提升數學學習重要條件

數學的學習是非常重要的，德國的數學家高斯(Karl Friedrich Gauss)曾經說：

『數學為科學之母，而數論為數學之母』，由此可見要學好數學，必需要從最基本 概念先確實的建立好，一旦建立好數學學習的基本概念之後，才有可能更深入去學 習更高層次的數學抽象思考，在學習數學的過程中，良好積極正向的學習態度也是 不能或缺的重要條件，美國知名激勵作家與演說家齊格勒曾說：「決定你人生高度 的，不是你的才能，而是你的態度。」因此在數學學習的重要條件中必須含有概念 的形成及正向學習的態度；而實際上能夠影響數學學習的因素是非常多元的，學習 環境、周遭重要他人的想法、家庭背景……等許多因素都有可能影響學生學習數學，

但研究者個人認為提升數學學習最重要的要件有二，分別為數學概念的形成與建 立以及數學的學習態度，因此以下就主要以數學概念的形成與建立及數學的學習 態度做說明。

壹、數學概念的形成與建立

「概念」是一個被經常使用的廣泛詞彙，無法非常精確地、具體的去定義，

Henderson（1970）將數學上的概念主要分成具體概念(concrete concept)和抽象概念 (abstract concept)，具體概念是可看見、可操作明顯具有物理上實質的例子，舉例來 說：尺、幾何板、代數書；而抽象概念是不具可見性、可操作性，非上述物理實質 的例子，舉例來說：數學上會遇到的分數、線段、極限、複數、機率、多項式、方 程式等都屬於抽象概念。由以上例子可以明顯看出許多的「數學概念」大多數都是 被認為屬於抽象概念的。

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Skemp 認為要確實形成一個概念就必須先有具體實際的經驗，並將具有相似 性、共通性的所有經驗統整歸類在一起。許多的數學概念都是由具體的實際經驗經 過抽象化後才能形成初級概念，「抽象化」(abstracting)是一種心智活動的過程，能 使我們清楚了解各種周圍環境經驗彼此之間具有的相似性與共通性，「抽象」

(abstraction)就是泛指將具體實際的經驗抽象化的結果、過程，是一種延續性的心智 變化，使我們能用已經經過分類的舊有經驗來認知並建立具有相似性、共通性的新 經驗；但數學學習的問題及困難就出在數學概念太過於抽象，因此，Skemp 也提出 了兩個數學概念學習的原則：

1. 高階概念不能用定義方式溝通，只能蒐集有關例子提供經驗，靠學生自己 抽象化形成概念。

2. 在數學學習中，有關的例子又含有其它概念，教師在提供例子時必須確定 學生已經具有這些預備概念。（陳澤民譯，1995）

美國數學教師協會（NCTM，2000）出版的「學校數學的原則和標準」(Principles and Standards for School Mathematics)，在有關數學的學習原則方面指出：學生應該 用理解概念的學習方式來學習數學，並積極的運用過去既有舊經驗與先前已建立 的知識上建構新知識。而在數學教學的原則方面指出：確實有效的數學教學前必須 先充分瞭解學生已經具體知道什麼和需要學習些什麼，才能夠加以刺激和鼓勵他 們能有想要學習更好的動機。因此，數學的教與學其實更重視的是講求有意義、講 道理的學習經過與歷程，培養學生發展真正的數學思考能力，而非僵硬一成不變的 呆板知識。數學著重的概念與技能，必須由學生自行的建立、構造與發展，不應該 是由教師強迫灌輸而獲得，因此在數學的教學上應要能提供學生擁有更多可觀察、

具思考、並且討論的機會，最後再進一步去完成歸納、驗證數學的相關知識。

柳賢教授（2000）在學生學習數學概念的相關研究指出數學概念發展層級方面 是循序漸進的，並且將其學習步驟排列依先後次序，是先經由具體觀察，然後經過 確認，再進行分類，進而生產想法，最後達到形式化的結果。數學學習的過程中，

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會有許多數學定理讓學生深深感到抽象與模糊，因此學習困難，學生除了需具備基 本的數學原理概念與運算技能外，還必需先理解生活體驗應用，才能有效習得數學 抽象定理的精神（李昱昀，2012）。Sfard（1991）也指出幾乎所有的人是依據操作 性概念(operational conception)做為獲得新的數學概念的首要步驟，也就是指學習必 須藉由一連串的可具體操作之教學活動來獲得新數學概念的存在及建立，然後概 念才會被抽象化為一個物件。

楊弢亮（1997）認為正確的理解數學概念方法是確實掌握數學基礎知識必要的 前置作業，而數學概念的引入通常會採取以下教學措施：1.必須充分了解利用學生 的既有生活經驗—教師應該收集和運用出現在學生現實生活中能反映出數學概念 的具體事實例子，但必須注意到的是，數學概念與平常的日常概念是有區別的，必 須要挑選與數學知識有所連結的概念；2.有效利用數學教材所提供的教學材料—可 以先利用實際且具體可操作的事物、圖表、模型使學生充分認識及了解新概念的直 觀形象，才接著提出新概念的定義；3.藉由新概念的定義來引入，再接著用教學材 料來加以證實；4.由學生既有的舊經驗來引入新的概念—其常用方式有(1)種概念引 入類概念、(2)採用對比方法、(3)利用逆反關係、(4)運用概念的推廣及(5)運用特例 的聯繫。

綜合上述學者專家的觀點，可以知道數學概念是非常抽象的，因此在學習數學 要建立概念時，必須透過具體的、實物性的、可操作性的教學，讓學生可以從自己 的先備經驗去建立並形成抽象的數學概念。目前我們所學的所有知識大多是在生 活中與環境交互接觸之中學來，大部分知識還是具體概念居多，而數學學習上的最 大問題就是在於太過抽象，數學的知識絕大多數為累積前人的智慧結晶，然後再透 過教科書的整理及編排，最後再透過教師課堂上的教學，直接或間接地傳授給學生，

創造出學習環境，所以才有可能導致學生對數學學習產生興趣。

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貳、數學的學習態度

態度指的是人對於人、事、物及其周遭世界，依照其認知與喜好所表現出來的 一種持久和一致的行動傾向（張春興，1994）。倘若要將態度的內涵導入教學的環 境之中，秦夢群（1992）將學習態度定義為，學生在進入學習環境之中，受環境及 其他影響之下，對於所學事物的內容抱持著正向與負向的所有評斷，或是贊成與反 對的所有行為傾向，而其中學習態度可再詳細劃分為學習者對於所學課業內容其 學習的態度，與其對學習環境的態度；前者為學習者對於學習的個人動機及興趣，

後者為受到周圍環境的影響所產生的變數。學習態度並非是與生俱來的能力，態度 形成及其行為表現會因為個體的許多本身及外在的不同，如自身性格、過去經驗、

學習及社會環境等因素影響之下而有所差異（Koballa，1988）。

數學學習態度是指個人對於學習數學的一般性看法，還有對於學習數學的喜 歡或厭惡程度，並同時涉及情感、認知和行為三方面，在情感方面，通常是指涵蓋 對學習數學的喜好或厭惡等；在認知方面，則指涵蓋個人對學習數學的信念、有用 程度的看法等；在行為方面，則是指是否願意堅持學習數學、肯花時間在學習數學 上等（魏麗敏，1988）。在數學的教育中，學生和教師在面對學習數學及教授數學 的態度上都具有著非常重要的影響；而所有學習者都是伴隨著其態度有所變化才 成功的（林格倫，1983）。

Garfield（1977）將數學學習態度分成五個層次: 1.接受、2.反應、3.價值、4.組 織、5.價值的確認；從接受數學且願意去學習數學，學習數學後有所反應並願意參 加數學活動，到自己主動承認數學的價值同時可以積極推動數學的活動，然後能統 整數學的概念以形成個人的價值體系，最後能完全認同數學的概念與價值以形成 個性的一部份，這些過程是循序漸進且連續不斷的。Lee 與 Chen（2010）針對國中 生對於數學態度與看法之研究顯示，學生一致認為數學是一門重要的科目，但多數 學生在面臨數學相關活動時，常常會呈現焦慮、緊張、害怕等身體徵兆，而學習數

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學動機的強弱，不僅影響學生的數學態度，更直接反應在數學學習成效，因此若能 培養出學生對學習數學的態度具有積極、正向的結果，則學生就會自動自發產生不 間斷持續學習的動力，進而對其未來的生涯、求學或就業有高度的相關性產生助益，

也一定會願意花更多的時間來持續學習數學。吳怡儒、蔡文榮與李林滄（2012）對 彰化縣偏遠地區國中學生數學學習態度及其影響因素之研究發現，國中生在面對 數學學習態度上若有較為積極的態度，會因此提高學生的數學學習成績。廖元良、

鄭正豐、謝廷豪、陳姿樺（2020）在外國學者Holland 發展的職業類型對參與補救 教學之高職生數學態度與學習滿意度影響之研究中，提出影響數學學習態度的因 素眾多，若教學上營造一個可以帶領學生正向學習的環境，讓學生可以喜歡數學、

勇於挑戰數學，把數學學習當成一件有意義又有趣的事，是教學者非常重要的教學 重點，如此可以培養學生對數學產生長期、持續的興趣，引導其建構出正向、積極 的數學學習態度，進而提高學生的學習成效。

參考以上文獻，研究者認為教師若可以在教學上改變，引導學生從接受開始，

才有可能完成數學學習的五個層次，也可以打破學生長期以來處在一成不變的學

才有可能完成數學學習的五個層次，也可以打破學生長期以來處在一成不變的學