微積分的相關研究

壹、 微積分教學

微積分是中等教育裡，數學的最終課程，也是高等教育理工及商學院 專業科目之入門課程（辛靜宜、林珊如、葉秓呈，2005）。數學家認為，

微積分是在大學中，更高水準數學課程的根(Koirala, 1997)，張道治（2005）

認為微積分基礎教育是大學工程教育中最重要的基礎科目。而在科技大學 裡，微積分是高階數學學習的基礎(Haripersad, 2011)，對學習工程和科學 方面是非常重要的(Haripersad & Naidoo, 2008)。依據教育部統計處（2012）

統計資料顯示，大學部前十名人數最多之科系中，前八名皆必修微積分，

只有護理學系與餐旅(行銷)(暨遊憩)管理學系學生不需修習微積分。

從高中選修數學，到大學必修、選修微積分，大部分的學生對於微積 分的印象是「很難、不好學」（李隆生，2000）。而各級學校的數學教師最 感到挫敗的莫過於學生拒絕學習，尤其是技職院校的學生，他們對數學多 半有過失敗的學習或考詴經歷，陳疴過久，連自己都不敢去碰已有的傷痛 (辛靜宜、林珊如、葉秓呈，2005)。

在考詴領導下的學習，常會有學生認為快速解題便是數學程度的唯一 指標，而將微積分視為一堆無意義的定義、公式或純代數符號操弄（鄭百 恩，2007），以致於陷入微積分學習的迷思中。

貳、 微積分學習迷思

Hiebert & Carpenter(1992)認為學生應該理解數學。但梁淑坤（1996）

認為在教課時無論怎樣用心，學生在解題時仍會出現錯誤。因為學生解題 時，會使用他們可能缺乏理解，但卻能夠解出正確答案的方法(Chi et al., 2002)。而錯誤概念的產生，可能源自於學生日常生活經驗的自我學習；也 可能來自於學生對老師傳統機械式教學，所獲得模糊的概念(呂溪木，

1983)；或對某一現象或事務最初始的一種錯誤的概念 (姜善鑫，1998)。

在學習過程中，學生並不是被動的擷取知識，而是詴著將新資訊與自 己腦中舊有的想法相結合。學生想在舊有的知識上，建立新的數學規則，

需要出現一個明確的新規則，以做出合理的解釋，否則學習者就會產生錯 誤的概念（郭重吉，1988；Chi et al., 2002）。

學生他們所做的錯誤，就像他們能計算出正確的答案一樣，是來自他 們自認為是有意義的策略；經過仔細觀察錯誤後，會發現很多錯誤都有著 可以預測的系統性程序，這些系統性的錯誤稱之為 bug，是將正確的規則 經某種程度上的誤用或是扭曲而來，而使學生經某一種過程產生錯誤的答 案，有時是書本說明得不夠清晰，教師又沒有時間好好地為學生解惑，學

生只好在資訊不夠清楚明白的情況下，自己建構起自己的數學規則(Brown

& VanLehn, 1980；Ginsberg ,1989)。

當學生採用自己不覺得錯誤的程序，而能解出正確答案時，似乎就沒 有理由能叫他們拋棄不自覺的錯誤概念，只有當學生碰到無法解出正確答 案的困境時，他們才會考慮修改自身的錯誤概念(Balk, 2007)。

目前數學教育家花了很多心血，在追蹤學生於紙筆計算時所產生的錯 誤運算或概念，他們也許要猜想產生錯誤的原因，尋找錯誤的來源，及分 析其錯誤類型(郭嘉聲，2011)。若學生存有迷思概念，對實驗的觀察和示 範、對觀察的解釋、對科學課程的理解和技藝會有很大的妨礙(余民寧，

1997)。

Schwarzenberger (1984)認為在數學中，錯誤和正確的答案一樣的重 要，有時候更有過之而無不及，因為錯誤幫助我們了解是學生內心的哪個 想法，進而導致他會產生錯誤；這樣一來錯誤既可以做為診斷的工具，也 幫助我們了解數學的來龍去脈，又幫助了數學的發展。中國科學家錢學琛 說：「正確的結果是從大量的錯誤中得出來的；沒有大量錯誤做台階，也 就登不上最後正確結果的寶座」。

Haripersad & Naidoo (2008)針對學習微積分中積分的大學一年級學生 作研究，結果發現學生利用黎曼和求曲線下的面積，有結構上的錯誤、執 行上的錯誤與隨機上的錯誤；而利用網路學習的學生比傳統方式學習的學 生出現較少的結構性錯誤。Haripersad (2011)針對微積分的基礎概念，對南 非理工大學實驗組進行混合式學習（傳統和電腦並用的實驗教學），而對 照組採傳統學習，結果發現實驗組對概念有深度的認知，而對照組只具有 表面的認知。Tarmizi (2010)發現在大學中有些學習能成功地學會微積分，

但有些學生開始掙扎奮鬥，他們需要適當的幫助，才能夠繼續地學習。

綜合上述文獻，本研究歸納微積分學習迷思係指經過修正過去錯誤經 驗，來處理新知識而產生的錯誤為主。本研究指的錯誤概念與認知相關，

泛指學生都會發生或經常性地修正過去的錯誤經驗，來處理新知識而產生 的錯誤為主。若教師能整理歸納出學生在微積分解題中的各種錯誤，經由 他們解題的錯誤方式，分析出其錯誤的類型，找出錯誤的原因所在，用這 些錯誤類型與原因做為台階，我們將能有效地協助學生學習微積分。

叁、 圖形的重要性

對學生而言，要對微積分有觀念性的理解，仍然是個難題。Koirala (1997) 認為運用教學的經驗，學生能透過對圖形的探索和了解，發展對極限和連 續性的直覺理解，進而開發他們對微積分的概念性理解。教師建議在微積 分課程中，希望能提供相關的圖形(Stick,1997)，並且藉由圖形、圖表或日 常情境的例子，在說明概念含義的幫助下，學生可以對微積分概念有所理 解(Koirala, 1997)。

而圖表給定性的全面性洞察，數字給予定量的結果，同時符號給予強 而有力的操縱能力；所以哈佛大學生在微積分學習上常用圖形、數字與符 號等三種表示方法(Gleason, Hallett, & Brettschneider,1990; Hallett, 1991)。

Hallett (1991)認為我們無論在任何主題下，都應該用圖形與數字化來教導 學生。Ting & Kuo (2012)在探討「用積分求面積」單元時發現：當學生能 正確辨識圖形時，接下來也能正確列出所需積分的式子，其答對比率高達 80.25%；但是不論其是否能正確辨識圖形，接下來能正確列出積分式子的 比率只有 63.5%。學生藉由探索圖形和函數，並透過對極限與連續的直觀 了解，可以發展自己對微積分概念的理解(Koirala, 1997)。

肆、用積分求面積

微積分的主題包括函數、極限、導函數、對積分的介紹，與有趣的真

實生活上的應用(Himonas, 2008)。而面積是某一封閉二維區域的大小，亦 即表示對此一特定區域的覆蓋程度，意即被覆蓋面的大小（譚寧君，

1998）。在國小時，學過規則圖形的面積，例如正方形、矩形、三角形、

圓形、梯形等；但對於不規則圖形的面積，將如何求出來?本研究為了解決 對於不規則圖形如何求面積的問題，將花心力在「用積分求面積」的議題。