計 11 口。
2.6 抽水所引致沉陷之基本理論公式探討
附 159
25
2.6.1 前言
如前所述，土壤結構為三相系統，是由固體、液體與氣體所組成，固體的土體顆 粒會形成空隙且隨機的排列，而空隙會被水與空氣所佔據，當土壤受壓時，也會由這 三者共同分擔。當地下水被抽取後，原本由水所承受的壓應力會轉至土壤顆粒造成壓 密。呂志宗(1991)提到 Terzaghi 於 1923 年首先提出單向度壓密理論，其一維壓密理 論之基本假設為：
1. 土壤為均質且完全飽和。
2. 固體土壤顆粒與孔隙水不可壓縮。
3. 孔隙水在孔隙中流動符合 Darcy 定律。
4. 土壤孔隙率不隨介質內部有效應力大小而改變。
5. 土壤體積的縮小是因為孔隙被壓縮所致。
6. 土壤之力學性質與滲流性質皆考慮為均質且等向性。
實際上土壤的壓縮性和水分排出並非單向，故以上所述Terzaghi 的單向度壓密理 論之基本假設僅適用於特殊壓密情況下。呂志宗(1991)曾提及：「Terzaghi 的壓密理論 過度簡化問題，對於一維壓密沉陷而言問題不大，但若欲應用在解析三維壓密沉陷問 題時，實需斟酌。雖然Terzaghi 的單向度壓密理論簡易，而常被工程界應用於壓密沉 陷分析，然而以較嚴謹之Biot 三維壓密理論解析壓密沉陷問題，為深入研究此類問 題之所需。」本文在研究與建立問題之基本方程式時，係使用Biot(1941)所建立之三 維壓密理論，學理上亦稱之為多孔介質彈性力學理論 (Poroelasticity)。
2.6.2 Biot 於 1941 年所建立之多孔介質彈性力學理論
Biot 於 1941 年首先提出土壤的三維多孔介質彈性力學理論，其基本假設為考慮 孔隙水與固體土壤顆粒皆可壓縮，土壤為均質且等向性之多孔隙介質，並假設孔隙水 在孔隙中的流動符合Darcy 定律，在探討多孔介質之組成律關係時，若考慮固體介質
附 160
26
與孔隙流體間的互制作用關係，且模擬多孔介質為等向性之飽和線彈性體，則其組成 律關係可表示為：
, , , (2.3)
, (2.4)
其中
= 作用於多孔介質之總應力；
= 單位多孔介質體積內所增加之孔隙流體體積；
= 超額孔隙流體壓力 (壓力為正)；
, = 多孔介質之體積應變量；
= Kronecker delta 函數；
= 含水層之剪力模數；
= Lame 常數 = ；
= 含水層於排水情況下所測得之柏松比；
、
= 固體介質與孔隙流體間之互制作用係數。因考慮孔隙流體的流動符合Darcy 定律，則：
, (2.5)
其中
= 孔隙流體之流速；
= 多孔介質之滲透係數；
= 孔隙流體之單位重；
, (i = 1,2,3) = 超額孔隙流體壓力之壓力梯度。
附 161
27
將 Darcy 定律式代入考慮多孔介質徹體力(Body Force) 與孔隙流體補注變率 q 之力平衡方程式(2.6)與流量連續方程式(2.7)中：
, 0 (2.6)
, (2.7)
則理論模式之基本方程式可表示為：
, , , 0 (2.8)
, , 0 (2.9)
其中 , , 。上式即引用 、 、
、
等基本力學常數建立基本方程式，以試驗 獲取這些力學常數時，須考慮固體介質與孔隙流體間之互制力學行為的變化。而n、k、
等係數，則是屬於土壤之物理性質或孔隙水之水利常數。2.6.3 Biot 建立之多孔介質彈性力學理論發展
Biot 於 1955 年引入孔隙率(Porosity) n 的觀念，說明作用於多孔隙介質之孔隙流 體壓力變化量，再以孔隙流體與固體介質間會產生相對位移的現象來分析多孔隙介質 的位移變化，並將其理論推廣至異向性介質的情況。若考慮多孔介質為等向性之飽和 線彈性體，則其組成律關係可表示為：
, , , (2.10)
, (2.11)
式中
、 、
、 、、 、
之定義與式(2.3)與式(2.4)相同，Q 與 R 分別為新定義 之固體介質與孔隙流體間的互制作用參數，亦即此力學常數 Q 與式(2.4)之定義並不附 162
28
相同，上式所引用之力學常數 R、