後置-快速傅立葉轉換型天線陣列

, , 1

, 0 1

Mr

n n k n k

k

P W Y n N

=

=

∑

≤ ≤ − (4.33) 其中W 為第_{n k,} k根天線上之第n個子載波之權重值，Y 為第_{n k,} k根天線上之第n個 子載波之信號。

適應性天線陣列波束形成演算法常被用來做為後置-快速傅立葉轉換型天線 陣列的權重更新演算法，其最大的優點為可以省略等化器，這是一個很大的優 勢，因為要設計性能良好的等化器，必須估測通道之頻率響應，而在干擾嚴重的 環境之下，要精確估測使用者之通道頻率響應並不容易達成。因此在干擾嚴重的 環境下，可以使用後置-快速傅立葉轉換型天線陣列，來避免遭遇通道估測的問 題。

針對每個位於不同頻帶上的子載波使用各自的波束形成器，還有一項另外的 優勢，就是能有效抑制窄頻帶干擾。窄頻帶干擾只會影響在信號頻寬之內部份特 定頻率的信號，也就是只會影響幾個特定的子載波。因此使用多個波束形成器可 以擁有較大的彈性，因為可針對每個子載波面臨的環境以及所遭受的干擾而產生 各自的最佳化權重向量。

後置-快速傅立葉轉換型天線陣列雖然可以有效提升系統效能，但是針對個 別子載波的權重向量做最佳化運算，其結構需要龐大的運算量。為了解決上述的 問題，有兩種策略可以降低系統的複雜度。

z 子載波群組化[15]的概念

對於正交分頻多工信號而言，若在給定固定信號頻寬之下，當使用的子載波 數目越多，則相鄰子載波上的通道頻率響應會越相似。因此可將相鄰的幾個子 載波視為同一個群組，並使用同一個波束形成器，稱為子載波群組化。

在平坦衰減的通道之中，使用子載波群組化的結構，由於每個子載波上所受 到的通道效應非常類似，所以多個相鄰的子載波可以共用相同權重向量，相對 地可大幅簡化運算量。

在頻率選擇性衰減通道之中，由於每個子載波的通道效應會有所差異，因此

針對每個子載波個別處理會得到較好效能，所以相鄰子載波共用相同的權重向量 的數量必須要降低以確保系統效能維持在所要求的規格下。

z 子載波間的內插法

使用子載波群組化的概念雖然可以有效降低運算的複雜度，但子載波共用相 同權重向量的數量越大時，也就是使用愈少波束形成器的情況之下，容易造成系 統效能的降低。若只計算在幾個特定的子載波上的權重向量，其餘子載波之權重 向量透過內插之方式求得，透過此方式可有效減低運算量。有四種常用可做為子 載波的內插法[7]，其中包含了 Linear Interpolation、Cubic Spline Interpolation、Lagrange Interpolation 以及 B-spline Interpolation。使用 不同內插法來降低後置-快速傅立葉轉換型波束形成器之複雜度，在效能表現上 會有所不同，所需的乘法量亦會有所差異，其中線性內插法複雜度最低且可以得 到不錯的效果。

上述子載波群組化和子載波間的內插法能夠單獨或是混合搭配應用在正交 分頻多工系統上，整個效能表現會隨著通道特性的不同而有所變化，且相對應的 複雜度也會有很大的差異性[7]。

4.3 傳送波束形成(transmit beamforming)技術

當系統為 Time Division Duplex(TDD)模式下，由於下鏈(downlink)和上鏈 (uplink)通道具有互為對稱(reciprocity)的特性，所以經由波束形成演算法所 得到的接收端最佳權重向量亦能做為傳送信號時最佳的權重向量值。然而當系統 採用 Frequency Division Duplex (FDD)模式時，由於下鏈和上鏈往往使用不同 的頻帶傳輸，此時下鏈和上鏈通道的特性是不盡相同的，所以無法利用通道互為 對稱的特性，使用接收端權重向量做為傳送權重向量值的依據。除此之外，由於 發射端和接收端所處的通訊環境不同，所感受到的干擾和雜訊也會有很大的差

異，相對地根據下鏈通道所估測出的傳送權重向量和根據上鏈通道所估測出的接 收權重向量，在本質上會有很大的差異性。以下鏈通訊情況而言，當基地台無法 使用通道互為對稱特性得到傳送權重向量時，發射端在傳送信號之前，必須先獲 悉整個下鏈通道的資訊，而這些通道資訊必須由用戶端先做下鏈通道的估測動 作，再藉由上鏈回授路徑回傳這些資訊給基地台做為傳送權重向量最佳化的依 據。這種利用已知的空間通道資訊做類似空間匹配濾波器的動作，此種技術即稱 為傳送波束形成(transmit beamforming)。

傳送波束形成是一種可以有效得到天線增益(array gain)最簡單的策略，而 唯一的要求是發射端必須要先知道通道狀態資訊(channel state information，

CSI)。其中一種應用在 MIMO 通道上，同時結合傳送波束形成(transmit beamforming)和接收匹配組合(receive combining)的方式，稱為最大比例傳輸 最大比例接收(maximum-ratio-transmission maximum-ratio-combination，

MRT-MRC)的技巧[16][17]，能夠得到最大的天線增益。

wt M

H

M wr ^Detection_and

Decoding

H Coding

and Moduration

Weight update

n1

Mr

n

Feedback path

圖 4.4 應用於 MIMO 通道上的波束形成系統

考慮在發射端有M 根天線而接收端有_t M 根天線的通訊系統，其架構如圖_r 4.4 所示。在離散時間等效通道模型上，可以用一個M_r×M_t通道矩陣H 來表示，

則傳送信號s經過通道後在接收端的信號可表示為

H H

權重向量(beamforming weight vector)和匹配組合權重向量(combining weight vector)，雜訊向量n 的元素為i i d. . .複數高斯雜訊^CN

(

^0,N0

)

^。

從向量範數不等式(vector norm inequality)可以得到下面的不等式

2 2 2 重向量即為最大比例接收(maximum ratio combination，MRC)。現在考慮如何決 定傳送權重向量，可表示如下

H

r t

w Hw ，所以傳送端最佳化權重向量的決定為最大比例傳輸(maximum ratio transmission，MRT)的策略。值得注意一點的是，w 和_t w 的最佳解並非唯一解， _r

j te^θ

w 和w_re^jθ同樣也是(4.36)式的解集合，其中θ 為任意值。則現在最大訊雜比 (maximum SNR)可以表示為

1 0

t

r N

γ =λ ε (4.39)

其中λ₁^為相對於H H 最大奇異值。 ^H

另外值得一提的是，傳送波束形成並沒有天線間距限制的問題。而前面所提 到的以角度為設計基礎的波束形成器，為了要符合空間耐奎斯特取樣定理避免旁 瓣輻射的現象，會要求天線間距必須要小於或等於載波波長的二分之ㄧ。然而傳 送波束形成是利用通道狀態資訊(CSI)矩陣估測最佳化傳送權重向量，所以並不 會受到天線擺放間距的影響。

4.4 利用權重向量編碼設計(codebook design)降低回授量 的技巧

傳送波束形成(transmit beamforming)的技巧能夠有效提升接收端的訊雜 比，然而回授整個通道狀態資訊矩陣會浪費很大的頻寬資源。一種解決的方式為 接收端先行估測最佳化的傳送權重向量，再藉由回授路徑反饋給傳送端，對一個

r t

M ×M 通道矩陣只回授權重向量可以降低M 倍通道頻寬資源。然而在現今講_r 求高頻譜使用率的原則下，如此的資訊量仍然稍嫌浪費，而更有效的回授資訊技 巧是必要的。若將最佳化權重向量先行以量化的方式進行編碼，且傳送和接收端 兩者都事先知道整個編碼設計的方式，則接收端只需要將編碼過的編碼字 (codeword)代號(lable)回授給傳送端。這種方式可以大幅將低回授量，而且仍

然維持整個傳送波束形成的效能表現。

w M Coding

and Moduration

Weight update

Low-rate feedback path

h ⁿ

^Detectionand

Decoding

Channel Estimator

perfect CSI

Sphere Vector Quantization

圖 4.5 傳送權重向量編碼設計系統模型

考慮一個在傳送端有M 根天線，而接收端只配置單一天線無線通訊系統，_t 如圖 4.5 所示。假設通道向量的元素為無相關性(uncorrelated)且期望值(mean) 為零的循環複數高斯隨機變數(circularly complex Gaussian)，則通道向量

( ² )

1 2 ~ ,

t t

T

M h M

h h h CN σ

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

h L 0 I 可視為i i d. . .瑞雷衰減通道，並且在此假設

通道為平坦衰減的狀態。假定回授路徑不會產生傳遞錯誤的情況，且沒有處理延 遲(processing delay)和回授延遲(feedback delay)的情況發生，但回授的頻寬 (bandwidth)必須被限制。假設整個系統設計限定每次回傳時間內只能回授B 位 元的資訊量，則整個權重向量編碼字(codeword)數目被限定為M =2^B。整個編 碼字的集合可表示為^{W = w w}

{

^{1, 2, ,L wM}

}

^，其中wⁱ = ⎣^{⎡w*i,1 w*i,2} L ^{wi M*, t⎤}⎦^T且

i =1

w 。假設傳送信號s有平均能量E_s^⎡⎣s²⎤ =⎦ ε_t，則接收端收到的信號可表示 為

y=w hH s n+ (4.40)

其中w為傳送權重向量，n為期望值(mean)為零、變異數(variance)為N 的可₀

加性白色高斯雜訊，且在此假設ε_t N₀ = 。為了使接收端得到最大的訊雜比，接 1 (sphere vector quantization，SVQ)編碼技巧[18][19][20]，另外一種是採用 Grassmannian line paking 的概念[16][17][21]設計編碼字。

4.4.1 應用球形向量量化技巧於編碼簿設計

subject to i

∈

上述(4.42)式可以被視為一個向量量化(vector quantization，VQ)的問題 [18]，可以改用下面(4.43)式來重新定義整個問題。 distortion metric: , ,

h Mt

一個正規化的平均訊雜比(average SNR)衰減可以表示為

2 2

source input: ~

codebook: , , , , 1 distortion metric: , 1 ,

Mt 量測值為訊號源輸入向量(source input vector)對編碼字向量(codeword vector)的投影距離，它是不同於傳統訊源編碼(source coding)所採用歐幾里得 距離(Euclidean distance)做為失真量測標準。

4.4.2 應用 Grassmannian line packing 的觀念於編碼簿 設計

從前面 4.3 節探討中，假如任意兩向量w 和₁ w 有₂ w₁ =e^jθw 的關係，其中₂ θ

為任意角度，若w 為最佳化傳送權重向量則₁ w 亦為最佳傳送權重向量解。現在₂ 定義當兩單位向量w 、₁ w 有上述的特性時，則定義₂ w₁≡w 。這等效的關係式₂ 定義了在複數M 維向量空間_t C 內^Mt w 和₁ w 是相同的線(line)，而所有具有此特₂ 性的線構成C 內一維子空間的集合^Mt Ω 。有了上述的定義和觀念後，現在可以 ^Mt 說明 Grassmannian line packing 的概念。

Complex Grassmannian manifold ^{g M}

(

^t,1

)

^為複數M 維向量空間內所有一^t 維子空間的集合，假設現在w 和₁ w 為位於子空間₂ ^{g M}

(

^t,1

)

^{內任意兩單位向量，}

定義一個由兩向量w 和₁ w 所形成的線之間的距離函數(distance function)為 ₂ [21][22]

(

^{1, 2}

)

^sin( )^{1,2 1 1H 2 2}

d w w = θ = − w w (4.46) 其中θ_1,2為兩向量之間的夾角。

Grassmannian line packing 問題是找出位於^{g M}

(

^t,1

)

^{空間內，N條線所形}

成的集合(set)或包裹(packing)，而使得這集合中的任意兩條線彼此之間的最小 距離函數值能夠被最大化的問題。由於傳送波束形成的權重向量通常限定為單位 向量，所以上述解 Grassmannian line packing 問題也能夠應用於傳送權重向量 的量化問題。找出最佳編碼字集合即等效於找出位於^{g M}

(

^t,1

)

^{空間內N條單位向}

量，使得任一兩向量最小距離能夠有最大的差距。

回到最初編碼簿設計的問題，已知h 為複數i i d. . .瑞雷衰減分佈，則最佳權重 向量解w_opt =e^{jθ h}

h 亦會有相同的機率分佈，所以w 滿足上述 Grassmannian _opt line packing 的特性。所以整個編碼簿的設計問題能夠用解 Grassmannian line packing 問題的方式去解決，所以在編碼簿設計中可以使用(4.46)式做為失真量

h 亦會有相同的機率分佈，所以w 滿足上述 Grassmannian _opt line packing 的特性。所以整個編碼簿的設計問題能夠用解 Grassmannian line packing 問題的方式去解決，所以在編碼簿設計中可以使用(4.46)式做為失真量

在文檔中 應用於行動通訊中以空間特徵結構為設計基礎之MIMO-OFDM波束形成技術 (頁 49-0)