國小五年級學童幾何概念階層之模糊詮釋結構模式分析

國立臺中教育大學數學教育系

國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文

指 導 教 授：林原宏 博士

國小五年級學童幾何概念階層之模糊詮釋

結構模式分析

研 究 生：李志宏 撰

中 華 民 國 九 十 八 年 六 月

摘 要

本研究旨在根據察覺的模糊邏輯模式(fuzzy logic model of perception, FLMP)和試題反應理論(IRT)，以模糊截矩陣(alpha cut)之 ISM 演算，分析 概念或解題元素的個人化階層結構圖，而元素之間並不受二元關係所限 制。本研究以國小五年級學生共計 473 名為對象，應用模糊取向的詮釋結 構模式分析法，分析學生幾何的模糊取向的概念 ISM 圖，以及探討不同能 力值學生的 ISM 圖與專家的 ISM 圖之差異。研究結果臚列於下數點： 一、藉由模糊取向詮釋結構分析法，可繪製出受試者個人化的 ISM 圖，了 解個別受試者的概念階層結構，並可用於不同能力值或不同反應組型 的受試者的 ISM 圖之比較與分析。 二、不同能力值或不同反應組型受試者的幾何概念 ISM 圖，其概念階層 數、階層內的概念屬性、概念間的連結指向皆有明顯的差異。 三、藉由個人化概念 ISM 圖，可了解不同能力值或不同反應組型的受試者 在學習幾何概念時，知識結構的差異，將會有助於教師找出學生學習 困難或迷思概念，並藉以實施補救教學。 四、從 ISM 圖中的概念所在的階層位置可得知，受試者較易精熟及最難的 概念屬性，從兩兩概念的指向可得知，受試者要精熟的概念之上下位 概念有哪些。 五、答對題數相同但反應組型不同的受試者，其整體 ISM 圖有所差異。 六、以專家的ISM圖為參照標準，低、中、高能力值受試者的ISM圖皆與 專家的ISM圖有明顯的差異。 根據本研究之結果與建議，可做為教學者對於課程設計、教學和補救 教學之參考。

Abstract

The purpose of this study was to apply the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model (FAISM), based on Fuzzy Logic Model of Perception (FLMP), Item Response Theory(IRT) and the algorithm of Interpretive Structural Model (ISM) of fuzzy alpha-cut, to the analysis of the individualized concept structure. In order to investigate the individualized structure of geometry concepts, the sample includes 474 students from fifth grade of elementary schools by using self-designed geometry concepts test. Secondly, the researcher analyzed the ISM graphs of the examinees. Finally, the researcher explored the differences of ISM graphs among examinees with different IRT ability values and those of experts. Through the procedures of the analysis, the following conclusions were found.

1. It is helpful to apply the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model to draw individual ISM graph and understand individual’s conceptual structure. It was feasible to compare and analyze the ISM graphs between the examinees among different groups, IRT ability values and response patterns.

2. There were significant differences on the number of concept hierarchies, concept attributes and linkage between the ISM graphs of the examinees from IRT theta values and response patterns.

3. It was helpful to find out the learning difficulties or conceptual confuses of students and apply the remedial instruction by using the fuzzy approach of Interpretive Structural Model.

4. We could understand the most difficult and easiest concepts for examinee and the precondition relationship among concepts.

5. There were differences on conceptual structure among examinees of same total score but different response pattern.

6. The similarity indices of ISM graphs between different ability levels and experts were significantly different.

The results and recommendations of this study can be the reference of curriculum design, instruction and remedial instruction.

Keyword： geometric concept, interpretive structural model, item response

目錄

第一章 緒論

...

1

第一節 研究動機. ... .1 第二節 研究目的 ... 4 第三節 名詞解釋 ... 5

第二章 文獻探討

...

7

第一節 幾何概念之相關研究 ... 7 第二節 模糊理論 ... 20 第三節 模糊取向的詮釋結構模式分析法 ... 24 第四節 試題反應理論 ... 37

第三章 研究方法...41

第一節 研究架構 ... 41 第二節 研究對象 ... 43 第三節 研究工具 ... 44 第四節 研究流程 ... 49 第五節 資料分析 ... 50

第四章 結果與討論

...

53

第一節 不同能力值的幾何概念 ISM 圖之比較... 53 第二節 答對題數相同但反應組型不同的 ISM 圖之比較... 60 第三節 不同能力值受試者的 ISM 圖之相似性係數之比較...66

第五章 結論與建議

...

69

第一節 結論 ... 69 第二節 研究限制 ... 71

參考文獻

...

75

表目錄

表 2-1 五年級幾何的分年細目 ... 12 表 2-2 幾何能力指標 ... 13 表 3-1 施測學校資料一覽表 ... 43 表 3-2 九年一貫五年級幾何分年細目概念內容 ... 44 表 3-3 試題和分年細目關係矩陣 ... 45 表 3-4 預試工具之分析 ... 46 表 3-5 正式施測工具之分析 ... 47 表 4-1 不同能力值的受試者之答題情形 ... 53 表 4-2 A、B、C 三生之概念屬性截矩陣 ... 54 表 4-3 不同能力值在每一概念之平均通過率 ... 59 表 4-4 答對題數相同但反應組型不同的生之答題情形 ... 61 表 4-5 答對題數相同但反應組型不同的生之概念屬性截矩陣 ... 62 表 4-6 低、中、高能力組和專家的相似性係數單一樣本 t 檢定... 67 表 4-7 不同組別 ISM 圖之相似性係數變異數分析 ... 67 表 4-8 不同組別 ISM 圖之相似性係數事後比較 ... 67

圖目錄

圖 2-1 教師認知模型之關聯構造階層圖 ... .…25 圖 2-2 元素上下位圖…...………..…..…...29 圖 2-3 簡化前的 ISM 圖..………..…..…...29 圖 2-4 簡化後的 ISM 圖..………..…..…...30 圖 2-5 繪製出 ISM 圖..………..……...30 圖 2-6 ISM 圖簡化前後之比較..………..…………..……...35 圖 3-1 研究架構圖 ... 42 圖 3-2 研究流程圖 ... 49 圖 4-1 A 生之幾何概念 ISM 圖 ... 58 圖 4-2 B 生之幾何概念 ISM 圖 ... 58 圖 4-3 C 生之幾何概念 ISM 圖 ... 58 圖 4-4 A、B、C 三生的概念 ISM 圖的精熟度之比較... 60 圖 4-5 D1、D2 生之 ISM 簡化圖(低能力值組)... 63 圖 4-6 E1、E2 生之 ISM 簡化圖(中能力值組) ... 63 圖 4-7 F1、F2 生之 ISM 簡化圖(高能力值組)... 63 圖 4-8 專家 ISM 圖 ... 66

第一章 緒論

教育部(2003)將九年一貫數學領域課程分成五大主題，並且在九年一貫課 程數學領域中，將「幾何」列為五大主題之一，以能力指標為評量依據，於 是如何在評量後在最短的時間內診斷出學童的學習狀況，便成為老師重要的 課題之ㄧ。但在傳統測驗中，往往卻以學童答對的題數多寡來檢核學童的能 力，並將答對相同題數的學童視為同等能力，而不管其反應組型是否相同， 故無法針對每個學童進行適性化的補救教學。研究者認為若教學者能掌握學 習者的個別學習狀況，引導學習者產生完整的概念結構，必能提高教學和學 習的效果。故本研究欲探討學童ISM圖(interpretive structural modeling, 簡稱 ISM)，提供教學者進行分組或補救教學之參考，本章旨在闡述本研究動機、 目的、及所提及之相關名詞作釋義。

第一節 研究動機

教育部(2000，2003)在九年一貫課程數學領域中，將「幾何」列為五大主 題之一，幾何課程分為四階段，在第二階段(四、五年級)，由於幾何的發展逐 漸成熟，學童開始結合「形」與「數」兩大主題，學習運用幾何形體的構成 要素(如角、邊、面)及數量性質(如角度、邊長、面積)。幾何相關教材自民國 64年實施至今，已有三十三年的時間，期間仍有許多研究指出幾何教材上的 缺失，例如：劉好(1985)發現大部分的師專學童，無法根據題意畫出適當的幾 何圖形並加以描述，追究其原因，乃在小學階段圖形教學時，並未把握概念 化的圖形特徵，有效的處理或應用概念圖的要素。另外，張建瑋、林家瑩和 吳柏林(2006)於「近年國中數學的基本學力測驗試卷評析與改進」，則提及94 年兩次國中基本學力測驗中，幾何考題在數學試題整體的比例最高，可見幾 何教育的重要性是無庸置疑的。陳智華(2006)更指出我國國中小學童數學計算

能力優於美國學童，但理解、推理能力較差，在幾何圖形題目表現不佳，可 見國內學童對於幾何方面能力較弱。 教育部在2003年修訂版的數學課程裡，則將幾何領域的「圖形與空間」 規畫成一獨立主題，並分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了解、 論述性的了解，圖形與空間的學習，應從學童生活經驗中熟悉的形體入手， 透過觀察、辨識、操作、實驗，發現形體的組成要素以及其與形體之間的關 係，進而能確定其與空間的基本概念，掌握空間的基本性質。並將教材進一 步分為平面圖形、立體圖形兩個部份。在九年一貫課程綱要中，數學的學習 領域正式以「幾何」名稱成為一個完整的教學主題。由我國歷年來數學課程 與教材的改革，可以看出幾何在整體的數學課程中，佔有一席重要的地位(教 育部，1975，1993，2003)。 由此可知幾何概念對於國小學童來說是相當重要的，且五年級的幾何概 念是高年級的基礎，所以幾何概念的重要性自然是不容忽視的。既然幾何概 念學習在國小數學課程的學習上是如此重要，故教學者就必須選用適切的評 量方法來了解學習者是否具有正確的幾何概念，以評估學童的學習成就，再 根據評估的結果，診斷個別學童學習困難之處，以進行適性補救教學。但傳 統的紙筆測驗只能呈現出分數高低，並不能提供教師補救教學的具體方法， 而概念結構分析方法，能評量學習者的學習現況，也能提供學習者學習缺失 的診斷訊息，相關文獻也指出ISM圖對學習者具有正向的幫助(Bodolus, 1986; Holley and Danserean, 1984; Mikuleck, 1987; Skaggs, 1988)。因此，雖然幾何之 相關研究頗多，但關於學童在幾何的知識概念結構特性及將概念結構圖像化 的研究，及不同能力值學童個人化的概念結構之測量與分析，或傳統計分下 總分相同但反應組型不同的學童概念結構特徵之比較，文獻上卻較少提及。 故針對學童在幾何之知識概念結構進行研究，實有其必要與可行之處。 楊雅惠(2004)利用徑路搜尋網路分析法比較專家與生手在知識結構上的

差異，研究結果發現專家的知識結構較複雜，生手的則較簡化。因此，有關 個別學童在幾何概念結構與專家概念結構之比較，是一個值得探討的焦點。 此外，有關國小學童在幾何研究尚屬不多，因此進行國小學童的幾何概念結 構的研究，以提供數學教材和教學之參考，實有必要與可行之處。 祝淑梅(2007)、紀順雄(2007)利用階層概念分析不同能力值的知識結構上 的差異，研究結果發現高能力組的知識結構較複雜，低能力組的則較簡化。 因此，有關不同的能力組別在幾何概念結構之比較，是一個值得探討的焦點， 故針對學童在幾何之知識概念結構進行研究。所以，學童幾何概念及能力結 構的關係是值得探究的課題。

Warfield (1976)所提出的詮釋結構模式(interpretive structural modeling,簡 稱ISM)可分析元素或試題間的上、下從屬關係，然而受限於二元關係，且只 能得到整體學童的概念結構，無法了解個人化的概念結構關係。 Warfield (1982)將ISM分析法應用在社會學、人類學、心理學及哲學等其 他領域的應用。有關ISM分析法的實證研究，國內亦有許多教育學者提出ISM 運用在教育領域中課程與學習的應用之實例(許天維、林原宏，1994；鍾靜蓉， 2002)，發現ISM分析法不但可以讓教學者將腦裡抽象的教學內容轉變為具體 的關聯結構階層圖，還能透過學習者學習知識後的概念間之關係，知悉其整 體概念的階層結構。 阮亨中、吳柏林(2000)認為在人文與社會科學的測度裡，以模糊相關性來 描述概念或解題能力單位元素的階層結構關係，是一個較為合理並能充分的 分析與解釋複雜關係的方法。黃敬書(2007)透過問卷調查方式進行彙整，與經 由ISM分析，建立起阻礙企業實行產品服務系統之維修與再製造各元素間的 結構模式。但ISM分析法礙於其元素關係只限於二元關係，並不完全適用於 描述學習者知識結構中概念間的關係。且在二元之間只有是與不是，很難分 析複雜的關係，且一般試題施測，每道試題可能包含多個概念或能力，很難

以對或錯來說明學童是否瞭解所有的概念或能力。

基於此，林原宏(2005)提出模糊取向的詮釋結構模式，乃是利用模糊理論 (fuzzy theory)以及察覺的模糊邏輯模式(fuzzy logic model of perception,簡稱 FLMP)來改進傳統模式只能適用二元資料和無法圖繪出個人化概念結構的缺 點，以期能更適切、精準的分析出學習者個人化的概念結構。在學習者學習 內容的結構化方面，蔡秉燁(2004)利用ISM法，將高中數學教學之補救教材進 行結構化教材之設計，研究結果顯示，圖像式的階層結構教材內容，有助於 教學者確切掌握教材呈現的順序，以及增進補救教學的效果。 基於上述，本研究應用林原宏(2005)所發展的模糊詮釋結構模式，進行國 小五年級學童的幾何概念結構探討，根據個別學童的ISM圖，比較不同能力 值學童的ISM圖之差異，最後並比較不同能力組和答對全部試題之學童ISM圖 的相似性係數差異，冀能依照學童的概念結構給予適性輔導，並引導學童朝 專家的概念結構發展。且依據此差異，可提供教師作為補救教學之課程設計 之參考，以提升學童的學習成效。

第二節 研究目的

基於上述，本研究的主要目的包含： 一、分析高、中、低能力的學童ISM圖間之特徵及異同。 二、分析答對題數相同但反應組型不同之學童，其ISM圖之異同。 三、探討不同能力值各組間ISM圖之差異，及不同能力值組學童ISM圖與專家 ISM圖的相似性係數之比較。

第三節 名詞解釋

本研究中所涉及的名詞說明與界定如下：

壹、試題反應理論

試題反應理論(item response theory, IRT)又稱作潛在特質理論(latent trait theory, LTT)，是假定個體在某一試題上的表現，可由一個或一組因素來表示， 這種因素稱為潛在特質(latent trait)或能力值(ability)。試題反應理論是根據學 童在試題上的實際表現，來分析試題的難度、鑑別度和猜測度等測驗指標和 學童個人潛在特質關係的一種理論。

貳、模糊理論

模糊理論(fuzzy theory)是由L. A. Zadeh於1965年所提出，改進古典數學的 二元邏輯(即0或1)集合論，將元素和集合之間的關係以隸屬度(membership)的 觀點來描述，其值介於[0,1]之間。

參、詮釋結構模式

詮釋結構模式(interpretive structural model, 簡稱ISM)是由Warfield (1976) 根據元素之間的關係矩陣，提出一種將元素階層化表示的方法，適用於二元 資料的分析，其理論基礎為離散數學和圖形理論。詮釋結構理論主要的功能， 是透過已知兩兩元素之間的上下位關係，統合所有元素間的整體關係，亦即 建立整體元素之間的指向關係結構。

肆、模糊取向的詮釋結構模式

此分析法由林原宏(2005)提出，結合了模糊理論與察覺的模糊邏輯模式

(fuzzy logic model of perception)，改進傳統ISM圖只能分析二元資料限制，且 可分析個別化(individualized)之知識結構圖，透過AISM軟體進行α-cut截矩陣 分析，並同時繪製出個別學童概念階層結構圖，優點是利用模糊理論的截矩 陣和察覺的模糊邏輯模式來改進傳統詮釋結構模式無法圖繪出個人化概念結 構和只能處理二元資料之限制。

伍、幾何概念

本研究所指的幾何概念(geometry concepts)是以九年一貫五年級幾何分年

細目

指標為依據。

陸、專家參照

本研究以答對全部試題的反應資料者為專家，並以其ISM圖作為專家參 照圖。

柒、相似性係數

相似性係數(similarity coefficient)指專家與生手的知識結構圖之相似程 度，其計算方法為取二個結構圖中相同節點之各自銜接的節點之交集與聯集 的比值，並計算各個相同節點的平均比值，其值介於0～1之間，值愈大，表 示結構圖相似度愈高，反之則否，1代表結構圖完全相同，0代表結構圖完全 不相同。本研究將以答對全部試題的學童之作答反應來代表專家之反應資料。

第二章 文獻探討

本研究所涉及之相關理論，於本章進行探討，共分四節。第一節 幾何概 念之相關研究；第二節 模糊理論；第三節 模糊取向的詮釋結構模式分析法； 第四節 試題反應理論，茲分述如下：

第一節 幾何概念之相關研究

人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的「形」或「幾何」直覺，遠比 一般人所想像要豐富堅實。典型的視覺影像處理，如直線、圖形的邊緣、平 行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、圖形識別等，對人類大腦輕而易舉， 卻是電腦處理的重大挑戰。因此，幾何不但是數學教育中的重要課題，而且 也是較易學習、較有趣的教學單元。此外，美國數學教師協會也提出：幾何 乃研究空間中的形狀和空間關係，幾何可幫助人們用有條理的方式表現和描 述生活的世界(NCTM, 1991)。

茲將相關文獻資料歸納成van Hiele的理論及幾何思考層次、van Hiele幾何 思考層次之特性、van Hiele平面幾何思考層次學童的特質、幾何概念課程教 材之研究、Duval幾何圖形理論、幾何相關研究，分述如下：

壹、van Hiele的理論及幾何思考層次

自1993年起實施的國小數學課程中，有關幾何教材的編製，即是以van Hiele理論為主軸。可見van Hiele理論在國內受到相當的重視。van Hiele模式 也是許多研究者從事幾何概念發展研究作為理論基礎的依據(Clements and Battista, 1992）。根據van Hiele的理論，幾何思考的發展模式共分為五個層次， 每個層次都有各自獨特的發展特徵。對於這五個層次的描述方式，國內外的

研究者有兩種不同的表達方式，一部份研究者使用「層次0、層次一、層次二、 層次三、層次四」來描述這五個幾何思考層次(黃盈君，2001；盧銘法，1999) ; 另一部份研究者則使用「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」來描 述van Hiele的五個幾何思考層次(吳德邦，1998，2000a，2000b，2001，2004a， 2004b；薛建成，2003；Usiskin, 1982; van Hiele, 1986; Wu, D. B. , 1994; Wu and Ma, 2005)。本研究採用van Hiele(1986)對層次的說法，分別為層次一：視覺的 (visual)層次、層次二：描述的(descriptive)層次、層次三：理論的(theoretical) 層次、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次、層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次。以下分別描述各層次的內容：

一、層次一：視覺的(visual)層次

這個層次的學童，主要是藉著視覺觀察物體的輪廓來辨認形狀，例如， 像太陽的形狀為圓形，像門的形狀為長方形。又如◇看起來，不像正方形， 在此階段的學童認為這不是正方形。這個階段學童的思考推理，受到視覺外 觀的影響很大，但此階段的學童，可以透過移動或旋轉等方法來辨識圖形的 異同，但是他們無法瞭解這些圖形的真正定義，不能根據圖形的性質或組成 要素來進行分析。

二、層次二：描述的(descriptive)層次

這個層次的學童，具有豐富的視覺辨識經驗，已經具有辨別圖形特徵的 能力，更能依據視覺所觀察到的結果，進而分析圖形的基本要素及這些圖形 之間的關係。因此，能夠知道圓形沒有邊，三角形有三個邊，正方形有四個 一樣長的邊。但是卻無法說明不同類圖形間的關係(如：他們不會認為正方形 也是長方形)。

三、層次三：理論的(theoretical)層次

這個層次的學童，已經很清楚各種圖形的構成要素，並且知道各種幾何 圖形的內在屬性以及各種圖形之間的包含關係。例如，平行四邊形有兩雙平

行且相等的對邊，長方形是平行四邊形的一種，當平行四邊形其中一個角為 90度時，這個四邊形就是長方形。這階段的學童能夠依據圖形的性質進行非 正式的推演，但是還不能進行有系統的證明。

四、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次

這個層次的學童能夠經由抽象推理的過程，來證明幾何問題及相互間的 關係，也能了解這些定理證明的方法可能不只一種。(如：能證明三角形的內 角和是180度)。

五、層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次

這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的人，可以在不同的公設體系 中，建立定理並且進行分析或比較各種不同的公設系統。在此層次的人，能 學習不同的幾何公設系統，了解抽象推理幾何。

貳、van Hiele幾何思考層次之特性

Crowley (1987) 對 van Hiele 幾 何 思 考 層 次 特 性 的 描 述 為 ： 次 序 性 (sequential)、提昇性(advancement)、內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)、 語言性(linguistics)、以及不配合性(mismatch)。各特性分別敘述如下：

一、次序性(sequential)

幾何思考層次的發展是循序漸進的，每一個層次的概念一定是來自於前 一個層次的概念。學童必須充分的學習所在層次的各種概念，才能順利進到 下一個層次的學習。

二、提昇性(advancement)

學童層次的提昇受到教學的影響比年齡成長的影響來的大，教師適當的 教學和引導能提昇學童的幾何思考概念。van Hiele (1986)曾經提到，學童幾 何思考層次的進展，主要是依賴教學而不是學童的年齡成長或成熟度的增 加。因此由一個層次到另一個層次的轉變並不是一個自然的過程，它是在教

與學課程計畫的影響下而提昇的。

三、內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)

在某一層次的性質是屬於內在的性質，到了下一個層次，此一性質就有 可能成為外顯的性質。林軍治(1992)也指出：在每一思考層次上，先前層次的 內在性，變為目前層次的外在性。而對某些概念的瞭解，雖然在目前這個層 次可能不明顯，但在下個層次卻是明確可知的(Clements and Battista, 1992)。

四、語言性(linguistics)

每一個層次都有屬於該層次自己的語言、符號，以及這些符號之間的關 聯系統。每一層次有其專屬的獨特語言，在某一個層次中屬於正確的語言， 到了另一個層次中，可能就必需經過修正才能符合。

五、不配合性(mismatch)

依據van Hiele幾何思考層次的語言獨特性，每個層次有它自己獨特的語 言、符號。例如，若學童是屬於層次一，然而教學設計，語言符號的運用， 卻是層次二或層次三，那麼學童的學習成效就會不好，老師的教學效果就很 差。這也就是為什麼老師和學童之間會常常發生誤解或無法溝通的原因之 一。因此，老師在教學過程、教材內容、教具的選擇和語言的運用均要注意。

參、van Hiele平面幾何思考層次學童的特質

Fuys (1985)提出van Hiele平面幾何思考層次，學童在各層次所表現的特 質：Fuys依據van Hiele幾何思考層次理論為基礎，更進一步深入探究在每一 個層次中，學童所能達到的水準，而提出對應van Hiele幾何思考每個層次發 展，學童所能表現或達到的具體行為能力：

一、層次一：視覺層次(visualization)

(一)能依據幾何圖形的整體外貌辨識形狀。 (二)能作圖、繪製(draw)或複製(copy)一個圖形。

(三)依據標準或非標準的形式。 (四)能依據圖形整體外貌，進行比較和分類活動，並能用語言描述幾何圖 形。

二、層次二︰描述層次(descriptive)

(一)能確認並檢驗圖形組成元素之間的關係。 (二)能說出組成元素的名稱，並使用適當的語彙描述之間的關係。 (三)能依據組成元素之間的關係，比較兩圖之異同。 (四)能經由實驗發現特殊圖形之性質，並能歸納之；能利用圖形的已知性 質或洞察隱含的性質去解決幾何問題。

三、層次三︰理論的層次

(theoretical)

(一)能辨認某類圖形的各組性質，並檢驗這些性質充分性。 (二)形成並使用某類圖形之定義。 (三)能提出非形式化的論證。 (四)能非形式地辨識敘述及逆敘述之間的不同。 (五)不了解定義及基本假設的需要。 (六)尚未建立定理網路間的內在關係。

四、層次四︰形式邏輯的層次(formal logic)

(一)能辨識出正式定義的特性和等價的定義。 (二)在公設系統下，證明在層次二所說明的定理。 (三)學童在一公設系統下，建立定理和定理間的關係，了解公設、公理、 定義、定理、未定義名詞及證明的相互關係和角色，了解定理與逆 定理的區別和證明的必要與充分條件，可寫出邏輯證明。

五、層次五︰邏輯法則本質的層次(the nature of logical laws)

(一)學童能嚴格地在不同的公設系統下建立定理，並分析比較這些系統。 (二)找出解決一組問題的一般性方法。

(三)比較公設系統，並自動地探討公設的變動對結果的影響。

肆、幾何概念課程教材之研究

教育部(2003)對數學課程綱要作修訂，在領域中將數學內容分為數與量、 幾何、代數、統計與機率、連結五大主題。其中只有「幾何」的部分與九年 一貫暫行綱要不同，由「圖形與空間」改為「幾何」，玆將有關五年級幾何 的分年細目及幾何能力指標整理如表2-1、表2-2： 表2-1 五年級幾何的分年細目 分年細目 分年細目內容 對照指標 5-s-01 能透過操作，理解三角形三內角和為180 度。 S-2-03 5-s-02 能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。 S-2-03 5-s-03 能認識圓心角，理解 180 度、360 度的意義，並 認識扇形。 S-2-03 S-2-05 5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性 質。 S-2-06 5-s-05 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯 形的面積公式。 S-2-08 5-s-06 能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成要素，辨 認簡單立體形體。 S-2-01 5-s-07 能理解長方體和正方體的體積公式。 S-2-07 5-s-08 能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體 中面與面的平行與垂直關係。 S-2-02

表2-2 幾何能力指標 能力指標 能力指標內容 S-1-01 能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。 S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。 S-1-05 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 S-1-06 能描述物體的相對位置。 S-1-07 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。 S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分類。 S-2-02 能理解垂直與平行的意義。 S-2-03 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。 S-2-04 能認識平面圖形全等的意義。 S-2-05 能理解旋轉角的意義。 S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。 S-2-07 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。 S-2-08 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。 S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。 S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識 比例尺。 S-3-03 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。 S-3-04 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。 S-3-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。 S-3-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。 S-4-01 能利用形體的幾何性質來定義某一類形體。 S-4-02 能指出合於所給定性質的形體。 S-4-03 能描述複合形體構成要素間的可能關係。

表2-2 幾何能力指標(續) S-4-04 能利用形體的性質解決幾何問題。 S-4-05 能運用面積計算導出勾股定理。 S-4-06 能理解平面上兩直線互相平行、垂直的概念。 S-4-07 能根據直尺、圓規操作過程的敘述，完成尺規作圖。 S-4-08 能理解三角形的幾何性質。 S-4-09 能理解多邊形的幾何性質。 S-4-10 能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同。 S-4-11 能理解平行線的定義與相關性質。 S-4-12 能檢驗兩平面圖形是否相似。 S-4-13 能運用相似三角形的性質進行測量。 S-4-14 能理解圓的幾何性質。 S-4-15 能利用三角形及圓的性質作推理。 圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了解、 論述性的了解。小學教師在從事幾何教學時，主要避免的是來自本身歐氏公 設幾何訓練的干擾，處處受制於定義的認定與邏輯順序。由歷史來看，人類 是先由應用、操作、實踐中，認識各種幾何要素與性質，彼此之間並沒有一 定的先後關係。歐氏幾何的價值，首先是對這些先民知識的歸類與整理，其 次才是作為知識典範的演繹系統。 因此，小學的幾何教學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展 階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何形 體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜接國 中幾何的教學，打下良好的基礎。 推理能力的培養是國中數學教育的重點之一。國中階段的學習仍舊以學 童已有的幾何直覺經驗為前導，但強調主體或觀念的明確定義，及幾何量的 代數運算。因此，學習的內容是由非形式化的推理逐漸提昇至形式化的推理。

在國中階段，對於幾何推理的形成，僅強調幾個簡單步驟的推理。 幾何課程可概分為四階段：

一、階段一(一年級到三年級)

較強調幾何形體的認識、探索與操作，學童對幾何形體中的幾何要素， 也許能指認，但尚不清楚其結構意義。

二、階段二(四年級到五年級)

由於數與量的發展逐漸成熟，學童開始結合「數」與「形」兩大主題， 學習運用幾何形體的構成要素(如角、邊、面)及其數量性質(如角度、邊長、 面積)。

三、階段三

(六年級到七年級)

透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換等操作，來了解形體的性質 與幾何量的計算及非形式化推理。透過方位描述及立體模型的展開與組合以 培養空間能力及視覺推理。

四、階段四(八年級到九年級)

開始由具體操作情境進入推理幾何情境中，最終目標是學會推理幾何證 明，學習內容採漸進式安排，由基本幾何概念進入較深入的幾何推理領域中， 學習方式最開始可由填充式推理幾何，慢慢養成完整能力，讓學童有能力及 信心，快樂地學習幾何學領域的知識。 教材內含有認識生活中的平面圖形，如三角形、四邊形、多邊形、圓形； 認識點、線、角、符號及幾何相關名詞；使用基本性質描述某一類形體；能 以最少性質對幾何圖形下定義、並熟練定義的相關操作；體會邏輯概念：包 含關係、敘述及逆敘述、推理幾何；求角度問題、長度問題、面積（表面積） 問題、體積問題；推理證明、尺規作圖、全等性質、相似性質、平行性質的 應用、圓的相關性質。(教育部，2003)

伍、Duval幾何圖形理論

Duval (1995)提出四個關於幾何認知的瞭解(apprehension)，是為了幫助解 開幾何圖形潛藏的認知複雜度及分析圖形對啟發幾何學習過程的作用。這四 個包括：知覺性、構圖性、論述性、操弄性四種瞭解，分述如下： 一、知覺性瞭解(Perceptual comprehension) 對學童而言，知覺性瞭解是只學童經由感官，特別是視覺、觸覺對幾何 圖形的直接體驗，由感官直接體驗到圖形的提示察覺圖形，如果以學童本身 的想法來形容，這是一個圓形、三角形或這是點、線。 二、構圖性瞭解(constuction comprehension) 藉由學童構成幾何圖形的造圖活動及描述造圖活動的歷程(含語言及文 字)就可顯示出學童的構圖性瞭解，這個構圖性瞭解中會強調幾個重點： （一）在造圖及陳述造圖歷程中，構成圖形的單位元素會在明確的順序中呈 現。 （二）學童的構圖性瞭解並非依賴感觀的知覺性瞭解，而是依賴它所運用的 科技或工具及圖形本身具有的數學性質。 （三）構圖性瞭解在學童採用手繪的方式時，如果沒有考慮到圖形本身的數 學性質及和工具的關係，就無法達到構圖性的瞭解，而挑起學童反思 知覺性瞭解的矛盾。 三、論述性瞭解(Discursive comprehension) 幾何概念必須起源於對圖形的命名和一些假設，單由知覺性的瞭解並不 能使所有人對圖形的幾何性質達到共同的理解。圖形所代表的數學特質並不 能完全靠著繪圖來呈現，有時必須靠著言語(speech)及其他的性質來描述。一 個沒有術語命名和假設的繪圖是含糊不清的呈現。在所有幾何表徵中，對於 其幾何性質的辨認仍然必須建立在敘述上，然後經過一個演繹的過程來決定 這個圖形表現了什麼，論述性瞭解可以在知覺性瞭解不變的情況下而改變。

論述性瞭解包括學童對圖形命名、定義及推論的活動。 四、操弄性瞭解(Operative comprehension) 我們正在觀察一個圖形時，透過操弄性理解我們可以增加解題的洞察 力，並在操弄圖形的過程中得到解題的靈感，在以不同的方式更改圖形之後 獲得操弄性的瞭解，而變更圖形的方法大致分為下列幾種： (一)分解組合圖形。 (二)放大縮小圖形。 (三)平移旋轉圖形。 這三種方式可以在心靈中操作，也可實際地去變動它，這些操弄可使圖 形具有啟發性的功能，所以可在操弄的過程中，突顯出圖形的變化而得到某 個證明步驟或解題的靈感。 在學習幾何知識方面，Duval (1998)則認為學童有三種認知過程，分別是： (一)視覺化(visualization)過程：對於圖形空間表徵的認知，可能只是單純的 表象圖形(線條與形狀的組織體)，也可以是幾何意義(角、平行、垂直、 等距、等面積)的洞察，也可以是根據文字敘述所進行的圖形再現。 (二)建構(construction)過程：根據作圖工具對圖形的製作過程，通常這個過 程有助於學童去發現圖形中的幾何意義。 (三)推理(reasoning)過程：進行論說的過程，例如說明、證明等。 在幾何認知的教學方面，Duval (1998)則主張： (一)視覺、構圖、推理的幾何認知過程應該獨立發展。 (二)不同視覺過程的區分以及不同推理過程的區分是教學不可或缺的。 (三)三種認知過程的整合只有在這些區分活動趨於成熟後才有可能。 Duval (2002)認為一般的幾何教學中，若學童能有充分的操弄圖形經驗之 後，學童才有可能發展出圖形論證能力。

陸、幾何概念相關研究

Seng and Chan (2000)對127名新加坡國小五年級學童進行空間能力的測 驗， 以了解空間能力及數學成就之間的關係，結果發現空間能力與數學成就 測量中的計算、概念、應用和年級有顯著的正相關， 空間因素的成績可作為 數學成就測量的重要預測。Clements (1999)針對3到6歲的學前學童所進行的形 概念研究中發現，學前學童之形概念最初基模的形成是基於視覺形式的特徵 分析，並且能區別類似圖形的構成要素和簡單性質。 吳德邦、鄭佳昇(2001)研究以表徵觀點嘗試了解學童立體幾何概念的形 成，以提供教師在進行立體幾何教學時的參考，結果顯示，國小階段學童對 於立體幾何表徵能力可以分為兩階段。左台益、梁勇能(2001)研究中檢驗國二 學童空間能力與van Hiene幾何思考層次的交互影響性，以及國二生解決空間 問題之策略，發現學童空間能力與van Hiele幾何思考層次以及解決空間幾何 問題均呈現正相關。 張英傑(2003)利用診斷教學實驗對於澄清高年級學童的四邊形迷思概念 的研究結果中發現，學童出現「認為正方形不是長方形」、「認為正方形不 是菱形」、「認為長方形不是平行四邊形」、「認為菱形不是平行四邊形」、 「認為正方形不是平行四邊形」五項迷思概念。賴文正(2005)發現國小五年級 學童對角概念與角度的迷思，原因往往是對角的定義不理解、 受直觀、視覺 的錯覺以及保留概念未成熟、操作量角器欠熟練，缺少估測角度經驗等因素 所形成的。 陳東村(2005)發現越高年級表徵能力在較高的階段，得知學童立體表徵能 力是隨著年級的增加而增加。馮雅慧(2006)空間能力與數學幾何成就相關之探 究發現空間能力與數學幾何成就具有相關性。且不同學校學童於空間能力量 表的表現無顯著差異性，但於數學幾何成就測驗具顯著差異性。不同性別學 童於空間能力量表與數學幾何成就測驗的表現無顯著差異。數學幾何成就

低、中、高組學童於空間能力表現具差異性。 薛建成(2003)以van Hiele理論為依據所發展的測驗工具，研究臺灣中部地 區，隨機抽樣的722名學童的van Hiele思考層次，結果發現學童對圖形直線與 曲線的判別較易達成，而對於旋轉圖形的判別是有困難的，且也發現學童的 幾何層次表現是經由「學習的過程」。李懿芳(2006)表示中部地區地區的學童 在van Hiele立體幾何思考層次的表現是有階層性的，年級較低的其立體幾何 思考層次就較低，這有與van Hiele的論點相吻合。

Borg and Gall (1989)研究發現學童的知識與其van Hiele階層有其相關

性。只要提供適當的階層語言，則學童的幾何概念是有可能被提升的。Mason

(1989)指出學童對不同的幾何概念表現不同的van Hiele水準層次，且由晤談結 果發現許多學童學習幾何時的錯誤概念，年級愈高愈傾向於高思考水準。

Baynes (1998)研究如何來提昇學童的van Hiele幾何思考層次，經由調查 發現學童的數學幾何思考層次是有階層性的，並且有由層次低往層次高的地 方發展的趨勢。

Piaget and Inhelder (1967)指出學童的幾何概念思考發展是依照一明確的 順序，是較接近於理論的順序，而不是幾何發展史的順序，它是隨著學童本 身的年齡的增長而對於空間知覺能力的發展，所表現出來的幾何性質。其從 心理認知發展的觀點來研究學童的幾何發展階段，將學童的幾何發展階段分 為三個時期： (一)拓樸空間(topographical space)：同認知發展階段之前操作期，藉著觸覺來 分辨接近、分離、次序和包含等空間關係，此階段學童僅能了解以自我為 中心的方向。 (二)投影空間(projective space)：同認知發展階段之具體運思期，能領會物體 位置與物體間的關係，能在不同的位置以透視的觀點了解物體的出現，但 仍無法擺脫視覺的影響，此階段學童已具有固定的空間參照系統能力。

(三)歐氏空間(euclidean space)：學童空間理解能力已成熟，能從視覺迷惑中超 脫，此階段學童能將所有物體及物體間的空間關係統整為整體概念。

Battista (1990)在進行高中學童幾何空間視覺化能力及性別差異的研究時 提到，男生在空間視覺、幾何成就及幾何問題解決方面的成績明顯高於女生， 但在邏輯語言能力或其所使用的幾何問題解決策略方面則沒有什麼不同。

Nilges and Usnick (2000)指出數學教育家相信孩子擁有較強的空間能力 可以為學習幾何(geometric)、測量(measurement)和數概念(number concepts)作 出較好的準備。Quaiser-Pohl and Lehmann (2002)指出空間能力對專業技術以 及某些學科是重要的，研究中顯示空間視覺化與數學成就間具有顯著相關 性。但Floyd (2003)在研究結果中指出視覺空間思考(visual-spatial thinking)與 計算能力(math calculation skills)及推理能力(math reasoning)在6~19歲的學童 學習中，皆未具有明顯相關性。 由以上的研究發現，從國小到高中，國內、外皆有學者研究幾何或van Hiele理論相關主題，本研究以幾何為主題探討台灣中部地區國小五年級學童 幾何概念學習情形。

第二節 模糊理論

壹、理論介紹

古典集合將元素和集合的關係以二元的邏輯來描述，但此集合關係運用 於許多實務現象，便會發生不合理的現象，因為並不是所有事務都是屬於「非 此及彼」的現象，而是存在「既此又彼」的關係(林原宏，2007)。然而，模糊 理論(fuzzy theory)由Zadeh (1965)首先發展出來，理論擴展二元關係的描述方 法，以介於[0, 1]之間的隸屬度(membership)描述元素和集合的關係。 模糊理論主要是用隸屬度(membership)來表示無法非此即彼的事物，對事 物作更深入、更精確的解說，其與人腦「過程模糊，結論清晰」的思維方式

資料處理(林基興，2007；Kosko, 1999)。茲將模糊理論扼要說明如下： 有關模糊隸屬度函數和α 截集(α -cut)的定義如下： 【定義2-1】令U表示全域集 (universal set)， f 為一函數，即 f：U →[0,1]， 則 f 之模糊子集A的隸屬度函數記為 f_A

( )

x ，表示元素x隸屬於模 糊集合A的程度。在離散的情形下，模糊集合A可表示成： n n A A A x x f x x f x x f A ( ) ( ) ... ( ) 2 2 1 1 _{+ + +} = 而在連續的情形下，則A可表示成：

∫

∈ = U x A x x f A ( ) 【定義2-2】模糊子集A的α 截集定義為：

{

( )≥

}

, 0≤ ≤1 = α α α x f x A _A A的α 截集的隸屬度函數 f_Aα

( )

x 為：

( )

⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = α α α ) ( , 0 ) ( , 1 x f x f x f A A A

貳、模糊關係矩陣與模糊截矩陣

所謂關係是指集合彼此之間是否有某種關聯之特性，亦即描述集合間是 否有關的方式。模糊關係可以想成是傳統明確關係的擴張。模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix)用以描述兩集合元素的模糊關係，其說明如下：

一、假設論域X有m個元素，論域Y有n個元素，則用來描述X與Y兩集合元 素的關係程度可用模糊關係矩陣 n m ij mn m n r r r r r R = _× ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ( ) ... . . . . . . . . . ... 1 1 11 表示。

二、在給定α 值之情形下，可進行模糊關係矩陣之截矩陣運算。亦即： J I ij r Rα =( α) × 且 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = α α α ij ij ij r r r , 0 , 1 ， 其中0≤α ≤1

參、模糊理論之相關研究

近年來，模糊理論日漸轉往社會科學及人文領域之中，可使複雜的人文現象得到 合理化的解釋，並在模糊的基準上建立原理原則。在社會科學上的應用，亦有蓬勃發 展之勢(羅豪章，2005；Ragin, 2000)。以下列出模糊理論在教育與心理評量上應用 之相關研究。 吳德仁(2000)嘗試結合模糊理論及人工智慧的技術，並依據學習者對於教 材的反應及評量題目作答之結果，更為精確地來分析學童對於每一個學習概 念的認知程度，得以適時提供學習者真正需要的學習教材，促進更有效的學 習。 林信惠、蕭文峰(2001)以區間方式來獲取「心理屬性」型態的歸屬函數， 同時可用此方法建構五等級口語評估值之歸屬函數，其認為歸屬函數之分布 圖形顯示模糊理論中的「正規化」及「修飾詞」運算是不恰當的。林原宏(2001) 以資料模擬的研究方法，探討在問題數、語意模糊度以及內部一致性等因子 的影響下，傳統計分和模糊語意變數計分的信度差異。其研究結果顯示模糊 語意變數計分的信度顯著地高於傳統計分的信度，此結果也指出模糊語意變 數計分的適用性和可行性。 莊仲寧(2002)應用模糊理論，以模糊數學方法，評量九年一貫課程的國小 一年級學童的期末成績，其研究指出模糊評量結果表達在成績報告時，以模 糊分布表示較為充分與完整。楊慧玲(2002)應用模糊理論之語意變數與傳統的 李克特氏量表之不同計分方式研究，得知當語意表現越模糊時，模糊計分呈

現較大的差異，就整體而言，模糊語意變數計分的差異誤差大多低於傳統計 分，有別於傳統二元邏輯概念，較能符合人類心理特質呈現。 李其宗(2003)改進傳統評分者間一致性的指標，提出廣義的模糊計分之評 分者間一致性的指標。以模擬的方式，比較傳統計分方式與模糊計分方式兩 者的Kappa係數。整體而言，模糊計分方式的評分者信度高於傳統計分方式的 評者信度，表示加入人類思維的模糊性之模糊計分，較能表達評分者真實的 感受，亦突顯傳統計分方式的二分法的限制。 吳孟勳(2003)認為評量過程中亦牽涉到人為主觀判斷而產生模糊性，如粗 心、概念不清等現象，以協助學童進行適性教學或補救教學，提昇學習效果。 沈逸萍(2003)應用模糊理論建置學童成績的總體評量計算模式，以達到具有合 理、周延性的模糊評量方式。以模糊綜合評判方式，將可得到比傳統加權平 均更兼顧學童優劣表現之周延效果。 陳耀霖(2004)應用模糊理論與分析層級程序法在國小網站評鑑模式進行 研究，發現利用分析層級程序法簡單且結果易使人瞭解的特性，結合模糊理 論的方法，使得決策考慮更為周詳。林信成(2005)應用模糊分類與模糊詮釋資 料的概念作為圖書管資訊選粹服務系統的設計，以更滿足讀者的個人化資訊 需求。 Law (1996)探討應用模糊綜合評估如何評量學童真實學習成效，且透過模 糊隸屬度函數建置一套數學教育指標系統。Law (1997)指出模糊理論成為工 程、人工智慧、統計方法論等領域的新秀，近年來，更逐漸影響社會科學的 資料分析。

Chen, Wang and Chiu (2000)提出估計模糊集合隸屬度值之方法，利用此 方法求出第一個元素的隸屬度值，以此推估其他元素的隸屬度值，其研究結 果顯示，此方法能有效估計並節省成本。

方式，不同於傳統二元邏輯來定義事物，其結果較符合實際現象。

第三節 模糊取向的詮釋結構模式分析法

本節首先介紹詮釋結構模式及其應用上之限制，最後說明模糊取向的詮 釋結構模式的內容、分析方法及其相關研究。

壹、詮釋結構模式

詮釋結構模式最早由J. N. Warfield (1976)提出，原為社會系統工學(social

system engineering)之一種構造模型法(structure modeling)，為制定管理決策的 工具，用來分析與解決複雜的情境和問題。

透過二維矩陣(binary matrices)的數學運算，呈現出一個系統內全部元素 間關連性，並可藉由電腦來輔助執行繁複的數學運算過程，最後可自動地產 生一個完整的多層級結構化階層(multilevel structural hierarchy)，稱為「地圖 (map)」(Warfield, 1974, 1977)。Warfield (1982)指出 ISM 非常適用在巨大模型 的創造、推演與修正，每一步驟在整個模型裡都用圖例表示，並進而提出了 ISM 在社會學、人類學、心理學及哲學等其他領域的應用。

一、ISM分析法

佐藤隆博(1987)在「構造學習法」一書中，使用ISM分析法探討在教育上 的課程與學習架構的表現，其主要目的是要將學習者腦中思考的概念單位結 構，用具體的圖形或數量表示出來。故利用ISM分析法在教學及分析認知結 構上之階層，使教師將腦中片斷、籠統而抽象化的教材要素重新排列順序， 轉變成具體化、全面化或以數量表示的關聯構造階層圖(如圖2-1所示)，意即 經由部分元素之間的關係，整合形成整體概念元素的關係，此處所指的元素， 除了所談到的腦中知識概念單位之外，亦可為教材中最基本的單元或學習內

容(蔡秉燁、鍾靜蓉，2003；廖信德，1998) 。 圖2-1 教師認知模型之關聯構造階層圖 引自：蔡秉燁、鍾靜蓉(2003)

二、ISM 分析方法的步驟要點為

(一)矩陣的運算

令A 為因果關係轉成的關係矩陣(relation matrix) 則

( )

ij _{k k} KK K K K K a a a a a a a a a a A = _× ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = L M M M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 (二)矩陣的運算定義如下： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⊗ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( h d g c f d e c h b g a f b e a h f g e d c b a 上式中⊗和⊕的運算，定義如下，以a和e為例： ⎩ ⎨ ⎧ = ⊗ 1 = e and 1 = if else 1 0 a e a ⎩ ⎨ ⎧ = ⊕ else 0 = and 0 = a if 1 0 e e a

則兩個矩陣A的運算的結果定義為：

( )

_ij K K KK K K K K a a a a a a a a a a A = × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = (2) ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 22 ) 2 ( 21 ) 2 ( 1 ) 2 ( 12 ) 2 ( 11 2 L M M M M L L ,(i=1,2,...,k;j =1,2,...,k)

(三)傳遞閉包(transitive closure)

定義 P A A A A Aˆ = ⊕ 2⊕ 3⊕_L ，且矩陣Aˆ稱為傳遞閉包。

(四)可到達矩陣(reachability matrix)

將矩陣A 加上單位矩陣 I

，

其中I 表示K×K階的單位矩陣。 定義 P P I A I A A A A I Aˆ⊕ = ⊕ 2⊕ 3⊕_L ⊕ =( ⊕ ) I A A A A A I A I A A A A I A I A R P P P P P ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ = ⊕ = + +1 2 3 1 3 2 ) ( ) ( ˆ L L 則 ₌ ˆ_{⊕ =( ⊕ )}P _{=( ⊕ )}P+1 I A I A I A R ，稱R為可到達矩陣。

(五) ISM 圖的繪製

若以某A矩陣為例，以上述步驟進行運算，可得其演算終止之R矩陣。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 R= (1) R矩陣中指向A1之概念A1、A2、A3、A4、A₅共有5個，因此在M矩陣 第1行依序寫上1、1、1、1、1；R矩陣中指向A2的只有自己本身，因 此在M矩陣的第2列寫上0、1、0、0、0；R矩陣中指向A3的概念為A2、 3 A 、A4。因此，在M矩陣的第3列依序寫上0、1、1、1、0；R矩陣中

指向_A4的概念為_A2、_A3、_A4，因此在M矩陣的第4列依序寫上0、1、 1、1、0；R矩陣中指向A5的概念為A2、A3、A4、A5，因此在M矩陣 的第5列依序寫上0、1、1、1、1。經上述演算可得M矩陣如下： ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 M= (2) 在R和M矩陣中，若元素為1，則填上被指向的元素代號；若0，則保持為0。 則可得R(Ak)和_M(_Ak)如下所示。

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 5 1 5 4 3 1 5 4 3 1 5 4 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A A A A A A A A A A A = A R _k ，

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 5 4 3 2 4 3 2 4 3 2 2 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A A A A A A A A A A = A M _k (3) R(Ak)∩M(Ak)是R(Ak)和M(Ak)矩陣交集，兩矩陣相對應的位置若同時存 在該元素，則填上該元素；反之則填上0，R(Ak)∩M(Ak)如下所示。

( )

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∩ 5 4 3 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A A = A M A R _{k k} (4) 比對R(Ak)和R(Ak)∩M(Ak)的每一列，找出列相等的元素。在上表中，先 找到相對應的第1列A1，則在R(Ak)、R(Ak)∩M(Ak)中A1所在的行(column) 與列(row)全部刪掉，刪除後的列與行則不再比較和尋找。依本例子而言，

將先找到第一列元素A1，則在矩陣R(Ak)和R(Ak)∩M(Ak)中，A1所在行與 列全部刪除，並將刪除後的矩陣，整理並表示如下。

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 5 1 5 4 3 1 5 4 3 1 5 4 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A A A A A A A A A A A = A R k ，

( )

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∩ 5 4 3 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A A = A M A R k k 得

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 5 5 4 3 5 4 3 5 4 3 2 0 0 0 0 0 A A A A A A A A A A A = A R k ，

( )

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∩ 5 4 3 4 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A = A M A R k k (5) 將先找到第5列元素A5，則在矩陣R(Ak)和R(Ak)∩M(Ak)中，A5所在行與 列全部刪除，並將刪除後的矩陣，整理並表示如下。

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 5 5 4 3 5 4 3 5 4 3 2 0 0 0 0 0 A A A A A A A A A A A = A R k ，

( )

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∩ 5 4 3 4 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A = A M A R k k 得

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 4 3 4 3 4 3 2 A A A A A A A = A R k ，

( )

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∩ 0 0 0 0 4 3 4 3 2 A A A A A = A M A R k k (6) 將先找到第 2 列和第 3 列元素_A3、_A4，則在矩陣R(Ak)和R(Ak)∩M(Ak)中， 所在行與列全部刪除，並將刪除後的矩陣，整理並表示如下。

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 4 3 4 3 4 3 2 A A A A A A A = A R k ，

( )

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∩ 0 0 0 0 4 3 4 3 2 A A A A A = A M A R k k 得 R

( )

Ak =

[ ]

A2 ， R

( )

Ak ∩M

( )

Ak =

[ ]

A2 (7) 將元素依找到的順序，由上向下排列，並依照矩陣A 中的元素關係，在有 關係的元素間畫上箭頭，完成如圖2-2所示(其中元素_A3、_A4，因同時被 找出，故為同一階層元素)。 圖2-2 元素的上下位圖 (8) 為增加圖形的可讀性，故進行ISM圖簡化動作，尋找元素之間的路徑關 係，若存在二條路徑(path)以上，則刪除圖中直接指向的路徑，並保留間 接指向的路徑。以A2指向為例，如圖2-3及圖2-4所示。 圖2-3 簡化前的ISM圖 A1 A5 A3 _A4 A2 A1 A5 A3 A4 A2

圖2-4 簡化後的ISM圖 (9) 若ISM圖形元素多而箭頭關係複雜，則可視研究者所需而進行簡化。在 此，完成ISM圖的繪製，如圖2-5所示。 圖2-5 繪製出ISM圖

三、ISM分析法在教育上之主要用途及應用

(一)在教材內容的結構化

分析教學主要目標，再由上往下界定次要目標，決定出年級間或各單元 間教材內容的結構。蔡秉燁、鍾靜蓉(2002)。結構化教材設計法主要分成三個 A1 A5 A3 A4 A2 A1 A5 A3 A4 A2

步驟： (1)教材內容結構分析 (2)教學內容結構分析 (3)結構化評鑑等系統設計。 而根據該研究成果顯示電腦化學習結構分析的優點有： (1)可以節省心力，提高概念構圖的效益。 (2)透過詮釋結構模式的數學二維運算可減輕認知負荷。 (3)結構化教材設計之流程進行，需反覆來回修正，以確立知識階層結構化的 正確性。 (4)結構化教材設計有助於教師建構結構化的知識體系。 (5)結構化教材設計可幫助精緻化的學習與記憶 吳信義(1998)應用ISM法分析職業教育「基本電學」科目教學單元中之要 素階層關係，據以建立其單元內容，並以電腦化進行分析以減輕課程設計之 負擔。鍾靜蓉(2002)就經濟學中「需求與供給」單元為實例，以ISM方法進行 學習單元的結構分析，以電腦軟體迅速建構出學習單元的「學習地圖」(learning map)與「學習路徑」(learning path)。 鄭麗娜(2004)在九年一貫課程社會領域地理概念的研究中，以ISM分析法 繪出地理概念階層圖，以視覺化的方式呈現地理概念間相互關係之網絡，規 劃了地理概念學習的最佳路徑與群組概念。

(二)在編授教材內容

由教學者決定教材內容的目標層次關係，以由下往上累積元素關係的方 式，可幫助教學者了解教學目標之間的順序關係和發展。蔡曉信(1993)認為顯 示ISM分析法比敘述方式更能有效的提升有關STS教學的看法和觀念。廖信德 (1998)以ISM分析法統整數學教育專家們對於國小四至六年級數學概念的意

見，並據以繪製成數學概念結構圖，作為設計問卷之參考，據以研究原住民 國小四至六年級數學科基本學力指標。 王素賢(2004)透過ISM分析法設計數學科補救教學教材，可具體化呈現概 念構圖之思考脈絡，支援教師教學效能、縮短教師備課時間，圖像式的呈現 ISM結構化教材，可使教師更明確掌握學習順序、幫助學童進行補救學習， 結合S-P表分析，可使教師易於掌握學童概念不清的原因。

(三)在學習者知識的結構化方面

若已確知學習者概念元素彼此之間的關係時，利用ISM 分析法，以得到 其整體概念的結構圖。Tatsuoka (1995)利用 ISM 法分析出具階層性的知識結 構，認為概念與認知之間具有關聯性，因此屬性之間具有先前需要的關係， 並將此階層關係用網路狀的樹狀圖表示。Tatsuoka and Tatsuoka (1997)將 ISM

分 析 法 發 展 成 電 腦 認 知 診 斷 測 驗 系 統(computerized cognitive diagnostic

adaptive testing system)，此系統對於補救教學有極大幫助。

Echauz and Vachtsevanos (1995)提出一個模糊的分級的方法應用在學童與 教師的教學評量，可將教師評定學童原始成績(明確的數值)，經過模糊化 (fuzzification)後，再轉換成等第(A、B、C、D、E)等形式的模糊數(fuzzy number)，以達到公正性與客觀性。 蔡秉燁(2004)利用 ISM 法，將高中數學教學之補救教材進行結構化教材 之設計，顯示圖像式的階層結構教材內容，有助於教學者確切掌握教材呈現 的順序，可作為補救教學參考依據，以及增進補救教學的效果。 林輝泉(2004)運用 ISM 分析，對於教師實施資訊融入教學所需的資訊素 養及環境要素實施需求評估及發展策略；透過文獻分析、訪談專家意見、詮 釋結構模型之建立，瞭解教師實施資訊融入教學之要素及發展策略。Lin, Hung, and Yu (2007)結合 FLMP 及 ISM 的演算方式，並比照專家知識結構來分析個 人化的等量公理概念結構，研究發現不同反應組型及總分的學童有不相同的

概念結構。

(四)在其他領域的運用

除了教育和教材方面之外，ISM分析法也在其他領域運用上，得到很大

的幫助。Saxena, Sushil, and Vrat (1992)應用ISM分析法分析印度水泥工業之能

源保護(energy conservation)計畫中各元素間的分類和階層結構化。Ravi,

Shankar, and Tiwari (2005)使用ISM分析法，將電腦硬體企業逆向物流(reverse logistics)的生產性爭議(productivity issue)模式化。Lin, Wang, and Chen (2006) 顧客對產品的許多要求項目間的相互依賴性，使用ISM分析法以結構關係方 式清楚地陳述出來。

貳、模糊取向的詮釋結構模式分析法

詮釋結構模式分析法的元素關係只限於二元關係，而在心理計量或教育 領域中所欲了解的概念與概念之間或能力與能力之間的關係，不能完全只用 二元關係來加以描述。林原宏(2005)提出模糊取向詮釋結構模式分析法，是利 用模糊理論的截矩陣和察覺的模糊邏輯模式來改進詮釋結構模式只適用於二 元資料的限制，此法可結合試題反應理論以及察覺的模糊邏輯模式其元素關 係計算方法，來針對模糊關係元素，計算其為上下從屬關係(subordination relation)程度，進行模糊取向詮釋結構模式分析，呈現個人化的模糊關係矩陣 及模糊關係截矩陣。

一、分析方法

(一)分析的元素單位可為試題或概念，假設共有M個試題的概念總數為L個。 (二)在選定的試題反應理論模式下，能力值θ 學童在第_k m題的答對機率為 ) ( _k m P θ ，依察覺的模糊邏輯模式，計算該學童的模糊關係矩陣如下： (1)若所分析的元素單位為試題，則能力值θ 學童的模糊關係矩陣為k

M M k ij k p D(θ )=[ (θ )] _× ，pij(θ 為符合試題k) i指向試題 j的機率。依察覺的模 糊邏輯模式意義，令c_i =P_i(θ_k) 且o_j =1−P_j(θ_k)，所以可得： ) ( )] ( 1 [ )] ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k j k i k j k i j i j i j i j i k ij P P P P P P o c o c o c o c p p θ θ θ θ θ θ θ − + − − = − − + = = (2)若所分析的元素單位為概念，則能力值θ 學童的模糊關係矩陣為k L L k ij k p D(θ )=[ (θ )] _× ，pij(θ 為符合概念k) i指向概念 j的機率。依每一試題 測得該概念與否的關係，設概念個數為L個，可形成一個二元關係的概 念屬性矩陣(attribute matrix)A=(a_ml)_M×L，a_ml =1表示第m題包含概念l， 亦即有測到概念l；aml =0表示第m題沒有包含概念l，亦即沒有測到概 念l。令 L l L M m ml a a SA × • × = = =

∑

_{1 1} 1 ) ( ) ( 表示每一概念被測得出現的總數之矩陣。 因 此 ， 能 力 值 θ 之 學 童 在 每 個 概 念 精 熟 的 機 率 為_k L k l L M l ml M k m k _a ma a P MA _{× ×} • × = =[ ( )]₁ [ ] [ ( )]₁ ) (θ θ θ 。依察覺的模糊邏輯模式意 義，令c_i =ma_i(θ_k) 且oj =1−maj(θk)，所以可得： ) ( )] ( 1 [ )] ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k j k i k j k i j i j i j i j i k ij ma ma ma ma ma ma o c o c o c o c p p θ θ θ θ θ θ θ − + − − = − − + = = (3) 選 定 α 值 且 0≤α ≤1， 將 模 糊 關 係 矩 陣 為 D(θ_k)=[p_ij(θ_k)]_M×M 或 L L k ij k p D(θ )=[ (θ )] _× 進行截矩陣分析。例如分析的單位為試題，則： M M k ij k p Dα(θ )=[ α(θ )] _× 且 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = α θ α θ θ α ) ( , 0 ) ( , 1 ) ( k ij k ij k ij p p p ， 其中0≤α ≤1 (4)將所得的模糊關係截矩陣進行 ISM 分析，為提供圖形可讀性，可進行 ISM 圖簡化，假設元素 7 指向元素 1 有 2 條路徑 (path)，則去除直接 指向並保留間接指向的路徑。例如：圖2-6。

簡 化 圖2-6 ISM 圖簡化前後圖之比較 (5)在給定α 值，可獲得能力值θ 之學童的 ISM 圖。因此，可獲得不同能k 力值之個人化試題或概念的ISM 圖。

二、

模糊取向的詮釋結構模式

相關研究

陳紹銘(2006)應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學童的等量 公理概念之階層結構，發現國小學童學習等量公理知識結構具有階層性；模 糊取向的詮釋結構模式分析方法，對等量公理知識概念分析是可行的分析方 法；不同能力值的學童其等量公理ISM 圖有明顯的差異；試題所蘊含概念之 結構關係，因學童不同能力值而有明顯不同。 紀順雄(2007)利用模糊取向之詮釋結構模式，針對臺灣省中部臺中縣、彰 化縣和雲林縣共 985 名六年級學童分析分數加法概念，顯示對分數加法知識 概念作分析時，模糊取向的詮釋結構模式分析方法是可行的分析方法；不同 能力值的學童間，其分數加法ISM 圖是有差異的存在。 李玉貞(2008)以模糊集群分析來做分群，再配合模糊詮釋結構模式圖繪出 各群組學童的分年細目ISM 圖，同時進行分年細目 ISM 圖的相關比較，以了 解學童在國小一年級數與量學習領域相關分年細目的階層關係，同樣顯示分 年細目ISM 圖因學童能力值不同而有異。 方景宏、林原宏(2008)應用模糊詮釋結構模式，探討國小六年級學童在學