數學解題歷程

現行國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要（教育部 2008），其 中一項為「培養獨立思考與解決問題的能力」，強調應透過「解決問題」

的教學達到有效的數學學習。學生遇到問題時，必須先了解問題的陳述，

接著整理題意，才能列出算式，再進行運算以求得解答，從題目到答案是 一個複雜的心智運作過程。Kilpatrick(1992)認為數學教育受到數學與心理 學兩個領域之影響。Mayer(1993)也指出結合數學教育、特殊教育和認知心 理學是研究解題數學的必要趨勢。可見，數學學習與心理學的確有密切的 關係。以下以認知心理學的理論為取向，探討三位學者所提出的數學解題 歷程模式：

一、Polya 的解題歷程模式

Polya 為最早提出數學解題歷程模式的學者，其提出的解題步驟如下

（蔡坤憲譯，2006）：

（一）了解問題：未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？

認知策略及歷程 （特定的解題策略）

閱讀（理解）

釋義（轉譯）

視覺化（轉換）

假設（計畫）

估計（預測）

算式（計算）

檢查（評鑑）

後設認知策略及歷程 （後設策略的覺知與調整）

自我教導（策略知識與使用）

自我提問（策略知識與使用）

自我監控（策略控制）

（二）擬定計畫：找出已知數與未知數之間的關係。

（三）執行計畫：把解題計畫付諸實現，仔細的檢查每一個步驟。

（四）驗算與回顧：驗算所得到的答案，並檢驗驗證的過程。

Polya 的解題歷程四階段並非依直線進行，而是來回往返階段，以達到 問題解決的目的。

二、Schoenfeld 的解題歷程模式

Schoenfeld(1985)將「後設認知」及「信念系統」加入解題歷程模式中，

強調影響數學解題表現的四項因素：

（一）資源(resources)：解題者所擁有與解題相關的數學知識，包含了數 學事實、定義、運算程序和技巧等訊息。

（二）捷思(heuristics)：解題者的捷思策略，也就是解題的技巧與策略，

例如：簡化問題、畫表格、猜測……等等。

（三）控制(control)：解題者在解題時，監控如何運用個人的知識與技能，

例如：如何決定計畫、如何選擇目標及如何監控和評估解題結果等。

控制的因素居解題歷程的主導地位，其能促使解題活動獲得正確的解 答。

（四）信念系統(belief system)：信念系統屬於情緒因素，指的是解題者對 於一切與數學有關的看法，此看法影響著其解題的態度和情緒，進而 影響其解題行為。

此外，Schoenfeld(1985)將數學解題歷程分為六個階段：

1.讀題(reading)：閱讀題目。

2.分析(analysis)：簡化問題或重述，以便了解。

3.探索(exploration)：尋找已知、未知條件及與問題目標間的相關性。

4.計畫(planning)：擬定解題計畫，並加以評估。

5.執行(implementation)：按照步驟執行計畫。

在 Schoenfeld 的數學解題模式中，他特別強調控制(control)的重要 性，控制是解題者在進行解題的工作時，有關策略的決定或調適等監 控的行為，即是心理學的後設認知部分。

三、Mayer 的解題歷程模式

Mayer(1992)從認知心理學的觀點來探討數學解題的歷程，將解題歷 程分為兩大階段：問題表徵(problem representation)和問題解決(problem solution)。每個階段又包含兩個步驟，茲分述如下：

（一）問題表徵階段

1.問題轉譯：把問題的每個陳述句，轉換成內在表徵。此步驟需 具備「語言知識」和「事實知識」。

2.問題整合 ：把問題的每個訊息，整合成連貫的問題表徵。此 步驟需具備「基模知識」。

（二）問題解決階段

1.解題計畫與監控：評估如何進行解題的策略，並監控計畫。此步 驟 需具備「策略知識」。

2.解題執行：能正確的應用數學法則，把答案算出來。此步驟需具 備「程序性知識」。

由以上三位學者所提出的數學解題歷程模式可得知，Polya 的解題歷 程概念影響著後續解題歷程模式的發展。其整體的解題歷程架構為：了解 問題、擬定計畫、執行計畫和核對結果等四個階段。各學者皆以「階段性」

的模式來研究學生的數學解題歷程，但 Schoenfeld 和 Mayer 還重視解題過 程中所具備的知識和策略，也強調「監控」在問題解決過程中的重要性，

亦顯示對「後設認知」的重視。