第四章 分層隨機採樣設計
4.5 應用案例
吾人欲評估在有害廢棄物焚化廠的煙囪附近表土層砷平均濃 度，是否高於一般自然土壤中砷的濃度。假設樣品從煙囪半徑500 公 尺處內取得。基於先前環境調查所收集之資料得知：（1）盛行風的區 域砷的濃度較高，（2）黏土的砷含量也較砂土高。因此依據輔助的變 異如盛行風的方向、不同土壤型態之區域，而判斷此環境調查場址呈 現出如圖 4.1 所示之分層現象。假設經費限制只能支應 60 個樣品之 採樣及檢測之情況下：
一、 依此案例，「層」已界定清楚如圖 4.1 所示。
二、 每一層的樣品數量以 Neyman 分配公式計算得出，並以此分配 數量於每一層隨機採樣。經計算結果如表4.1。
煙囪
上風處 黏土 下風處
黏土
黏土
上風處 砂土
垂直風處 黏土
垂直風處 砂土 黏土 垂直風處
砂土
下風處 砂土
半徑：500 m
盛行的風向
圖 4.1 有害廢棄物焚化廠的煙囪附近表土之分層示意圖
表 4.1 簡單隨機採樣與 SS 之統計結果比較 方法 SS
項目
簡單 隨機 採樣
下風處 黏土
下風處 砂土
垂直風處 黏土
垂 直 風 處 砂土
總計 樣品數 60 43 5 10 2 60 平均值 19.81 46.16 12.66 9.49 10.20 22.94
標準誤差 4.35 9.99 4.63 2.28 3.12 3.68
從表4.1 中之比較結果發現，同樣該地區取 60 個隨機土壤樣品，
與 60 個分層採樣之樣品有相似砷含量的評估值，但是標準誤差
（standard error）卻顯示分層採樣比隨機採樣來的低，代表分層採樣 之精密度比隨機採樣高。
上述簡單隨機採樣之平均值與標準差計算請參閱第三章。SS 之 平均值與標準差計算，條列如下：
步驟1：利用 Neyman 公式計算在總採樣數 60（n = 60）下，各分層 所分配到之採樣數
n
h：⎟⎟
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎝
⎛
= ∑
= L
h
h h
h h h
W n W n
1
σ σ
假設每一層之母體標準偏差σh及權重 如下，則依Neyman 公式可得出各層之分配數於下表。
W
h分層 權重
W
h 母體標準偏差σh Neyman 分配數n
h下風處黏土 0.35 75 43
下風處砂土 0.15 20 5
垂直風處黏土 0.30 20 10
垂直風處砂土 0.20 5 2
步驟2：計算各層所採集樣品之平均值x 及變異數h ，所得結果彙整 於下表（可利用作為簡單隨機採樣標準公式之計算）。
2
sh
分層 平均值x h 變異數sh2 採樣數量nh 權重Wh 下風處黏土 46.16 4287.84 43 0.35 下風處砂土 12.66 107.08 5 0.15 垂直風處黏土 9.49 51.88 10 0.30 垂直風處砂土 10.20 19.52 2 0.20
步驟 3：計算分層採樣之平均值
∑
==
Lh h h
st
W x
x
1
= 22.94
當母體樣本數N 非常大時，在此例子中變異數已減少為：
x
st 的變異數 = ⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
∑
= L
h h
h h
n s W
1 2 2
= 13.55
步驟4：標準誤差之計算
x 的標準誤差 = st
2 1
1 2 2
⎥ ⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ∑
= L
h h
h h
n s
W
= 3.68三、 同樣地，再進一步將不同採樣數量之標準誤差與 95%可信賴區 間彙整於表4.2 顯示，吾人僅需採集 40 個分層之土壤樣品，即 可獲得與60 個隨機樣品相同精密度的結果。
表 4.2 不同採樣數之標準誤差與 95%信賴區間之比較 方法
項目
簡單 隨機 採樣
SS
樣品數 60 60 40 20 14 9 8 7 標準誤差 4.35 3.68 4.51 6.41 7.57 9.06 9.73 10.59 95%
信賴區間
±8.69 ±7.36 ±9.12 ±10.57 ±16.35 ±20.50 ±22.43 ±25.04
結論：
案例研究發現土壤中黏土的含量與化學物質殘留量有關。因此，
在實際規劃採樣設計時，吾人可以製作一張調查場址的地圖，圖上顯 示土壤中黏土量，並據以界定「層」之區域。本案例顯示，在採樣設 計上適當使用分層比隨機採樣可提高精密度，或減少採樣所需之數量 及成本。
4.6 Dalenius-Hodges 分層程序
Dalenius-Hodges 分層程序係用一個與初步量測結果具有高相關 性的可變數（y），來決定層與層間之最佳切斷點（cut-off point）。
一、 製表列出所有的區間（K區間），必須組合涵蓋所有範圍的y值，
令[Ai-1, Ai]分別表示出第ith個區間（i = 1, 2, 3…., K-1）的起點和 終點。列出每一層之相關觀測值Ni。
二、 計算Di = Ai－Ai-1和T = NiDi 。
三、 在每一區間i，計算
∑
。將所有的T=
= i
j j
i T
C
1
j 從第一個區間開始 累加上去。
四、 計算Q = Total/L，此處 Total =
∑
，而L 為層的數量。= L
i
Ti 1
五、 在每一區間i 計算 Ci/Q，並將此值去掉小數點，得出較高之整 數，此即該區間將被歸類哪一個層數。
計算範例
假設某地下污染場址經初步環境監測得知相關數據： 0 到 5 公 尺間之監測值為254 ppm，5 到 14 之區間為 195 ppm，其餘如圖 4.2 所示。
5 14 20 30 35 45 50
0 0
5
30
50
254 195 160 135 90 155 76
第一層
第二層
第三層
圖 4.2 某地下土壤污染場址之分層界定
由題意知y 變數從 0 到 50 公尺之間，假設限制條件為 L=3 層。
則Dalenius-Hodges 分層計算程序列表如下：
區間 Ni
(量測值) Di
(Ai－Ai-1)
Ti ( NiDi )
Ci (∑ T)
Ci/Q
（Q=225.3/3=75.1）
Rounded value 0-5 254 5 35.6 35.6 0.47 1 5-14 195 9 41.9 77.5 1.03 2 14-20 160 6 31.0 108.5 1.44 2 20-30 135 10 36.7 145.2 1.93 2 30-35 90 5 21.2 166.4 2.22 3 35-45 155 10 39.4 205.8 2.74 3 45-50 76 5 19.5 225.3 3.00 3
Total 1065 225.3
得出之結果為：第一層的 y 值包含於 0-5 公尺之間，第二層的 y 值在 5-30 公尺之間，第三層的 y 值在 30-50 公尺之間。
4.7 SS 設計之採樣數量估算公式
一、計算SS 之總平均值（overall mean）和變異數（variance of the overall mean）：
L＝層數
Nh＝在分層h的母體數
N＝總母體數，即各分層母體數之總和（N =
∑
Lh=1Nh） nh＝在分層h的採樣數1. 總平均值
∑
=
= L
h h h
st W x
x
1
2. 變異數 variance of
∑
= ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
= L
h h
h h h st h
n s N w n
x
1
2 2 1
上式x ，h sh2分別為h 層之平均值及變異數。
二、各分層內之採樣數計算
n＝各分層採樣數之總和（n=
∑
Lh=1nh） σh＝h 層預知之標準偏差Wh＝h 層之權重，
N Wh =Nh C＝總預算
C0＝最初固定成本
V＝固定變異數 1. 平等分配公式：
L nh = n 2. 比例分配公式：nh
=
nWh3. Neyman 分配公式：
⎟⎟
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜ ⎜
⎝
⎛
= ∑
= L
h
h h
h h h
W n W n
1
σ σ
4. 固定成本之最佳分配公式：
( )
∑
== −
Lk
h h h
h h h h
C W
C W
C n C
1 0
σ σ
5. 每一層皆有一固定邊際誤差之最佳分配
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
=
∑
∑
− =
− = L
h
h h L
h
h h
N d s W z
d s W z
n
1
2 2 2
1 2 1
2 2
1 2
/ 1
/
α α
上式 d 為每一層內邊際誤差之估計值