效率前緣

∑∑

= =

(3.1) 1

1 1

∑∑

= =

m i

s r

W i r

≥0

r

Wi , 0θ_o ≥

3.2 效率前緣

雖然 DEA-R 模式已經發展出兩個導向，可是 DEA-R 模式的正確性並沒有被 驗證，所以本節先介紹一種新的效率前緣，並在 4.1 藉由這種效率前緣證明 DEA-R 模式的正確性。本文選用效率前緣證明模式正確性是因為資料包絡分析法這種評估 法是以效率前緣的觀念所發展出來的效率評估方法，因此如何證明 DEA-R 模式的 正確性需要從最根本的效率前緣著手。從過去的研究中可知，DEA-R 模式的效率 值常常不同於 CCR 模式的效率值，因此可以假設 DEA-R 的效率前緣是不同於 CCR 的效率前緣。根據本文的研究不同於 CCR 的評估是建立在以投入為軸或以產出為 軸的效率前緣上，DEA-R 的評估是建立在以比率為軸的效率前緣上。在此先舉例 說明何為以比率為軸的效率前緣，在 4.1 節將採用以比率為軸的效率前緣來證明

DEA-R 所求算的效率值是準確的。如同 DEA-R 有投入與產出兩種不同的導向，也 有投入與產出兩種不同導向效率前緣。在 3.2.1、3.2.2 兩小節的分別解釋投入與產 出兩種不同導向效率前緣的定義，並以表 3.1、表 3,2 兩組數據為例，畫成圖形說 明效率前緣的意涵。

表 3.1 多項投入單一產出之範例資料 決策

單位

投入 產出 X1 X₂ Y₁ A 2.0 4.0 1.0 B 2.5 2.5 1.0 C 3.0 4.0 1.0 D 4.0 2.0 1.0

表 3.2 單一投入多項產出之範例資料 決策

單位

投入 產出 X1 Y₁ Y₂ e 1.0 3.0 5.0 f 1.0 4.2 4.2 g 1.0 4.0 3.0 h 1.0 5.0 3.0 3.2.1 比率為軸的投入導向效率前緣

以比率為軸是指以產出/投入的比率或以投入/產出的比率為座標軸的圖形，

因為有兩種比率為表示區隔，所以令以投入/產出的比率為軸 的圖形為投入導向_{i r} 的圖形，在此時離原點越近的點是效率越好的點，推導出來的效率前緣則稱為投 入導向效率前緣。先表 3.1 的數據為實例，推導出以比率為基礎的投入導向效率 前緣，此時橫軸軸₁₁代表投入多少個X₁可以得到一個Y₁，縱軸軸₂₁代表投入多少 個X₂可以得到一個Y₁，則表 3.1 A、B、C、D 四個決策單位可以分別標示到圖

3.1 中 A、B、C、D 四點。

在定義座標軸並將決策單位標示到圖形中之後，接下來要尋找生產可能集 合。根據定義生產可能集合是將已知點所有之線性組合納入的集合。以表 3.1 中

決策單位 A 與 B 為例解釋何為線性組合，在0≤ p≤1的情況下

( )

A p X

X

p∗ ₁ + 1− ∗ ₁ 的X 加上_1α p∗X_2A +

(

)

( )

A p

p∗Y₁ + 1− ∗Y₁ 的Y ，即從 P 等於 1 到 P 等於 0，用部分的 A 與部分的 B_1α 結合可以生產出 AB 線段上的每一個點。。以此類推，對應表 3.1 的生產可能集 合為圖 3.1 中 ABDC 所組成的四邊形。

在找到生產可能集合之後，接著就能找到效率前緣。根據定義效率前緣是所 有從原點所發出的射線與生產可能集合之第一個交點的集合。對應表 3.1 這組數 據的效率前緣為圖 3.1 中 ABD 所組成的曲線。此外，在效率前緣上的決策單位，

如 A、B、D 為高效的決策單位，其效率值為 1；而在效率前緣右上方的決策單位，

如 C 為低效的決策單位，其效率值為效率值為 OC’與 OC 之比值=10/13，其中 C’

為 OC 線段與效率前緣之交點(30/13, 40/13)。。

在推導完多個投入單一產出例子的效率前緣後，以單一投入多個產出的數據 推導以比率為軸的投入導向效率前緣。令橫軸軸₁₁代表投入多少個X₁可以得到一 個Y₁，縱軸軸₁₂代表投入多少個X₁可以得到一個Y₂，則可以得到圖 3.2 中 E、F、

G、H 四點。

與前述的一樣先標示納入已知點的所有線性組合組成的生產可能集合。例如 表 3.2 中決策單位 E 與 F，在0≤ p≤1的情況下p∗X_1E +

(

)

(

)

(

)

EFH 所組成的曲線是從原點所發出的射線與生產可能集合第一個交點之集 合，也就是對應表 3.2 的效率前緣。在效率前緣上的決策單位，如 E、F、H 為高 效決策單位，其效率值為 1。在效率前緣右上方者 G 為低效決策單位。其效率值 為效率值為 OG’與 OG 之比值=20/23。G’是 OG 線段與效率前緣之交點

) 0/69 2 , 23 / 5

( 。如圖 3.2 所示。

1 Input 2 Output Input-Orient

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400

E 2 Input 1 Output Input-Orient

3.2.2 以比率為軸的產出導向效率前緣

產出導向是指以圖形以產出/投入這種比率為軸 ，在此時離原點越遠越好。_i^' _r 同樣的以實例來說明如何推導產出導向的效率前緣。先以多個投入單一產出的表

3.1 為例推導產出導向的效率前緣。令橫軸軸 代表投入一個₁^'₁ X₁可以得到多少個

Y1，縱軸軸 代表投入一個^'₂₁ X ₂可以得到多少個Y₁，則表 3.1 的四個決策單位可以 標示到圖 3.3 中 a、b、c、d 四點上。abdc 所組成的四邊形是已知點所有線性組合 的集合，即是生產可能集合。

找到生產可能集合之後，就可以推導效率前緣。與投入導向效率前緣是第一 個焦點的集合不同，產出導向效率前緣是從原點所發出的射線與所有生產可能的 最後一個交點，依此定義 abd 所組成的曲線為表 3.1 的產出導向效率前緣。與投 入導向一樣，在效率前緣上的決策單位，如 a、b、d 為高效的決策單位，其效率 值為 1。在效率前緣左下方者 c 為低效的決策單位。其效率值為效率值為 oc’’與

oc 之比值=3/4。c’’是 oc 射線與效率前緣之交點(4/9, 1/3)。如圖 3.3 所示。

再以表 3.2 為例。令橫軸軸 代表投入一個₁^'₁ X₁可以得到多少個Y₁，縱軸軸₁^'₂ 代表投入一個X₁可以得到多少個Y₂，則表 3.2 的決策單位可以標示在圖 3.4 中 e、

f、g、h 四點上，而表 3.2 所對應生產可能集合為 efhg 所組成的四邊形，最後，

表 3.2 所對應的產出導向效率前緣為 efh 所組成的曲線。在效率前緣上的決策單 位，如 e、f、h 為高效的決策單位，其效率值為 1。在效率前緣左下方者 g 為低 效的決策單位。其效率值為效率值為 Og’’與 Og 之比值=12/14。g’’是 Og 線段與

2 Input 1 Output Output-Orient

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 a

1 Input 2 Output Output-Orient

0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 e