幾何概念之相關研究

人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的「形」或「幾何」直覺，遠比 一般人所想像要豐富堅實。典型的視覺影像處理，如直線、圖形的邊緣、平 行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、圖形識別等，對人類大腦輕而易舉，

卻是電腦處理的重大挑戰。因此，幾何不但是數學教育中的重要課題，而且 也是較易學習、較有趣的教學單元。此外，美國數學教師協會也提出：幾何 乃研究空間中的形狀和空間關係，幾何可幫助人們用有條理的方式表現和描 述生活的世界(NCTM, 1991)。

茲將相關文獻資料歸納成van Hiele的理論及幾何思考層次、van Hiele幾何 思考層次之特性、van Hiele平面幾何思考層次學童的特質、幾何概念課程教 材之研究、Duval幾何圖形理論、幾何相關研究，分述如下：

壹、van Hiele的理論及幾何思考層次

自1993年起實施的國小數學課程中，有關幾何教材的編製，即是以van Hiele理論為主軸。可見van Hiele理論在國內受到相當的重視。van Hiele模式 也是許多研究者從事幾何概念發展研究作為理論基礎的依據(Clements and Battista, 1992）。根據van Hiele的理論，幾何思考的發展模式共分為五個層次，

每個層次都有各自獨特的發展特徵。對於這五個層次的描述方式，國內外的

研究者有兩種不同的表達方式，一部份研究者使用「層次0、層次一、層次二、

層次三、層次四」來描述這五個幾何思考層次(黃盈君，2001；盧銘法，1999) ; 另一部份研究者則使用「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」來描 述van Hiele的五個幾何思考層次(吳德邦，1998，2000a，2000b，2001，2004a，

2004b；薛建成，2003；Usiskin, 1982; van Hiele, 1986; Wu, D. B. , 1994; Wu and Ma, 2005)。本研究採用van Hiele(1986)對層次的說法，分別為層次一：視覺的 (visual)層次、層次二：描述的(descriptive)層次、層次三：理論的(theoretical) 層次、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次、層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次。以下分別描述各層次的內容：

一、層次一：視覺的(visual)層次

這個層次的學童，主要是藉著視覺觀察物體的輪廓來辨認形狀，例如，

像太陽的形狀為圓形，像門的形狀為長方形。又如◇看起來，不像正方形，

在此階段的學童認為這不是正方形。這個階段學童的思考推理，受到視覺外 觀的影響很大，但此階段的學童，可以透過移動或旋轉等方法來辨識圖形的 異同，但是他們無法瞭解這些圖形的真正定義，不能根據圖形的性質或組成 要素來進行分析。

二、層次二：描述的(descriptive)層次

這個層次的學童，具有豐富的視覺辨識經驗，已經具有辨別圖形特徵的 能力，更能依據視覺所觀察到的結果，進而分析圖形的基本要素及這些圖形 之間的關係。因此，能夠知道圓形沒有邊，三角形有三個邊，正方形有四個 一樣長的邊。但是卻無法說明不同類圖形間的關係(如：他們不會認為正方形 也是長方形)。

三、層次三：理論的(theoretical)層次

這個層次的學童，已經很清楚各種圖形的構成要素，並且知道各種幾何 圖形的內在屬性以及各種圖形之間的包含關係。例如，平行四邊形有兩雙平

行且相等的對邊，長方形是平行四邊形的一種，當平行四邊形其中一個角為 90度時，這個四邊形就是長方形。這階段的學童能夠依據圖形的性質進行非 正式的推演，但是還不能進行有系統的證明。

四、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次

這個層次的學童能夠經由抽象推理的過程，來證明幾何問題及相互間的 關係，也能了解這些定理證明的方法可能不只一種。(如：能證明三角形的內 角和是180度)。

五、層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次

這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的人，可以在不同的公設體系 中，建立定理並且進行分析或比較各種不同的公設系統。在此層次的人，能 學習不同的幾何公設系統，了解抽象推理幾何。

貳、van Hiele幾何思考層次之特性

Crowley (1987) 對 van Hiele 幾 何 思 考 層 次 特 性 的 描 述 為 ： 次 序 性 (sequential)、提昇性(advancement)、內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)、

語言性(linguistics)、以及不配合性(mismatch)。各特性分別敘述如下：

一、次序性(sequential)

幾何思考層次的發展是循序漸進的，每一個層次的概念一定是來自於前 一個層次的概念。學童必須充分的學習所在層次的各種概念，才能順利進到 下一個層次的學習。

二、提昇性(advancement)

學童層次的提昇受到教學的影響比年齡成長的影響來的大，教師適當的 教學和引導能提昇學童的幾何思考概念。van Hiele (1986)曾經提到，學童幾 何思考層次的進展，主要是依賴教學而不是學童的年齡成長或成熟度的增 加。因此由一個層次到另一個層次的轉變並不是一個自然的過程，它是在教

與學課程計畫的影響下而提昇的。

三、內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)

在某一層次的性質是屬於內在的性質，到了下一個層次，此一性質就有 可能成為外顯的性質。林軍治(1992)也指出：在每一思考層次上，先前層次的 內在性，變為目前層次的外在性。而對某些概念的瞭解，雖然在目前這個層 次可能不明顯，但在下個層次卻是明確可知的(Clements and Battista, 1992)。

四、語言性(linguistics)

每一個層次都有屬於該層次自己的語言、符號，以及這些符號之間的關 聯系統。每一層次有其專屬的獨特語言，在某一個層次中屬於正確的語言，

到了另一個層次中，可能就必需經過修正才能符合。

五、不配合性(mismatch)

依據van Hiele幾何思考層次的語言獨特性，每個層次有它自己獨特的語 言、符號。例如，若學童是屬於層次一，然而教學設計，語言符號的運用，

卻是層次二或層次三，那麼學童的學習成效就會不好，老師的教學效果就很 差。這也就是為什麼老師和學童之間會常常發生誤解或無法溝通的原因之 一。因此，老師在教學過程、教材內容、教具的選擇和語言的運用均要注意。

參、van Hiele平面幾何思考層次學童的特質

Fuys (1985)提出van Hiele平面幾何思考層次，學童在各層次所表現的特 質：Fuys依據van Hiele幾何思考層次理論為基礎，更進一步深入探究在每一 個層次中，學童所能達到的水準，而提出對應van Hiele幾何思考每個層次發 展，學童所能表現或達到的具體行為能力：

一、層次一：視覺層次(visualization)

(一)能依據幾何圖形的整體外貌辨識形狀。

(二)能作圖、繪製(draw)或複製(copy)一個圖形。

(三)依據標準或非標準的形式。

(四)能依據圖形整體外貌，進行比較和分類活動，並能用語言描述幾何圖 形。

二、層次二︰描述層次(descriptive)

(一)能確認並檢驗圖形組成元素之間的關係。

(二)能說出組成元素的名稱，並使用適當的語彙描述之間的關係。

(三)能依據組成元素之間的關係，比較兩圖之異同。

(四)能經由實驗發現特殊圖形之性質，並能歸納之；能利用圖形的已知性 質或洞察隱含的性質去解決幾何問題。

三、層次三︰理論的層次(theoretical)

(一)能辨認某類圖形的各組性質，並檢驗這些性質充分性。

(二)形成並使用某類圖形之定義。

(三)能提出非形式化的論證。

(四)能非形式地辨識敘述及逆敘述之間的不同。

(五)不了解定義及基本假設的需要。

(六)尚未建立定理網路間的內在關係。

四、層次四︰形式邏輯的層次(formal logic) (一)能辨識出正式定義的特性和等價的定義。

(二)在公設系統下，證明在層次二所說明的定理。

(三)學童在一公設系統下，建立定理和定理間的關係，了解公設、公理、

定義、定理、未定義名詞及證明的相互關係和角色，了解定理與逆 定理的區別和證明的必要與充分條件，可寫出邏輯證明。

五、層次五︰邏輯法則本質的層次(the nature of logical laws)

(一)學童能嚴格地在不同的公設系統下建立定理，並分析比較這些系統。

(二)找出解決一組問題的一般性方法。

(三)比較公設系統，並自動地探討公設的變動對結果的影響。

肆、幾何概念課程教材之研究

教育部(2003)對數學課程綱要作修訂，在領域中將數學內容分為數與量、

幾何、代數、統計與機率、連結五大主題。其中只有「幾何」的部分與九年 一貫暫行綱要不同，由「圖形與空間」改為「幾何」，玆將有關五年級幾何 的分年細目及幾何能力指標整理如表2-1、表2-2：

表2-1 五年級幾何的分年細目

分年細目 分年細目內容 對照指標

5-s-01 能透過操作，理解三角形三內角和為180 度。 S-2-03 5-s-02 能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。 S-2-03 5-s-03 能認識圓心角，理解 180 度、360 度的意義，並

認識扇形。

S-2-03 S-2-05 5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性

質。

S-2-06

5-s-05 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯 形的面積公式。

S-2-08

5-s-06 能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成要素，辨 認簡單立體形體。

S-2-01

5-s-07 能理解長方體和正方體的體積公式。 S-2-07 5-s-08 能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體

中面與面的平行與垂直關係。

S-2-02

表2-2 幾何能力指標

能力指標 能力指標內容

S-1-01 能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。

S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。

S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。

S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。

S-1-05 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。

S-1-06 能描述物體的相對位置。

S-1-07 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。

S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分類。

S-2-02 能理解垂直與平行的意義。

S-2-03 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。

S-2-04 能認識平面圖形全等的意義。

S-2-05 能理解旋轉角的意義。

S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。

S-2-07 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。

S-2-08 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。

S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。

S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識 比例尺。

S-3-03 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。

S-3-04 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。

S-3-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。

S-3-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。

S-3-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。