van Hiele 的五個幾何思考層次，van Hiele 以及後來的研究者都有詳加 描述過 (何森豪，民 90；吳德邦，民 93；林軍治，民 81；葛曉冬，民 89；劉湘 川、劉好、許天維，民81；盧銘法，民 85；譚寧君，民 82；Crowley, 1987; Fuys, Geddes & Tischler, 1984; Hoffer, 1988)，現分別敘述如下：

一、層次一：視覺化

此階段學童可以藉由觀看各種具體事物來分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖 形，並透過視覺觀察具體實物的整體輪廓來辨認圖形，如像門的形狀為長方形，

像盤子的形狀為圓形，且在視覺下差異不大的圖形，也可以透過移動旋轉等方式 辨識。雖然他們能夠依據物體的外觀說出形狀，但尚不能瞭解這些圖形的真正定 義。

二、層次二：分析

此階段學童已具有豐富的視覺辨識經驗，他們可以從圖形的構成要素以及構 成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作 (如摺疊、尺量，以格子觀

察或設計特別的圖樣)的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則，但不能解釋性

依序提昇到較高的層次。國內學者以國小學童為對象所做的研究中，發現國小低

許多學者對於van Hiele 幾何思考模式的特性有不同的描述，Usiskin (1982) 定義其思考層次的性質為：依序性 (fixed sequence)、毗連性 (adjacency)、特異性 (distinction)、分離性 (separation)、以及造詣性 (attainment)等； Crowley (1987) 則定義幾何思考層次的特性為：序列 (sequential)、進展 (advancement)、內在與 外在 (instrinsic and extrinsic)、語言 (linguistics)、不協調 (mismatch)。根據兩人 的說法，綜合整理如下 (吳德邦，民 87b；盧銘法，民 85；譚寧君，民 82；Crowley, 1987; Usisikin, 1982; Wu, 1994)：

一、依序性

性，但當其長方形與正方形的定義逐漸發展成熟，而能透過分析或歸納了解正方 形是長方形之一特例，此時經由內蘊化後形成之幾何概念較完備，此即為內因 性。而某一水準層次的內因性性質即為下一水準層次研究的外因性性質。

四、語言性

每一層次均有其獨特的語言符號和這些符號的關連系統，更深入的說，在不 同的層次中不僅在同一個物件上有不同的術語名詞，甚至相同的術語名詞所指的 是不同的幾何概念。因此，在某一層次是正確的，可能到了另一層次必須修正。

五、不協調性

依據 van Hiele 幾何思考層次的語言特異性，每個水準層次都有它自己獨特 的語言符號，因此處在不同幾何思考層次的人，彼此間經常會出現無法瞭解、溝 通的問題。如學童是屬於第一層次，而教學者以第二層次之語言符號進行教學 時，則期望的學習歷程或教學效果就不會發生，因為學童完全無法理解其思考過 程與結果。

參、van Hiele 幾何思考模式之學習階段

Crowley (1987)指出 van Hiele 認為各水準間的成長過程主要是藉由教學，而 非由於個體年齡的成熟度，故教學的組織與方法，教材的選擇與使用是非常重要 的。Wu (1994)也證實了從某一水準進階到下一水準的過程中，教學活動扮演一個 重要的角色，而且正確的教學活動可以使進階更為容易。

為了使學童的思考水準進階到下一個水準，van Hiele (1986)訂出學習的五個 階 段 ， 以 組 織 成 教 學 活 動 。 這 五 個 次 序 性 的 學 習 階 段 是 學 前 諮 詢 (inquiry/information)、引導學習方向 (guided orientation)、表達 (explication)、自 由探索 (free orientation)、統整 (integration)。分敘如下：

一、第一階段：學前諮詢

教師在教學活動進行之前，先與學童進行雙向溝通，並利用觀察和詢問的方 法，瞭解學童已具有的先備知識，訂定起點行為，藉以做為教學的參考。Hoffer (1988)認為，在此階段，學童與教師從事保留的活動，或針對這一水準研究目標 操作任務，用以引導學童的特殊反應 (Billstein, Libeskind & Lott, 1993; Crowley, 1987; Wu, 1994)。

van Hiele (1986)指出，學童在面對問題時，會迅速找出自己的方法，亦即面 對不同的問題時會有不同的解決方式。當學童面對一個可能有許多步驟才能完成 的問題，或是一個可以有不同的方式完成的問題，又或者是一個開放問題時，他 們可經由解決問題的活動中獲取經驗或發現自己獨有的解決方法 (譚寧君，民 82；Crowley, 1987)。

五、第五階段：統整 課程 (Usiskin, 1982)，但直到 1976 年 Izaak Wirszup 將 van Hiele 理論引入美國後，

才逐漸受到世人的重視，並相繼提出以van Hiele 幾何思考層次理論為題材的相關 研究報告。而我國則於民國八十二年實施的國小數學課程中，根據van Hiele 理論 來編輯有關圖形與空間領域的幾何教材，可見其理論在國內也受到相當的重視，

因此與van Hiele 理論相關的研究亦日漸增多。現將國內外相關文獻整理如下：

一、國外相關研究

Coxford (1978)對學童的幾何概念與空間學習發表過專論，他認為學童所學習 幾何思考層次可以由van Hiele 的理論來加以證實，他並指出在學習幾何知識上，

van Hiele 的層次理論與皮亞傑的認知發展理論可以並行不悖。

Usiskin (1982)研究發現學童之 van Hiele 層次與其學習成就在標準測驗中有 正面的相關性，該研究解釋van Hiele 理論可以預測學童在標準幾何學習上會遇到 的困難。

Borg & Gall (1989)研究發現，只要提供適當的階層教學，則學童的幾何概念 是有可能被提昇的，且學童的知識與van Hiele 階層有其相關性。

Baynes (1998)研究如何提昇學童的 van Hiele 幾何思考層次，結果發現學童的 數學幾何思考層次有階層性，且有由層次低往層次高發展的趨勢。

Matos (1999)以美國 15 及 16 年級學童為研究對象，對於角度的概念施以特 別的課程學習，藉由紙筆測驗與訪談探就學童的van Hiele 幾何思考層次，該研究 顯示學童幾何學習是符合van Hiele 理論的階層性。

Lee (1999)對於學院學童在幾何的理解和證明能力與 van Hiele 幾何思考層次 的相關性進行質與量的研究，量的研究中呈現無顯著差異，但在質的研究中發現

吳德邦 (民 87b)針對小一、三、五年級學童，由筆試及晤談中瞭解國小學童

林秀芹 (民 92)分析屏東縣八位五年級排灣族學童的平面幾何圖形概念，發 現排灣族學童很少從長輩的談話中聽到與幾何圖形相關的母語，因此，排灣族學 童很難從生活中學得平面幾何圖形的概念，學童的幾何圖形概念大多分佈在 van Hiele 幾何思考層次一的階段。

陳淑惠 (民 92)以台北市六年級學童為研究對象，探討學童的幾何思考概念 發展，在實作評量中以實物為媒介做操作和傳統的紙筆評量之差異。結果顯示在 較高層次的能力表現中，學童在實作評量的表現優於紙筆評量，且實作評量能提 昇學童的幾何思考能力表現。

薛建成 (民 92)以台灣中部四縣市 722 名國小學童為研究對象，探討不同年 級、性別及縣市學童在van Hiele 幾何思考層次的分佈情形。結果顯示，高年級的 表現優於中年級，中年級比低年級來得好，男女性別在van Hiele 幾何思考層次的 表現並未有顯著差異，但城鄉之間的差距則是存在的。

綜合上述研究，學童的幾何思考層次有隨著年級的增高，表現愈佳的情形，

但在原住民中因較少從生活中接觸平面幾何圖形概念，故學童的幾何思考層次大 多分佈在層次一的階段，同樣的情形亦出現在城鄉差距較大的鄉鎮中。