第三章 研究方法
第五節 資料分析
資料分析處理，包含IRT模式分析、ISM圖的模糊關係矩陣計算，其分 析過程詳述於下：
壹、試題反應理論適合度分析
應用試題反應模式(IRT)分析軟體BILOG-MG，輸入學童的原始作答資 料進行模式之適合度考驗，設定α=.001情況下，在one-parameter logic model(1PL)下有1 題試題的Chi-square 值達顯著水準；在two-parameter logic model(2PL)下有0題試題的Chi-square值達顯著水準；在three-parameter logic model (3PL)下則有3題試題的Chi-square值達顯著水準。因此，本研究 較適合以2PL模式進行研究資料之分析。
貳、模糊取向詮釋結構之分析步驟
一、以試題反應理論分析軟體BILOG-MG程式估計出學童的能力值，因本 研究欲探討不同能力值的ISM概念圖之異同，因此首先以全體學童能 力值平均數上下一個標準差做為臨界點，將全體學童區分為低、中、
高三個組別。
二、將作答反應經BILOG-MG程式分析獲取每一試題之難度參數，每一位 學童的能力值，並配合表3-3之幾何試題的概念屬性矩陣，以SAS/IML 矩陣運算功能進行概念與概念間彼此指向的機率運算，獲得指定能力 值之學童概念間指向的模糊關係矩陣。
三、將模糊關係矩陣D(θ )=[k Pij(θ )]k 8×8以AISM程式中，選取α =.54行截矩 陣分析。可得概念屬性截矩陣Dα(θk)=[Pijα(θ )]k 8×8。並可同時繪製出能 力值θ 的學童之ISM圖。 k
四、簡化ISM圖，以增加圖形之可讀性。
五、根據ISM圖，搭配概念屬性矩陣及概念屬性截矩陣，圖繪出每位學童
在各試題的ISM圖。
六、林原宏、游森期(2006)依據Goldsmith, Johnson, and Action (1991)的相 似性係數 (similarity coefficient)得到公式
( )
( )
)第四章 研究結果與討論
本章旨在呈現分析結果，根據本研究目的，以試題反應理論之能力值 及試題內的概念屬性為依據，進行各ISM圖間的質性分析比較，進行結果 分析。第一節是不同能力值的ISM圖之比較，第二節是答對題數相同但反 應組型不同的學童其ISM圖之比較，第三節 不同能力值學童的ISM圖之相 似性係數之比較，其詳細內容分述如下數節：
第一節 不同能力值的ISM圖之比較
本研究由於透過學童模糊概念屬性截矩陣，難以具體掌握學童之間的 概念結構差異，為瞭解不同能力值學童的個別化概念結構之差異性，本研 究以能力值的平均數上下一個標準差做為臨界點，將能力值以上一個標準 差共85生，界定為高能力組；能力值以下一個標準差共86生，界定為低能 力組；介於能力值平均數上下一個標準差之間的302生，界定為中能力組。
並在三組學童中各自隨機抽取一生，即A、B、C三生，並以三生做為比較 不同能力值學童的ISM圖特徵和異同之舉例，其三者的答題情形如表4-1所 示。依據SAS/IML的演算結果可獲得所示之模糊關係矩陣，並將A、B、C 三生的模糊關係矩陣以α = .54進行截矩陣，獲得此三生之幾何概念的相鄰 矩陣如表4-2所示。
A、B、C三生的ISM圖之特徵與異同，可分別從整體的幾何概念加以 分析和比較。
表4-1 不同能力值的學童之答題情形
學童代號 組別 能力值 相似性係數 答對題數
A 低能力 -1.75 0.90 6
B 中能力 -0.24 0.92 11
C 高能力 1.70 0.97 18
表4-2 A、B、C 三生之概念屬性截矩陣(α = .54)
和為180度)、概念2(能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊) 是A、B、C 三生較難精熟的概念。但概念1(能透過操作，理解三角形 三內角和為180度)是學童最容易記得的概念，但在ISM圖顯示出概念1 是較不易瞭解的概念，可由教導概念1(能透過操作，理解三角形三內 角和為180度)時，特別加強此概念。針對概念1得知，國小學童對三角 形的內角和容易記，卻不容易運用。以研究者本身的教學現場中，概 念2(能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊)是學童最不容易 精熟的幾何概念，在學童的ISM圖亦顯示出此概念是不易精熟。
(二)概念7 (能理解長方體和正方體的體積公式)、概念8(能認識面的平行與 垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平行)在A、B、C 三生的ISM 圖中，皆位於第一層級的概念，表示概念7(能理解長方體和正方體的 體積公式)、概念8(能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體中 面與面的平行)是A、B、C三生在幾何概念的學習時最易達精熟的概 念，也是最基礎的概念。在概念7(能理解長方體和正方體的體積公式) 中，學童利用公式去求規則性的體積，學童若已經熟悉體積公式的由 來，在解題方面都能迎刃而解。在概念8(能認識面的平行與垂直，並 描述正方體與長方體中面與面的平行)中，學童在操弄正方體和長方體 的過程中，很容易就瞭解平行和垂直的定義，也很快就能描述出長方 體和正方體中的面和面的平行，此結果和研究者的教學現場是相符合 的。
(三) 概念5 (能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式) 是在A生的第三層，在B、C生則是屬於第四層，顯示A、B、C三生對 概念5在其ISM圖中有不同的精熟程度，此概念在高能力組的精熟度大 於中、低能力組的精熟度。在B、C生顯示出學習概念5(能運用切割重 組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式)需要經先經由概念 6(能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成要素，辨認簡單立體形體) 才能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。在
高能力組中，在學習概念5(能運用切割重組，理解三角形、平行四邊 形與梯形的面積公式)和概念6(能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成 要素，辨認簡單立體形體)沒有上下階層的關係，但在國小的幾何課程 中，此兩部分屬於不同單元，概念5(能運用切割重組，理解三角形、
平行四邊形與梯形的面積公式)是平面圖形，概念6(能運用「頂點」、
「邊」與「面」等構成要素，辨認簡單立體形體)是立體圖形，顯現出 高能力學童在學習過程中，概念5(能運用切割重組，理解三角形、平 行四邊形與梯形的面積公式)和概念6(能運用「頂點」、「邊」與「面」
等構成要素，辨認簡單立體形體)是可以分開進行學習的，不需要透過 概念6(能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成要素，辨認簡單立體形 體)和概念5(能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積 公式)的先備知識。
(四) 概念3(能認識圓心角，理解180度、360度的意義，並認識扇形)、概念 4(能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質)、概念6在A、B、
C三生的ISM圖中均位於不同階層。其A、B、C三生詳述如下：
(1)在A生的ISM圖中，概念3、概念4、概念6都在第二階層，在第一層 的概念7、概念8指向第二層的概念3、概念4、概念6，當學童答對 所有試題時，則全部概念皆位於同一水平上，無階層可言。
(2)在B生的ISM圖中，在第一層的概念7、概念8指向第二層的概念3，
再由第二層的概念3指向第三層的概念4、概念6。
(3)在C生的ISM圖中，在第一層的概念7、概念8指向第二層的概念3，
再由第二層的概念3指向第三層的概念4和第四層的概念6，但是第 三層的概念4卻沒有指向第四層概念6，表示C生無法由概念4指向概 念6。顯示出A、B、C三生對概念3、概念4、概念6在其ISM圖中有 著不同的精熟程度。
(五)在C生的ISM圖中，顯示出概念4在概念3的上層，此現象可知扇形是一 種對稱圖形，C生可藉由先了解扇形的定義就可以知道它是對稱圖形，
如此進行補救教學，依據C生個別化的ISM圖，可以達到事半功倍之成 效。
(六)概念4在A、B、C 三生的ISM圖中，分屬於不同階層。在高能力值組C 生的ISM圖中位於第三階層，在中能力值組B生的ISM圖中是位於第二 階層，在低能力值組的A生的ISM圖中則是位於第二階層，此現象並不 代表概念4對高能力值組較困難，對中、低能力值組則較簡單，其因可 從表4-3和圖4-4中得知，高能力值組學童在概念4的精熟度高於中能力 值組的學童，而中能力值組的學童精熟度又高於低能力值組的學童。
表示概念4在高能力值組C生的ISM圖中雖位於第三階層，但C生對概念 的困難度並不高於中能力值組的B生與低能力值組的A生。
(七)由圖4-1至圖4-3可知，在個別的ISM圖內，位於較低階層的概念一定比 位於較高階層的概念容易達精熟，而位於最高階層的概念則是個體最 難以學會或精熟的概念。但是不同個別的ISM圖間，其概念階層結構與 階層數是不能直接拿來做比較。
(八)學童的ISM圖之階層數和學童在概念上的通過率有關。從表4-3中可發 現 ， 高 能 力 組 、 中 能 力 組 、 低 能 力 組 在 概 念1 的 精 熟 度 分 別.182171、.495033、.809804，雖然概念1在A、B、C三生中都位於最 高階層，但是其精熟度卻大不相同。
綜上所述，不同能力值的A、B、C 三生，其幾何概念的ISM圖亦有 所不同，故教學者在實施幾何的個別化輔導時，可以參考個別學習者之 ISM圖來進行個別化輔導教學。
精熟度 ---.18 － .20
---.26
---.37 － .40
---.49 － .51 圖4-1 A生之ISM圖(θ = -1.75)
精熟度 ---.42 －.45 ---.52
---.62－ .63 ---.66
---.76 － .77 圖4-2 B生之ISM圖(θ = -0.24)
精熟度 ---.77－ .79 ---.84－ .86 ---.87
---.89 ---.93－ .94
表4-3 不同能力值在每一概念之平均通過率 概念
編號 試題編號 全體通過率 低能力值組 中能力值組 高能力值組 1 3、6、10、11、14、
17 .45 .18 .50 .81
2 5、10、15、17、
19 .475 .18 .45 .83
3 2、6、7、12、14、
18 .68 .38 .70 .90
4 2、4、7、9、11、
12、15、19、20 .65 .37 .65 .90
5 4、9、11、15、17、
19、20 .56 .27 .54 .91
6 1、2、3、5、8、
10、13、18、20 .65 .35 .66 .89
7 5、8、13、16、20 .76 .49 .78 .96 8 1、5、8、13、16、
20 .76 .47 .78 .96
圖4-4 A、B、C 三生的ISM圖的精熟度之比較
第二節 答對題數相同但反應組型不同的ISM圖 之比較
本研究由於透過學童模糊概念屬性截矩陣，難以具體掌握學童之間的 概念結構差異，為瞭解不同能力值學童的個別化概念結構之差異性，本研 究以能力值的平均數上下一個標準差做為臨界點，將能力值以上一個標準 差之85生，界定為高能力組；能力值以下一個標準差共86生，界定為低能 力組；介於能力值平均數上下一個標準差之間的302生，界定為中能力組。
並在三組學童中各自隨機隨機選取兩位對題數相同但反應組型不同之學 童，即D1、D2、E1、E2、F1、F2等六位學童，其答題情形如表4-4所示。
依據SAS/IML的演算，並將D1、D2、E1、E2、F1、F2六生的模糊關 係矩陣以α = .54進行截矩陣，獲得此六生之幾何概念的相鄰矩陣如表4-5所 示。因為在傳統測驗中，答對題數相同的學童，不管其作答反應組型為何，
皆視為具有相同的能力。但答對題數相同不代表能力一樣，若以答對題數
精熟度 B 學童
0
1
C 學童 A 學童
之缺失，根據學童作答反應真實呈現個別學童的能力值，卻無法呈現學童 的概念結構，以瞭解個別學童之差異所在。
因此，本章節以答對題數相同但反應組型不同的六位學童為例，繪製 其幾何概念的ISM圖。
表4-4 答對題數相同但反應組型不同的生之答題情形
表4-4 答對題數相同但反應組型不同的生之答題情形