建構交易執行策略交易前緣與最適交易策略

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第二節 建構交易執行策略交易前緣與最適交易策略

由於本研究主要目的在於分析當鉅額交易存在市場時，市場參與者各期應 該選擇持有多少部位數量做為其最適交易執行策略以有效降低該交易期間所面 對之執行成本；也就是說，當整體市場參與者對於市場走勢皆具備相同趨勢看法 時，參與者應該依何種數量及速度執行持有部位之交易策略才可以有效將其所應 支付的執行成本可能損失金額與執行成本之變動達到最適化。

在市場參與者皆符合理性的假設下，當市場參與者面對一定的執行成本可能 損失時，應該追求執行成本波動的極小化，以達到效用的滿足感極大化。因此，

在追求交易策略最適化的建構前提下，應該使得參與者在給定執行成本可能損失 的情況下，追求所面對的執行成本波動最小；或者，給定市場參與者相同的執行 成本波動下，盡可能降低執行成本可能損失金額，故稱之為最適化或最有效率的 交易策略。

為求解最適化交易策略，必須引入最適化求解方法，選定目標函數，將執行 成本期望值𝐸(𝐿)及執行成本變異數V(𝐿)利用拉格朗日乘數λ建構成目標函數。

目標函數如下：

𝑈(𝐿) = 𝐸(𝐿) + 𝜆𝑉(𝐿) (11) 上列(11)中，市場參與者的目標函數𝑈(𝐿)藉由執行成本期望值𝐸(𝐿)及執行變 異數V(𝐿)建構而成。如此一來，在決策交易策略過程中，可以避免市場參與者為 了規避未來市場波動所產生的風險，而採取一次性全數執行的策略而蒙受極高的 執行成本期望值𝐸(𝐿)；同時，也可以避免市場參與者為了規避當下大額的執行成 本期望值𝐸(𝐿)，而採取大量且過度長期持有的策略而忽略了執行成本變異數V(𝐿) 所可能隱藏的龐大波動。

此外，(11)中加入拉格朗日常數𝜆，除了利於目標函數計算外，同時，𝜆也具 有其經濟意涵，在執行成本期望值𝐸(𝐿)相同下，對風險承擔較敏感的市場參與者 將追求執行成本變異數V(𝐿)極小化的交易策略，當參與者希望執行成本變異數 V(𝐿)帶來執行成本期望值𝐸(𝐿)下降好處所需要承擔的代價，故𝜆大於 0 做為市場 參與者對於承擔未知動盪較為敏感的表示；反之，對風險承擔較不敏感的市場參 與者而言，追求變異數𝑉(𝐿)的增加，隨著而來的是執行成本期望值𝐸(𝐿)的好處，

故𝜆應該小於 0；𝜆等於 0，則說明該市場參與著對於風險並沒有任何特定的敏感 度傾向。

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將(9.1.2)及(9.2.2)代入(11)，如下：

𝑈^𝜇(𝐿)＝¹₂𝛾𝑋²− 𝜇 ∑^𝑁_𝑖=1𝜏𝑥_𝑖^𝜇+ 𝜀 ∑^𝑁_𝑖=1|𝑛_𝑖^𝜇|+^𝜂̃_𝜏∑^𝑁_𝑖=1𝑛_𝑖^𝜇2+ 𝜏𝜎²∑^𝑁_𝑖=1𝜏𝑥_𝑖^𝜇2 (12.1) 𝑈(𝐿)＝¹₂𝛾𝑋² + 𝜀 ∑^𝑁_𝑖=1|𝑛_𝑖|+^𝜂̃_𝜏∑^𝑁_𝑖=1𝑛_𝑖²+ 𝜆𝜎²∑^𝑁_𝑖=1𝜏𝑥_𝑖² (12.2) 上述兩個目標函數𝑈(𝐿)皆為𝑥_𝑖及𝜏的函數，求解最適化問題時，針對各個𝑥_𝑖進 行偏微分並且令其為0，可得到以下兩等價公式：

(𝑥_𝑖−1−2𝑥_𝑖+𝑥_𝑖+1)

𝜏²

= 𝜅̃

²

(𝑥

_𝑖

− 𝑥̅) = 𝜅̃

²

(𝑥

_𝑖

−

_2𝜆𝜎^𝛼₂

)

(13.1)

(𝑥𝑖−1−2𝑥𝑖+𝑥𝑖+1)

𝜏²

=

^𝜆𝜎2

𝜂̃

𝑥

_𝑖

= 𝜅̃

²

𝑥

_𝑖 (13.2) 上述兩式中，由於𝑥_𝑖−1、𝑥_𝑖和𝑥_𝑖+1呈現線性差分方程的型式，在 Almgren &

Chriss(2000)文章中，猜測𝑥_𝑖為exp (±κ𝑡_𝑖)可解得 2

𝜏²(cosh(𝜅𝜏) − 1) = 𝜅̃²

同時，利用交易策略中對於期初持有部位𝑥₀ = 𝑋及期末持有部位𝑥_𝑁 = 0的假 設做為差分方程的特殊解，針對資產價格動態是否存在𝜇𝜏項分別解出兩組不同的 交易策略。

(1) 資產價格動態存在𝝁𝝉項者下的交易策略及其效率前緣

𝑥

_𝑖^𝜇

=

^{sinh(𝜅(𝑇−𝑡}_{sinh(𝜅𝑇)}^𝑖))

(𝑋 − 𝑥̅) + [1 −

^{sinh(𝜅𝑡}_{sinh (𝜅𝑇)}^𝑖)

]𝑥̅

(14)

𝑛

_𝑖^𝜇

=

^{2 sinh(}

1 2𝜅𝜏)

sinh(𝜅𝑇)

cosh (𝜅 (T − 𝑡

_𝑖−¹

2

)) (X − 𝑥̅) +

^{2sinh (}

1 2𝜅𝜏)

sinh (𝜅𝑇)

𝑐osh(𝜅𝑡

_𝑖−¹

2

)𝑥̅

(15) 分別將(14)、(15)帶回(9.1.2)、(10)，便可求解出資產價格動態存在𝜇𝜏項時，

依照交易策略進行所需面對的執行成本期望值𝐸(𝐿)及執行成本變異數V(𝐿)。

(2) 資產價格動態不存在𝝁𝝉項者的交易策略及其效率前緣

𝑥

_𝑖

=

sinh (𝜅(𝑇−𝑡_𝑖))

sinh (𝜅𝑇)

𝑋

(16)

𝑛

_𝑖

=

^{2𝑠𝑖𝑛ℎ (}

1 2𝜅𝜏)

𝑠𝑖𝑛ℎ (𝜅𝑇)

𝑐𝑜𝑠ℎ (𝜅 (𝑇 − 𝑡

_𝑖−¹

2

)) 𝑋

(17)

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分別將(16)、(17)式帶回(9.2.2)、(10)式，便可求解出資產價格動態不存在 𝜇𝜏項時，依照交易策略進行執行所面對的執行成本期望值𝐸(𝐿)及執行成本變異數 V(𝐿)。

考慮流動性風險之交易執行策略下，執行成本期望值：

𝐸(𝐿)＝¹₂𝛾𝑋²+ 𝜀𝑋 + 𝜂̃𝑋^{2 tanh (}

1

2𝜅𝜏)(𝜏 sinh(2𝜅𝑇)+2𝑇𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜅𝜏)

2𝜏²sinh ²(𝜅𝑇) (18) 考慮流動性風險之交易執行策略下，執行成本變異數：

𝑉(𝐿) =¹₂𝜎²𝑋2 𝜏sinh(𝜅𝑇) cosh(𝜅(𝑇−𝜏))−𝑇𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜅𝜏)

sinh ²(𝜅𝑇)sinh(𝜅𝜏) (19)

(3) 交易策略模型解析

比較(14)與(16)、(15)與(17)，可以觀察到不論資產價格動態是否具有𝜇𝜏項，

兩者之交易策略皆存在相似項。

以資產價格動態不存在𝜇𝜏項的交易策略中，𝑛_𝑖和𝑥_𝑖皆與持有總數𝑋呈現一個 共同係數的關係。而資產價格動態存在𝜇𝜏項的交易策略中，與前者存在共通點，

就是皆與持有數量呈現一個共同係數的關係，但是該持有數量減低為(𝑋 − 𝑥̅)。

減少的𝑥̅部份，則可以視為𝜇𝜏項對交易策略產生影響的調整項，也就是說，當參 與者對於未來的資產價格趨勢持有一定的看法或觀點時，其交易策略為不持有任 何看法的參與者所制訂的交易策略上，透過𝑥̅比例進行微調。

在(18)中，觀察到執行成本期望值可以拆解為三大項，首項表示執行成本的 組成受永久性市場衝擊影響、次項表示執行成本的組成包含固定成本、末項則表 示執行成本的組成亦受到暫時性市場衝擊影響。執行成本中的固定成本與持有總 數成線性關係，而考慮流動性風險後所受到市場衝擊則與持有總數的二次呈線性 關係。在(19)中，執行成本變異數則主要受到資產波動度及持有總數的二次關係 所影響變異程度。

在第四章實證分析的部份，透過本章推導之各項公式，將實際市場數據加入 計算，利用求得之執行成本期望值𝐸(𝐿)、變異數𝑉(𝐿)、交易執行策略....等進行相 關研究與分析。

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在文檔中 考慮流動性風險下的投資組合最佳執行策略 - 政大學術集成 (頁 20-23)