後設認知與數學解題之相關研究

進行數學解題活動時，解題者除了運用自己的認知能力外，後設認知 能力亦扮演著重要的角色。許多研究皆顯示數學解題與後設認知兩者間具 有相關性（涂金堂，1999；張景媛，1994；Brown, 1987；Flavell, 1976, 1981, 1987）。以下歸納國內外有關數學解題與後設認知能力的研究，依其研究 方向分為兩類：一、後設認知能力與數學解題的相關研究。二、後設認知 策略教學與數學解題的相關研究。茲分述如下：

一、後設認知能力與數學解題的相關研究

（一）國內文獻

張景媛（1990）的研究指出後設認知能力影響著學童的學業表現，

具有較高的後設能力者其學校表現較佳。陳李綢（1992）以國小五年 級學生為研究對象，探討後設認知能力與數學作業表現能力之關係。

結果發現後設認知能力對數學作業表現具有相當的影響性。高後設認 知能力組的學生無論在「解題能力」或「數學作業表現」皆優於低後 設能力組的學生。涂金堂（1995）探討國小六年級學生後設認知與數 學解題表現之關係。研究發現學生在後設認知量表上的得分與數學解 題表現得分有顯著的正相關，後設認知量表得分越高者，其數學解題 的表現越好。在解題歷程的分析中發現，高、中、低後設認知能力組

的學生，在讀題與計畫階段並無明顯的差異；但在分析、探索、執行 及驗證階段，低後設認知能力的學生所花的時間明顯少於中、高後設 認知能力的學生。張淑娟（1996）探究高一學生後設認知能力與數學 解題能力之關係，研究結果發現後設能力與其所提出學生解題成功的 九項關鍵能力有關。後設認知能力不僅與數學解題能力有正相關，此 外，後設認知能力中的「自我監控的能力」和數學解題能力的相關性 最高，「組織訊息的能力」為次之。楊明家（1997）以國小六年級學生 為研究對象，探討不同解題能力學生在數學解題歷程後設認知行為之 比較。研究發現高數學解題能力組比低數學解題能力組表現出較多次 數與時間的後設認知行為，且能主動監控策略的使用和答案的合理 性，並做適時的調整，此為兩組間在解題行為上最大的差異。鍾政廷

（2001）的研究是透過編製數學實作評量的施測，以了解國小二年級 兒童在加減法文字題解題歷程及後設認知的思考情形。研究結果發現 解題能力與後設認知能力間具有高度的相關，無論是符號表徵或形象 表徵的試題皆與後設認知能力有高度相關。

（二）國外文獻

Montague 與 Bos(1990)研究對象為八年級學生，發現數學問題解 決的表現與認知及後設認知能力有關。Dover 與 Shore(1991)的研究結 果指出程度好的學生比程度中等的學生有較多的後設認知知識，而且 在程度好的學生中，數學解題較快的學生又比解題慢的學生具有較多 的後設認知知識。Montague(1991)的研究結果顯示資賦優異學生在解題 時，比學障資優學生使用較多的認知及後設認知知識，因此提高解題 的成功機會。Pan(1993)以 Schoenfeld(1985)所提之解題歷程六步驟（閱 讀、分析、探索、計畫、執行和驗證）探討國小六年級學生在數學解 題時所表現的後設認知行為，研究發現成功解題者往往表現出更多次 數的後設認知行為，且能自我監控。

二、後設認知策略教學與數學解題的相關研究

後設認知策略可以幫助學生選擇已有的認知策略並監控自己的認知 歷程，有助於數學解題的表現。Montague(1995, 1997)研究指出後設認知策 略的缺乏，可藉由明確的教學而習得，因此近年來有許多相關的研究出現。

（一）國內文獻

孫扶志（1996）探究認知策略教學對國小四年級數學低成就學生 數學解題表現的影響。此研究的教學策略是參考 Montague 的「認知-後設認知策略」所編製，其結果發現，認知策略教學對數學低成就學 生在數學文字解題表現上的「遷移試題的學習」和「保留階段的學習」

皆有明顯的幫助，而「後設認知」和「動機信念」則未有明顯的提升。

江素鳳（1997）探究自我教導策略對三名國小數學學習障礙學生的學 習效果，研究結果顯示，自我教導策略能增進數學學習障礙學生的數 學成就，但在保留階段則未有明顯的效果，此外，自我教導策略還能 減少數學學障學生的不注意行為。江美娟（2002）以三位數學學習障 礙的學生為研究對象，進行參考 Montague 的「認知-後設認知策略」

而修改的後設認知策略教學。研究發現後設認知策略教學能提高受試 者在應用問題解題測驗的得分，且具有保留的效果，認為後設認知策 略教學著重對題意的理解及解題的監控，能使學生集中注意力進而深 入題意、思考解題步驟使解題成功。陳曉萍（2005）參考 Mayar 的解 題歷程和修改 Montague 的認知-後設認知策略教學，以國小五年級數 學低成就學生為研究對象，分成實驗組和控制組。實驗組進行後設認 知策略教學，控制組則接受一般教學訓練課程，比較兩組在數學解題 上的表現。結果發現實驗組學生在解題表現和後設認知量表上的得分 皆比控制組好，且其解題能力和後設認知能力也獲得保留。

（二）國外文獻

就之關係，研究結果發現動機和後設認知策略皆與數學成就有相關。

Hutchinson(1993)以八至十年級學障學生為研究對象，探究認知策略教 學（自我提問）對其解代數應用問題的解題效果。12 名學生為認知組 接受一對一的認知策略教學，8 名學生為對照組接受普通的教學。研究 結果顯示認知策略教學對大部分學生的解題有幫助，且認知組的解題 表現比對照組的解題表現佳。Cardelle-Elawar(1995)以 Mayar(1987)的數 學解題模式為基礎，對三到八年級的數學低成就學生，進行後設認知 教學（metacognitive instruction）。研究發現接受後設認知教學的低成就 學生在數學解題的測驗成績，明顯高於沒有接受後設認知教學的低成 就學生。Muhammad(1998)把 40 位低數學成就的七年級學生隨機分派 成兩組，實驗組接受和數學解題有關的後設認知策略教學，控制組則 接受傳統教學，兩組學生同樣學習四個數學主題，比較前測和後測的 結 果 ， 發 現 實 驗 組 的 前 後 測 表 現 明 顯 高 於 控 制 組 。 Mevarech 與 Kramarski(2003)測試「後設認知訓練(metacognitive training)」和「有效 完成工作範例(worked-out examples)」兩種教學方式對學生數學推理和 溝通能力的成效差異，並比較經過長時間作用下兩組學生的數學成 就。研究發現接受後設認知訓練的學生在測驗得分較高，且低成就學 生在後設認知訓練下學習成效提高。

綜合國內外相關文獻探討，研究者發現將後設認知的概念融入數學解 題教學是可行的。故本研究欲發展的「後設認知策略教學」係參考 Montague 的「認知-後設認知策略教學」做部分修改，將解題步驟細分為「一讀、二 說、三畫記、四想、五算、六檢查」等六步驟。解題歷程步驟口訣化方便 學生記憶，並且在每個步驟教導所需後設認知成分。