擁塞收費之最佳費率水準

擁塞定價最早始於經濟學家 Pigou(1993)所發表的文獻。文章中提到”擁塞收 費”是解決交通擁塞的有效方法。以經濟學的理論來說，使用者付費，才能將外 部成本內部化，讓使用道路的人，所產生的社會成本，如擁塞，甚至能源排放汙 染這些看不到的外部成本內部化(Internalization)，如此才能達到道路有效的管理 及利用。

然而，擁塞定價的理論，邊際成本定價理論也隨之發表在 Yang(1997)等許多 學者的文章。透過計算邊際社會成本，也就是外部成本與邊際私人成本的差距，

即可求得 需收 取的” 擁塞收 費” ，此理 論為 時間獨立 的空 間定價 (The space dimension of road pricing)並未考慮到實際路網的限制式。只期望能尋找到系統最 佳帄衡(The System Optimal Equilibrium)。

雖然 MCP 理論已被證實可有效地改善交通擁塞問題，但在 Lam et al.的文章 中提到”MCP 的理論使用在實際案例時，由於未考慮到”營運成本”，每條路線收 取不同的費用，在真實世界中無法實施，故發展一套啟發式解法來解決香港的實 際道路收費”。此篇文章中也發展其擁塞定價的目標函數與期限制式。而且，Yang and William(1996)提出 MCP 理論並未考慮到高度擁塞的路網，像是香港，擁有 極長的汽車等候線，卻未將等候線成本計算在旅行成本內，且交通流量和等候線 規模的大小都應和收費型態有關，故提出結合交通指派與一般路網的道路定價理 論(包含等候線和擁塞情形)，發展出一套雙層數學規劃模式(bi-level)來降低尖峰 小時的擁塞，來找到一組有效的路線收費組合。

雙層數學規劃模式的理論又稱為次佳擁塞定價(The second-best congestion

pricing)。隨之，雙層數學規劃模式的理論出現在許多人的文章中，考慮流量與 交通量指派的同時，計算出最佳化的收費模式。Yang and Yagar(1994)發表「以敏 感度分析為基礎的演算法(Sensitivity analysis based algorithm ,SAB)」，求得雙層數 學規劃模式，其解得到不錯的績效。Yang and William 的文章中，也採用 SAB 的 方法計算簡單的路網。Sawansirikul et al.(1987) and Friez et al.(1990)發展的「均衡 分解優化(Equilibrium decomposition optimization ,EDO)」，也被用來計算雙層數學 規劃模式的問題，當限制式皆為線性時使用均衡分解優化(EDO)，而當限制式為 非線性時，則使用 SAB 的模式。

Zhang and Yang(2004)討論擁塞收費周界的選擇，使用次佳的擁塞定價模式 (Second-best pricing)，也就是雙層數學規劃模式，在路網上選擇最佳化收費周界 以及收費程度，選擇一組道路路網，來描述成收費周界，透過檢驗路網的關聯矩 陣(the incidence matrix)，最大化社會福利，並受限於具彈性需求的交通均衡模 式。之後，求解基因演算法和貪婪法在雙層數學規劃模式上，同時決定收費周界 和收費程度，也用來實際驗證一些簡例。

Yang et al(2009)也探討到擁塞定價模式需要收集許多相關資料，如起訖點需 求、路段旅行時間以及使用者對時間節省的計算價值(value of time, VOT)，然而 這些資料又較難收集，所以若沒有收集到這些資料，也就是在需求以及成本函數 未知的情況下，探討使用一連串的實驗與計算來找到擁塞收費的收斂值，希望在 未知旅行時間、需求函數以及 VOT 下，計算出最佳化的擁塞收費。

Yang and Bell(1997)探討到，所有擁塞定價模式皆為將流量限制在路段的容 量底下，也就是不希望流量超過容量，而造成擁塞，以及產生等候線(Queuing line) 後，就會產生延遲時間(Time delay)。然而，環境也會因為交通擁塞而產生空氣 汙 染 以 及 溫 室 氣 體 效 應 ， 故 考 慮 到 永 續 運 輸 ， 此 研 究 考 慮 到 環 境 容 量 (Environmental capacity)，來當作流量的容量限制，此模式重新探討到永續的運 輸問題，實為值得我們繼續探討，在擁塞定價的模式底下，結合生態環境的永續 精神。

Yang et al.(2004)討論在高速公路的擁塞定價下，也就是在不同的出入口收費 的最佳擁塞收費模式，結合路網均衡模式，討論路段收費以及路段額外收費的方 案，使用 Bi-level 的模式，透過 Frank-Wolfe 演算法來尋找最佳定價。

透過上述，發現 MCP 的定價理論過於理想，在實際社會上，若在各個道路 上皆收取不同的費用，可能會造成營運成本的提升，且無法向使用者提出完善的

解釋，可能造成社會的反彈。而且，次佳化的道路定價理論，已經廣泛的被使用 在許多文獻，雙層數學規劃模式不但同時考慮擁塞與等候線的情形，也同時考慮 到交通指派問題。和傳統的邊際定價理論相比，雙層數學規劃模式可加入限制 式，設定政府預期達到的收益，或是等候線的長度，同時，績效方面也可以考慮 不同的層面，目標式設定的部分，較為彈性。在同時考慮最小化旅行成本的同時，

也可考慮政府收益最大化，故本研究決定採取雙層數學規劃模式，來做為台北都 會區道路定價的演算法。

如前文所提，擁塞定價的收費方式有許多種，不論是 MCP 理論、雙層數學 規劃模式的次佳化道路定價，其求解的皆是路網中最佳化收取的道路擁塞定價。

然而，考慮到實際層面，在不同的路段，收取不同的擁塞定價，可能提升營運成 本，同時實施在都會區，也可能造成社會大眾的反彈。然而，國外實際案例實施 都會區擁塞定價也通常是採用周界收費的方式，來做擁塞收費，故以下文獻探討 如何先決定擁塞定價收費的周界，再回顧雙層數學規劃問題的模式。

Yang 與 Lam(1995)曾使用雙層規劃模式(Bi-level programming approach)來決 定道路收費(Optimal Road Toll)的型式。下層(lower-level)問題為「等候路網均衡 模式(Queueing network equilibrium)」，描述在等待與擁塞的情況下，使用者路徑 選擇的行為。上層(Upper-level)問題則是當考慮使用者路徑選擇行為後，最佳化 系統的績效，決定道路收費。

此方法明顯違反傳統的邊際成本定價策略，邊際成本定價策略是去計算每條 路段的價格，也就是等於邊際社會成本與邊際私人成本的差距，強調將外部成本 內部化，降低社會無謂的損失。雙層規劃模式的特色有兩點，第一是去考慮一組 路線的組合以及收費受限於最低門檻和最高門檻值。第二，「考慮等候路網均衡 模式」，可以準測的預測等候延遲的時間。故不但可以藉由限制式的訂定去呈現 不同的收費策略，也可以準確的預測等候延遲時間，如此便可以簡單的實行等候 管理策略。雙層數學規劃模式(Bi-level mathematical program)如下：

上層 (Upper-level)：最佳化系統績效決定道路收費

Subject to

(2-1)

(2-2)

(2-3) Where v(u) and d(u) are obtained by solving lower-level:

符號說明：

F:上層決策者的目標函數(系統管理員) :上層決策者的決策向量(道路收費模式) v:下層決策者的決策向量(路網流量模式) d:等候延遲的時間

:限制路線 a 的最大等候車輛數目 :路線 a 的收費

:路線 a 的最小收費 :路線 a 的最大收費

式(2-1)為限制路線的等候車輛數，式(2-2)為限制政府的基本總收益，式(2-3) 為限制每段路線收費的最大值以及最小值，上層為考慮系統績效後，最佳化道路 收費，也就是考慮三種不同的績效，包含總路網旅行成本、政府總收益以及同時 考慮最大化政府總收益，最小化總路網旅行成本，如式(2-9)-式(2-11)所示。

下層 (Lower-level)：等候路網均衡模式(Queuing Network Equilibrium Model)

Subject to

(2-4)

(2-5) (2-6) (2-7) 符號說明：

W:一組起迄點(O-D pairs)的集合 A:路網中的路線集合

R:路網中的路徑集合

R_w:一組起訖點 w 的路徑集合 D_w:一組起訖點 w 之間的需求 V_a:路線 a 的流量

C_a:路線 a 的容量 f_r:路徑 r 的流量

ar:假設路徑 r 通過路線 a，則 _ar =1，反之，則 _ar =0

式(2-4)為需求限制式，式(2-5)為流量守恆限制式，式(2-6)為限制流量必頇小 於容量，式(2-7)為非負限制式，下層為等候路網均衡模式，也就是當路網的流量 剛好為容量，則會出現等候線(Qa:路線 a 的等候線長度)，進而產生延遲時間(da^: 路線的等候延遲時間)，如式(2-8)所示。

(2-6)

(2-8)

符號說明：

d_a:路線 a 的等候延遲時間

此 Bi-level 模式在尋找最佳化收費模式 u*，使得系統目標函數 F(u,v(u),d(u)) 最佳化，(此目標函數選擇 F1、F2 以及 F3，如式(2-9)、式(2-10)、式(2-11)所示)。

(2-9) (2-10) (2-11)

式(2-9)為總路網旅行成本，包含總旅行時間與總延遲時間，式(2-10)為政府 總收費，式(2-11)為同時考慮式(2-9)的總收益和式(2-10)的總成本。

本研究即是運用此模式的架構下去做修改，此模式的優點在於可同時考慮使 用者路徑選擇行為，也讓決策者自行決定收費的門檻。當使用邊際成本定價時，

為了要讓系統績效最佳化，會算出太高的擁塞收費值。使用雙層數學規劃時，就 可透過限制式來設定擁塞收費的門檻值。

然而，本研究除了考慮使用者路徑選擇行為，也會同時考慮，擁塞收費後對於 使用者生活品質的衝擊，期望在探討不影響使用者生活品質之下，求得最佳的擁塞收 費。藉由探討相關文獻，將衡量生活品質的指標放入目標式，來重新計算出最佳的擁塞 收費。 除了生活品質之外，汙染排放降低的值，也會考慮加入目標式中，去做求解。

同時透過羅吉特模式，探討使用者的運具選擇情形。透過決策變數的調整，如公車班次、

擁塞收費定價、大眾運具服務水準等，去計算出使用者替代運具的移轉情形，供決策者 去更深入的了解擁塞定價對於使用者的影響。透過此模式，可預先去調整以及模擬相關 配套措施的訂定與實施，期望透過擁塞定價，來轉移使用者的運具選擇，降低道路擁塞 情形，提升大眾運輸的使用率，藉此達到永續運輸的發展。

Yang 與 Lam(1995)除了使用雙層數學規劃模式(Bi-level programing)，來解決 擁塞定價的問題，同時也使用敏感度分析(Sensitivity Analysis)，來做為下層模 式，也就是等候路網均衡模式的績效，透過調整路段收費，去看均衡路線流量改 變的值，衍伸出額外道路定價策略評估，以及在雙層道路定價問題上，發展啟發 式解法。以下是敏感度分析的步驟：

敏感度分析演算法

步驟零、決定一組起始路線的收費 u⁽⁰⁾，假設 n=0。

步驟一、求解下層模式，等候路網均衡問題，已知收費型態 u⁽ⁿ⁾，使用懲罰函數 的方法，得到固定收費下，每個線段的流量 v⁽ⁿ⁾和等候延遲的時間 d⁽ⁿ⁾。 步驟二、使用敏感度分析計算出敏感值 和 。

步驟三、使用微分的資訊，產生上層目標函數以及考慮限制式後，得出區域線性 最佳解。透過增加額外的解 y，去求解引發的線性模式。

步驟四、當α 值已知，計算收費的值。

步驟四、當α 值已知，計算收費的值。