一、整數減法文字題類型
在九年一貫課程綱要（教育部，2008）中提到：小學應用問題的教學，
是利用兒童的生活經驗、直觀和（在培養中）抽象思考方法揉合在一起的活 動。這是兒童在國中學習抽象的代數和其他學科時，絕佳的前置經驗。
Carpenter（1981）則認為兒童學習簡單的加、減法文字題時期，正是學習數
學關鍵期，日後發生之學習困難，往往可追溯到此一時期的學習。應用問題（也就是文字題）的重要性可見一斑。
Cummins（1991）認為文字題是以日常的生活事件為材料，用語文型態
來描述數學情境。如：花園裡有 14 隻蝴蝶，飛走了 3 隻後，花園裡還有幾 隻蝴蝶？若要解決文字題，解題者先要能閱讀理解題意，接著統整所有資訊 後形成完整的問題表徵，再依據問題表徵形成解決問題的計畫（寫出算式）， 最後執行解題計畫中的計算（Mayer, 1987）。因此，除了基本的計算能力之 外 ，學 童 還 要具 備 語 文理 解 能 力和 問 題 解決 能 力 （Kintsch ＆ Greeno,1985）
。解題者必須能將文字題轉化成自己所能理解的方式，再轉化成數學表徵，
列出算式，這也是學童最感到困難的部分。很多學童解題之所以失敗，都是 因為無法將文字題正確轉化成算式。而雖然問題的語言結構是決定使用何種 解題策略的最主要因素，但是問題的敘述方式卻能夠影響孩童是否能夠解出 問題（呂玉琴譯，1988）。相同類型的題目，運用不同的敘述方式，對兒童 的解題成效差異很大，也就是說，在某些情況下，困難的是問題的敘述方式，
而不是問題的語文結構。
加減法文字題，並非單純的以算式為加法或是減法來分類。因不同學者 間看法的差異，對文字題的分類亦有所差別，常見的分類標準有四：步驟、
運算、情境、語意結構（林碧珍，1991），其中，以「語意結構」為分類標
準最為常見。
茲將各研究者對整數減法文字題題型的分類，整理對照如下。由表 2-1 知，雖然各種減法類型的名稱不同，但對問題情境的陳述方式大同小異，不 過只有 Fuson 的分類中提及等化類型的減法文字題，本研究亦採用 Fuson 的 分類方法。Fuson（1992）以真實世界的加減法情境為分析焦點，將文字題 分為改變、合併、比較和等化四類，再依照數量運作的方向（增加、減少、
較多、較少）和未知數在文字題中的位置，將題目進一步細分。
改變類問題含有行為，是動態問題情境。若給予起始量和一個直接或間 接的行為，讓起始量增加，則為「添加型」問題；反之，從一個給定的集合 中取走一部分，則為「拿走型」問題。
合併類問題則是探討一個集合（全體量）和它的兩個互為補集的子集合
（部分量）之間的關係。
比較類問題在探討兩個互斥集合（參考集合和比較集合）間的大小或多 少之關係。
等化類問題為比較類和改變類的混合。和改變類問題一樣含有行為，但 卻是在比較兩個互斥集合的大小。和比較類問題一樣，有兩個互斥集合被比 較，然後提出問題：該如何做才能使這兩個集合的元素個數相等？它也和改 變類問題相似，可分為「添加等化型」和「拿走等化型」問題（呂玉琴譯，
1988）
。對於許多題目類型，學童的運思以及算式表徵形式可能為加，亦可能為 減，完全取決於他們對文字題題意的理解。以下題為例：水族館原來有一些 金魚，又買進了 35 條，現在水族館有 49 條金魚，請問水族館原來有幾條金 魚？若學童的算式表徵形式為：（ ）＋35＝49，則可視為加法題型；但若 是學童的算式表徵形式為：49－35＝（ ），則可視為減法題型。
表 2-1 整數減法文字題題型對照表
Fuson(1992)
Riley 等(1983)Pauwels(古明峰，1999) 李光榮(2001)
情境／未知數／類型 類型／未知數 基模類型／方向／未
知數
類型／方向／未知數
改變／起始量／添加 改變／增加／起始量 合成／添加／被加數
改變／起始量／拿走 差數改變／被減數 改變／減少／起始量 分解／追減／被減數
改變／改變量／添加 和數改變／加數 改變／增加／改變量 合成／添加／加數
改變／改變量／拿走 差數改變／減數 改變／減少／改變量 分解／追減／減數
改變／結果量／拿走 差數改變／差數 改變／減少／結果量 分解／追減／差數
合併／部分量 兩數合／加數 結合／子集合 合成／併加／加數
合成／併加／被加數
比較／參考量／較多 比多／大數 比較／較多／參照量 比較／比多／基準量
比較／參考量／較少 比少／大數 比較／較少／參照量 比較／比少／基準量
比較／比較量／較多 比多／小數 比較／比多／被比較量
比較／比較量／較少 比少／小數 比較／較少／比較量 比較／比少／被比較量
比較／差異量／較多 比多／差數 比較／較多／差異量 比較／比多／差異量
比較／差異量／較少 比少／差數 比較／較少／差異量 比較／比少／差異量
等化／參考量／拿走
等化／比較量／拿走
等化／差異量／添加
等化／差異量／拿走
16 種 11 種 11 種 13 種
二、Riley, Greeno ＆ Heller 的研究
Riley, Greeno ＆ Heller（1983） 的研究針對幼稚園及一到三年級學生，
以了解學童對這幾種減法文字題解題正確性。首先將整數減法題型分為兩數 合、合數改變、差數改變、比多及比少五大類，再依未知數的位置不同，分 為十一種減法文字題的類型。
在此研究中，除了差數改變／差數未知（100％）和差數改變／減數未
知（78％）兩種題型的解題正確率很高，其餘題型的解題正確率普遍偏低，尤其是比多（差數未知 28％、大數未知 17％、小數未知 11％）和比少（差 數未知 22％、大數未知 6％、小數未知 28％）兩類型的題目，可能與研究 納入幼稚園及一年級學童有關，此階段學童對語文的掌握尚未發展成熟，數 概念的發展也還在啟蒙階段。不過，隨著而同年紀漸長，對每種題型的解題 正確率也隨之提高。
三、Pauwels 的研究
表 2-2 Pauwels 的整數加減法類型及正確率
基模 方向 未知數 解題正確率％
改變
增加 結果量集合
97
減少 結果量集合
88
增加 改變量集合
43
減少 改變量集合
78
增加 起始量集合
67
減少 起始量集合
83
結合 共有量集合
98
子集合
62
比較
較多 差異量集合
79
較少 差異量集合
78
較多 比較量集合
47
較少 比較量集合
44
較多 參照量集合
46
較少 參照量集合
38
Pauwels（呂玉琴譯，1988）針對二年級學童做整數減法的研究，先將
加或減少，較多或較少），將題目類型細分為十四類，其中十一種為減法相 關題型。學童對比較類／參考量未知（較多 46％、較少 38％）和比較類／
比較量較少（44％）的題型以及改變類／改變量增加（43％）的題型較感困 難，而不論是改變或比較類型，結果量或差異量未知的題型是學童較容易掌 握的。
四、古明峰的研究
古明峰（1999）的研究主要在探討整數加減法文字題語意結構、問題難
度和解題間的關聯性，只針對改變和比較兩大類型的題目，並未納入減法的 所有題型。在改變類題型中，一般陳述和具體明確陳述題目的解題正確率相差並不
大，但當題目中給予多餘訊息時，解題正確率則略為下降，可見部分學童仍 會被多餘訊息所混淆，影響解題。也代表著學童在此階段的概念尚未非常穩 固。而在比較類的題型中，不一致的語言陳述則是學童較無法掌握的。如「砂 糖每公斤 27 元，砂糖每公斤售價比白糖少 3 元，請問白糖每公斤售價多少 元？」與「砂糖每公斤 27 元，白糖每公斤售價比砂糖多 3 元，請問白糖每 公斤售價多少元？」前者為不一致語言陳述文字題，後者為一致語言陳述文 字題。不一致語言陳述關係句子與兒童習慣用法不一致，兒童須在短時間內 將其轉換成語言一致的文字題，在轉譯過程中，可能發生錯誤，故不一致語 言問題對兒童較為困難。問題的語意陳述方式如果與解題者經驗有關，將有助於從經驗中觸接，
有助於兒童解題。如將題目「小華和小明共有 9 顆糖果，小華有 3 顆，問小 明有多少顆糖果？」改寫為「小華和小明共有 9 顆糖果，其中小華有 3 顆糖 果，其餘為小明所有，問小明有多少顆糖果？」後者的題目陳述較清楚，兒 童較少發生錯誤、困難度較低。這種將題目改寫、使語意關係更明確的策略，
對低成就或初學者的的幫助尤其顯著。
表 2 -3 古明峰的整數減法類型及正確率
題目類型
解題正確率％
未知數 語意結構 語意陳述
改變 起始量 可數具體述詞 一般陳述
78
具體明確陳述
79
多餘訊息陳述63
不可數具體述詞 一般陳述85
具體明確陳述86
多餘訊息陳述72
抽象述詞 一般陳述
79
具體明確陳述
80
多餘訊息陳述75
改變量 可數具體述詞 一般陳述
80
具體明確陳述
64
多餘訊息陳述64
不可數具體述詞 一般陳述64
具體明確陳述67
多餘訊息陳述40
抽象述詞 一般陳述
75
具體明確陳述
68
多餘訊息陳述52
比較 大數 具體述詞 一致語言陳述
78
不一致語言陳述
48
間接語言陳述86
部分具體述詞 一致語言陳述83
不一致語言陳述47
間接語言陳述77
抽象述詞 一致語言陳述
79
不一致語言陳述
43
間接語言陳述84
小數 具體述詞 一致語言陳述
90
不一致語言陳述
68
間接語言陳述93
部分具體述詞 一致語言陳述91
不一致語言陳述53
間接語言陳述87
不一致語言陳述
71
間接語言陳述72
五、謝慧齡的研究
謝慧齡（2004）的研究主要針對一年級共 653 位學童，並未將所有整數
減法題型納入研究中，而只是選取教材中較常出現的十種減法題型加以討 論。表 2-4 謝慧齡的整數減法類型及正確率
題目類型 解題正確率％ 數字
拿走
83.15
十以內80.70
二十以內無退位比較
73.51
二十以內無退位80.86
十以內追加
84.38
十以內73.35
二十以內有退位減數未知
88.67
十以內76.72
二十以內有退位合併
70.75
二十以內無退位71.52
二十以內有退位被減數未知
69.98
十以內61.10
十以內比多 大數未知
54.52
十以內47.47
二十以內無退位比多 小數未知
48.39
十以內53.60
十以內比少 小數未知
72.59
十以內66.31
二十以內無退位比少 大數未知
27.87
十以內20.83
二十以內有退位
在本研究中，顯示比較類型的題目對學童而言是相對困難的題型，比
多型又較比少型容易，研究者認為這是因為比多型的題目陳述較符合日常生 活用語，學童較容易理解。而比少型／大數未知是最困難的題型，亦符合古 明峰（1999）的研究，當語言陳述不一致時，學童對文字題題意理解與轉譯
成解題算式感到困難，也因此正確率最低。