後設認知策略教學對提升國小二年級學生加減文字題解題能力之成效

國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：胡豐榮 博士

後設認知策略教學對提升國小二年級

學生加減文字題解題能力之成效

研究生：林君玲 撰

中華民國 一○二 年 六 月

謝誌

好快啊！兩年的研究生涯即將結束，完成論文的此刻，內心有著滿滿的感 謝與感動。 ◎感謝求學路上，有許多的貴人相助著…… 感謝指導教授胡豐榮博士，對駑鈍的我總是能耐心指導，每當我遇到瓶頸 時，總會適時的指引我並給予我許多鼓勵和信心，對您的感恩之情，永銘於心。 感謝口試委員許天維教授、辛俊德教授在繁忙的公務中撥冗審閱論文，並 提出寶貴的建議，使論文能更臻於完善。 感謝系上師長們－林原宏主任、甯平獻老師、吳德邦老師、林炎全老師、 黃一泓老師與陳中川老師，兩年來的悉心教導，讓我獲益良多。 感謝研究所的同學，在學習的路上幫助我、鼓勵我。感謝美娟姐、奕萱、 巧瑩、慧如、麗雯、秀容、家瑋、武諺和育愷，有你們相互扶持與砥礪，真好！ 最感謝奕萱，沒有妳不厭其煩的教導我，我的論文無法得以順利完成。 感謝怡華學姐的提攜與經驗傳承，引領我進入浩瀚的研究殿堂。 感謝和美國小的同事－秋妏老師和麗琴老師，有妳們協助測驗的施測，研 究才能順利進行，也謝謝妳們願意聽我分享身為研究生的甘與苦。 感謝民國 101 學年度和美國小二年 9 班的 25 位寶貝們，你們的乖巧、守 規矩，讓我在最忙碌的這兩年來，教學和班級經營不需太勞心。 感謝曾關心與勉勵我的朋友及同事們，有大家的加油、打氣，我才能時時 保有動力的進行論文研究。 ◎感謝我的生命中，有親愛的家人陪伴著…… 感謝生我養我育我的父母親，沒有您們辛勞的付出與栽培，就沒有今日能 擔任教職且順利完成碩士學位的我。 感謝支持我疼惜我的公公婆婆，有您們協助照顧碩碩，我才能無後顧之憂 的專注於課業上的學習。 感謝我的姐妹們一路上的支持和鼓勵，大姐、二姐、三姐、四姐和小妹， 這輩子有妳們這些好姐妹，我真的好幸福。 感謝我的小叔小嬸，有你們協助分擔家務，減輕我多重身分的生活壓力。 感謝我最親愛的老公，謝謝你包容我因壓力大而有的壞情緒，也謝謝你協 助我論文撰寫的部分文書處理，這一生有你相伴真好！ 真幸福！ 感謝我最愛的寶貝兒子碩碩，你總是如此的乖巧、配合，讓媽媽能專心求 學、不需牽掛，媽媽真的好愛好愛你。 「畢業了，真好!」謹以此論文獻給我摯愛的家人及所有關愛我的人，願 與你們一起分享我的喜悅，並願大家平安健康！ 君玲 謹致 西元 2013 年 6 月

後設認知策略教學對提升國小二年級學生

加減文字題解題能力之成效

摘 要

本研究旨在探討後設認知策略教學對提升國小二年級學生加減文字 題解題能力之成效。本研究採準實驗研究法中的前-後測設計，以研究者 任教的班級為實驗組，學生人數 25 名，進行後設認知策略教學課程；另 擇一班為控制組，學生人數 25 名，實施一般傳統教學。以「加減法文字 題」的單元為教學內容，進行 6 節課的教學。研究者對兩組均施以前、後 測，以比較一般傳統教學法與後設認知策略教學法對提升國小二年級學童 加減文字題解題能力之成效差異。資料結果以單因子共變數探知實驗組及 控制組在加減文字題解題能力是否獲得提升，並透過焦點團體晤談進一步 了解實驗組學生的後設認知表現。研究結果如下： 一、國小二年級學生在加減文字題的理解情形 （一）兩組學生在二位數加減計算能力尚佳且粗心狀況少。 （二）兩組學生在加減文字題 18 個題型中，「比較型」參考量未知（比 少）表現最差，「等化型」差異量未知（拿走）表現最好。 二、後設認知策略教學對提升國小二年級學生加減文字題解題能力之成效 （一）後設認知策略教學活動沒有顯著優於一般傳統教學活動。 （二）影響實驗教學成效的重要因素有： 1.實驗教學時間短。 2.學生不會確實去執行策略的第六步驟「檢查」。 三、國小二年級學生的後設認知表現情形 （一）實驗教學後，學生能使用後設認知策略步驟解題。 （二）高數學能力者的後設認知表現佳。 關鍵詞：加減法文字題、後設認知策略教學、焦點團體晤談

The Effects of Metacognitive Strategy Instruction on Improving Addition and Subtraction Word Problem Solving in Mathematics with The Second

Graders

Abstract

The purpose of this study was to investigate the effects of metacognitive strategy instruction on improving the problem-solving abilities to addition and subtraction word problems for the second graders .This study was conducted by using a pretest-posttest quasi-experimental design divided fifty students into two groups. The experimental group was twenty-five students in research’s current class who were instructed of metacognitive strategy. The control group was also twenty-five students in other class who were instructed of traditional teaching. Both of them were taught by “addition and subtraction word problems” unit and lasted six classes long. A pretest and posttest were applied by the researcher in order to compare the difference effects between metacognitive strategy and traditional teaching on improving the abilities to addition and subtraction word problems for the elementary school second graders.

The data was analyzed with one-way analysis of covariance (ANCOVA) to elicit whether the experimental group and control group can be improved their problem-solving abilities of addition and subtraction word problem or not. In addition, focus group interviews were used to understand the performance of the experimental students in metacognitive strategy further. The study results were summarized as follows:

1. The comprehension of the elementary school second graders on addition and subtraction word problems

(1) The students of two groups were comparatively good in two-digit addition and subtraction computation and less careless situation.

(2) During performed the eighteen questions of addition and subtraction word problems, students were in the worst performing at “compare type” reference unknown problems, but were in the best performance at “ equalize type” difference unknown problems”.

2. The effects of metacognitive strategy on improving addition and subtraction word problem-solving abilities with the elementary school second graders.

(1) Metacognitive strategy instruction was not significantly better than traditional instruction.

(2) The important factors in influencing the effects of experimental teaching were as follows:

b. Students cannot implement the sixth step of the strategy “check” well. 3. The metacognitive strategy performance of elementary school second graders.

(1) After experimental teaching, students can solve the problems via using metacognitive strategy.

(2) Students who have high mathematical ability play a superior performance. According to the result, suggestions for teachers’ teaching and future studies were provided.

Keyword: addition and subtraction word problems, metacognitive strategy instruction, Focus group interviews.

目 錄

第一章 緒論

第一節 研究動機 ………1 第二節 研究目的與待答問題 ………3 第三節 名詞釋義 ………3 第四節 研究限制 ………4

第二章 文獻探討

第一節 後設認知理論 ………5 第二節 數學解題歷程………10 第三節 加減法文字題的類型與學習問題………13 第四節 加減法文字題之相關研究………18 第五節 後設認知與數學解題之相關研究………21

第三章 研究方法

第一節 研究架構與設計………25 第二節 研究對象………27 第三節 研究流程………28 第四節 研究工具………30 第五節 後設認知策略教學課程………34 第六節 資料處理………37

第四章 研究結果與討論

第一節 兩組學生在加減文字題之理解情形………39 第二節 實驗教學後兩組學生在加減文字題之差異情形…………45 第三節 實驗組學生之後設認知表現………59

第五章 結論與建議

第一節 結論………71 第二節 建議………72

參考文獻

一、中文部份………75 二、英文部份………80

附錄

附錄一 加減文字題預試試卷之雙向細目表………85 附錄二 加減文字題預試試卷………86 附錄三 加減文字題前測試卷………88 附錄四 加減文字題後測試卷………90 附錄五 家長同意書………99 附錄六 解題步驟提示卡 ………100 附錄七 後設認知策略教學設計（一） ………101 附錄八 後設認知策略教學設計（二） ………103 附錄九 後設認知策略教學設計（三） ………105

表 次

表 2-3-1 Fuson 加減法文字題的分類………14 表 3-1-1 後設認知策略教學與一般教學實驗設計表………26 表 3-1-2 二位數加減法課程內容及教學時間表………26 表 3-4-1 加減法文字題類型與試題內容一覽表………30 表 3-4-2 預試試卷試題難度、鑑別度指數表和 Cronbach 值………33 表 3-5-1 後設認知解題策略卡 ………35 表 4-2-1 兩組學生加減文字題前測分數差異性 t 檢定摘要表………45 表 4-2-2 實驗組與控制組組內迴歸係數同質性檢定摘要表………45 表 4-2-3 共變數分析摘要表………46 表 4-2-4 高分組總分之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………47 表 4-2-5 高分組總分共變數分析摘要表………47 表 4-2-6 中分組總分之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………47 表 4-2-7 中分組總分共變數分析摘要表………48 表 4-2-8 低分組總分之組內迴歸係數同質性檢定摘要表………48 表 4-2-9 低分組總分共變數分析摘要表………49 表 4-2-10「改變型」文字題組內迴歸係數同質性檢定摘要表………49 表 4-2-11「改變型」文字題共變數分析摘要表………50 表 4-2-12「合併型」文字題組內迴歸係數同質性檢定摘要表………50 表 4-2-13「合併型」文字題共變數分析摘要表………51 表 4-2-14「比較型」文字題組內迴歸係數同質性檢定摘要表………51 表 4-2-15「比較型」文字題共變數分析摘要表………51 表 4-2-16「等化型」文字題組內迴歸係數同質性檢定摘要表………52 表 4-2-17「等化型」文字題共變數分析摘要表………52

圖 次

圖 2-1-1 Montague 認知-後設認知策略教學模式 ………10 圖 2-3-1 真實世界中的加減法情境………16 圖 3-1-1 研究架構圖………25 圖 3-3-1 研究流程圖………29 圖 4-1-1 實驗組「改變型」文字題解題表現長條圖………40 圖 4-1-2 控制組「改變型」文字題解題表現長條圖………40 圖 4-1-3 實驗組和控制組之「合併型」文字題解題表現長條圖………41 圖 4-1-4 實驗組「比較型」文字題解題表現長條圖………41 圖 4-1-5 控制組「比較型」文字題解題表現長條圖………42 圖 4-1-6 實驗組「等化型」文字題解題表現長條圖………42 圖 4-1-7 控制組「等化型」文字題解題表現長條圖………43 圖 4-3-1 後設認知策略第一步驟「一讀」答題情形長條圖………59 圖 4-3-2 後設認知策略第二步驟「二說」答題情形長條圖………61 圖 4-3-3 後設認知策略第三步驟「三畫記」答題情形長條圖………63 圖 4-3-4 後設認知策略第四步驟「四想」答題情形長條圖………66 圖 4-3-5 後設認知策略第五步驟「五算」答題情形長條圖………67 圖 4-3-6 後設認知策略第六步驟「六檢查」答題情形長條圖………69

第一章 緒論

本章共分四節，首先闡述本研究的研究動機，其次說明研究目的與代 答問題，接著針對本研究之重要名詞加以釋義，最後述說其研究限制。

第一節 研究動機

數學在我們日常生活中無所不在，人類生活和社會文明的進展亦與數 學息息相關。數學被稱為科學之母，是各國科學與科技進展的基礎；數學 能力成為國家人力素質的指標，由此可見數學的重要性。因此，各國都極 力提升學生的數學能力，數學能力的培育為各國國民教育的基本內容。從 1980年代起，許多國家的中小學數學教育強調數學教育的主要目標之ㄧ在 培養學生的數學解題能力（劉秋木，1989）。多位學者認為數學解題是數 學教育中很重要的研究議題。孫扶志（1996）指出從小學開始，文字題便 普遍出現於數學課程中，數學文字題在數學訓練課程中占有很重要的地 位。郭秀緞（2006）提及國小的數學教材主要由問題與解題所形成，數學 文字題在數學領域扮演著課程的核心角色。 低層級數學是高層級數學的基礎，加減的概念被視為其他數學概念的 基礎（蔣治邦、鐘思嘉，1991），日常生活中處處充滿加減法問題情境。 因此，國小二年級的加、減法成為數學解題的重要主題之一。研究指出學 生解數學文字題的能力比基本的計算能力差（林原宏、許天維、劉湘川， 1993；鄧少林、蔣治邦，1994）。解文字題時，解題者需將每一個陳述句 加以轉譯以整合成問題表徵，接著擬定所需的解題計畫，監控解題過程是 否正確有效（林清山譯，1980）。學生在學習整數運算時，除了算出加減 乘除的答案外，也必須了解運算的意義，學生在解決文字題時，需從文字 表徵、符號表徵和圖形表徵之間進行轉換，成為建立運算意義最重要的方 法（甯平獻，2010）。因為數學學習涉及認知思考歷程，以及抽象化的數

學概念和事實表徵，對多數學生來說，數學學習極為艱苦，數學成了一門 重要卻令人頭痛的學科（孫扶志，1996）。 研究者於低年級任教多年，發現學生在數學成就測驗中，文字題最難 得到高分。與學生檢討文字題時，察覺到要求他們再讀一次題目後，學生 大多就能更正自己的答案。研究者發覺很多學生在進行文字題運算時，並 沒有仔細去思考自己的運算結果是否合理，才會容易出錯。蔡佳倫（2008） 認為學生往往只以直覺性的反應去解題，可能依照某個關鍵字來選擇解題 策略，或是用最近學到的解題策略來解題，造成了在數學解題的失敗。然 而，數學學習上的問題，還可能源於記憶、閱讀、推理、後設認知(Mercer & Miller, 1992)，這些方面若有困難，經常造成教學無效。因此，解題策略 的教學除了包含認知解題策略的技巧訓練外，亦強調個體解題歷程中的自 我覺知與監控，也就是後設認知(metacognition)(Flavell, 1979)。 後設認知能避免解題時盲目的運算和使用表面的關鍵字來解題，且能 幫助學生以彈性、策略性的方法使用已習得的知識(Desoete , Roeyers & Buysse, 2001)。希望學生在推理及解題的表現好，許多後設認知的想法應 在教學中建立，以幫助學生重新思考他們的思考過程（吳德邦、馬秀蘭譯， 2009）。 Montague(1992)認為在進行後設認知策略教學時，最初應該用明 確的教學法，讓學生熟悉各策略的使用。郭秀緞（2006）用「直接教學法」 讓學生熟練策略，發現後設認知策略教學確實可增進國小學生的數學解題 表現。除此之外，亦有多位學者認為後設認知是數學解題的必備因素 (Borkowski, 1992；Desoete et al, 2001；Montague & Applegate, 1993)；且有 較多後設認知表現者，大多擁有較佳的學習表現（江美娟，2002；涂金堂， 1995；陳李綢，1992；張淑娟，1997；楊明家，1997）。

在自身的經驗及學者的研究中，發現後設認知在進行數學解題時的重 要性。為幫助學生理解題意、成功解題，本研究以國小二年級學生為研究 對象，進行後設認知策略教學，編製了一份具信效度的測驗，並將之製成

兩份試卷，一份為加減文字題前測試題，一份為加減文字題後測試題。藉 由分析方法，探討實施後設認知策略教學是否能有效協助學生理解題意， 進而成功解題。此實驗研究提供後設認知策略教學給國小教師，希望日後 在加減法文字題教學時，能有助於改進教學成效，提升學生其解題能力。

第二節 研究目的與待答問題

根據上述研究動機，本研究擬進行後設認知策略教學來探討國小二年級 學生在加減文字題的理解情形。研究目的如下： 一、探討國小二年級學生在加減文字題各類型之理解情形。 二、探討在國小二年級實施後設認知策略教學之教學成效。 三、探討實驗組在接受後設認知教學後，其後設認知表現情形。 依據上述研究目的，本研究所欲探討的待答問題如下： 一、國小二年級學生在加減文字題理解情形為何？ 二、在進行後設認知策略教學後，實驗組與控制組之差異情形為何？ 三、實驗組在後設認知策略教學後其後設認知表現情形為何？

第三節 名詞釋義

本研究所涉及之重要名詞與研究變項，分別界定如下： 一、加減法文字題 數學文字題(word problem)是指以語文的方式來描述問題情境的數學 問題。通常以日常生活事件為材料，藉由文字、數字的型態來敘述問題情 境，將問題情境轉化成數學符號，運用各種解題策略，然後列出算式，求 出答案。在本研究中係指加減法的文字題，其文字題類型參考 Fuson(1992) 的歸納分類，包含改變、合併、比較與等化四大類，且總數為 200 以內之 加減法運算。

二、後設認知策略教學 本研究所謂的後設認知策略，是指學生在從事加減文字題解題活動 時，對其解題歷程的監控與調適。研究中的六堂教案設計係參考 Montague(1992, 1995, 1997)提出的認知-後設認知策略教學來修改。透過教 導後設認知策略，如閱讀題意、釋義、畫重點、圖示、解題計畫、解題執 行及檢查等特定的認知歷程，加上自我教導、自我提問和自我監控等方 式，來增進學生問題解決能力及獲得策略知識、引領策略執行並調整策略 的使用。 三、數學解題能力 「數學解題能力」指實驗組學生接受後設認知策略教學後，於自編「加 減文字題測驗」上的得分，得分越高者表示數學解題能力越佳。 四、數學解題歷程 本研究中的後設認知策略教學所採用的解題歷程，因教導對象為國小 二年級學生，所以修改 Montague(1992, 1995, 1997)所提出的步驟，將解題 歷程予以細分為一讀、二說、三畫記、四想、五算、六檢查等六步驟。解 題歷程步驟口訣化方便學生記憶，並且每個步驟皆予以明確的指導。 五、國小二年級學生 本研究施測時間為民國一○一學年度第一學期，施測對象為國小二年 級學生，基於地緣關係，以彰化縣某國小的二年級學生為受試者。

第四節 研究限制

本研究欲探討後設認知策略教學能否提升加減文字題解題能力，但研 究對象僅以彰化縣某國小二年級某班 25 位學生為實驗對象，且實驗時間 只有 6 節課，故研究結果不宜作為普遍性的推論。

第二章 文獻探討

本章旨在蒐集國內外相關文獻並加以統整，共分為五節來進行探討。 第一節為後設認知理論，第二節為數學解題歷程，第三節為加減法文字題 的類型與學習問題，第四節為加減法文字題之相關研究，第五節為後設認 知與數學解題之相關研究。

第一節

後設認知理論

一、後設認知的定義

後設認知(meta-cognition)一詞由 meta 和 cognition 兩個字組合而成。 Meta 源自於希臘文，意思是以超然或旁觀的立場來看事物，而對事物有更 具普遍性和更成熟的理解（邱上真，1989）；cognition 意指個體的內在認 知活動，包含知識的獲得、儲存、轉換及使用（李玉惠，2000）。Flavell(1987) 界定後設認知為「有關認知目標的知識與認知」。Brown(1987)認為後設認 知是指個人對其認知系統的知識與控制。陳密桃（1990）認為後設認知為 個人其認知歷程和結果的自我覺知、自我監控及自我調整等知識與能力。 鄭昭明（1993）認為後設認知是指對自己所擁有的知識、認知策略的了解； 並指揮與使用這些知識和認知策略，以應付學習、記憶、思考和解題的工 作。張春興（1994）認為後設認知是指對認知的認知，對思考的思考，亦 即個人對自己的認知歷程，能夠掌控、支配、監督和評鑑的高一層的認知。 綜合國內外各學者的論點，後設認知其主要的意義是自己對自己認知歷程 的認知。個人不但具有有關自己思考與學習活動的知識，並懂得自我管 理，知道如何控制它，使所從事的認知活動達到最佳的成果。 二、後設認知的內涵 以下介紹幾位學者的理論，以掌握後設認知其內涵： （一） Flavell 的觀點 Flavell 在 1970 年代初最早使用「metacognition」一詞（陳密桃，

1990），其認為後設認知包括後設認知知識(metacognition knowledge) 和後設認知經驗(metacognition experience)兩個向度(Flavell, 1987)。 1. 後設認知知識 後設認知知識是指個體擁有他自己認知歷程的穩定知識，但 因對象的不同，而分為個人、工作和策略等三種變項知識。 (1)個人變項知識：對自己與對別人認知能力的知識，此又可分為個 體內差異（了解自己認知資源及能力特性的差異）、個體間差異 （了解自己與他人認知能力的差異）及共同性的知識（了解一 般人認知資源與能力的普遍性）等三類。 (2)工作變項知識：指個人對工作目標、性質和工作困難度或熟悉度 的知識。 (3)策略變項知識：指個人達成工作目標所需用到的各項知識，知道 選擇不同的策略以增進表現。 2.後設認知經驗 後設認知經驗指個人對自己的認知狀態有敏銳的察覺，知道自 己是否知道或什麼時候知道。它可能發生在從事一項認知活動的任 何時間；也可能發生於任何情境中，讓人專注於從事認知活動，有 意識的監控及調整個人的認知。 （二） Brown 的觀點

Brown(1987) 將 後 設 認 知 分 為 認 知 的 知 識 (knowledge about cognition)和認知的調整(regulation of cognition)。 1. 認知的知識 認知的知識是指個體對自己認知歷程的知識。了解自己的認 知能力以及對自己與環境間互動的察覺，用以明白行動的限制、 可行性和優缺點等。 2. 認知的調整

認知的調整是指個體在其認知歷程中「執行控制」，用來調 整和監督學習活動的，包括計畫（預測結果、安排策略和各種嘗 試錯誤的活動）、監控（監控、測試、修正和重新安排策略）與 檢查（評估各種策略結果能否符合效率和效能的標準）等能力。 認知的知識和調整這兩者是相關且互相影響的。個體認知的知識 越多，就越有能力進行認知的調整；個體越懂得做認知的調整， 就越能擴充更多認知的知識。 （三）Schraw 的觀點 Schraw(1998)整理多位學者的觀點，將後設認知分為認知的知識 (knowledge of cognition)和認知的調整(regulation of cognition)。 1.認知的知識 認知的知識是指個體對自己的認知或是一般認知所做的了 解，包括以下三項知識： (1)陳述性知識：知道有關(about)學習者本身的條件和了解影響個 人表現的因素。 (2)程序性知識：知道(how)完成一項工作的知識。 (3)情境性知識：知道何時(when)和為何(why)要使用陳述性知識或 程序性的知識。 2.認知的調整 認知的調整是指幫助學習者掌控自身學習的一系列運作，包括 計畫、監控和評價等(Schraw, 1998)。 由上述三位學者的觀點可發現，後設認知的內涵，包含了「認知的知 識」和「認知的監控」兩項，強調對自我認知歷程的了解，以及從事認知 活動時能隨時監控與調整。 三、後設認知對學習的意義

認知的功能對於學生的學習極具意義，以下分兩個面向說明之（郭秀緞， 2003）： （一） 影響學習的主動性、有效性 欲成為一個主動且有效率的學習者，個人必須知道自己的認知 資源、作業的需求，以及何時該用何種策略？如何調整策略？學者 Turner(1989)亦認為學生若無法有效的使用策略，就無法成為主動而 獨立的學習者，其部分原因為缺乏後認認知覺知和後設認知策略。 所以想要讓學生成為主動且有效率的學習者，須重視後設認知的重 要性。 （二） 和各認知領域的學習相關性高 在許多學習領域的研究中，皆發現後設認知扮演極重要的角 色，如閱讀理解、寫作、數學、科學、記憶、注意力、問題解決、 第二語言閱讀等（鄭麗玉，1993），Schraw(1998)也認為後設認知廣 泛展現在各知識領域上。可見，後設認知對各認知領域的學習具有 深遠的影響。 四、後設認知策略的教學 以下介紹三種後設認知策略的教學方式： （一）Case 與 Harris 的後認認知策略教學模式 Case 與 Harris(1988)研究自我教導策略訓練對國小高年級學生 在數學解題的影響，其教學步驟分為八個： 1.訓練前：教學者評量學生目前的能力程度。 2.檢視目前的表現水準：教學者和學生討論想要達成的目標，並討 論教學訓練對解題能力之影響。 3.描述解題策略：教學者解釋策略該如何進行。 4.示範問題解決的策略：教學者舉例示範策略的使用。 5.解題策略的精熟：學生記憶策略並練習策略的使用。

6.控制下的練習：學生練習使用圖表（列有策略步驟）來解題。 7.獨立練習：學生獨自解題，教學者檢查進步情形為何。 8.類化和維持：和學生討論已習得的策略，並提醒他們平時要使用 此策略。 （二）Borich 與 Tombari 的後設認知策略教學模式 Borich 與 Tombari(1997)的後設認知策略教學，分成七個步驟： 1.教學者針對各科目的學習重點，教導明確的認知策略。 2.當學習者知道如何使用策略後，教學者派給他們兩個性質相當的認 知作業，要求學習者一個作業使用策略，另一個作業不使用策略。 3.教學者要求學習者分辨使用策略與不使用策略的差別。 4.學習者記錄並比較兩種（使用策略與不使用策略）所獲得的學習量。 5.教學者和學習者討論如何運用策略以增進學習。 6.要求學習者表達下次面對類似的學習情境時願意使用策略。 7.再給學習者使用策略的機會，並監控策略的效果。 七個步驟分為五個階段：認知策略教學階段（步驟 1）、實地執 行策略階段（步驟 2）、教導後設認知策略階段（步驟 3、4、5）、自 發性使用策略階段（步驟 6）及監控策略階段（步驟 7）。

Borich 與 Tombari 的後設認知策略教學模式和 Case 與 Harris 的 後認認知策略教學模式一樣，都採直接告知式的教學，明確告訴學 生學習的重點與策略，讓學生熟練之後，再讓學生獨立監控自我策 略的使用。

（三）Montague 的認知與後認認知策略教學模式

Montague(1992)提出的認知-後設認知策略教學(cognitive and metacognitive strategy instruction)，是針對中學學障生數學解題而建 構。將數學解題分為六個認知策略，透過教導六個認知策略：閱讀 題意、釋義、畫圖、計畫、計算及檢查。加上自我教導、自我提問

和自我監控等後設認知策略教學，來增進學童問題解決能力及獲得 策略知識、引領策略執行並調整策略的使用。

圖2-1-1 Montague認知-後設認知策略教學模式

資料來源:“Cognitive strategy instruction in mathematics for students with learning disabilities”by Montague, M., 1997, Journal of Learning Disabilities, 30(2) , 168.

第二節

數學解題歷程

現行國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要（教育部 2008），其 中一項為「培養獨立思考與解決問題的能力」，強調應透過「解決問題」 的教學達到有效的數學學習。學生遇到問題時，必須先了解問題的陳述， 接著整理題意，才能列出算式，再進行運算以求得解答，從題目到答案是 一個複雜的心智運作過程。Kilpatrick(1992)認為數學教育受到數學與心理 學兩個領域之影響。Mayer(1993)也指出結合數學教育、特殊教育和認知心 理學是研究解題數學的必要趨勢。可見，數學學習與心理學的確有密切的 關係。以下以認知心理學的理論為取向，探討三位學者所提出的數學解題 歷程模式： 一、Polya 的解題歷程模式 Polya 為最早提出數學解題歷程模式的學者，其提出的解題步驟如下 （蔡坤憲譯，2006）： （一）了解問題：未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？ 認知策略及歷程 （特定的解題策略） 閱讀（理解） 釋義（轉譯） 視覺化（轉換） 假設（計畫） 估計（預測） 算式（計算） 檢查（評鑑） 後設認知策略及歷程 （後設策略的覺知與調整） 自我教導（策略知識與使用） 自我提問（策略知識與使用） 自我監控（策略控制）

（二）擬定計畫：找出已知數與未知數之間的關係。 （三）執行計畫：把解題計畫付諸實現，仔細的檢查每一個步驟。 （四）驗算與回顧：驗算所得到的答案，並檢驗驗證的過程。 Polya 的解題歷程四階段並非依直線進行，而是來回往返階段，以達到 問題解決的目的。 二、Schoenfeld 的解題歷程模式 Schoenfeld(1985)將「後設認知」及「信念系統」加入解題歷程模式中， 強調影響數學解題表現的四項因素： （一）資源(resources)：解題者所擁有與解題相關的數學知識，包含了數 學事實、定義、運算程序和技巧等訊息。 （二）捷思(heuristics)：解題者的捷思策略，也就是解題的技巧與策略， 例如：簡化問題、畫表格、猜測……等等。 （三）控制(control)：解題者在解題時，監控如何運用個人的知識與技能， 例如：如何決定計畫、如何選擇目標及如何監控和評估解題結果等。 控制的因素居解題歷程的主導地位，其能促使解題活動獲得正確的解 答。 （四）信念系統(belief system)：信念系統屬於情緒因素，指的是解題者對 於一切與數學有關的看法，此看法影響著其解題的態度和情緒，進而 影響其解題行為。 此外，Schoenfeld(1985)將數學解題歷程分為六個階段： 1.讀題(reading)：閱讀題目。 2.分析(analysis)：簡化問題或重述，以便了解。 3.探索(exploration)：尋找已知、未知條件及與問題目標間的相關性。 4.計畫(planning)：擬定解題計畫，並加以評估。 5.執行(implementation)：按照步驟執行計畫。

在 Schoenfeld 的數學解題模式中，他特別強調控制(control)的重要 性，控制是解題者在進行解題的工作時，有關策略的決定或調適等監 控的行為，即是心理學的後設認知部分。 三、Mayer 的解題歷程模式 Mayer(1992)從認知心理學的觀點來探討數學解題的歷程，將解題歷 程分為兩大階段：問題表徵(problem representation)和問題解決(problem solution)。每個階段又包含兩個步驟，茲分述如下： （一）問題表徵階段 1.問題轉譯：把問題的每個陳述句，轉換成內在表徵。此步驟需 具備「語言知識」和「事實知識」。 2.問題整合 ：把問題的每個訊息，整合成連貫的問題表徵。此 步驟需具備「基模知識」。 （二）問題解決階段 1.解題計畫與監控：評估如何進行解題的策略，並監控計畫。此步 驟 需具備「策略知識」。 2.解題執行：能正確的應用數學法則，把答案算出來。此步驟需具 備「程序性知識」。 由以上三位學者所提出的數學解題歷程模式可得知，Polya 的解題歷 程概念影響著後續解題歷程模式的發展。其整體的解題歷程架構為：了解 問題、擬定計畫、執行計畫和核對結果等四個階段。各學者皆以「階段性」 的模式來研究學生的數學解題歷程，但 Schoenfeld 和 Mayer 還重視解題過 程中所具備的知識和策略，也強調「監控」在問題解決過程中的重要性， 亦顯示對「後設認知」的重視。

第三節 加減法文字題的類型與學習問題

一、數學文字題的意義 何謂文字題(word problem)？古明峰（1998）認為：所謂文字題是結合 數學知識和語文技巧的問題，解題者閱讀題目後，結合數學概念，依照題 意進行解題的運算過程。Mayer(1987)認為文字題是藉由文字敘述的一種計 算題型式，學生在解數學文字題時，不僅需要熟悉計算的過程，同時也要 閱讀問題的語意部份，理解問題的要求及所提供的條件，進而進行運算的 工作來解決問題。Cummins(1991)認為文字題是將日常的生活事件作為材 料，以語文型態的方式來描述的數學問題情境，它比一般計算題涉及更複 雜的認知歷程。葉家綺（2005）則認為學校中的數學問題，可分為算術問 題(arithmetic problem)與文字問題(word problem)。算術問題只要熟練數學 的基本運算規則即可解題，而解答文字問題不僅要熟練數學計算方式，也 要能閱讀題目的語意部分。在我國的中小學裡，將數學文字題稱為「應用 問題」。文字題除了涉及計算能力外，還有理解問題的語意部分及相對應 的數學概念，而且文字敘述的複雜程度，也會影響解題的難度。 二、文字題的分類 在文字題的分類上，常依研究者的需要而有不同的分類方式（林碧 珍，1991；林能傑，1995），以下分為四類： （一）以「步驟」為標準： 以解題步驟的多寡，分為單步驟文字題、二 步驟文字題與多步驟文字題。 （二）以「運算」為標準：在解題過程中所運用的運算符號，可分為單一 符號運算（加、減、乘、除其中一類），或是多種符號運算（加減、 乘除、四則運算其中一類）。 （三）以「情境」為標準：指在文字題中所闡述的內容情境。 （四）以「語意結構」為標準：依照問題的語意結構為根據，而有不同的

解題策略。 三、以「語意結構」為標準分類 以「語意結構」為分類標準者，各學者的標準有所不同，如 Riley、 Greeno 與 Hellerr(1983)將文字題分為「改變」、「合併」和「比較」三類。 Carpenterr 與 Moser(1983)則將文字題分為「加入」、「改變」、「合併」「比 較」和「等化」五類。Fuson(1992)所提出的分類法：分別以加減法情境、 運算過程、動靜態情境將問題分成「改變」、「合併」、「比較」和「等化」 四類，再依數量運作的方向（例如：增加、減少、比多、比少）與所求未 知數量在問題中的角色，進而區分成各種類型的文字題（蔣治邦，2001）。 Fuson 的分類法近來常被國內外學者採用，本研究亦採用此分類法來 編製加減文字題試題。其加減法文字題分類說明如表 2-3-1 和圖 2-3-1： 表 2-3-1 Fuson 加減法文字題的分類 題型 例子 改變 起始量未知 小明有一些糖，小華給他 5 顆糖後，現在小明有 8 顆糖，問小明原來有幾顆糖？ 小明有一些糖，然後他給小華 5 顆，現在小明有 3 顆糖，問小明原來有幾顆糖？ 改變量未知 小明有 3 顆糖，小華又給小明一些糖後，現在小 明有 8 顆糖，問小華給小明幾顆糖？ 小明有 8 顆糖，然後他給小華一些糖後，現在小 明有 3 顆糖，問小明給小華幾顆糖？ 結果量未知 小明有 3 顆糖，小華又給小明 5 顆，問現在小明 有幾顆糖？ 小明有 8 顆糖，然後小明給小華 3 顆，問現在小 明有幾顆糖？ 差異量未知 小明有 8 顆糖，小華有 3 顆糖，問小華還要再買 幾顆糖後，才會和小明一樣多？ 小明有 8 顆糖，小華有 3 顆糖，問小明還要再吃 掉幾顆糖後，才會和小華一樣多？ （續下頁）

題型 例子 合併 全體量未知 小明有 3 顆糖，小華有 5 顆糖，問小明和小華共 有幾顆糖？ 部份量未知 小明和小華共有 8 顆糖，小明有 3 顆糖，問小華 有幾顆糖？ 比較 參考量未知 小明有 8 顆糖，小明比小華多 5 顆糖，問小華有 幾顆糖？ 小明有 3 顆糖，小明比小華少 5 顆糖，問小華有 幾顆糖？ 比較量未知 小明有 3 顆糖，小華比小明多 5 顆糖，問小華有 幾顆糖？ 小明有 8 顆糖，小華比小明少 5 顆糖，問小華有 幾顆糖？ 差異量未知 小明有 8 顆糖，小華有 3 顆糖，問小明比小華多 幾顆糖？ 小明有 8 顆糖，小華有 3 顆糖，問小華比小明少 幾顆糖？ 等化 參考量未知 小明有 3 顆糖，他再買 5 顆糖後，就會和小華有 一樣多的糖，問小華有幾顆糖？ 小明有 8 顆糖，他吃掉 5 顆糖後，就會和小華有 一樣多的糖，問小華有幾顆糖？ 比較量未知 小明有 8 顆糖，小華再買 8 顆糖後，就會和小明 有一樣多的糖，問小華原來有幾顆糖？ 小明有 3 顆糖，小華把自己的糖吃掉 5 顆後，就 會和小明有一樣多的糖，小華原來有幾顆糖？ 差異量未知 小明有 8 顆糖，小華有 3 顆糖，問小華還要再買 幾顆糖後，才會和小明一樣多？ 小明有 8 顆糖，小華有 3 顆糖，問小明還要再吃 掉幾顆糖後，才會和小華一樣多？ 資料來源：蔣治邦（2001）。「中年級學童「部份-全體」運思的發展：文字題選圖與 作業表現的差異」。中華心理學刊，43（2），240。

圖2-3-1 真實世界中的加減法情境

資料來源：Fuson, K. (1992). Research on whole number addition and subtraction. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 245). NY:Macmillan Publishing Company.

四、文字題的錯誤類型 文字題的錯誤類型會因不同的學者所採用的研究方式或工具不同，而 有不同的分析結果。 Radatz (1979)提出在文字題的解題中，其錯誤的發生從簡單的計算錯 誤到閱讀到使用資訊的錯誤。錯誤的使用資訊則包括以下五點： （一）語言困難：例如不了解「比較多」的意義。 （二）空間圖像：例如上、下弄不清楚。 （三）先備觀念及技巧的不適當：例如不知道1 公尺等於100 公分，因此 加法情境 減法情境 改變 (增加) 改變 動態情境 +□ 一元運算 □ → □ 開始 結束 改變 (減少) 改變 動態情境 –□ 一元運算 □ → □ 開始 結束 合併 動態情境 (物理上) 二元運算 □ □ → □ 部分 部分 全部 等化 取走差值▂ █ ▅ ↗ ▅ ▅ 大 小 大 小 ↘ 加入差值 ▂ █ ▅ 大 小 合併 靜態情境 (概念上) 二元運算 □ □ → □ 部分 部分 全部 比較 差值▂ █ ▅ ↗ ▅ ▅ 大 小 大 小 ↘ ▂差值 █ ▅ 大 小

換算錯誤。 （四）不正確的聯想：例如將不相關的資訊也列入考量。 （五）運用不恰當的策略：例如題目要用加法解題，卻用減法解題。 翁嘉英（1988）以國小二、三、四年級442位學生為研究對象，探討 學生在比較類簡單加減文字題的解題表現，研究結果發現，學生解題的錯 誤類型大致上可分為以下四類： （一）把差異量當作未知量：例如將「小英有5元，小強比小英多2元」看 成「小英有5元，小強有2元」。 （二）固定對應策略：「比某某多」的問題，學生會慣用加法來運算；「比 某某少」的問題，學生會慣用減法來運算。 （三）減法或加法策略：學生常常會不知變通的使用加法或減法來解題。 （四）胡亂拼湊數字：解題過程中所用的數字不是題目所給的數字，或不 是計算所得的結果。 鄭昭明（1993）研究指出學生在解數學文字題時，對問題結構的表徵 錯誤，推估可能來自四個原因： （一）兒童可能尚未能使用某些概念，特別是「比較」的概念。 （二）只尋求注意文字的表面線索，往往導致錯誤的回答，例如：只注意 「較多」、「較少」的字眼。 （三）一個未知的數量如果不是置於題目的末尾，則更難形成表徵。 （四）語言的概念與數學的符號並非呈呆板對應的關係，例如：「較多」、 「較少」是用加法或減法，應該依題目而異，而兒童無法應付這種多 變的關係。 呂玉琴（1997）以國小低年級學生299位為研究對象，探討學生在一 步驟簡單加減文字題的解題表現。研究結果發現學生常犯的錯誤類型有三 種：（一）錯用關鍵字；（二）計算錯誤；（三）看錯題目。 王瑋樺、詹勳國、鄭博信與劉曼麗（2000）用筆測和面談的方式，探

討高屏地區國小一年級至三年級799名學習障礙學生解文字題的解題策略 與錯誤類型，以 Mayer 的五個知識來分析其錯誤類型： （一）在欠缺「語言知識」方面：有認字能力不足、不了解題意、忽略題 目最後的問題和單位、忽略部分語句及對題目的敘述沒有順序的概念 等錯誤類型。 （二）在欠缺「語意知識」方面：有沒有單位的概念、不了解長度的概念、 日月年的關係、四則運算的概念與數字的含義等錯誤類型。 （三）在欠缺「基模知識」方面：有以關鍵字來選擇運算方法、無法判斷 運算方法、長度概念、換算錯誤及計算時間錯誤等錯誤類型。 （四）在欠缺「策略知識」方面：有不了解用哪些數字來運算、缺乏完整 的算式、算式中寫了多餘的數字及算式中代錯數字等錯誤類型。 （五）在欠缺「程序性知識」方面：有不了解直式的乘法、不了解直式的 加減法、直式計算沒有對齊、將兩種運算方式及結果混淆、不了解數 月曆上日數的方法等錯誤類型。 研究者發現陳玉仙與劉曼麗（2008）在數學學習領域典範教學示例彙 編二中提出的數學文字題五項錯誤類型，能綜合以上學者所提出的數學文 字題錯誤類型： （一）缺乏閱讀能力：學生不認識題目裡的字或數學符號。 （二）不了解題意：無法察覺題目中的已知條件或解題目標。 （三）缺乏轉換的能力：缺乏將題意轉換成式子或表徵成圖形的能力 （四）缺乏計算的能力：學生無法正確算出算式的答案。 （五）缺乏寫適當答案的能力：雖能計算出答案，卻無法根據解題目標， 寫出適當的答案（Dickson, 1984；引自林逸文，2002）。

第四節 加減法文字題之相關研究

加減法文字題相關的研究眾多，以下介紹其中四種： 一、加減法概念 國外學者 Riley(1981)對於幼稚園和國小一、二、三年級在各類數學文 字題所顯現的差異進行探討，結果發現在改變題中，以起始量未知最難， 結果量未知最簡單。在合併題中，子集合未知題比總數未知題難。在比較 題中，以參照量未知題最難，差異量未知題最簡單。而國內學生在加減法 概念上的發展，蔣治邦與鍾思嘉（1991）以國小一到三年級的學生為研究 對象，其研究發現，添加型結果量未知、拿走型結果量未知、添加型改變 量未知和拿走型改變量未知及合併型全體量未知為學生們最早能掌握的 類型，較多型差異量未知和較少型差異量未知次之，而較多型比較量未 知、較少型比較量未知及合併型部分量未知是較困難的題目。 呂玉琴 （1997）以國小一、二年級學生為研究對象，探討其解簡單加減文字題的 表現，結果發現一年級的答對率在 58%以上，二年級的答對率在 72%以上， 其中以比較類參考量未知的問題答對率最低。 在林秀娟（2008）研究中，則以加減法文字題的四類分類類型來探討， 發現改變型和合併型試題較簡單，而比較型和等化型試題較困難。在改變 型和合併型試題方面，學生發生錯誤類型皆為加減法運算錯誤居多，進退 位不清的次之。在比較型試題方面，學生發生錯誤類型為加減法運算錯誤 居多。在等化型試題方面，學生發生錯誤類型為加減法運算錯誤居多，其 他錯誤類型次之。且發現「等化」和「比較」類型題目，對學生而言是難 度比較偏高，大多數類型的錯誤發生都是在加減法運算錯誤上。 二、關鍵字 楊美伶與蔣治邦（1992）針對國民小學數學科加減法教材關鍵字之分 析研究，結果發現通常學生解文字題時，若不知採取何種運算，就會使用

關鍵字策略。而在數學課本加減法單一運算的題目中，有 73％適用關鍵字 策略；在數學習作的習題裡，則有 83％適用關鍵字策略，顯示教材裡適用 關鍵字的比例偏高，違反關鍵字策略的題目類型變化很少。且在訪談中發 現，各類型關鍵字皆有學生使用，而教導使用關鍵字的人往往是老師或家 人。謝毅興（1991）研究發現國小學生解數學應用問題時，在缺乏適當的 問題基模下，往往只尋求題目的表面特徵作為解題的依據。在比較類問題 中，「比多」和「比少」兩者被視為「關鍵字」，而被用來作為解題策略的 依據。 三、比較型文字題 涂金堂（2002）的研究指出相較於改變類及合併類的文字題，「比較 類」的文字題對學生而言較為困難。Briars 與 Larkin(1984)的研究中發現 對學生而言，「比較類」文字題是較為困難的題型。而問題中的「關係句」 可能就是學生對於這類問題形成表徵困難的主要因素。翁嘉英（1988）的 研究也發現國小二、三年級學生在解「比多」的題目時會採用加法，解「比 少」的題目時採用減法。這是因為兒童難以形成問題的表徵，只能利用問 題中的局部線索來解題，此現象在「不一致性語言」問題中特別顯著。何 縕琪與林清山（1994）的研究亦指出「不一致性語言」較「一致性語言」 容易錯誤，其主要因素是因為學生在解題表徵上發生了困難，無法將主詞 和受詞倒置，因而忽略關係句中「比」和「是」，只使用關鍵字來解題， 如：有「多」字使用加法、有「少」字使用減法。馬祖平與蔣治邦（2003） 以二下到四上的學生作為研究對象，探討國小學生理解加減比較問題方式 的發展。其研究結果顯示，學生採用「減法策略」和「呆板對應策略」隱 喻依賴問題中的表面線索來決定解題之運算，並非懂得掌握問題情境中的 數量關係。 四、文字題的教學 涂金堂（2002）研究指出國小數學文字題教學，應重視文字題知識結

構的重要性。關於數學文字題的教學，多數教師著重在教導學生使用各種 解題策略，希望透過解題策略的教導來幫助學生尋找解題的方向。然而學 生能否採用適當的解題策略，與其能否對題目進行正確的問題表徵有關。 學生對問題所形成之知識結構，影響著問題表徵的正確性，進而影響其數 學解題表現。因此，教師在教學歷程中，應強調數學文字題知識結構的重 要性，以提升學生數學文字題的解題能力。

第五節 後設認知與數學解題之相關研究

進行數學解題活動時，解題者除了運用自己的認知能力外，後設認知 能力亦扮演著重要的角色。許多研究皆顯示數學解題與後設認知兩者間具 有相關性（涂金堂，1999；張景媛，1994；Brown, 1987；Flavell, 1976, 1981, 1987）。以下歸納國內外有關數學解題與後設認知能力的研究，依其研究 方向分為兩類：一、後設認知能力與數學解題的相關研究。二、後設認知 策略教學與數學解題的相關研究。茲分述如下： 一、後設認知能力與數學解題的相關研究 （一）國內文獻 張景媛（1990）的研究指出後設認知能力影響著學童的學業表現， 具有較高的後設能力者其學校表現較佳。陳李綢（1992）以國小五年 級學生為研究對象，探討後設認知能力與數學作業表現能力之關係。 結果發現後設認知能力對數學作業表現具有相當的影響性。高後設認 知能力組的學生無論在「解題能力」或「數學作業表現」皆優於低後 設能力組的學生。涂金堂（1995）探討國小六年級學生後設認知與數 學解題表現之關係。研究發現學生在後設認知量表上的得分與數學解 題表現得分有顯著的正相關，後設認知量表得分越高者，其數學解題 的表現越好。在解題歷程的分析中發現，高、中、低後設認知能力組

的學生，在讀題與計畫階段並無明顯的差異；但在分析、探索、執行 及驗證階段，低後設認知能力的學生所花的時間明顯少於中、高後設 認知能力的學生。張淑娟（1996）探究高一學生後設認知能力與數學 解題能力之關係，研究結果發現後設能力與其所提出學生解題成功的 九項關鍵能力有關。後設認知能力不僅與數學解題能力有正相關，此 外，後設認知能力中的「自我監控的能力」和數學解題能力的相關性 最高，「組織訊息的能力」為次之。楊明家（1997）以國小六年級學生 為研究對象，探討不同解題能力學生在數學解題歷程後設認知行為之 比較。研究發現高數學解題能力組比低數學解題能力組表現出較多次 數與時間的後設認知行為，且能主動監控策略的使用和答案的合理 性，並做適時的調整，此為兩組間在解題行為上最大的差異。鍾政廷 （2001）的研究是透過編製數學實作評量的施測，以了解國小二年級 兒童在加減法文字題解題歷程及後設認知的思考情形。研究結果發現 解題能力與後設認知能力間具有高度的相關，無論是符號表徵或形象 表徵的試題皆與後設認知能力有高度相關。 （二）國外文獻 Montague 與 Bos(1990)研究對象為八年級學生，發現數學問題解 決的表現與認知及後設認知能力有關。Dover 與 Shore(1991)的研究結 果指出程度好的學生比程度中等的學生有較多的後設認知知識，而且 在程度好的學生中，數學解題較快的學生又比解題慢的學生具有較多 的後設認知知識。Montague(1991)的研究結果顯示資賦優異學生在解題 時，比學障資優學生使用較多的認知及後設認知知識，因此提高解題 的成功機會。Pan(1993)以 Schoenfeld(1985)所提之解題歷程六步驟（閱 讀、分析、探索、計畫、執行和驗證）探討國小六年級學生在數學解 題時所表現的後設認知行為，研究發現成功解題者往往表現出更多次 數的後設認知行為，且能自我監控。

二、後設認知策略教學與數學解題的相關研究 後設認知策略可以幫助學生選擇已有的認知策略並監控自己的認知 歷程，有助於數學解題的表現。Montague(1995, 1997)研究指出後設認知策 略的缺乏，可藉由明確的教學而習得，因此近年來有許多相關的研究出現。 （一）國內文獻 孫扶志（1996）探究認知策略教學對國小四年級數學低成就學生 數學解題表現的影響。此研究的教學策略是參考 Montague 的「認知-後設認知策略」所編製，其結果發現，認知策略教學對數學低成就學 生在數學文字解題表現上的「遷移試題的學習」和「保留階段的學習」 皆有明顯的幫助，而「後設認知」和「動機信念」則未有明顯的提升。 江素鳳（1997）探究自我教導策略對三名國小數學學習障礙學生的學 習效果，研究結果顯示，自我教導策略能增進數學學習障礙學生的數 學成就，但在保留階段則未有明顯的效果，此外，自我教導策略還能 減少數學學障學生的不注意行為。江美娟（2002）以三位數學學習障 礙的學生為研究對象，進行參考 Montague 的「認知-後設認知策略」 而修改的後設認知策略教學。研究發現後設認知策略教學能提高受試 者在應用問題解題測驗的得分，且具有保留的效果，認為後設認知策 略教學著重對題意的理解及解題的監控，能使學生集中注意力進而深 入題意、思考解題步驟使解題成功。陳曉萍（2005）參考 Mayar 的解 題歷程和修改 Montague 的認知-後設認知策略教學，以國小五年級數 學低成就學生為研究對象，分成實驗組和控制組。實驗組進行後設認 知策略教學，控制組則接受一般教學訓練課程，比較兩組在數學解題 上的表現。結果發現實驗組學生在解題表現和後設認知量表上的得分 皆比控制組好，且其解題能力和後設認知能力也獲得保留。 （二）國外文獻

就之關係，研究結果發現動機和後設認知策略皆與數學成就有相關。 Hutchinson(1993)以八至十年級學障學生為研究對象，探究認知策略教 學（自我提問）對其解代數應用問題的解題效果。12 名學生為認知組 接受一對一的認知策略教學，8 名學生為對照組接受普通的教學。研究 結果顯示認知策略教學對大部分學生的解題有幫助，且認知組的解題 表現比對照組的解題表現佳。Cardelle-Elawar(1995)以 Mayar(1987)的數 學解題模式為基礎，對三到八年級的數學低成就學生，進行後設認知 教學（metacognitive instruction）。研究發現接受後設認知教學的低成就 學生在數學解題的測驗成績，明顯高於沒有接受後設認知教學的低成 就學生。Muhammad(1998)把 40 位低數學成就的七年級學生隨機分派 成兩組，實驗組接受和數學解題有關的後設認知策略教學，控制組則 接受傳統教學，兩組學生同樣學習四個數學主題，比較前測和後測的 結 果 ， 發 現 實 驗 組 的 前 後 測 表 現 明 顯 高 於 控 制 組 。 Mevarech 與 Kramarski(2003)測試「後設認知訓練(metacognitive training)」和「有效 完成工作範例(worked-out examples)」兩種教學方式對學生數學推理和 溝通能力的成效差異，並比較經過長時間作用下兩組學生的數學成 就。研究發現接受後設認知訓練的學生在測驗得分較高，且低成就學 生在後設認知訓練下學習成效提高。 綜合國內外相關文獻探討，研究者發現將後設認知的概念融入數學解 題教學是可行的。故本研究欲發展的「後設認知策略教學」係參考 Montague 的「認知-後設認知策略教學」做部分修改，將解題步驟細分為「一讀、二 說、三畫記、四想、五算、六檢查」等六步驟。解題歷程步驟口訣化方便 學生記憶，並且在每個步驟教導所需後設認知成分。

第三章 研究方法

本研究採準實驗研究法進行，旨在探討後設認知策略教學對提升國小 二年級學生加減文字題的解題能力之成效。本章將分六節：第一節研究架 構與設計；第二節研究對象；第三節研究流程；第四節研究工具；第五節 後設認知策略教學課程；及第六節資料處理，茲詳細說明如後。

第一節 研究架構與設計

本研究設計以準實驗研究法設計，對國小二年級學生進行後設認知策 略教學課程，並實施自編「加減文字題」測驗，比較實驗組學生和控制組 學生在加減文字題解題表現之差異。 一、研究架構 圖 3-1-1 研究架構圖 二、研究設計 本研究採用準實驗教學前測-後測設計，分為實驗組和控制組，教材採 用南一版國民小學二上「加減法」單元，實驗組接受「後設認知策略教學 加減文字題前測 （實驗前） 國小二年級學生 後設認知策略教學 （實驗組） 一般教學課程 （控制組） 加減文字題後測 （實驗後）

課程」教學實驗；控制組則接受「一般教學課程」。教學時數皆為 6 節課， 實驗教學後兩週進行加減文字題後測測驗。實驗設計如下： 表 3-1-1 後設認知策略教學與一般教學實驗設計表 組別 前測 實驗變項 後測 實驗組 O1 X1 O3 控制組 O2 X2 O4 註：X 表示實驗處理，實驗組 X1實施後設認知策略教學課程，控制組 X2則實施一般

教學課程。O1表示實驗組前測，O2表示控制組前測，O3表示實驗組後測，O4表示

控制組後測。 三、實驗處理之變項如下： （一）控制變項 1.課程與教材 研究者參考南一版二上數學有關「二位數的加減法」單元，作 為本實驗教學的課程內容，控制組亦使用相同的課程和教材。課程 內容及授課時間如下: 表 3-1-2 二位數加減法課程內容及教學時間表 活動 教學內容 教學時間 加法的直式計算 ﹙二位數不進位﹚ 透過合併型情境，用直式計算解 決二位數不進位的加法問題。 1 節 加法的直式計算 ﹙二位數一次進位 和連續進位﹚ 1.透過比較型情境，用直式計算解 決二位數一次進位的加法問題。 2.透過改變型情境，用直式計算解 決「和」在 200 以內的二位數連 續進位的加法問題。 1 節 ﹙續下表﹚

活動 教學內容 教學時間 減法的直式計算 ﹙二位數不退位﹚ ﹙二位數退位﹚ 透過改變型情境，用直式計算解 決二位數不退位和二位數退位的 減法問題。 1 節 加法和減法的驗算 透過合併型情境，理解加減互逆 的關係，並進行加、減法的驗算。 1 節 加法和減法的應用 透過改變型、比較型、等化型， 運用加減互逆關係，進行加、減 法的解題活動。 2 節 2.教學時間 實驗組教學時間與控制組教學時間，每節授課時間 40 分鐘，共 6 節。 （二）自變項：後設認知策略教學 本實驗研究之自變項，為研究者所設計的後設認知策略教學課 程。本研究中的後設認知策略教學課程設計，係參考國小二年級上 學期南一版數學課本教材，選取其中「二位數的加減法」單元為主 要的教學內容。本教學實驗實施 6 節課，每節 40 分鐘。實驗教學前， 兩組都接受自編的「加減文字題」前測測驗；實驗教學後兩週，兩 組都接受「加減文字題」後測測驗。 （三）依變項 本實驗研究之依變項，是指經過「後設認知策略教學課程」後， 國小二年級學生在「加減文字題」之後測測驗成績為依變項。

第二節 研究對象

本研究因人力、時間及資源有其限制，研究對象為研究者服務學校彰 化縣國民小學之二年級學生，所採行的抽樣方法為方便抽樣(convenience sampling)或稱之隨遇抽樣，也可叫作機會抽樣(opportunity sampling)，即選 取身邊週遭所及人員為研究對象﹙吳曉青、徐振邦、梁文蓁、陳儒晰， 2006﹚。因此研究者以隨機抽樣的方式，從二年級普通班學生中抽出三班 ﹙77 人﹚進行試題「加減文字題測驗」預試，以求試卷信度。 教學實驗以研究者任教班級為實驗組，共 25 位學生為研究對象，另 擇一班為控制組。

第三節 研究流程

一、文獻蒐集與探討 研究者確定研究領域為「加減文字題」後，即著手進行相關文獻的蒐 集。為了探討提升國小二年級學生解題能力之成效，蒐集國內外有關文字 題及後設認知理論與實證研究，並蒐集有關的專題研究方法與結果之相關 文獻，作為本研究之參考。 二、編製評量工具 自編「加減文字題測驗」前、後測試卷，以了解進行後設認知策略教 學後，實驗組與控制組學生的數學解題能力之差異。 三、測驗施測 以研究者服務學校的二年級學生作為「加減文字題測驗」預試的施測 對象。施測時間為民國一○一年九月初。 四、進行實驗教學 實驗教學前，發家長同意書。實驗教學於民國一○一年九月至十一月 期間進行，數學課程為「二位數的加法」和「二位數的減法」此二單元，

共 6 節課。 五、資料分析整理及論文撰寫 實驗教學結束後，立即整理實驗教學過程的資料，依據資料分析實驗 教學成效，將研究結果撰寫成研究論文並提出建議。本研究之研究流程圖 如圖 3-3-1 所示： 圖 3-3-1 研究流程圖 撰寫研究論文 擬定研究之題目 蒐集、參閱文獻資料 編製預試試卷 進行預試試卷施測 分析預試試卷之施測結果 加減文字題試卷施測(前測) 設計教學課程 實驗組 實驗教學階段 控制組 加減文字題試卷施測(後測) 編製加減文字題正式試卷 進行晤談（實驗組） 分析測驗結果 資料綜合分析

第四節 研究工具

研究工具「加減文字題測驗」由研究者自編，以 Fuson 文字題分類法： 改變、合併、比較與等化四類型為題材作為布題，將之細分為 20 題，用 來測量受試者對於加減法文字題各題型的答題能力。依 Fuson 分類法而編 寫的試題內容如表 3-4-1 所示。 表 3-4-1 加減法文字題類型與試題內容一覽表 題型 題號 題目內容 改變 起始量未知 1 小佶有一些棉花糖，小閎給他16顆糖後，現在 小佶有48顆棉花糖，請問小佶原來有幾顆棉花 糖？（添加） 2 小尤有一些筆，然後他給小柏14枝筆，現在小 尤有22枝筆，請問小尤原來有幾枝筆？（拿走） 改變量未知 3 小承有26片餅乾，小愷又給小承一些餅乾後， 現在小承有52片餅乾，請問小愷給小承幾片餅 乾？（添加） 4 小澄有82張貼紙，然後他給小裕一些貼紙後， 現在小澄有40張貼紙，請問小澄給小裕幾張貼 紙？（拿走） 結果量未知 5 小誠有55顆巧克力，小祐又給小誠18顆，請問 現在小誠有幾顆？（添加） 6 小皓有30架紙飛機，他給小杰18架後，現在小 皓有幾架紙飛機？（拿走） 合併 全體量未知 7 爸爸有35雙黑襪子和26雙白襪子，爸爸一共有 幾雙襪子？（加法） 部份量未知 8 花園裡紅花和黃花共85朵，紅花有30朵，請問 黃花有幾朵？（減法） （續下表）

題型 題號 題目內容 比較 參考量未知 9 小宇拍球拍了76下，他比小均多拍38下，小均 拍了幾下？（比多，減法） 10 巧克力蛋糕95元，巧克力蛋糕比草莓蛋糕少35 元，草莓蛋糕多少元？（比少，加法） 比較量未知 11 小凡跳繩跳了140下，小綺比小凡多跳了25下， 小綺跳了幾下？（比多，加法） 12 媽媽今年37歲，阿姨比媽媽小6歲，阿姨今年幾 歲？（比少，減法） 差異量未知 13 花瓶裡有51朵玫瑰花和26朵百合花，玫瑰花比百 合花多幾朵？（比多，減法） 14 小宸有68張小卡片，小瑄有54張小卡片，小瑄 比小宸少幾張小卡片？（比少，減法） 等化 參考量未知 15 小竹已經存83元，再存32元就可以買一個鉛筆 盒，請問鉛筆盒多少元？（添加，加法） 16 小幃有56片餅乾，她吃掉12片後，就會和小欣 有一樣多的餅乾，請問小欣有幾片餅乾？（拿 走，減法） 比較量未知 17 小燕有27個娃娃，小涵再買13個娃娃後，就會 和小燕有一樣多的娃娃，請問小涵原來有幾個 娃娃？（添加，減法） 18 小琳有68元，小穎把自己的錢花掉32元後，就 會和小琳有一樣多的錢，小穎原來有多少元？ （拿走，加法） 差異量未知 19 哥哥存了64元，弟弟存了23元，弟弟還要存多 少錢，才會跟哥哥一樣多？（添加，減法） 20 水果店裡有西瓜60顆，鳳梨46顆，請問西瓜還 要賣出幾顆，才會跟鳳梨一樣多？（拿走，減 法）

一、編製預試試卷並施測 試題編製根據九年一貫數學領域之加減法概念相關能力指標，以及 Fuson(1992)的加減法文字題分類：改變、合併、比較、等化四種問題類型， 並設計預試試卷雙向細目表（如附錄一），編製共 20 題，委由一位大學教 授和研究者同學年之三位同儕教師檢視並協助審題，修改完成後加上指導 語即完成預試試卷（如附錄二）。 預試試卷的施測從研究者服務的二年級九個班中，隨機抽樣三個班 級共 77 名學生進行施測，施測時間為一節課 40 分鐘，學生皆可從容完成。 二、預試試卷難度、鑑別度和信度分析 使用 EXCEL 將學生預試試卷的答案逐一輸入，分析試題的難度和鑑 別度與利用 SPSS12.0 軟體求出整份試卷的信度，以編製正式試卷。 （一）難度、鑑別度分析 利用 EXCEL 輸入學生各題作答情形後，即求出每題的難度 P 值 和鑑別度 D 值(如表 3-4-3)，選取難度在 0.4 到 0.85，鑑別度在 0.25 以上作為編製正式試題的依據。其公式如下，結果如表 3-4-2： ※ 難度公式： P=(PH+PL)/2 ※ 鑑別度公式： D= M XL M XH  （二）信度分析 利用 SPSS 軟 體求出 整份 試卷的 Cronbach  值為.845，依據 Henson(2001)的觀點，認為研究目的與測驗分數的運用有關時，當以 基礎研究為目的時，信度係數最好在.80 以上。由此可知，這份試卷 具有使用價值。

表 3-4-2 預試試卷試題難度、鑑別度指數表和 Cronbach  值 題型 題號 PH PL 難度 鑑別度 項目刪除時的 Cronbach's Alpha 值 選取 結果 改變 起始量未知 1 2.71 0.29 0.50 0.81 .830 保留 2 3.00 2.67 0.94 0.11 .856 刪除 改變量未知 3 2.81 0.57 0.56 0.75 .828 保留 4 3.00 1.71 0.79 0.43 .837 保留 結果量未知 5 3.00 2.00 0.83 0.33 .843 保留 6 2.95 1.52 0.75 0.48 .836 保留 合併 全體量未知 7 2.90 2.86 0.96 0.02 .848 刪除 部份量未知 8 3.00 1.00 0.67 0.67 .829 保留 比較 參考量未知 9 2.71 0.86 0.60 0.62 .833 保留 10 2.71 0.62 0.56 0.70 .838 保留 比較量未知 11 2.95 1.86 0.80 0.37 .839 保留 12 3.00 1.76 0.79 0.41 .833 保留 差異量未知 13 2.95 0.52 0.58 0.81 .828 保留 14 3.00 1.67 0.78 0.44 .840 保留 等化 參考量未知 15 2.95 2.00 0.83 0.32 .845 保留 16 2.90 1.86 0.79 0.35 .838 保留 比較量未知 17 3.00 0.43 0.57 0.86 .827 保留 18 2.43 1.62 0.67 0.27 .856 保留 差異量未知 19 3.00 1.00 0.67 0.67 .830 保留 20 2.86 1.52 0.73 0.44 .833 保留 三、預試試卷效度分析 王文科和王智弘（2004）提出內容效度乃在檢查有關工具的目標、內 容的領域及題目的難度，與其他效度不同，不以如相關係數般的數字來表 示，而是依教材目標或教材專家判斷所得的結果（專家效度）。因此，本 研究利用雙向細目表（如附錄一）來檢核預試試卷是否符合教學內容，並

商請一位數學系教授和研究者同學年三位同儕教師共同檢視試題內容，而 結果皆表示本份測驗具有良好的內容效度。 四、編製正式試卷 根據各試題難度和鑑別度的分析結果，本研究決定刪除兩題，採用預 試試卷中 18 題為正式試卷試題，加上指導語即完成正式試卷「加減文字 題前測」(如附錄三) ，並修改數據和更改題號順序製成複本試卷「加減文 字題後測」(如附錄四)。 五、晤談問題設計 實驗教學後，對實驗組學生進行焦點團體晤談，以了解學生的後設認 知表現及對後設認知策略教學的接受度。採半結構性的晤談，晤談問題設 計如下說明： （一）你覺得每個題目右邊的六個解題步驟提示，對你的解題有幫助嗎？ （二）這一個題目對你來說難不難？ （三）請說出這一題要我們算什麼。 （四）這一題你有沒有畫記？有畫記的理由？沒有畫記的理由？ （五）要用加法還是減法？你怎麼想的？ （六）是否有驗算？驗算的方式正確嗎？知道為什麼要驗算嗎？ （七）你有重新檢查自己的答案對不對嗎？怎麼檢查的？

第五節 後設認知策略教學課程

一、 編擬教學計畫 研究者於一○一年八月至九月間，進行編擬教學計畫。本研究之教學 目的、課程教材、教學時間與地點和教學方式分別說明如下： （一）教學目的 希望透過實施「後設認知策略」教學，來提升國小二年級學生在

加減文字題的解題能力。 （二）課程教材 以參考二年級上學期南一版「二位數的加法」和「二位數的減法」 單元，作為本實驗教學內容主軸。 （三）教學時間與地點 本實驗利用數學課課程時間進行教學與評量，一節課 40 分鐘， 共計實驗教學時間為 6 節課。 （四）教學方式 本研究之後設認知策略教學，教導學生使用自我教導、自我提問 和自我監控的方式，來引導認知策略的執行。係參考 Montague(1992, 1995, 1997)所提出的認知-後設認知解題策略教學的步驟來修改。為便 於教學進行，研究者依六個解題步驟使用的順序編成一個口訣：「一 讀、二說、三畫記、四想、五算、六檢查」來引導學生，並製作一張 解題策略卡，發給每一位學生。當學生在進行解題時，得以提醒其自 我監控解題步驟的實施。茲以下列表格說明： 表 3-5-1 後設認知解題策略卡 解題 步驟 解題重點 內容說明 一讀 知道題目 在說什麼 口說︰讀題目，如果不懂，要再讀一次。 自問︰我懂題目在說什麼了嗎？ 檢查︰我懂題目的意思。 二說 說出題目 要問的問 題和重要 的線索 口說︰我會說出題目要問的問題。 自問︰我知道重要的線索在哪裡嗎？ 檢查︰我知道重要的線索。 三畫記 把重要的 線索畫下 來、記下來 或畫成圖 口說︰我會畫或記下重要的線索，或畫成圖。 自問︰我已經畫好或記好了嗎？ 檢查︰畫好的圖或記下的線索有沒有錯？ ﹙續下表﹚