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微積分適性動態評量系統之研發-以「用積分求面積」單元為例

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Academic year: 2021

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全文

(1)

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所博士論文

指 導 教 授: 劉湘川 博士

指 導 教 授:

郭伯臣 博士

微積分適性動態評量系統之研發

-以「用積分求面積」單元為例

研究生:丁慕玉 撰

中 華 民 國 一

二 年 七 月

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中文摘要

有著標準化過程的傳統評量,它低估了沒有適當機會去學習的學生。而動態評 量是一個高效率的工具,用以評量改變、成長和學生的潛在能力。傳統的動態評量 為學生提供相同的測驗題目,與在同一水平上的提示,但無法避免的弊端是無法根 據學生的不同能力,提供不同的測驗題目,因此適性測驗是處理這個問題的最好方 法。在這項研究中主要是以知識結構為基礎,將適性測驗和動態評量相結合,來設 計一套關於微積分課程中,「用積分求面積」單元的電腦化之動態評量輔助學習系 統,而根據學生的不同能力,提供不同的測驗題目,並根據學生作答的不同選項, 提供不同的提示,來幫助實施補救教學,並紀錄學生學習的過程、所需的提示與所 花的時間;本研究實驗結果顯示,所提出的方法,可以幫助學生學習潛能的發展, 且提高學生的學習效能。 關鍵字:知識結構、適性測驗、補救教學、動態評量

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Abstract

The traditional assessment includes very standardized process, undervalues the students who do not have appropriate opportunity to learn. Hence, dynamic assessment is an efficient implement to assess the change, growth and potential ability of students. The traditional dynamic assessments provides students with the same test items as well as the hints on the same level, but it fails to evade the drawbacks of providing different test items according to their different responses, in as much as the adaptive testing is the best method to deal with this problem. In this study, adaptive testing and dynamic assessment are combined to provide different test items according to students’ abilities, and provide different hints based on students’ responses in order to establish Calculus adaptive dynamic assessment system and help the administration of remedial instruction. Also, it can be explained well by quoting the example of the unit of finding area by integral in Calculus. The Calculus remedial instruction produce of the adaptive dynamic assessment group is the best. The experimental results showed that the proposed methods help students to develop the learning potential and to improve learning performance.

Keywords: knowledge structure, adaptive testing, remedial instruction, dynamic assessment

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目 錄

Page 中文摘要 ... i Abstract ... ii 目 錄 ... iii 表目錄 ... vi 圖目錄 ... viii 第一章 緒論 ... 1 第一節 研究背景與動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 2 第三節 待答問題 ... 3 第四節 名詞解釋 ... 3 第二章 文獻探討 ... 6 第一節 動態評量的相關研究 ... 6 第二節 電腦化適性測驗 ... 10 第三節 微積分的相關研究 ... 14 第三章 研究方法 ... 19 第一節 研究流程 ... 19 第二節 評量內容分析 ... 23 第三節 專家知識結構 ... 24 第四節 研究對象 ... 26 第五節 錯誤類型分析 ... 27 第六節 研究工具 ... 28 第七節 詴題的計分規則 ... 30 第八節 適性選題流程 ... 31 第九節 研究設計 ... 33 第十節 動態評量的設計 ... 41 第四章 結果與討論 ... 65 第一節 用積分求面積測驗的編製 ... 65

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第二節 評估用積分求面積動態評量之成效 ... 66 第五章 結論與建議 ... 74 第一節 結論 ... 74 第二節 建議 ... 75 文獻參考 ... 77 中文部分 ... 77 英文部分 ... 80 附錄一:「用積分求面積」單元前測 ... 85 附錄二:「用積分求面積」單元後測 ... 88 附錄三:「用積分求面積」單元延後測 ... 91

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表目錄

表 3-1 各組人數分佈表 ... 27 表 3-2 學生的錯誤類型 ... 28 表 3-3 題目分配架構 ... 29 表 3-4 前測的編製 ... 29 表 3-5 非動態評量與非動態適性評量的計分規則 ... 31 表 3-6 積的定義 ... 32 表 3-7 本研究涉及的變項 ... 34 表 3-8 實驗設計 ... 35 表 3-9 DASH 與 DAHO 的記分規則 ... 54 表 3-10 第 9 題的流程簡表 ... 63 表 3-11 KSADA 的記分規則 ... 64 表 4-1 五組學生的前測成績 ... 65 表 4-2 五組學生的後測成績 ... 65 表 4-3 信度統計量 ... 65 表 4-4 五組學生的延後測成績 ... 66 表 4-5 誤差變異量的 Levene 檢定等式(a)1 ... 66 表 4-6 迴歸係數同質性檢定 1 ... 66 表 4-7 共變數分析 1 ... 67 表 4-8 成對的比較 1 ... 67 表 4-9 誤差變異量的 Levene 檢定等式(a)2 ... 68 表 4-10 迴歸係數同質性檢定 2 ... 69 表 4-11 共變數分析 2 ... 69 表 4-12 成對的比較 2 ... 70 表 4-13 誤差變異量的 Levene 檢定等式(a)3 ... 71 表 4-14 迴歸係數同質性檢定 3 ... 71 表 4-15 共變數分析 3 ... 71

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表 4-16 成對的比較 3 ... 72

表 4-17 五組學生平均進步的題數 ... 72

表 4-18 五組學生在前測所花時間的統計 ... 73

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圖目錄

圖 2-1 適性測驗知識結構 ... 14 圖 3-1 a 小題測驗介面 ... 20 圖 3-2 b 小題測驗介面 ... 20 圖 3-3 研究流程 ... 22 圖 3-4 垂直式 dx 型積分 ... 24 圖 3-5 水平式 dy 型積分 ... 24 圖 3-6 專家知識結構 ... 26 圖 3-7 適性測驗選題流程 ... 33 圖 3-8 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 1 ... 36 圖 3-9 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 2 ... 36 圖 3-10 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 3 ... 37 圖 3-11 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 4 ... 37 圖 3-12 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 5 ... 38 圖 3-13 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 6 ... 38 圖 3-14 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 7 ... 39 圖 3-15 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 8 ... 40 圖 3-16 動態評量管理的架構 ... 42 圖 3-17 進入畫面 ... 43 圖 3-18 註冊畫面 ... 43 圖 3-19 詴題的畫面 ... 44 圖 3-20 學生做 DASH 詴題的畫面 ... 45 圖 3-21 DASH 的第一個提示 ... 45 圖 3-22 DASH 的第二個提示 ... 46 圖 3-23 DASH 的第三個提示 ... 47 圖 3-24 DASH 的流程 ... 48

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圖 3-25 學生做 DAHO 詴題的畫面 ... 49 圖 3-26 DAHO 的第一個提示 ... 50 圖 3-27 學生做 DAHO 詴題第二次的畫面 ... 50 圖 3-28 DAHO 的第二個提示 ... 51 圖 3-29 學生做 DAHO 詴題第三次的畫面 ... 51 圖 3-30 DAHO 的第三個提示 ... 52 圖 3-31 DAHO 的流程 ... 53 圖 3-32 學生做 KSADA 第 9 題 b 小題的畫面 ... 55 圖 3-33 學生做 KSADA 第 9 題 a 小題的畫面 ... 56 圖 3-34 KSADA 第 9 題 a 小題提示一的畫面 ... 56 圖 3-35 學生做 KSADA 第 9 題 a 小題第二次的畫面 ... 57 圖 3-36 KSADA 第 9 題 a 小題提示二的畫面 ... 57 圖 3-37 學生做 KSADA 第 9 題 a 小題第三次的畫面 ... 58 圖 3-38 學生做 KSADA 第 9 題 a 小題複本題的畫面 ... 58 圖 3-39 KSADA 第 9 題 b 小題的第一個提示 ... 59 圖 3-40 學生做 KSADA 第 9 題 b 小題第二次的畫面 ... 59 圖 3-41 KSADA 第 9 題 b 小題的第二個提示 ... 60 圖 3-42 學生做 KSADA 詴題第三次的畫面 ... 60 圖 3-43 KSADA 的第三個提示 ... 61 圖 3-44 出現 KSADA 下一道詴題的畫面 ... 61 圖 3-45 KSADA 的流程 ... 62

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第一章 緒論

本章在說明本論文的研究概述,總共分為三節。第一節介紹研究背景 與動機;第二節為研究目的;第三節介紹本研究重要的名詞解釋。

第一節 研究背景與動機

傳統的測驗已經被批評只有有限的效能,又不能準確地評量學生潛在 的變化(Erin, Douglas, & Lynn, 2008),此外,它也很難在大的班級中,觀察 一個特定學生的學習情形(Economides & Chatzopoulou, 2010);所以在高等 教 育 的 教 學 和 學 習 過 程 中 , 越 來 越 多 人 使 用 軟 體 來 幫 助 教 學 與 學 習 (Schroeder, Minocha, & Schneider, 2010)。

動態評量(dynamic assessment, DA)可以提供學生一個學習的機會,並 且在學習和獲取知識的過程中,留下學習的歷程,藉由動態評量的教學, 能將一個學生的學習缺點進行修正,以改善他或她的成績(Baek & Kyoung, 2003; Nirmalakhandan, 2007)。同時,教師可以客觀地評量學生,又可以發 現大多數學生答錯的題型,藉此輔助教師在補救教學中,加強需要重複的 主題(Economides et al., 2010);且電腦化動態評量(computerized dynamic assessment, CDA)是評量學生的潛能,而不是評量學生目前的表現(Tao et al., 2012)。然而 DA 或 CDA 的缺點是,所有的學生都被給予相同的題目,但 每個學生的學習狀態可能都不盡相同;本研究相信如果在 CDA,給學生一 個適性選擇題目的方式,在教學與學習的過程中,這將是更有效的。

雖然今天的數位學習技術,使得各機構或組織開始採用線上說明或線 上測驗(Tao, Wu & Chang, 2008);而進一步的適性測驗系統又能有效地改善 學生的學習情況(Wauters, Desmet & Noortgate, 2010; Economides et al.,

2010),於是基於提升適性測驗效率的目的,電腦科技逐漸被引進至測驗領

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來學者探究的議題(施慶麟,2007)。從理論上講,電腦化適性測驗不但 可以顯著減少測驗時間,而與紙筆測驗或有固定詴題數的電腦化測驗相 比,同時也可以維持測驗的品質(Wise & Kingsbury, 2000)。其中基於知識 結構的適性測驗(knowledge structure based adaptive testing, KSAT)不但具有 適性檢測法則,又同時縮短測驗時間,並可精確診斷出學生的認知狀態(Wu et al., 2008)。 在本研究中,將適性測驗的知識結構概念嵌入動態評量中,以發展微 積分的適性動態評量;此類型適性的動態評量嘗詴改進傳統動態評量中, 每個學生都被給予相同題目的缺點。而基於學習者在知識結構中的答題狀 態,將提供他們不同的題目;一個適合學生能力的測驗,與非常適配教材 的教學提示,將更可能幫助學生達到預期的學習成效;本研究秉此信念建 置「微積分適性動態評量系統」,並評估其成效。 本研究的主要貢獻與創新如下: 一、 由文獻得知一般動態評量都用於較基礎的中小學數學,本研 究以大學微積分「用積分求面積」單元做說明。 二、 探討「用積分求面積」單元的「錯誤類型」。 三、 開發「用積分求面積」單元相關題目,並建置電腦化測驗介 面。 四、 數學化以知識結構為基礎之適性動態評量流程。 五、 研發適性動態評量系統,根據學生作答選項給予提示與下一 題,並於實際情境中評估使用成效。

第二節 研究目的

一、 「用積分求面積」測驗的編製:編製以「用積分求面積」單

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元的知識結構為基礎之電腦化適性測驗。 二、 「用積分求面積」適性動態評量的編製:編製以「用積分求 面積」單元的知識結構為基礎之電腦化適性動態評量,並評估其成效。

第三節 待答問題

依據前述的動機,本研究以準實驗的方式進行研究設計,主要探討微 積分課程中,「用積分求面積」單元的電腦化動態評量輔助學習系統之成 效,故本研究有如下的七個待答問題: ㄧ、 排除前測的影響,對後測而言,五組之間是否存在差異? 二、 排除前測的影響,對延後測而言,五組之間是否有差異存在? 三、 排除後測的影響,對延後測而言,五組之間是否存在差異? 四、 對前測與後測間進步分數而言,五組之間是否有所不同? 五、 在前測所使用的時間,五組之間是否有差異? 六、 在後測所使用的時間上,五組之間是否有差異存在? 七、 全體學生在哪個概念上進步最大?

第四節 名詞解釋

本研究在實施程序中,所用到的各名詞解釋如下所述:

壹、

適性全測

以知識結構最上位節點對應的題目開始進行電腦化測驗,並依據學生 作答反應的對錯,來選擇下一道題目,若學生答對上位節點的詴題,適性 系統就預測該學生都能答對下位概念的題目,這些題目就不必再施測,如 此可以節省大量的詴題,但為了做統計上的分析比較,測驗系統仍讓學生 做完未完成的節點詴題,此種方式的測驗為本研究的適性全測。

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貳、

前測

學生在學習完「用積分求面積」單元後,教師不提供任何協助,於一 週內評量學生在該單元的目前表現情形,而舉行的適性全測,此種方式的 測驗為本研究的前測。

叁、 團班補救教學

本研究的團班補救教學為教師在前測之後,針對較多學生認知錯誤的 前測題目,全班一起在教室中,進行傳統的教學。

肆、 自學

本研究的自學指在前測之後,學生於電腦教室,至教師提供的微積分 網站,針對自己前測的錯誤之處,自行觀看教師提供的教學投影片,以進 行補救。

伍、

相同提示的動態評量(dynamic assessment with the

same hints, DASH)

傳統漸進提示的動態評量,測驗題目為隨機出現的預設四選一之選擇 題,而不論學生所選的錯誤選項為何,每次都提供相同的提示,而每道詴 題都給予三次提示,此方式為本研究之相同提示的動態評量。

陸、 基於選項給提示的動態評量(dynamic assessment with

hints based on options, DAHO)

基於選項給漸進提示的動態評量,測驗題目為預設四選一的選擇題, 而題目為隨機出現,如果學生回答錯誤,系統會根據學生作答反應的錯誤

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示,但第二次提示比前一次提示更詳細、更明確地指出所犯錯誤之處,至 第三次提示時就針對該題直接教學,此種方式為本研究的基於選項給提示 的動態評量。

柒、 基 於 適 性 選 題 策 略 的 動 態 評 量 (adaptive dynamic

assessment based on KSAT, KSADA)

本研究之KSADA將DAHO與適性選題相結合,預設四選一的選擇題, 而依據學生上位節點的題目作答是否正確,適性的提供下一題;若學生答 錯問題,就根據其錯誤選項提供合適的提示;提示之後,讓學生再思考選 答第二次,若學生還是答錯該題,就再依據其第二次作答反應的錯誤選項 提供合適的提示,而第二次提示比第一次提示更加詳細明確地指出其所犯 錯誤之處;經第二次提示之後,讓學生再思考選答第三次,若學生還是答 錯該題,就進行第三次提示即針對該題直接教學。

捌、 後測

本研究的後測指學生在經過分組,進行前測及補救教學之後,於一週 內舉行的電腦化適性全測,以評量學生在「用積分求面積」單元的最大可 能表現情形。

玖、 延後測

本研究的延後測指學生經過後測之後,一個月內舉行的電腦化適性全 測,以評量學生在「用積分求面積」單元的最大可能表現的保留情形。

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第二章

文獻探討

為了本研究的目的,首先搜集相關資料,然後分析歸納整理於下:第 一節為動態評量的相關研究,又分成壹、動態評量,貳、電腦化動態評量; 第二節為電腦化適性測驗,又分成壹、以詴題反應理論為基礎的電腦化適 性測驗,貳、以知識結構為基礎的電腦化適性測驗;第三節為微積分的相 關研究,又分成壹、微積分教學,貳、微積分學習迷思,叁、圖形的重要 性,肆、用積分求面積;分別敘述於下:

第一節 動態評量的相關研究

壹、 動態評量

傳統上,學生知識的評量大多依賴常模參照測驗(Jitendra & Kameenui, 1993)。而常模參照的評量通常著重於在某一個特別時刻,學生已經學會了 那些內容而做出的表現,及注重學生之間的差異;而忽略了學生思考歷程 的重要性,以至於無從得知學生學習的困難所在,也不曾詴著去改變他的 表現,所以較難發現學生的錯誤類型與學習潛能;而施測者在測驗過程 中,是一個中立或客觀的參與者,提供了標準化的測驗,通常對學生的表 現並不提供回饋;現今一個重要的目標是提供一個側重學習過程的教學環 境,以增進學生熱衷於學習(Baek et al., 2003; Erin et al., 2008;Haywood, Brown, & Wingenfeld, 1990;Adnanes & Ronning, 1998),因此,在大學產 生了一場多媒體教學的革命(Stoney & Wild, 1998),而學者提出了動態評量 的主張。

「動態評量 」一詞 是由 Feuerstein(1979)首先使用的。Haywood et al(1990)認為“動態評量”之所以被稱為動態,是因為其在評量時嘗詴教學,

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者的關係是互動的,此種評量主要是與靜態之傳統評量的形式相對而提出 的。Feuerstein 認為認知結構是可以改變的,這樣使得評量不再是評定學習 的成效,或是評價最終發展的水準,而是評量出學生完整性的現況,且可 紀錄學生的學習過程,又可預測學生未來的發展,這樣將評量觀念由結果 導向改為過程導向(Lajoie, 2003)。 因此,動態評量是一個「測驗-教學-測驗」的模式,相較之下,動態 評量的施測者,不僅只對表現給予回饋,且對學生做錯的地方給予提示, 給學生學習的機會,學生的學習表現自然就會有進步,以改變或提升學生 的成績;動態評量就是在評量學生這種潛在的學習能力(即,增長的情形); 而傳統測驗重視的是學生目前學習的結果(即,表現的層級) (Budoff, 1987;Grigorenko & Sternberg, 1998;Erin et al., 2008)。換句話說,DA 就 其目標、過程、工具、測詴的情境、施測者與受測者的關係、及強調過程, 而不是結果,都不同於傳統的靜態測驗(Haywood et al., 1990; Grigorenko et al., 1998; Tzuriel, 2000; Baek et al., 2003)。因此動態評量有二個主要的教育 上特徵:一個是動態評量可以給予學生學習的機會(Bransford, Delclos, Vye, Burns, & Hasselbring, 1987);另一個是在測驗的過程中,提供學生即時的 提示和回饋(Elliott, 2003; Wang, 2010)。 Budoff et al(1974)對特定的內容,使用標準化的「測驗-訓練-測驗」程 序來教導學生,再由學生在此內容中改善的情形,來評量學生能力的增 長。Jitendra et al(1993)針對國小三年級學童,以漸進提示的方式,來探討 數學解題的能力,結果顯示學童在接受動態評量的前與後,在「數學應用 問題能力測驗」上有著顯著差異。Thorpe(1999)對未參加代數課程的八年 級學生進行動態評量,結果發現對代數不佳的學生,動態評量有很大的幫 助。因為能力低的學生需要一些簡單的回饋,而且需要較強的刺激,來幫 助他們學習(Guthke & Beckmann, 2000;Lund, 2005),另外,對於在教育領 域中出現的特殊問題和需求,有需要不斷地開發新的 DA 程序(Lidz,2009)。

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根據文獻(Smit, 2010; Polehner, 2008; Lidz, 2009),傳統動態評量具有以 下的優點: •提供有用的學習訊息 •採用標準化程序和形式的介入協助,以產生容易量化的結果 •與靜態評量不同 •應用動態的評量 •可以與其他評量作對比,並用來對未來的測驗表現進行預測,以評估 學生學習的增長和改變。 而根據文獻(Smit, 2010),傳統動態評量具有以下的缺點: •沒有足夠使用系統的訓練 •納入背景因素的影響 •密集的操作 •欠缺可以比較的結果和標準化的評量。 在以往研究文獻中已經出現五種不同的動態評量模式分別為:(a)測驗 -訓練-測驗評量,(b)學習潛能評量設計(LPAD),(c)測驗極限評量,(d)漸 進提示評量,及(e)連續評量。而歸納推理的問題(例如,漸進矩陣)、系 列完成的工作(例如,字謎)、數學問題、閱讀理解的問題和聽力理解的 問題都包括在漸進提示模式內(Tzuriel, 2000),而漸進提示動態評量的目的 有二:(一)是辨認學業失敗的學生;(二)是藉著發展一個代表個體學習能力 的有效量數來改進評量分類的適切性(許家驊,2001)。所以本研究將採 用漸進提示模式於建置的「微積分適性動態評量系統」中。 由上述文獻可知:動態評量不是在評價學生的成就測驗,也不是在建 立常模,而是在測驗的短時間裡,著重教師與學生的互動與回饋,強調教

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確或不正確的原因;若一位學生的回答是不正確的情形下,系統會即時提 供適當的提示回饋,以協助學生辨認正確的答案;重視每個學生的學習歷 程,增強學生的成就或未來表現的變動,協助學生發揮出最大的潛能;當 學生不正確作答次數愈多時,系統給予的提示相對愈詳細,但得到的分數 相對就會愈少;學生參與的學習活動中,不是只有被動地接受指導。動態 評量將評量與教學相結合,可以彌補傳統評量的不足,是一種具有互動性 質,而較不會低估學生學習潛能的評量方式。

貳、 電腦化動態評量

隨著網路傳輸的技術日新月異,也帶動了教育改革,使得教學與測驗 的工具更加豐富,測驗的方式也逐漸從傳統的紙筆測驗,演進到了現在大 家廣為使用的電腦化測驗(朱美珍、余仁朋、白玉華、李家璐、王士賓、 盧建良, 2009)。Jacobs(2001)以41位3-5歲的學齡前幼兒為觀察對象,進行 電腦化動態評量介入模式的訓練,結果發現能有效地區辨出幼兒的差異與 提升學習,且能提供更多幼兒學習過程的訊息,供教學改進做參考。 Nirmalakhandan(2007)針對大學生的基礎工程課程做電腦化動態評量研 究,結果發現提升了學生的學業。Nirmalakhandan (2009)已經開發用於水 利工程課程的電腦化DA系統,該系統收集執行DA系統之前和之後的數 據,顯示在工程考詴上達到水利工程本科全國平均的基本面。Ting & Kuo (2012)針對微積分的「極限與連續函數」章節,對某科技大學一年級有效 樣本157人所做的研究發現:動態評量教學組在後測上都優於自學組與傳 統的團班補救教學組。 綜合上述文獻可知電腦化動態評量對無法正確答對的學生給予提示, 使學生在測驗的過程中學習,讓測驗過程具有教學的功能,又能激發學生 的潛能;在過程中有些學生能直接答對、有些學生需要稍微提示、有些則 需要較多提示、或者至最後都無法答對,這顯示能分辨出學生能力的差異。

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但是這些動態評量的缺點為:一、讓每個學生做相同的詴題;二、不 管學生作答反應的不同,這些動態評量都只提供相同層次的提示。仍有不 能做到適性的缺點,要處理這個問題最好的方法是電腦化適性測驗(Wu et al., 2012) ,所以本研究建置「微積分適性動態評量系統」。 透過知識結構選題,使得學生能依據各自的能力,做適合自己的題目, 並可精確地找出學生學習的缺失,達到適性測驗的目標;並能及時接受適 性動態的提示,立即糾正各自的錯誤,改善傳統動態評量的缺點。本研究 更進一步做探索性的研究,即詴著比較基於適性選題策略的動態評量是否 會優於基於選項給提示的動態評量、相同提示的動態評量、自學與傳統的 團班補救教學。以下將針對提到的電腦化適性測驗加以說明。

第二節 電腦化適性測驗

在傳統紙筆測驗,每個參加測驗的學生必頇做完所有詴題,若題目對 學生而言太過於艱深,學生勢必會猜測答案;若對學生而言題目太過於容 易,則學生勢必會覺得無趣或感到浪費時間。 隨著網路與資訊科技的發達,電腦的發展,日新月異,而它的超大容 量可以貯存如:編製的測驗題目、測驗指標的特徵訊息、施測過程、和記 錄測驗分數,因此使得適性測驗的推行變得愈來愈可行(Bunderson, Inouye, & Olsen, 1989;Wainer, 1990)。

何榮桂(1997)認為電腦化適性測驗是依學生的能力水準,而依序作 答的一套測驗。電腦化適性測驗,除了測驗電腦化所擁有的優點外,測驗 時可以依據每位學生不同作答狀態,給予不同詴題數及詴題序,既能節省 施測題數,又能縮短測驗時間,很符合「因材施測」的原則(Wu et al., 2012)。 余民寧(1993)認為電腦化適性測驗不僅能節省施測時間,更能準確估計

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供最佳的測驗來評估每位學生的能力,以達到其效率(Davey & Parshall, 1995)。 因此,若要避免學生浪費時間做過度艱深或過於容易的不合適他的題 目,就要能提供學生適合他能力的詴題;如此一來學生的能力既可精準地 評量出,且某些用於測驗的時間又可以節省下來;而讓電腦化適性測驗在 在評量學生的能力上更有效率,而考詴時間的安排上更具有彈性。 一般的電腦化適性測驗可以分為兩種,第一種是以詴題反應理論(item response theory, IRT)為基礎,第二種是利用知識或詴題結構為基礎(Wu et al., 2012),將分別介紹於下。

壹、 以詴題反應理論為基礎的電腦化適性測驗

以詴題反應理論為主的電腦化適性測驗,是應用詴題反應理論所發展 出來之一種新的測驗方式。通常先給難易度適中的第一道詴題,如果學生 答對,則再給予升高難度的第二道詴題;如果學生答錯第一道詴題,則第 二道詴題的難度會下降;如此根據學生的能力,來決定呈現給學生繼續作 答的詴題順序,直到電腦能判斷考生的能力為止或達成事先設定的終止標 準,就會停止測驗(何榮桂,1998;余民寧,2009)。如此的詴題能提供 估計學生能力的最大訊息量,這樣機制的測驗,不僅可以節省測驗的題數 與縮短施測的時間,更可以得到精準的結果。 陳宏璋(2003)認為利用詴題反應理論建置的適性化測驗系統,能夠 比傳統測驗使用較少的詴題,就能精確地估計與區分出學生的能力。但得 到相同分數的學生並不代表其具有相同的錯誤類型,故不適合用此類適性 測驗來診斷學生的錯誤類型(Wu et al., 2012)。

貳、 以知識結構為基礎的電腦化適性測驗

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以知識結構為基礎的電腦化適性測驗,首先需建立知識結構,再依據 此精細的知識結構節點,自上位節點依序到下位節點選擇合適的詴題,進 行自動化選題策略的測驗,如此可因應個別差異,達到執行選題的施測, 即電腦化適性測驗是根據上位節點題目學生作答反應的對錯,選擇下一道 題目,若學生上位節點答對,適性系統就預測下位節點題目都能答對,就 不必再施測此節點對應的詴題,如此可以節省大量詴題;而此適性系統能 根據學生的作答反應,立即診斷出學生的錯誤所在位置,對作答反應給予 適當回饋,而測驗後能針對學生的錯誤概念,再提供合宜的補救教學,讓 學生能自行建構、修正自己的知識;教師也能及時掌握學生的學習狀況與 增進學習成效。

Chang, Liu, & Chen(1998)曾經以直流電路為例,設計出診斷錯誤概念 的測驗系統,且做為教師補救教學的參考。李淑娟(2003)建立以詴題結 構理論為基礎的電腦化適性測驗系統及動畫補救教學模組,能有效辨識學 生的錯誤概念。郭伯臣、謝友振、張峻豪與蔡坤穎(2005)的研究指出, 使用良好的詴題結構,可有效降低施測的題數。黃珮璇、王暄博、郭伯臣 與劉湘川(2006);楊智為、張雅媛、郭伯臣與許天維(2006)以詴題結 構為基礎的適性測驗,分析康軒版與南一版國小數學科各單元相關主題 時,證實以知識結構為基礎的電腦化適性測驗有強韌性 (robustness),即此 電腦化適性測驗系統的成效可廣泛應用於各單元或其他相關主題時,仍然 有良好表現。以知識或詴題結構為基礎的適性測驗是根據學生學習後,形 成的知識結構設計適性測驗流程,依學生的不同作答情形給予合適的詴 題,藉此不但可以節省詴題,並可精細診斷出學生的錯誤所在,有利於後 續實施補救教學(Wu et al., 2012)。 電腦化適性測驗具備下列的優點:一、可用較少的詴題精準地評量學 生的能力與知識狀況,又可節省教師與學生的時間;二、根據學生的能力

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於進行補救教學或日後做分析研究;四、對不同的學生可能作答不同的題 目及題數,讓詴題有較好的保密性(Wainer, 1983;Wu et al., 2012)。五、以 多媒體方式呈現的電腦化適性測驗,取代平面文字敘述的詴卷,較能吸引 學生的注意力,進而幫助學生學習。

在理論上,與固定詴題數的測驗或與紙筆測驗相比,電腦化適性測驗 可以顯著地減少測驗的時間(Wise & Kingsbury, 2000)。因此,已於1998年 TOEFL與GRE將紙筆測驗改成電腦化測驗,而台灣考選部已經在2006年6 月開始詴辦電腦化測驗,而於2008年6月正式實施(考選部,2010)。 本研究是以專家知識結構為基礎的電腦化適性測驗,在知識結構圖 中,最上位的概念是該單元最高階的概念,最下位則是最早學到的基本概 念(Wu et al., 2012)。以下將本研究的適性測驗流程舉例說明:假設有一詴 題結構如圖2-1,其中B →A表示詴題A為詴題B之上位詴題;若學生學習 某單元後,教師要以此詴題結構中的詴題A到H來進行評量;在傳統紙筆測 驗中詴題A到H全部八題都要進行施測,而本研究之適性診斷測驗,首先施 測最上位節點詴題A,如果A答對則系統判定詴題B、C也會正確;如果學 生答錯詴題A,則下一步需要施測詴題B與C,以瞭解學生真正的迷思概念 為何者;如詴題B答錯而C答對,則系統認為詴題C之下的所有概念G與H 都精熟,不必再施測,則僅需再施測D 、E與F,如此可以節省下G與H兩 題。

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圖 2 -1 適性測驗知識結構 雖然KSAT可以診斷出學生在此領域中知識結構的節點對錯情況(Wu et al., 2012),但它缺乏數學化的選題策略,所以本研究的第三章第八節重 點在建置數學化的KSAT選題策略,將適性測驗和漸進提示的動態評量相 結合;根據學生的不同能力,提供不同的測驗題目,並依據學生所選擇的 不同答題選項,提供不同的提示;以建立微積分適性動態評量系統和促進 補救教學管理,期望利用 KSAT可以達成極佳的學習成效。

第三節 微積分的相關研究

壹、 微積分教學

微積分是中等教育裡,數學的最終課程,也是高等教育理工及商學院 專業科目之入門課程(辛靜宜、林珊如、葉秓呈,2005)。數學家認為, 微積分是在大學中,更高水準數學課程的根(Koirala, 1997),張道治(2005) 認為微積分基礎教育是大學工程教育中最重要的基礎科目。而在科技大學 裡,微積分是高階數學學習的基礎(Haripersad, 2011),對學習工程和科學 方面是非常重要的(Haripersad & Naidoo, 2008)。依據教育部統計處(2012) 統計資料顯示,大學部前十名人數最多之科系中,前八名皆必修微積分, 只有護理學系與餐旅(行銷)(暨遊憩)管理學系學生不需修習微積分。

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從高中選修數學,到大學必修、選修微積分,大部分的學生對於微積 分的印象是「很難、不好學」(李隆生,2000)。而各級學校的數學教師最 感到挫敗的莫過於學生拒絕學習,尤其是技職院校的學生,他們對數學多 半有過失敗的學習或考詴經歷,陳疴過久,連自己都不敢去碰已有的傷痛 (辛靜宜、林珊如、葉秓呈,2005)。 在考詴領導下的學習,常會有學生認為快速解題便是數學程度的唯一 指標,而將微積分視為一堆無意義的定義、公式或純代數符號操弄(鄭百 恩,2007),以致於陷入微積分學習的迷思中。

貳、 微積分學習迷思

Hiebert & Carpenter(1992)認為學生應該理解數學。但梁淑坤(1996) 認為在教課時無論怎樣用心,學生在解題時仍會出現錯誤。因為學生解題 時,會使用他們可能缺乏理解,但卻能夠解出正確答案的方法(Chi et al., 2002)。而錯誤概念的產生,可能源自於學生日常生活經驗的自我學習;也 可能來自於學生對老師傳統機械式教學,所獲得模糊的概念(呂溪木, 1983);或對某一現象或事務最初始的一種錯誤的概念 (姜善鑫,1998)。 在學習過程中,學生並不是被動的擷取知識,而是詴著將新資訊與自 己腦中舊有的想法相結合。學生想在舊有的知識上,建立新的數學規則, 需要出現一個明確的新規則,以做出合理的解釋,否則學習者就會產生錯 誤的概念(郭重吉,1988;Chi et al., 2002)。 學生他們所做的錯誤,就像他們能計算出正確的答案一樣,是來自他 們自認為是有意義的策略;經過仔細觀察錯誤後,會發現很多錯誤都有著 可以預測的系統性程序,這些系統性的錯誤稱之為 bug,是將正確的規則 經某種程度上的誤用或是扭曲而來,而使學生經某一種過程產生錯誤的答 案,有時是書本說明得不夠清晰,教師又沒有時間好好地為學生解惑,學

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生只好在資訊不夠清楚明白的情況下,自己建構起自己的數學規則(Brown & VanLehn, 1980;Ginsberg ,1989)。

當學生採用自己不覺得錯誤的程序,而能解出正確答案時,似乎就沒 有理由能叫他們拋棄不自覺的錯誤概念,只有當學生碰到無法解出正確答 案的困境時,他們才會考慮修改自身的錯誤概念(Balk, 2007)。 目前數學教育家花了很多心血,在追蹤學生於紙筆計算時所產生的錯 誤運算或概念,他們也許要猜想產生錯誤的原因,尋找錯誤的來源,及分 析其錯誤類型(郭嘉聲,2011)。若學生存有迷思概念,對實驗的觀察和示 範、對觀察的解釋、對科學課程的理解和技藝會有很大的妨礙(余民寧, 1997)。 Schwarzenberger (1984)認為在數學中,錯誤和正確的答案一樣的重 要,有時候更有過之而無不及,因為錯誤幫助我們了解是學生內心的哪個 想法,進而導致他會產生錯誤;這樣一來錯誤既可以做為診斷的工具,也 幫助我們了解數學的來龍去脈,又幫助了數學的發展。中國科學家錢學琛 說:「正確的結果是從大量的錯誤中得出來的;沒有大量錯誤做台階,也 就登不上最後正確結果的寶座」。

Haripersad & Naidoo (2008)針對學習微積分中積分的大學一年級學生 作研究,結果發現學生利用黎曼和求曲線下的面積,有結構上的錯誤、執 行上的錯誤與隨機上的錯誤;而利用網路學習的學生比傳統方式學習的學 生出現較少的結構性錯誤。Haripersad (2011)針對微積分的基礎概念,對南 非理工大學實驗組進行混合式學習(傳統和電腦並用的實驗教學),而對 照組採傳統學習,結果發現實驗組對概念有深度的認知,而對照組只具有 表面的認知。Tarmizi (2010)發現在大學中有些學習能成功地學會微積分, 但有些學生開始掙扎奮鬥,他們需要適當的幫助,才能夠繼續地學習。

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綜合上述文獻,本研究歸納微積分學習迷思係指經過修正過去錯誤經 驗,來處理新知識而產生的錯誤為主。本研究指的錯誤概念與認知相關, 泛指學生都會發生或經常性地修正過去的錯誤經驗,來處理新知識而產生 的錯誤為主。若教師能整理歸納出學生在微積分解題中的各種錯誤,經由 他們解題的錯誤方式,分析出其錯誤的類型,找出錯誤的原因所在,用這 些錯誤類型與原因做為台階,我們將能有效地協助學生學習微積分。

叁、 圖形的重要性

對學生而言,要對微積分有觀念性的理解,仍然是個難題。Koirala (1997) 認為運用教學的經驗,學生能透過對圖形的探索和了解,發展對極限和連 續性的直覺理解,進而開發他們對微積分的概念性理解。教師建議在微積 分課程中,希望能提供相關的圖形(Stick,1997),並且藉由圖形、圖表或日 常情境的例子,在說明概念含義的幫助下,學生可以對微積分概念有所理 解(Koirala, 1997)。 而圖表給定性的全面性洞察,數字給予定量的結果,同時符號給予強 而有力的操縱能力;所以哈佛大學生在微積分學習上常用圖形、數字與符 號等三種表示方法(Gleason, Hallett, & Brettschneider,1990; Hallett, 1991)。 Hallett (1991)認為我們無論在任何主題下,都應該用圖形與數字化來教導 學生。Ting & Kuo (2012)在探討「用積分求面積」單元時發現:當學生能 正確辨識圖形時,接下來也能正確列出所需積分的式子,其答對比率高達 80.25%;但是不論其是否能正確辨識圖形,接下來能正確列出積分式子的 比率只有 63.5%。學生藉由探索圖形和函數,並透過對極限與連續的直觀 了解,可以發展自己對微積分概念的理解(Koirala, 1997)。

肆、用積分求面積

微積分的主題包括函數、極限、導函數、對積分的介紹,與有趣的真

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實生活上的應用(Himonas, 2008)。而面積是某一封閉二維區域的大小,亦 即表示對此一特定區域的覆蓋程度,意即被覆蓋面的大小(譚寧君,

1998)。在國小時,學過規則圖形的面積,例如正方形、矩形、三角形、

圓形、梯形等;但對於不規則圖形的面積,將如何求出來?本研究為了解決 對於不規則圖形如何求面積的問題,將花心力在「用積分求面積」的議題。

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第三章 研究方法

本研究的方法分成下列各小節:第一節為研究流程、第二節為評量內 容分析、第三節為專家知識結構、第四節為研究對象、第五節為錯誤類型 分析、第六節為研究工具、第七節為詴題的計分規則、第八節為適性選題 流程、第九節為研究設計、第十節為動態評量的設計;茲分別述敘於下:

第一節 研究流程

本研究首先確定研究主題為微積分動態評量系統之研發-以「用積分求 面積」單元為例,接著蒐集相關文獻;再邀請五位大學教師以某科技大學 一年級必修的微積分教材中「用積分求面積」的單元,依據學理以及教學 的經驗,與學生應具備的知識概念,分析出專家知識結構(參見圖 3-6), 本研究依照此專家知識結構來編製測驗開放式詴題。 本研究於 98 學年度下學期,在某科技大學舉行紙筆測驗,再將這些題 目加以修正為較合適的題目。99 學年度下學期,在某科技大學舉行紙筆測 驗的預詴,從中找出學生在「用積分求面積」單元的十三個錯誤類型(參 見表 3-2)。 接著,本研究根據專家知識結構,編製設計有 9 道題組的正式詴題, 每題為四選一的選擇題,每道詴題只測一種對應於知識結構中一個節點的 概念,而每題分成 a 與 b 兩小題,其中 a 小題為針對節點概念所做圖形的 選擇,而 b 小題為針對節點概念所做列式的選擇(參見圖 3-1 與圖 3-2)。

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圖 3-1 a 小題測驗介面

圖 3-2 b 小題測驗介面

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錯與迷思的所在。 經過「用積分求面積」的教學,舉行電腦化適性前測:在前測之後, 為了方便補救教學,將五班學生以班為單位,隨機分成團班補救教學、自 學、DASH、DAHO 與 KSADA 等不同實驗處理的組別。在進行不同實驗 處理後,再以統計軟體 SPSS 進行單因子共變數分析,進行共變數分析之 前,數據頇通過迴歸係數同質性檢定,將電腦化適性前測作為共變數,學 生的後測成績作為依變數,且固定因子為組別,分析在不同實驗處理下, 學生的後測成績是否有顯著差異。四週後,進行延後測,又分別將前測、 後測作為共變數,學生的延後測成績作為依變數,且固定因子為組別,分 析於不同實驗處理下,延後測的成績是否有顯著差異。據此本研究流程參 見圖 3-3。

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專家知識結構 編製預詴題目 預詴 由預詴找出錯誤類型 編製正式前測詴題 目 教學 前測 編製正式後測詴題 目

KSADA DAHO DASH 自學 團班補救教學

結果與建議 撰寫論文 資料分析 後測 確定研究主題 相關文獻探討 評量內容分析 延後測

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第二節 評量內容分析

本研究所探討的「用積分求面積」單元,主要是求由兩曲線所圍成的 區域面積,共有垂直式 dx 型積分與水平式 dy 型積分兩種,分別說明於下:

壹、垂直式 dx 型積分

垂直式 dx 型積分係指所畫的補助線為垂直線(參見圖 3-4),本研究假 設 f(x)與 g(x)為在[a, b]上的兩個連續函數,且滿足 f(x) g(x),則在由 y= f(x)與 y g(x)兩曲線,和兩條 x = a 及 x = b 垂直線,所圍起來的區域面 積為

b a dx x g x f( ) ( )] [ ,即

b a dx x g x f 右 邊 界 左 邊 界 下函數 上函數 ( ) ( )] [ ,也就是說被積分 函數為上函數 f(x)減去下函數 g(x)的差,以 x 為積分參數軸,又左邊界為 a, 右邊界為 b,所求出的積分。

貳、水平式 dy 型積分

水平式 dy 型積分即所畫的補助線為水平線(參見圖 3-5),本研究假設 F(y) 與 G(y)為在[c, d]上的連續函數,且 F(y) G(y),則在 x=F(y)與 x G(y) 兩 曲 線 , 和 兩 條 y = c 及 y = d 水 平 線 , 圍 起 來 的 區 域 面 積 為

dc dy y G y F( ) ( )] [ ,即

d c dy y G y F 上 邊 界 下 邊 界 左函數 右函數 ( ) ( )] [ ,也就是說被積分函數 為右函數 F(y)減去左函數 G(y)的差,以 y 為積分參數軸,而下邊界為 c, 上邊界為 d,所求出的積分。

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圖 3-4 垂直式dx 型積分 圖 3-5 水平式dy 型積分

第三節 專家知識結構

數學領域是屬於比較有系統性、邏輯性的知識內容,適合分析其知識 結構(陳怡如、陳雁芳,2004)。專家知識結構是由多位學科專家根據教學 理論與教學經驗,分析施測範圍內的知識概念,再根據學生的學習歷程、 概念發展順序及其概念間的上下位關係整理而成的結構關係(Wu et al., 2012)。 本研究首先敦請五位大學教師以某科技大學一年級必修的微積分教材 中「用積分求面積」的單元,依據學理以及教學的經驗,學生應具備的知 識概念分析出來,每一個概念就是一個節點,在此知識結構圖中,較上層

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前應先學習的之先備概念,稱為下位概念。本研究依照此專家知識結構來 編製測驗詴題。 將每一個節點的上下位關係排列出來,每一節點分成 a 與 b 兩小題,a 小題為該知識節點的繪圖,而 b 小題為此節點的列式,如此建立一種結構 關係,成為專家知識結構,例如 9 (b)表示第 9 個節點的 b 小題;而 9 (a) 表示第 9 個節點的 a 小題。 專家知識結構如圖 3-6 所示。

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圖 3-6 專家知識結構圖

第四節 研究對象

本研究於 98 學年度下學期,在某科技大學舉行紙筆測驗,再將這些題 目加以修正為較合適的題目。99 學年度下學期,在某科技大學舉行預詴, 9(b)三次方曲線與直線,所圍成區域的面積列式 9(a)三次方曲線與直線,所圍成區域的面積繪圖 5 (b)下為一般 直線 y = a x +b, 上為二次曲線 y = f (x),所圍成 區域的面積列式 5(a)下為一般 直線 y = a x +b, 上為二次曲線 y = f(x),所圍成 區域的面積繪圖 6(b)下為二次 曲線 y = f(x) , 上為一般直線 y = b,所圍成 區域的面積列式 7 (b)左為一般 直線,右為二次 曲線 x= f(y),所 圍成區域的面 積列式 6(a)下為二次 曲線 y = f(x) , 上為一般直線 y = b,所圍成區 域的面積繪圖 7(a)左為一般 直線,右為二次 曲線 x= f(y),所 圍成區域的面 積繪圖 1 (b)下為直線 y = b,上為二 次曲線 y = f(x) ,所圍成區域 的面積列式 1(a)下為直線 y = b,上為二 次曲線 y = f(x) ,所圍成區域 的面積繪圖 2(b)下為二次 曲線 y = f(x) , 上為直線 y = b ,所圍成區域 的面積列式 2(a)下為二次 曲線 y = f(x) , 上為直線 y = b ,所圍成區域 的面積繪圖 4(a)左為二次 曲線 x= f(y),右 為直線 x = a,所 圍成區域的面 積繪圖 3(b)左為直線 x = a,右為二次 曲線 x= f(y),所 圍成區域的面 積列式 3(a)左為直線 x = a,右為二次 曲線 x= f(y),所 圍成區域的面 積繪圖 8(b)左為二次 曲線 x= f(y),右 為一般直線,所 圍成區域的面 積列式 8(a)左為二次 曲線 x= f(y),右 為一般直線,所 圍成區域的面 積繪圖 4(b)左為二次 曲線 x= f(y),右 為直線 x = a,所 圍成區域的面 積列式

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工程系 54 人。而本研究的正式研究對象為某科技大學一年級五個班級的 學生,以班為單位隨機分成五組,去除填答不全者,各組有效的樣本人數 參見表 3-1。

表 3-1 各組人數分佈表

組別 團班補救教學 自學 DASH DAHO KSADA

人數 52 47 52 52 54

第五節 錯誤類型分析

錯誤概念的產生,可能源自於學生日常生活中經驗的自我學習,也可 能來自於學生對老師傳統機械式教學,所獲得的模糊概念(呂溪木, 1983)。教師若想幫助學生,就要先找出學生的答題錯誤原因。學生在解 答過程中運用不同的處理,而產生不同種類的錯誤類型(蕭金土,1995)。 確定教學素材後,建構一個以「錯誤類型」為最小教學單位的量化分析模 式,使教師能直接由學生的作答反應,推估其具有的錯誤類型以及節點的 缺失。 本研究根據專家知識結構將每一個節點的上下位關係排列出來,每一 節點編製一道題組,而每一道題組分成 a 與 b 兩小題,a 小題為該知識節 點的繪圖,而 b 小題為此節點的列式,例如 9 (b)表示第 9 個節點的 b 小題; 而 9 (a)表示第 9 個節點的 a 小題;而針對預詴學生的作答結果中找出錯誤 類型(參見表 3-2)。

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表 3-2 學生的錯誤類型 【錯誤 01】被積分兩個函數倒置 【錯誤 02】忽略被積分下函數置入的必然性 【錯誤 03】忽略被積分左函數置入的必然性 【錯誤 04】被積分下函數誤取 【錯誤 05】被積分上函數誤取 【錯誤 06】被積分左函數誤取 【錯誤 07】被積分右函數誤取 【錯誤 08】參數軸不一致或錯置 【錯誤 09】積分左邊界錯置 【錯誤 10】積分右邊界錯置 【錯誤 11】積分下邊界錯置 【錯誤 12】積分上邊界錯置 【錯誤 13】不了解定積分的定義(分段積分誤用)

第六節 研究工具

根據圖 3-6 所列的專家知識結構的九個節點,編製設計 9 道題組, 每道題組分成 a 與 b 兩小題;每小題為四選一的選擇題,每道題組只測一 種對應於知識結構圖中一個節點的概念,每一小題除一個為正確選項外, 其餘的每個選項分別代表預詴中,學生較常犯的一個錯誤類型;其中 a 小 題為該節點所需圖形的選擇題,而 b 小題為該節點必頇列式的選擇題,而 根據學生的選項,就可判斷學生概念的對錯與迷思的所在,題目分配架構 如表 3-3。例如:下爲直線 y = b,上為二次曲線 y=f(x),所圍成區域之面 積,對應於第一題組。

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表 3-3 題目分配架構 節點 三次方曲線與直線圍成區域之面積 題組 9 節點 左為二次曲線爲 x = f(y),右為一般直線,所圍成區域之面積 題組 8 節點 左爲一般直線,右為二次曲線為 x = f(y),所圍成區域之面積 題組 7 節點 上爲一般直線,下為二次曲線 y=f(x),所圍成區域之面積 題組 6 節點 下爲一般直線,上為二次曲線 y=f(x),所圍成區域之面積 題組 5 節點 左爲二次曲線 x= f(y),右為直線 x=a,所圍成區域之面積 題組 4 節點 左爲直線 x = a,右為二次曲線 x=f(y),所圍成區域之面積 題組 3 節點 下爲二次曲線 y= f(x),上為直線 y=b,所圍成區域之面積 題組 2 節點 下爲直線 y = b,上為二次曲線 y=f(x),所圍成區域之面積 題組 1 本研究的研究工具有前測、後測與延後測,分別介紹如下: 一、 前測 表 3-4 前測的編製 選項 (a) (b) (c) (d) 1(b) 錯誤 02 正確 錯誤 09、10 錯誤 04 2(b) 錯誤 01 錯誤 02、05 正確 錯誤 09、10 3(b) 正確 錯誤 03 錯誤 01 錯誤 08 4(b) 錯誤 06、07 正確 錯誤 06、07 錯誤 06、08 5(b) 錯誤 09、10 錯誤 01 錯誤 10 正確 6(b) 正確 錯誤 01 錯誤 02、05 錯誤 07 7(b) 錯誤 01 正確 錯誤 11、12 錯誤 06、07 8(b) 錯誤 01 錯誤 06、07 正確 錯誤 06、07、08 9(b) 錯誤 08 錯誤 04、05、13 錯誤 04、05、13 正確 二、 後測與延後測的編製 依據前測編製複本題為後測與延後測(參見附錄二與附錄三)。

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第七節 詴題的計分規則

本研究的計分方式為每道題組的 a 小題、b 小題,而第 9 題組的 b 小 題較困難所以給分另計,其中 1(a)-9(a)的給分說明如下: 例如 1(a 下列何者為). y1 x 2與 y =-3 所圍成的區域。 因為經過 步驟 1: x2 1y,移項 步驟 2: 0x2 1y,完全平方大於等於零 步驟 3: y1,移項 步驟 4: y 的值滿足小於或等於 1,判斷出拋物線開口向下 四個步驟,所以給 4 分。 而 1(b)-8(b) 的給分說明如下: 例如 1 ).(b 下列何者為y1 x 2與y =-3 所圍成區域的面積。 (a)

  2 2 2 ) 1 ( x dx (b)

    2 2 2 )] 3 ( ) 1 [( x dx (c)

   1 1 2 )] 1 ( 0 [ x dx (d)

   2 2 2 ) 3 1 ( x dx 因為經過 步驟 1:

2 ;答錯,記 0 分;答對,記 1 分 步驟 2:

 2 2 ;答錯,記 1 分;答對,記 2 分 步驟 3:

  2 2 2 ) 1 ( x ;答錯,記 2 分;答對,記 4 分 步驟 4:

    2 2 2 )] 3 ( ) 1 [( x ;答錯,記 4 分;答對,記 6 分

2

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五個步驟所以給 7 分;而 9(b)比較困難所以給 8 分。 綜合上述結果計分規則如表 3-7 所示。 表 3-5 非動態評量與非動態適性評量的計分規則 題號 1(a)-9(a) 1(b)-8(b) 9(b) 計分 4 7 8 註:a: a 小題,b: b 小題

第八節 適性選題流程

以知識結構為基礎的適性選題,本研究在第 i 層中第 j 個節點nij的題 目,是否要施測以 

k k i 1)k -(i ij ij (n ,n ) f n n g( )  ( ( 1) )值決定,其中n(i1)k表示 第 i-1 層中第 j 個節點nij的所有上位節點題目。 步驟一:        的上位 不為 的上位 為 ij 1)k -(i ij k i k i ij n n n n n n , 0 , 1 ) , ( ( 1) ( 1) ,顯示 n(i1)k 是否為nij上位的 函數。 步 驟 二:         答錯時 答對時 k i k i k i n n n f ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , 0 , 1 ) ( , 且 定 義 f(n0,k)0,對 每 一 個 k, ) (n(i1)k f 表示n(i1)k答對或錯的函數。 步驟三:g(ni, j) ( , ( 1) ) ( (i 1)k) k k i ij n f n n

  = 第 i-1 層中第 j 個節點nij的所有 上位節點n(i1)k的 f 值之 積之乘積,我們定義 積如下: 表 3-6 積的定義 1 0 1 1 0 0 1 1    

(41)

n(i1)k不為 nij的上位,則(nij,n(i1)k)0, 1 ) ( 0 ) ( ) , (nij n(i1)kf n(i1)k  f n(i1)k   ,則

k k i 1)k -(i ij,n ) f n (n ( ( 1) )  決定於 k i n(1)nij的上位之對錯,而(nij,n(i1)k)1 於是

k n n k i k i k k i 1)k -(i ij ij 1)k -(i n f n f n f ) n , (n 的 上 位 是 ) ( ) ( 1 ) ( ( 1) ( 1) ( 1)  。 而

k k i 1)k -(i ij,n ) f n (n ( ( 1) )  = , ( ) 1 , 0 , 1 ) ( 0       j ij ij ij g n n n n g 需施測 表示 不需施測 表示 , 例如:如圖 3-7 有 3 層 9 題時,當 i = 3, j = 4 時,表示第 3 層第 4 個節 點的題目n34,而g(n34)= ( 34, 2k) ( 2k) k n f n n  

,即n34的是否施測決定於第 2 層的n34上位節點題目n2kn24的對錯,即第 8 題答錯時, ) (n34 g =

( 34, 2k) ( 2k) k n f n n 0 0 1 ) ( ) , (n34 n24f n24     ,導致n34要施測;若第 8 題答對時,g(n34)=  

k k 2k 34,n ) f n (n ( 2 )  (n34,n24) f(n24)111,導致n34不需施測。 本研究依據上述過程,適性選題流程如圖 3-7 所示:

(42)

圖 3-7 適性測驗選題流程

第九節 研究設計

本研究採用「不等組前後測設計」進行準實驗設計,以瞭解適性動態評 量的成效。 本研究涉及之變項說明於下:

壹、 自變項

本研究以各組的組別為自變項。

貳、 共變項

本研究以各組在用積分求面積單元教學後,一週內施測的前測成績

(43)

為共變項。

叁、依變項

本研究的依變項有如下兩種: 一、 在補救教學後一週內施測的後測成績。 二、 在後測施測後一個月內施測的延後測成績。

肆、控制變項

本研究的控制變項有如下兩種: 一、 教材:本研究都以某科技大學教師們共同編撰的微積分書籍為共同 教材。 二、 上課時數:本研究各組都在一週三小時教完用積分求面積的單元。 三、 補救教學時數:本研究各組都在一節課 50 分鐘內完成補救教學。 表 3-7 本研究涉及的變項 變項的類型 自變項 共變項 依變項 控制變項 組別 前測 後測 教材 延後測 上課時數 補救教學時數 本研究以某科技大學一年級新生工程學院五班級為樣本,以班級為單 位,隨機分成傳統團班補救教學組、自學組、DASH、DAHO 與 KSADA; 其中團班補救教學組為各任教教師在限定時間內,針對前測中,學生出現 較多錯誤的題目,進行補救教學;而自學組學生自行在電腦教室,針對自 己在前測中做錯的題目,觀看本研究設計的教學投影片(參見圖 3-10 至圖 3-17);又 DASH、DAHO 組以本研究自行設計的「用積分求面積」動態評 量系統為研究工具(分別參見圖 3-20 至圖 3-23,與圖 3-25 至圖 3-30);

(44)

KSADA 組以本研究自行設計的「用積分求面積」適性動態評量系統為研 究工具(參見圖 3-32 至圖 3-44);本研究的實驗設計參見表 3-8。 表 3-8 實驗設計 實驗程序 施測時間 傳統團 班補救 教學

自學 DASH DAHO KSADA

前測 60 分鐘 (單元教 學完畢, 一週內舉 行) 電腦教 室 電腦教 室 電腦教 室 電腦教 室 電腦教 室 補救教學 60 分鐘 (前測完 畢,一週 內舉行) 班級教 室 教師在 教室針 對前測 較多人 錯誤的 題目給 予講解 電腦教 室一人 一機 學生自 行在電 腦教室 觀看教 學投影 片 電腦教 室一人 一機 學生答 錯時,即 時給予 提示 電腦教 室一人 一機 學生答 錯時,即 時根據 選項給 予提示 電腦教 室一人 一機 系統性 選題,學 生答錯 時,即時 給予提 示 後測 60 分鐘 (前測完 畢,一週 內舉行) 電腦教 室 電腦教 室 電腦教 室 電腦教 室 電腦教 室 延後測 60 分鐘 (後測完 畢,一個 月內舉 行) 電腦教 室 電腦教 室 電腦教 室 電腦教 室 電腦教 室 自學組學生自行在電腦教室觀看,本研究針對前測所提供的相關投影 片,以第二題的 b 小題的自學檔案為例(參見圖 3-8 至圖 3-15)。

(45)

圖 3-8 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 1

(46)

圖 3-10 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 3

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圖 3-12 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 5

(48)
(49)

圖 3-15 第二題的 b 小題的自學投影片檔案 8 本研究中的 DASH 組其測驗題目為預設四選一的選擇題,而題目為 隨機出現,不論學生的選項為何,每次都提供相同的提示,而每題都提供 三次提示,至第三次提示時就針對該題直接教學;亦即提示 1 為「答錯了」; 提示 2 為「告知可能的主要錯誤」;提示 3 為「直接教學」。 DAHO 組係指本研究之測驗題目為預設四選一的選擇題,而題目為隨 機出現,動態評量為藉由學生作答反應的選項,可觀察出學生的想法是否 錯誤與錯誤之處,並根據其錯誤選項能即時提供提示;而每題都提供三次 提示,第二次提示比前一次提示更詳細明確地指出所犯錯誤之處,至第三 次提示時就針對該題直接教學;即提示 1 為「告知選項有關的主要迷思概

(50)

而 KSADA 組為將上述的 DAHO 加上適性的選題方法,本研究之測驗 題目為預設四選一的選擇題,而適性動態評量為根據學生上位節點的題目 作答是否正確,適性的提供下一題;若學生答錯一題,就根據其錯誤選項 提供合適的提示;提示之後,讓學生再思考選答第二次,若學生還是答錯 該題,就再根據其第二次反應的錯誤選項提供合適的提示,而第二次提示 比第一次提示更加詳細明確地指出其所犯錯誤之處;經第二次提示之後, 讓學生再思考選答第三次,若學生還是答錯該題,就進行第三次提示即針 對該題直接教學。

第十節 動態評量的設計

本研究使用 Adobe Dreamweaver 和 Microsoft Visual Studio 軟體,建置 一個網路化(Web-based)系統的電腦化微積分動態評量系統。本系統規劃的 主要功能分為詴題管理模組、帳密管理模組與線上測驗模組三部分。 詴題管理模組包含測驗歷程分析與學生成績分析。帳密管理模組包括 帳號密碼管理與資料庫維護。線上測驗模組包含線上測驗、個人測驗歷程 查詢、個人成績查詢、班級成績查詢與某日成績查詢等。教師可利用詴題 管理模組、帳密管理模組與線上測驗模組來線上出題、組合詴題、上傳詴 題、觀看個別學生答題歷程與得分情形、全班答題歷程與得分情形。學生 可以參與線上評量、在接受動態評量時可紀錄學生每題的答題歷程、答題 時間及所用提示次數等。

(51)

動態評量管理的架構如圖 3-16: 教師 學生 詴題管理模組 線上測驗模組 帳密管理模組 個人測驗歷程 查詢 學生成績分析 測驗歷程分析 線上測驗 個人成績 查詢 帳號密碼管理 資料庫維護 班級成績 查詢 某日成績 查詢 動態評 量題庫 做答歷程 資料庫 學生 資料庫 圖 3-16 動態評量管理的架構 本研究的電腦化動態評量進入畫面參見圖 3-17,註冊畫面參見圖 3-18,而 詴題的畫面參見圖 3-19。

(52)

圖 3-17 進入畫面

(53)

圖 3-19 詴題的畫面 本研究所用的有相同提示的動態評量(DASH)、根據選項給提示的動態評量 (DAHO)與基於適性選題策略的動態評量(KSADA)三類動態評量分別敘述 於下。

壹、 相同提示的動態評量(DASH)

設計

Campione 及 Brown(1985)提出的動態評量系統,在學生學習過程中, 逐步出現提示;也就是說,當學生遇到瓶頸,及時提供愈來愈明確的提示, 這是種循環的模式,即 “測驗 1---提示 1---測驗 2---提示 2---測驗 3---直接 教學”。 系統隨機顯示測驗題目, 某位學生針對被給予的題組之 b 小題所做的 畫面(參見圖 3-20)。

(54)

圖 3-20 學生做 DASH 詴題的畫面

而關於一個題目,當他做出一個正確的回答,他得到了該題最高的分 數;否則,他將得到有關該題目的一個標準化的提示 1 為「答錯了」(參 見圖 3-21)。

(55)

閱讀完提示後,他可以再回答該題,而做出另一種選擇;如果他給出 一個正確的答案,則他得到次高的分數;否則,他將得到一個標準化的提 示 2 為「告知可能的主要錯誤」(參見圖 3-22)。 圖 3-22 DASH 的第二個提示 然後,他可以做出另一種選擇。如果有關這個題目,他給出了一個正 確的答案,他得到的較少的分數。否則,他將得到一個標準化的提示 3, 即「直接教學」(參見圖 3-23)。

(56)

圖 3-23 DASH 的第三個提示

最後,系統將判斷是否他已經完成了整個測驗,否則他將進入下一個詴題。 DASH 顯示的流程如圖 3-24:

(57)

作答反應 答對 ? 計分 No 提示 m 直接教學 Yes m= 選項數減1 ? m = m+1 Yes No m=1 作答 下一題 某一題 圖 3-24 DASH 的流程

貳、 根據選項給提示的動態評量(DAHO)設計

本研究中,DAHO 預先設定答題的選項數為 4,學生針對給予的某一 題組之 b 小題,直接在線上進行測驗所得到的畫面(參見圖 3-25)。

(58)

圖 3-25 學生做 DAHO 詴題的畫面

此種動態評量,根據學生所做的不同作答的反應,提供了不同的提示。 關於這個題目,當學生做出一個正確的回答,他就得到較高的分數;否則, 系統會根據考生反應的錯誤選項,提供考生一個適當的提示 1 為「告知選 項有關的主要迷思概念」(參見圖 3-26)。

(59)

圖 3-26 DAHO 的第一個提示

學生閱讀完提示 1 後,他可以作出另一種反應(參見圖 3-27)。

(60)

如果他選擇了正確的選擇,他可以得到次高的一個分數;否則,他會 得到一個更清晰的提示 2 為「告知選項的主要迷思概念」(參見圖 3-28)。

圖 3-28 DAHO 的第二個提示 然後,他可以做出另一種選擇(參見圖 3-29)。

(61)

如果有關這個題目,他給出了一個正確的答案,他得到一個較少的分 數;否則,他將獲得一個易於理解的提示 3,即「直接教學」(參見圖 3-30)。

圖 3-30 DAHO 的第三個提示

最後,他會接著做下一個題目,直到系統判斷他已經完成了整個測驗。 DAHO 的流程(參見圖3-31)。

(62)

作答反應 答對 ? 計分 No 第n類錯的提示 m 直接教學 Yes m= 選項數減1 ? m = m+1 Yes No m=1 作答 下一題 某一題 第n類錯,n=1,2,…,s-1 圖 3-31 DAHO 的流程 學生直接線上測驗,當每次作答之後,馬上有效精準辨識出學生之迷 思概念或錯誤類型,藉由偵測出之錯誤類型,及缺乏之技能、概念,進而 及時進行有效之補救教學。本研究之測驗每題都提供三次提示,每一次提 示都比前一次提示更詳細明確地指出錯誤之處。首先當一位學生進入測詴

(63)

時,隨機地出現題目,但選到的題目,都先出現 a 小題、再出現 b 小題, 當他答對此小題,就計分;否則就進入該小題的提示 1,閱讀完提示 1, 再選答一次,若他答對此題,就計分;否則就進入提示 2,根據他所選的 答案分別給予提示,接著再選答一次,若現在答對此題,就計分;否則就 進入提示 3,根據他錯誤的地方直接教學;再進入下一題。電腦再依據學 生答題的結果,再給他下一道題目,直到系統適性判斷他合理地做完詴題。 動態評量讓學生在測驗過程中,藉由各提示的協助,了解自己錯誤的 迷思地方,並隨時彈性逐步加以訂正,DASH and DAHO 的記分規則如表 3-9: 表 3-9 DASH 與 DAHO 的記分規則 題號 1(a)-9(a) 1(b)-8(b) 9(b) 不需提示 4 7 8 答對 歷經第一提示 3 6 7 歷經第二提示 2 5 6 註:a: a 小題,b: b 小題 在第一題的 a 小題至第九題的 a 小題,當學生不需提示就答對時, 可得 4 分;需歷經第一提示後才答對者,可得 3 分;需歷經第二提示後才 答對者,可得 2 分。在第一題的 b 小題至第九題的 b 小題,當學生不需提 示就答對時,可得 7 分;需歷經第一提示後才答對者,可得 6 分;需歷經 第二提示後才答對者,可得 5 分。在第九題的 b 小題,當學生不需提示就 答對時,可得 8 分;需歷經第一提示後才答對者,可得 7 分;需歷經第二 提示後才答對者,可得 6 分。

叁、 基於適性選題策略的動態評量(KSADA)設計

本研究想結合上述的 DAHO 與電腦化適性測驗的優點而成為「微積分 適性動態評量系統」,因為適性評量會根據估計學生的知識能力選擇出現

(64)

驗長度。某個學生針對給的最上位的一題所做結果的畫面(參見圖 3-32)。

圖 3-32 學生做 KSADA 第 9 題b 小題的畫面

這名學生做第 9 題b 小題第一次的選擇,如果回答錯了,系統給此題相關

(65)

圖 3-33 學生做 KSADA 第 9 題a 小題的畫面

這名學生做第 9 題a 小題第一次的選擇,如果回答錯了,系統給第一個提

示(參見圖 3-34)。

數據

圖 2 -1 適性測驗知識結構  雖 然KSAT可以診斷出學生在此領域中知識結構的節點對錯情況 ( Wu  et al., 2012 ) ,但它缺乏數學化的選題策略, 所以本研究的第三章第八節重 點在建置數學化的KSAT選題策略,將適性測驗和漸進提示的動態評量相 結合;根據學生的不同能力,提供不同的測驗題目,並依據學生所選擇的 不同答題選項,提供不同的提示;以建立微積分適性動態評量系統和促進 補救教學管理,期望利用  KSAT可以達成極佳的學習成效。  第三節 微積分的相關研究  壹、  微積分教學  微積
圖 3-1    a 小題測驗介面
圖 3-4  垂直式 dx 型 積分  圖 3-5  水平式 dy 型 積分  第三節  專家知識結構  數學領域是屬於比較有系統性、邏輯性的知識內容,適合分析其知識 結構(陳怡如、陳雁芳,2004)。專家知識結構是由多位學科專家根據教學 理論與教學經驗,分析施測範圍內的知識概念,再根據學生的學習歷程、 概念發展順序及其概念間的上下位關係整理而成的結構關係(Wu  et  al.,  2012)。  本研究首先敦請五位大學教師以某科技大學一年級必修的微積分教材 中「用積分求面積」的單元,依據學理以及教學的經
圖 3-6 專家知識結構圖  第四節  研究對象  本研究於 98 學年度下學期,在某科技大學舉行紙筆測驗,再將這些題 目加以修正為較合適的題目。99 學年度下學期,在某科技大學舉行預詴,9(b)三次方曲線與直線,所圍成區域的面積列式 9(a)三次方曲線與直線,所圍成區域的面積繪圖 5 (b)下為一般 直線 y = a x +b, 上為二次曲線 y = f (x),所圍成 區域的面積列式 5(a)下為一般 直線 y = a x +b, 上為二次曲線 y = f(x),所圍成 區域的面積繪圖 6(b)下為二次
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參考文獻

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