第四章 波束形成技術
4.4 利用權重向量編碼設計降低回授量的技巧
4.4.2 應用 Grassmannian line packing 的觀念於編碼簿設計
從前面 4.3 節探討中，假如任意兩向量w 和1 w 有2 w1 =ejθw 的關係，其中2 θ
為任意角度，若w 為最佳化傳送權重向量則1 w 亦為最佳傳送權重向量解。現在2 定義當兩單位向量w 、1 w 有上述的特性時，則定義2 w1≡w 。這等效的關係式2 定義了在複數M 維向量空間t C 內Mt w 和1 w 是相同的線(line)，而所有具有此特2 性的線構成C 內一維子空間的集合Mt Ω 。有了上述的定義和觀念後，現在可以 Mt 說明 Grassmannian line packing 的概念。
Complex Grassmannian manifold g M
(
t,1)
為複數M 維向量空間內所有一t 維子空間的集合，假設現在w 和1 w 為位於子空間2 g M(
t,1)
內任意兩單位向量，定義一個由兩向量w 和1 w 所形成的線之間的距離函數(distance function)為 2 [21][22]
(
1, 2)
sin( )1,2 1 1H 2 2d w w = θ = − w w (4.46) 其中θ1,2為兩向量之間的夾角。
Grassmannian line packing 問題是找出位於g M
(
t,1)
空間內，N條線所形成的集合(set)或包裹(packing)，而使得這集合中的任意兩條線彼此之間的最小 距離函數值能夠被最大化的問題。由於傳送波束形成的權重向量通常限定為單位 向量，所以上述解 Grassmannian line packing 問題也能夠應用於傳送權重向量 的量化問題。找出最佳編碼字集合即等效於找出位於g M
(
t,1)
空間內N條單位向量，使得任一兩向量最小距離能夠有最大的差距。
回到最初編碼簿設計的問題，已知h 為複數i i d. . .瑞雷衰減分佈，則最佳權重 向量解wopt =ejθ h
h 亦會有相同的機率分佈，所以w 滿足上述 Grassmannian opt line packing 的特性。所以整個編碼簿的設計問題能夠用解 Grassmannian line packing 問題的方式去解決，所以在編碼簿設計中可以使用(4.46)式做為失真量 測函數。
4.4.3 利用 generalized Lloyd algorithm[18]設計最佳化 編碼簿
從(4.45)和(4.46)式中可以看出，基本上球形向量量化和 Grassmannian line packing 兩者的失真量測公式有相類似的特性，但有一個最重要的差異為 球形碼是位於單位球體上的點，而 Grassmannian line packing 卻是在向量空間 中穿越原點的線。
藉著利用 generalized Lloyd algorithm(GLA)能夠解球形向量量化的問題。
首先假設A 代表編碼字i w 在向量空間上的鄰近區間，且能夠將輸入信號空間i
Mt
Ω 區分成 M 個分割區A A1, 2, ,L AM，接著對於量化設計有兩個必要條件必須被 滿足：
(1) 質心條件(centroid condition)：
以第i 個區間A 為例，其相對應的區域通道相關矩陣(local channel i correlation matrix)為Ri =E⎡⎣hh hH ∈Ai⎤⎦，則最佳化傳送波束權重向量
, i opt
w 能夠最大化w R w ，可以表示為 iH i i
, 1
arg max
i
H
i opt i i i i
= = =
w w w R w u (4.47) 其中u 為對應於i R 最大奇異值的特徵向量。換句話說，對於區間i A 的最i 佳權重向量會沿著R 的主特徵向量(principal eigenvector)的方向，上 i 面(4.47)式即為質心條件。
(2) 最鄰近區域法則(nearest neighbor rule)：
如何將空間通道劃分成上述提到的M 個A 區間，必須制定一定的規 i 則，此規則即為最鄰近區域法則，可描述如下：
(
,) (
,)
, , 1, 2, ,i i j
A if d d i j M
∈ ≤ ∀ =
h h w h w L (4.48)
上式的區分規則即為球形向量量化中的失真量測公式，而所有的輸入向量 h 會先行找到與它最接近的編碼字w ，然後將該輸入向量歸類到屬於i A i 的區間內。
Generalized Lloyd algorithm 就是重複利用上述兩個必要條件，遞迴找出 最佳編碼字和新的區分區域。
z Generalized Lloyd algorithm：
(1) 隨機產生M 個合法編碼字，建立初始的編碼簿。
(2) 對於步驟一所產生的編碼簿，使用(4.48)式最鄰近區域法則找出所 有輸入向量的最佳區分區域。
(3) 對於步驟二所產生的區域，使用(4.47)式質心條件分別找出各劃分 區域A 中相對應的最佳編碼字。 i
(4) 回到步驟二，重複執行直到編碼字收斂到定值。
利用質心條件和最鄰近區域法則，總體的平均失真會隨著遞迴次數的增加而 降低，所以可以確保收斂的成立。上述針對於 MISO 通道編碼簿設計的技巧也能 應用在 MIMO 的天線系統上[20]。
4.5 適用於多重用戶傳送波束形成(multiuser transmit beamforming)的技巧
有別於 4.3 節只對於單一使用者權重向量做最佳化，多重用戶(multiusers) 傳送波束形成(transmit beamforming)技巧[23][24][25]是能夠大幅提升系統 通道容量的技術。它是將各個用戶端的信號用不同的權重向量同時由發射端天線 傳送給每個用戶，而多重用戶傳送波束形成演算法就是找出所有使用者最佳化傳
送波束權重向量。假設有M 個信號藉由天線陣列同時傳送給個別使用者的接收
1
(
H)
1 2j j j j j
= −
w% d R d d (4.57)
上式的解可以被證明即為最大化
H
j j j
H
j j j
w R w w Q w
% %
% % 的解，其物理意義為使每個用戶 端收到的信號和交互干擾信號的比值能夠被最大化。上述的方法雖然只能得到次 最佳化的解(suboptimal solution)，但已很接近由模擬所得到的最佳解情況。
由於多重用戶傳送波束形成演算法通常與功率控制的問題結合在一起，往往 需要使用一些遞迴解法和限制條件，而相關的議題和演算法架構可以參考相關的 文獻資料[24][25]。
第五章 通道模型的特性
通道模型為模擬現實環境下的通道狀態，在不同的環境底下，則需利用不同 的環境參數來模擬通道，而一個通訊系統在不同的通道模型下，則會有不同的效 能。當然對於各種 MIMO 多天線技術而言，不同的環境也會有不同的最佳化策略。
本章將從基本的 SISO 通道模型開始探討，接著將其拓展到 MIMO 空間通道環境，
並探討通道和天線陣列之間的關聯性。
5.1 SISO 通道模型
在無線通道環境下，傳送信號會沿著數條不同的路徑抵達到接收端，如此的 通道特性即為多重路徑(multipath)效應。這些路徑會受到環境中障礙物的影響 產生反射、散射的現象和路徑延遲的效應，因此會產生不同的路徑衰減和延遲時 間，這些在不同路徑傳送的信號將會在接收端產生疊加的效應，進而造成接收到 的信號會產生失真的現象。而這些信號的變動量會隨著時間和接收端的位置產生 不同的振幅和相角變化，而這些現象便稱為衰減(fading)。一個衰減通道脈衝響 應(impulse response)能夠表示為
( )
1( ) ( )
0
, L l l
l
h t τ − β t δ τ τ
=
=∑ − (5.1)
其中L 為可解析(solvable)通道路徑，βl
( )
t 和τl分別為第l條可解析通道路徑的路徑增益(path gain)和路徑延遲時間(path delay time)，其中路徑增益又可 表示為[26][27]
( )
, ( , 2 cos , )1
l q d l q
l q
Q j f t
l q
t c e φ π γ
β +
=
=
∑
(5.2)其中Q 為不可解析的子路徑數量，c 、l q, φl q, 和γl q, 分別為第l條可解析路徑內第q
條不可解析子路徑的隨機路徑增益(random path gain)、初始相位(phase)和訊 號路徑入射角度和接收端移動方向之間的夾角， f 為最大都卜勒頻率(maximum d Doppler frequency)。假設γl q, 和φl q, 為相互獨立且均勻散佈在角度區間
[
−π π,)
內，則由中央極限定理(central limited theory)可以證明，當Q 很大時βl
( )
t 會趨近於複數高斯隨機過程(complex Gaussian random process)[27]。
假設可解析路徑的延遲時間τl是位於取樣時間點上，即τl = × ，其中l ts l為 Direction of
motion
其中λc、 f 、c c和v個別為訊號載波波長(radio wavelength)、載波中心頻率 (ratio center frequency)、光速和接收端的移動速度。很明顯地，最大相角變 化率會發生在γl q, = 時。 0 (additive white complex Gaussian noise)。則接收到的訊號y n 在離散傅立 ( ) 葉轉換(DFT)後，在第k個子載波的資料可表示為 到其他子載波上的資料干擾，此即為載波間干擾(intercarrier interference，
ICI)效應。換句話說，當通道為非時變時在(5.2)式的 f 將會為零，這表示 ICI d
nd d ob
f ≡ f T (5.16)
其中T 為觀察區間。對於一個正交分頻多工系統而言，使用一個 OFDM 符元持續ob 時間(symbol duration time)為觀察區間是比較有意義的。一般來說，隨著正規 化都卜勒頻率 f 的增加，正交分頻多工系統會遭受更多 ICI 效應。 nd
5.2 MIMO 通道模型
從上節 SISO 通道模型的討論中，可以發現整個通道並沒有提到有關於空間 上的參數。一個 MIMO 通道除了上節所提到的路徑傳遞衰減(path loss)、多重路 徑延遲(multipath delay)、都卜勒效應(Doppler effect)等參數外，還必須考 量到空間環境的參數，如路徑的發射角度(direction-of-departure，DOD)、抵 達角度(direction-of-arrival，DOA)和角度擴展(angle spread，AS)，還需要 考量天線陣列的特性，如天線間距(antenna spacing)等問題。
5.2.1 通道統計模型的探討
從一個長時間下通道資訊的平均量來看，有兩種主要不同的通道統計特性值 得 探 討 ， 一 種 為 空 間 上 有 衰 減 相 關 度 的 通 道 ， 而 另 一 種 為 空 間 無 相 關 度 (spatially uncorrelated)的通道。
z 無相關度的瑞雷衰減(uncorrelated Rayleigh fading)通道模型：
無相關度的瑞雷衰減通道通常來自於傳送和接收端皆位於路徑反射、散射很 豐富的環境下，假設此時刻意將傳送和接收端的天線間距拉大，當天線間距大於 λc的情況下將會出現旁瓣輻射(grating lobes)的現象。天線成員間的距離越遠 時此種現象會更加明顯，天線的解析度也會隨之降低，因此降低了通道的相關度。
當上述的情況發生時，傳送端和接收端任意兩天線之間的路徑可以被視為彼
此互為獨立瑞雷衰減的狀況，在此情況下通道矩陣可表示為
( )
0,1r t
M M
CN ×
∈
H (5.17)
其中，通道矩陣H 內部的元素為i i d. . .期望值為零變異數為一複數高斯隨機變數。
從通道容量的觀點來看，假如通道矩陣H 有高度的秩(rank)時，如室內環境，此 時通道會有最大的空間分集增益(diversity gain)、通道容量(capacity)或多工 增益(multiplexing gain)的特性，可以利用空間多工(spatial multiplexing) 的技巧來提升整個系統的通道容量。
z 半相關度(semi-correlated)通道模型[29][30]：
現在假設接收端仍處於具有高度反射、散射的環境下，而傳送端天線附近並 沒有發生如此的情況。例如當傳送端位於基地台時，由於基地台天線的高度通常 遠高於鄰近的建築物，所以在傳送信號給遠處的用戶時，並不會受到附近障礙物 的影響。然而用戶端卻經常位於在較低的高度下接收信號，所以所傳送的訊號常 會被鄰近障礙物的影響，發生訊號反射或散射的情形會非常顯著。
從傳送端的觀點來看，通道的特性主要是受到遙遠障礙物的影響，而這些障 礙物是造成多重路徑效應的主要因素。在 5.1 節中所提到的可解析路徑通常就是 經由這些遙遠障礙物反射所形成的路徑，對於位於戶外的通訊環境這種假設是相 當合理的。而這些可解析的路徑基本上是由一些子路徑(subpath)所構成的，而 這些子路徑的傳送角度(DOD)相當接近，也就是有很低的角度擴展特性，所以這 些子路徑間在傳送端具有高度的空間相關度。
然而從接收端的角度來看，當信號抵達到接收端時，由於位於豐富的反射和 散射環境下，這些不可解析的子路徑會有很嚴重的角度擴展特性，造成子路徑間 的空間相關度降低。一個極端的情況為當這些子路徑的抵達角度在角度區間
[
−π π,)
呈現均勻隨機散佈的情況時，會產生完全無空間相關度的特性。如圖 5.2 所示，為一個具有兩條主要可解析路徑的通道模型，每條主要路徑
是各自由遙遠的障礙物反射所形成的通訊通道，且兩條主路徑間是互為獨立的關
是各自由遙遠的障礙物反射所形成的通訊通道，且兩條主路徑間是互為獨立的關