前一節介紹了得分期望值與其衍伸出來的許多棒球數據，從1950年代末期得分期望 值的概念被提出後，許多研究都以馬可夫鏈的理論來推導出合適的模型，並應用在棒球 戰術分析，其中最常探討的便是犧牲觸擊推進與盜壘的選擇 (李中傑，2011; 高志綱、
林華韋、張振崗，2014; Albert, 2003; Bukiet, Harold, & Palacios, 1997; Moon, Woo, & Shin, 2016; Sokol, 2004; Winston, 2009)，本節將先介紹得分期望值矩陣的推導過程，再探討得 分期望值相關矩陣於戰術分析中的各種應用。
一、得分期望值矩陣的推導過程
by play的賽事資料紀錄，可以統計出25個狀態之間發生的機率，製作出一個24×25
電腦模擬狀態轉移的結果後，再統計出狀態轉移機率的矩陣，如表2-26，定義在 (2,0) 時擊出一壘安打有四分之三的機率會轉移成 (1,0)，四分之一的機率轉成 (13,0)。
表 2-26
模型中的狀態轉移規則範例
(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (12,0) (13,0) (23,0) (123,0)
(0,0)
HR 1B+BB 2B 3B(1,0)
HR 2B/2 3B BB+1B/2 1B/2 2B/2(2,0)
HR 1B×3/4 2B 3B BB 1B/4(3,0)
HR 1B 2B 3B BB(12,0)
HR 2B/2 3B 1B/4 1B/2 2B/2 BB+1B/4(13,0)
HR 2B/2 3B 1B/2 1B/2 2B/2 BB(23,0)
HR 1B/2 2B 3B 1B/2 BB(123,0)
HR 2B/2 3B 1B/2 1B/2 2B/2 BB註：縱軸為起始狀態，橫軸為結束狀態。資料來源：研究者自行整理。
利用棒球規則，可以歸納出狀態轉移時的得分數 = (起始狀態壘上的人數 + 起 始狀態的出局數 + 1) – (終止狀態壘上的人數 + 終止狀態的出局數)，並製作出一 個24×24的得分轉移矩陣 (scoring matrix)，如附錄二，而表2-27展示的是得分轉移 矩陣中起始與終止狀態皆為無人出局的部分。將狀態轉移機率矩陣與得分轉移矩陣 相對應位置的相乘，再將每一列的值加總，可獲得一個24×1的一棒得分期望值矩陣，
其意涵為在某特定狀態時，一個打席可望攻下的分數，如表2-28，為了方便呈現，
此處改列成3×8的形式。
表 2-27
狀態i到狀態j的過程，可能是經過一次打擊、兩次打擊，甚至是n次打擊，而在 一個半局當中，如果第三出局未出現，理論上可以出現無限多次打擊機會，也就是 上式中的n將會逼近無限大，若要描述、計算從狀態i轉移到狀態j過程間的期望打擊 次數，可以記為 1×Qij + 1×(Q2)ij +…+ 1×(Qn)ij，再加上i等於j的情形，則可獲得 I + Q + Q2 +…+ Qn= (I-Q)-1的收斂級數。其中I為一個i=j=1的矩陣，Q為狀態轉移機率矩 陣，此收斂級數即為I矩陣減去Q矩陣後的反矩陣，也就是一個具有終止狀態的24×24 馬可夫過程矩陣，李中傑 (2010) 將之稱為基礎矩陣 (fundamental matrix)，其形式 如附錄三。利用excel等含有數值分析功能的軟體即可協助處理這些複雜的矩陣計算，
表2-29展示的是基礎矩陣縱軸的第一列，也就是起始狀態為 (0,0) 的24×1矩陣，為 了方便呈現，此處改列成3×8的形式。
表 2-29
基礎矩陣縱軸的第一列
0 1 2 3 12 13 23 123
0 out
1.030 0.311 0.064 0.008 0.094 0.035 0.016 0.0281 out
0.689 0.361 0.106 0.029 0.157 0.071 0.043 0.0592 outs
0.519 0.370 0.133 0.052 0.199 0.091 0.046 0.064註：本矩陣原為 24×1 的形式，為了方便呈現改為 3×8 矩陣。縱軸為出局狀況，橫軸為佔壘情形。資料來 源：研究者自行整理。
表2-29左上角1.030，代表的是從每個半局開始狀態 (0,0) 至三人出局閉鎖狀態 (X,3) 的移轉過程之間，(0,0) 狀態預期會出現1.030次，其中包含目前的開局首打 席；而0.311則代表 (1,0) 的狀態在這個半局結束前預期會出現0.311次。此時若將 表2-29裡的24格數字──也就是基礎矩陣第一列的所有數字──相加後所得的數 字即為自 (0,0) 至半局結束前，所預期出現的打席數。而將基礎矩陣24列數字各自 加總後，即可再獲得一個24×1的打席數期望值矩陣，其意涵為：自該狀態開始至半 局結束前，所預期出現的打席數，如表2-30，為了方便呈現，此處改列成3×8的形 式。
表 2-30 期望值矩陣，如表2-31，1.030×0.02 + 0.311×0.043 + 0.064×0.185 + …=0.643≒0.64。
為了方便呈現，此處改列成3×8的形式。 分的次數，進而製作出 24×1 的得分機率矩陣 (run probability matrix)，如表 2-32。
2015 年中華職棒 (0,0) 共出現 4388 次，到三人出局前，共有 1440 次得到分數，因
在得分期望值矩陣的推導過程中，可以同時獲得打席數期望值、得分機率等非常實
六局下半無人出局一二壘有人，客隊二比零領先，這是一個關鍵指數高 達 3.1 的局面。主隊輪到第八棒準備打擊，客隊投手 A 雖然有著很棒的壓制 力，但面對主隊四棒卻總是沒輒，在這個半局中兩人究竟會不會正面對決？
客隊何時應該更換投手？表 2-29 的打席數期望值矩陣提供一個思考的方向，
當無人出局一二壘有人時，包含的八棒打者在內這個半局平均還可以有 4.40 個打席；假設第八棒被 A 投手三振出局，局面轉成一人出局一二壘有人，包 含九棒在內這個半局大約只剩 2.9 個打席，此時遇到四棒打者的機率就小得 多了，打席數期望值矩陣在此提供教練參考的依據，有助於後續的調度安排。