第三章 基本假設與模型設定
第一節 考慮流動性風險下的交易策略執行模型
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第三章 基本假設與模型設定
本章主要分為兩小節，第一節呈現考慮流動性風險下的交易策略執行模型，
說明交易情境設定及資產價格動態過程的假設並推導出交易策略執行成本損失 的公式。第二節為最適交易策略執行成本交易前緣之建構，利用第一節所求解之 交易策略執行成本期望值與變異數，引入拉格朗日(Lagrange)常數建構交易策略 執行交易前緣並求解出最適執行交易下的策略序列。此外，透過公式封閉解的拆 解，分析執行成本的組成成份並分項闡釋經濟意涵。
第一節 考慮流動性風險下的交易策略執行模型
交易策略執行模型，主要用於當期初制定一套交易策略後，經過交易策略 於各期交易之執行後可以取得的金額。其中，不同於一般的交易策略衡量，模型 中引用 Perold 於 1988 年所提出的執行損失，定義為資產理論價格與資產實際價 格間的差異，主要差異來自於執行交易時存在於市場上的交易成本及交易執行下 失敗可能帶來的機會成本，以便於估計更貼近現實市場情境下交易執行後可能取 得的總價值金額。
本節的第一部份將以文字闡釋交易策略執行模型中的交易策略為何，接著
，第二部份定義交易策略執行模型中各項符號所代表的意義，最後，第三部份將 透過第二部份所定義之符號將第一部份所提及的交易策略轉為交易策略執行之 數量模型。
1. 交易策略闡釋
在文獻回顧中，鉅額交易無法以一次性出售部位，而必須將交易拆解成為 多次較小額的交易量。因此，本交易策略主要定義為單一資產於一段期間內，各 期執行出售資產行為所建構而成之交易策略。在現實情境下，許多市場情境皆會 導致市場參與者必須執行鉅額交易，此交易策略便適用於這類情境，藉由最適的 策略序列進行交易執行以降低市場參與者於鉅額交易下對資產價格產生的衝擊 及執行成本。
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2. 符號定義
𝑇：交易執行期間 𝑁：總切割期數(期) 𝜏：各切割期間長度(期) 𝑋：總執行部位(股) 𝑡𝑖：第𝑖個時間點時間長度 𝑥𝑖：第𝑖期(𝑡𝑖)欲持有部位(股) 𝑛𝑖：第𝑖期(𝑡𝑖)欲出售部位(股) 𝑆0：資產初始價格(元)
𝑆̅：第𝑖期資產均衡價格(元) 𝑖
𝑆̃：第𝑖期資產出售時點瞬間價格(元) 𝑖 𝜇：資產平均報酬(%)
𝜎：資產波動度(%)
𝜉𝑖：獨立常態隨機變數(平均數為 0；變異數為 1) 𝑝(•)：永久性市場衝擊函數
𝑡(•)：暫時性市場衝擊函數 𝛾：永久性市場衝擊常數 𝜀：出售部位產生之固定成本 𝜂：暫時性市場衝擊常數 𝐿：執行成本
3. 交易策略執行數量模型
根據交易策略的定義闡釋，假設模型中交易者持有交易總股數為𝑋之交易部 位，預計於𝑇時間長度內將𝑋總股數依𝑁期間分批進行全數出售之交易策略。
在模型中將交易執行期間總長度𝑇依分割期數𝑁等份切割，故得到每期時間 長度𝜏 = 𝑇/𝑁共𝑁期。同時，將各個時點分別定義為第𝑖期，𝑖 = 0,1,2 … 𝑁且第𝑖期 時點長度定義為𝑡𝑖 = 𝑖 ∙ 𝜏，分為𝑡0, 𝑡1, 𝑡2, … 𝑡𝑁。同時，模型重點在於描述各時點所 執行之交易策略之資產數量，因此，將交易策略𝑇時間內各期時點對應之當期所 持有之剩餘部位定義為𝑥𝑖，分為𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁及當期所出售之部位定義為𝑛𝑖， 分別為𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁。
在𝑡0期時(執行交易策略之起始點)所持有的部位𝑥0 = 𝑋，也就是，仍未進行 任何交易前持有總股數𝑋；而在𝑡𝑁期時(執行交易策略之最末點)所持有的部位 𝑥𝑁 = 0，也就是，所須執行交易的部位𝑋皆完成執行。其中，任兩個相鄰時點間 所持有部位𝑥𝑖−1與𝑥𝑖之部位差異即兩相鄰時點間所完成執行交易策略之部位𝑛𝑖。
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將上述各時點間的持有部位及交易部位關係，以符號表示如下：
𝑥𝑖 = 𝑋 − ∑𝑖 𝑛𝑗
𝑗=1 = ∑𝑁 𝑛𝑗
𝑗=𝑖+1 𝑖 = 0,1,2 … , 𝑁 (1) 亦可以將各時點間之關係以數線圖表示，如下：
(1)式說明第𝑖期所持有的交易剩餘部位𝑥𝑖，可以藉由交易策略執行部位總數 𝑋扣除期初以來各期所執行交易出售的部位𝑛0… 𝑛𝑖加總求得;亦可以藉由反向計 算第𝑖期後的各時點計劃執行交易的各期部位𝑛𝑖+1… 𝑛𝑁而得。
在 Almgren & Chriss(2000)的交易策略模型裡，資產價格變動決定因素除 了外生因素外，資產價格變動也受到內生因素影響，進而導致執行成本的產生。
其中，外生因素包括資產價格波動度及平均報酬率，而內生因素為市場衝擊，包 括永久性與暫時性兩種。外生因素存在任何市場情境之下，然而，當資產價格受 內生因素衝擊時，視為流動性風險對於資產價格產生之衝擊。
資產價格波動度及平均報酬率兩者是受到市場上各參與者對於總體經濟變 化、產業前景預估、突發事件宣布…等外在條件的觀察而對於資產價格趨勢產生 不同的觀點及預期，進而做出與定義之交易策略互為獨立且隨機的交易行為所影 響而呈現於市場的因子，故定義此兩者為外生因素。
永久性及暫時性市場衝擊兩因子則是受到交易策略各期交易執行而導致其 衝擊反應於資產價格趨勢上之影響，故定義為內生因素，其主要反映市場流動性 程度。其中，永久性市場衝擊因子是源於鉅額交易行為發生後，市場參與者接收 到此交易所帶來的訊息，因而產生對於股價均衡之衝擊力道且該股衝擊力道將持 續至該次交易策略完全執行完畢，也就是說，對於各期股價皆產生影響且具累積 性；暫時性市場衝擊因子，則是在交易行為發生的瞬間，由於供給需求雙方不平 衡而供給方必須對資產價格產生一定程度折價以創造需求而產生的衝擊力量，然 而，此衝擊僅存於交易瞬間決定價格而不影響後期之股價均衡。
圖 3 交易策略示意圖
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在資產價格動態模型的選擇上，考慮到交易策略執行於實務面的實用性應用 離散型的資產動態價格，以便於實務上各時點長度切割及各時點執行部位數量之 決策。因此，選擇離散性幾何隨機漫步過程做為資產價格動態的假設。同時，引 入市場衝擊函數做為流動性風險之考慮變數並且為各時點執行部位數量的求解 便利性而採用線性衝擊函數的設定，永久性與暫時性市場衝擊力道與各時點執行 交易速率呈線性關係。
首先，未考慮流動性風險影響的離散性幾何隨機漫步動態過程，如下：
𝑆𝑖μ= 𝑆𝑖−1𝜇 + 𝜇𝜏 + 𝜎√𝜏𝛿𝑖 (2.1) 𝑆𝑖 = 𝑆𝑖−1+ 𝜎√𝜏𝛿𝑖 (2.2) 方程式(2.1)和(2.2)說明，第𝑖期資產價格為第𝑖 − 1期資產價格加上市場參與 者對各類市場消息觀察而形成對𝜏長度期間後資產價格的預期報酬𝜇及可能面對 的隨機價格波動𝜎兩者影響綜合產生次一期的資產價格走勢。其中，預期報酬𝜇除 了是市場對未來資產價格的預期，也可以解讀為執行交易當下對未來市場價格走 勢的看法及預期。若𝜇不為0(2.1)，則表示對未來的資產價格上漲或是下跌抱持 看法；若𝜇為0(2.2)，則表示預期未來資產價格持平或不帶任何趨勢看法進行交 易策略之決策。(2.1)與(2.2)所推導出的模型間之差異，可以視為執行交易策略 對於趨勢是否抱持看法產生的額外成本增加或是減少。
由於本研究主要在考慮流動性風險對於執行成本之影響，因此，接著將考慮 流動性風險(內生因素)如何透過市場衝擊的方式而影響資產之價格。
流動性風險對於資產價格的影響可分為永久性與暫時性兩種。首先，討論當 流動性風險透過永久性市場衝擊對於資產價格均衡產生衝擊之情況。由於永久性 市場衝擊將鉅額交易以訊號的型式傳遞給市場參與者，導致市場參與者對於價格 以𝑝(•)型式產生負向衝擊。其中，此訊號對於市場參與者將維持長期影響，即當 市場參與者計劃進行交易時，將考慮各期鉅額交易對市場產生之影響，故各期之 資產價格所受的永久性市場衝擊效果將延續至後期而產生累加性的影響。
永久性市場衝擊程度與交易速率呈線性關係，永久性市場衝擊函數如下：
𝑝 (𝑛𝜏𝑖) = 𝛾 ∙𝑛𝜏𝑖 (3) 受到永久性市場衝擊後之資產價格均衡方程式，如下：
𝑆̅𝑖μ= 𝑆𝑖−1𝜇 + 𝜇𝜏 + 𝜎√𝜏𝛿𝑖 − 𝜏𝑝 (𝑛𝜏𝑖) = 𝑆𝑖𝜇− 𝜏𝑝 (𝑛𝜏𝑖) (4.1) 𝑆̅ = 𝑆𝑖 𝑖−1+ 𝜎√𝜏𝛿𝑖 − 𝜏𝑝 (𝑛𝜏𝑖) = 𝑆𝑖− 𝜏𝑝 (𝑛𝜏𝑖) (4.2)
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在(3)中，可以看到永久性市場衝擊程度除了與各期執行交易之部位數量呈 線性，加入期間長度𝜏則解釋成與執行交易的速率以𝛾定值呈比例，也就是說，當 執行交易的速率愈快則資產價格受到永久性的衝擊愈明顯，同時，該時點產生的 永久性價格衝擊將延續至之後各期，直到欲執行的總持有部位皆交易完畢。因此，
在永久性市場衝擊對於資產價格均衡具有延續及累加性的假設下，考量大量且快 速出脫持有部位將對於後續期間資產價格引發嚴重下跌效應，交易決策將避免過 度高速地執行交易策略。當市場參與者皆共同採取高速交易策略的情況下，市場 參與者將共同面臨巨大的永久性市場衝擊，導致資產均衡價格除了對於報酬波動 產生反應外，市場參與者也將衡量當期市場上鉅額且高速交易可能產生的震盪。
當此震盪被併入對下一時點資產價格波動度的考量，使得波動度隨著各時點市場 參與者的恐慌而大幅上升，便可以解釋多數的股價崩跌、狂瀉不止皆起因於這樣 非理性鉅額且快速拋售資產導致的惡性循環。
此外，交易執行策略之出售瞬間所取得之價格，亦藉由暫時性市場衝擊反應 將流動性風險反映到資產價格。將暫時性市場衝擊加入各時點考慮過永久性衝擊 所形成的資產均衡價格後，便可得到出售瞬間的資產價格。而瞬間的暫時性市場 衝擊主要源自於市場上相當短暫的供給需求不平衡，而為此供給方必須提供部份 折價以創造需求，此影響僅存在交易短暫瞬間，交易時點過後資產價格仍回復至 均衡價格。
暫時性市場衝擊程度除了與交易量、交易速率呈線性關係，同時，固定成本
暫時性市場衝擊程度除了與交易量、交易速率呈線性關係，同時，固定成本