DEA-R 模式

Despic 等 (2007) 指出 CCR 不易表達的單一投入產出關係，並以比率(ratio)加 總的概念發展出 DEA-R。與 CCR 相同的是，DEA-R 也有投入與產出兩個導向，

但 Despic 等 (2007)僅提及產出導向的 DEA-R，產出導向的 DEA-R 表示如下，模 式中θ_o代表受評估決策單位的效率，x_ij代表第 j 個決策單位的第 i 個投入，y_rj代 表第 j 個決策單位的第 r 個產出，W_ir代表第 i 個投入與第 r 個產出變數比率的權重。

min 1/θ_o^' =g_o

st .

( )

(

Y X

)

^{g j n}

X

W Y _o

m i

s

r r o i o

i j r j

i r 1

1 1

' ≤ =

∑∑

= =

(2.7) 1

1 1

' =

∑∑

= = m i

s r

W i r

' ≥0

r

Wi ,g_o ≥0 2.5.3 Super CCR 簡介

Super CCR 是以 CCR 為基礎的超高效模式，super 代表此模式融合了超高效的 概念可以進一步分析效率值超過 1 的決策單位。

Super CCR 也被稱做 CCR-AP，AP 代表超高效概念的提出者 Anderson 與 Peterson 的縮寫。超高效的概念是將目標決策單位與自己以外的決策單位作比較，

以評估高效優勢有多大，優勢是評估降低多少幅度之後，目標決策單位會從高效變 成低效。若這個幅度很大，代表優勢很明顯；反之，則代表雖然有優勢，但領先的 幅度不大。根據這個概念可求算出在哪組權重下該決策單位的優勢最明顯。此外，

基礎 CCR 模式效率值大於 1 的權重都可以是被基礎的 CCR 模式選取的權重，並不

效率值最高的那一組最佳權重以利分析，因此本文在此介紹作為評估模式的 super

CCR。

因為本文以台灣醫學中心為案例，而醫學中心因總額給付制度的限制使其增加 產出無法增加收入，所以本文僅介紹投入導向的超高效 CCR 模式。在投入導向中，

可以藉由增加投入但該決策單位依然保持高效來表示該決策單位的優勢。若增加很 多投入依然保持高效的決策單位，是領先優勢較大的決策單位；反之若增加些許投 入就無法保持高效的決策單位，是領先優勢較小的決策單位。換句話說，有許多資 源資源可以運用，而不需運用所有資源就可以達到高效之決策單位，是領先優勢較 大的決策單位。在實務上，這些未被運用的資源可以被運用在一些不受限制的產 出，如醫學研究。前述中，所有可運用資源的值等於原來的投入量乘以效率值。投 入導向的 super CCR model 表示如下

max

∑

= s ×

r

o r

r y

u

1

st . v x ^s u y j n j o

r r rj

m

i i × i j ≥

∑

× = ≠

∑

= =

1

1

1 (2.8)

1

1

=

∑

×

= m i

o i

i x

v

v_i, u¹≥ε >0

j

xi 代表第 j 個決策單位的第 i 個投入，y_rj代表第 j 個決策單位的第 r 個產出，

v 代表第 i 個投入變數的權重，i u_r代表第 r 個產出變數的權重，ε 為阿基米德數。

第三章 研究方法

此章本文所發展之基礎模式與相關之概念，分別有 DEA-R 模式、效率前緣、

高超效 DEA-R 模式、以及權重轉換等四節，在第四章將運用 3.2 節內的效率前緣證 明 3.1 節內的 DEA-R 模式之正確性，並以 2.5.3 節內的超高效 CCR 與 3.3 節內的超 高效 DEA-R 之比較來解釋發展 DEA-R 之需求性，最後以 3.4 節內的權重轉化法探 討多餘權重限制之影響。

3.1 DEA-R 模式

Despic 等 (2007) 指出 CCR 不易表達的單一投入產出關係，並以比率(ratio)加 總的概念發展出 DEA-R。與 CCR 相同的是，DEA-R 也有投入與產出兩個導向，

但 Despic 等 (2007)僅提及產出導向的 DEA-R，而在有些情況下只能採用減少投入 的投入導向做為改進的方向，舉例而言台灣健保採用總額給付制度，總額給付制度 下增加產出無法增加收入，此時就需要採用投入導向做為改進的方向。為此本文發 展了投入導向的 DEA-R，除以上所述的原因之外，4.2 節將以評估效率之比較進一 步說明發展 DEA-R 模式的必要性。此外，4.1 節將以效率前緣證明 DEA-R 模式的 正確性。

投入導向的 DEA-R 數學式表示如下，模式中θ_o代表受評估決策單位的效率，

j

xi 代表第 j 個決策單位的第 i 個投入，y_rj代表第 j 個決策單位的第 r 個產出，W_ir 代表第 i 個投入與第 r 個產出變數比率的權重。

max θ_o

st .

( )

(

X Y

)

^{θ j n}

Y

W X _o

m i

s

r i o r o

r j i j

i r 1

1 1

=

∑∑

≥

= =

(3.1) 1

1 1

∑∑

=

= =

m i

s r

W i r

≥0

r

Wi , 0θ_o ≥

3.2 效率前緣

雖然 DEA-R 模式已經發展出兩個導向，可是 DEA-R 模式的正確性並沒有被 驗證，所以本節先介紹一種新的效率前緣，並在 4.1 藉由這種效率前緣證明 DEA-R 模式的正確性。本文選用效率前緣證明模式正確性是因為資料包絡分析法這種評估 法是以效率前緣的觀念所發展出來的效率評估方法，因此如何證明 DEA-R 模式的 正確性需要從最根本的效率前緣著手。從過去的研究中可知，DEA-R 模式的效率 值常常不同於 CCR 模式的效率值，因此可以假設 DEA-R 的效率前緣是不同於 CCR 的效率前緣。根據本文的研究不同於 CCR 的評估是建立在以投入為軸或以產出為 軸的效率前緣上，DEA-R 的評估是建立在以比率為軸的效率前緣上。在此先舉例 說明何為以比率為軸的效率前緣，在 4.1 節將採用以比率為軸的效率前緣來證明

DEA-R 所求算的效率值是準確的。如同 DEA-R 有投入與產出兩種不同的導向，也 有投入與產出兩種不同導向效率前緣。在 3.2.1、3.2.2 兩小節的分別解釋投入與產 出兩種不同導向效率前緣的定義，並以表 3.1、表 3,2 兩組數據為例，畫成圖形說 明效率前緣的意涵。

表 3.1 多項投入單一產出之範例資料 決策

單位

投入 產出 X1 X₂ Y₁ A 2.0 4.0 1.0 B 2.5 2.5 1.0 C 3.0 4.0 1.0 D 4.0 2.0 1.0

表 3.2 單一投入多項產出之範例資料 決策

單位

投入 產出 X1 Y₁ Y₂ e 1.0 3.0 5.0 f 1.0 4.2 4.2 g 1.0 4.0 3.0 h 1.0 5.0 3.0 3.2.1 比率為軸的投入導向效率前緣

以比率為軸是指以產出/投入的比率或以投入/產出的比率為座標軸的圖形，

因為有兩種比率為表示區隔，所以令以投入/產出的比率為軸 的圖形為投入導向_{i r} 的圖形，在此時離原點越近的點是效率越好的點，推導出來的效率前緣則稱為投 入導向效率前緣。先表 3.1 的數據為實例，推導出以比率為基礎的投入導向效率 前緣，此時橫軸軸₁₁代表投入多少個X₁可以得到一個Y₁，縱軸軸₂₁代表投入多少 個X₂可以得到一個Y₁，則表 3.1 A、B、C、D 四個決策單位可以分別標示到圖

3.1 中 A、B、C、D 四點。

在定義座標軸並將決策單位標示到圖形中之後，接下來要尋找生產可能集 合。根據定義生產可能集合是將已知點所有之線性組合納入的集合。以表 3.1 中

決策單位 A 與 B 為例解釋何為線性組合，在0≤ p≤1的情況下

( )

_B

A p X

X

p∗ ₁ + 1− ∗ ₁ 的X 加上_1α p∗X_2A +

(

1−p

)

∗X_2B的X 可以得到_2α

( )

_B

A p

p∗Y₁ + 1− ∗Y₁ 的Y ，即從 P 等於 1 到 P 等於 0，用部分的 A 與部分的 B_1α 結合可以生產出 AB 線段上的每一個點。。以此類推，對應表 3.1 的生產可能集 合為圖 3.1 中 ABDC 所組成的四邊形。

在找到生產可能集合之後，接著就能找到效率前緣。根據定義效率前緣是所 有從原點所發出的射線與生產可能集合之第一個交點的集合。對應表 3.1 這組數 據的效率前緣為圖 3.1 中 ABD 所組成的曲線。此外，在效率前緣上的決策單位，

如 A、B、D 為高效的決策單位，其效率值為 1；而在效率前緣右上方的決策單位，

如 C 為低效的決策單位，其效率值為效率值為 OC’與 OC 之比值=10/13，其中 C’

為 OC 線段與效率前緣之交點(30/13, 40/13)。。

在推導完多個投入單一產出例子的效率前緣後，以單一投入多個產出的數據 推導以比率為軸的投入導向效率前緣。令橫軸軸₁₁代表投入多少個X₁可以得到一 個Y₁，縱軸軸₁₂代表投入多少個X₁可以得到一個Y₂，則可以得到圖 3.2 中 E、F、

G、H 四點。

與前述的一樣先標示納入已知點的所有線性組合組成的生產可能集合。例如 表 3.2 中決策單位 E 與 F，在0≤ p≤1的情況下p∗X_1E +

(

1−p

)

∗X_1F的X 可以_1β 得到p∗Y_1E +

(

1−p

)

∗Y_1F的Y 以及_1β p∗Y_2E +

(

1− p

)

∗Y_2F的Y 。以此類推，以表 3.2_2β 所產生的所有生產可能為 EFHG 所組成的四邊形。

EFH 所組成的曲線是從原點所發出的射線與生產可能集合第一個交點之集 合，也就是對應表 3.2 的效率前緣。在效率前緣上的決策單位，如 E、F、H 為高 效決策單位，其效率值為 1。在效率前緣右上方者 G 為低效決策單位。其效率值 為效率值為 OG’與 OG 之比值=20/23。G’是 OG 線段與效率前緣之交點

) 0/69 2 , 23 / 5

( 。如圖 3.2 所示。

1 Input 2 Output Input-Orient

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400

E 2 Input 1 Output Input-Orient

3.2.2 以比率為軸的產出導向效率前緣

產出導向是指以圖形以產出/投入這種比率為軸 ，在此時離原點越遠越好。_i^' _r 同樣的以實例來說明如何推導產出導向的效率前緣。先以多個投入單一產出的表

3.1 為例推導產出導向的效率前緣。令橫軸軸 代表投入一個₁^'₁ X₁可以得到多少個

Y1，縱軸軸 代表投入一個^'₂₁ X ₂可以得到多少個Y₁，則表 3.1 的四個決策單位可以 標示到圖 3.3 中 a、b、c、d 四點上。abdc 所組成的四邊形是已知點所有線性組合 的集合，即是生產可能集合。

找到生產可能集合之後，就可以推導效率前緣。與投入導向效率前緣是第一 個焦點的集合不同，產出導向效率前緣是從原點所發出的射線與所有生產可能的 最後一個交點，依此定義 abd 所組成的曲線為表 3.1 的產出導向效率前緣。與投 入導向一樣，在效率前緣上的決策單位，如 a、b、d 為高效的決策單位，其效率 值為 1。在效率前緣左下方者 c 為低效的決策單位。其效率值為效率值為 oc’’與

oc 之比值=3/4。c’’是 oc 射線與效率前緣之交點(4/9, 1/3)。如圖 3.3 所示。

再以表 3.2 為例。令橫軸軸 代表投入一個₁^'₁ X₁可以得到多少個Y₁，縱軸軸₁^'₂ 代表投入一個X₁可以得到多少個Y₂，則表 3.2 的決策單位可以標示在圖 3.4 中 e、

f、g、h 四點上，而表 3.2 所對應生產可能集合為 efhg 所組成的四邊形，最後，

表 3.2 所對應的產出導向效率前緣為 efh 所組成的曲線。在效率前緣上的決策單 位，如 e、f、h 為高效的決策單位，其效率值為 1。在效率前緣左下方者 g 為低 效的決策單位。其效率值為效率值為 Og’’與 Og 之比值=12/14。g’’是 Og 線段與

2 Input 1 Output Output-Orient

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 a

1 Input 2 Output Output-Orient

0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 e

3.3 超高效模式

因為基礎 CCR 或 DEA-R 並無法區分高效決策單位領先的程度，因此本研究進 一步以高超效的概念發展 super DEA-R，採用超高效除了可以了解高效決策單位領 先的幅度外，以一般模式評估時效率值為 1 的 DMU 其最佳權重並非唯一解，並不 適合於 4.3 節探討多餘權重限制意義與影響，而以高效模式求算出來的最佳權重為 唯一解則可以避免解釋最佳權重時的偏誤。因此，在此發展 super DEA-R，並應用 於 4.2 節輔助說明發展投入導向 DEA-R 的並要性、以及 4.3 節了解多餘的權重限制

因為基礎 CCR 或 DEA-R 並無法區分高效決策單位領先的程度，因此本研究進 一步以高超效的概念發展 super DEA-R，採用超高效除了可以了解高效決策單位領 先的幅度外，以一般模式評估時效率值為 1 的 DMU 其最佳權重並非唯一解，並不 適合於 4.3 節探討多餘權重限制意義與影響，而以高效模式求算出來的最佳權重為 唯一解則可以避免解釋最佳權重時的偏誤。因此，在此發展 super DEA-R，並應用 於 4.2 節輔助說明發展投入導向 DEA-R 的並要性、以及 4.3 節了解多餘的權重限制

在文檔中 DEA-R模式之發展、驗證與比較 (頁 23-0)