本研究依據Fuson的整數加減法文字題分類標準，發展研究工具，形成
研究試題，並分析學童測驗結果，藉以觀察難以外顯的「關係性理解」狀況，進而瞭解學童目前的學習概念結構。為了更清楚呈現試題關聯結構圖所顯示 的訊息，研究者首先分別以各類型文字題為主的關聯結構圖來做探討。
一、 整數減法文字題改變題型之試題關聯結構圖分析
整數減法文字題中，主要可分為添加和拿走兩大類，再依據未知數位置
的不同，分為起始量未知、改變量未知和結果量未知，共六種類型，其中改 變-添加-結果量未知題型為加法，在本研究中先不予以探討。其概念分析及 概念結構圖如表4-5及圖4-1所示：由改變題型文字題的試題關聯結構圖（圖 4-1）分析，可獲得以下結論：
（1） 對三年級學童而言，改變—拿走—結果量未知（A6）與改變—添加—
改變量未知（A3-2）題型呈現等價關係，也和改變—減少—改變量未 知（A4-2）題型呈現等價關係，易言之，答對這三種題型的學童幾乎 是同一群人，三種題型所需具備的能力是相似的。
（2） 透過此圖分析，可將學童的概念結構分為三個層次，不論是添加題型 或是拿走題型，結果量未知（A6）都為最下位概念，對學童而言最為 簡單，再來是改變量未知的題型（A3-2、A4-1、A4-2），也就是圖中 較下面的圓框中之題型。而起始量未知題型（A1-1、A1-2、A2-1、A2-2）
為最上位概念，亦即圖中較上面的圓框中之題型，對學童而言最為困 難。
（3）
A3-1 在所有題目中最為困難，雖然本題亦屬於改變—添加—改變量未
知題型，但本題還牽涉到上下樓的概念，並不只是單純的拿走題型，
故錯誤率偏高。
表 4-5 整數減法文字題改變題型一覽表
A3-1 0.6
0.7 A1-2
A2-2
A2-1 A4-1 0.8
A1-1 A3-2
A4-2 A6 0.9
圖 4-1 改變題型之試題關聯結構圖
二、 整數減法文字題比較題型之試題關聯結構圖分析
比較題型可分為較多及較少兩種，再依未知數位置的不同細分為參考量
未知、比較量未知和差異量未知共六種題型。其概念分析及概念結構圖如表4-6 及圖 4-2 所示：
表 4-6 整數減法文字題比較題型一覽表
0.3 C2-1
0.4
C2-2
0.5 C1-2
0.6
C1-1
0.7
C5-1 C3-1 C4-2 C6-1 0.8 C3-2 C5-2
C4-1 C6-2 0.9
圖 4-2 比較題型之試題關聯結構圖
由比較題型文字題的試題關聯結構圖（圖 4-2）分析，可獲得以下結論：
（1）
在比較類題型中，比較-較少-比較量未知題型（C4-1、C4-2）和比較-較少-差異量未知題型（C6-1、C6-2）為最下位概念，且兩題型呈現等 價關係。
（2） 再來，比較-較多-比較量未知題型（C3-1）為比較-較少-差異量未知題 型（C6-1）的上位概念，比較-較多-差異量未知題型（C5-1）為比較- 較少-比較量未知題型（C4-2）的上位概念，由此可知，學童對比較-較少題型的理解，略為優於對比較-較多題型的理解，平時日常用語較 常使用「…比…少」，較少使用「…比…多」，或許是影響學童解題的 原因之一。
（3） 參考量未知題型（C1-1、C1-2、C2-1、C2-2）為最上位概念，而比較
-較少題型（C2）又比比較-較多題型（C1）更為困難，學童對這兩種
題型較為陌生。在結構圖中，比較-較少題型（C2）並未呈現出與其 他題型的相關性，顯示三年級學童在此種題型的學習上，單獨存在。而此類題型的語意陳述方式，與日常生活慣用的陳述方式較不相同，
對學童而言較難以理解，在轉譯成數學符號時，容易發生錯誤。
三、 整數減法文字題等化題型之試題關聯結構圖分析
等化題型是改變題型和比較題型的混合，和改變類問題一樣都含有行為
亦可分為添加及拿走兩種，並依未知數位置的不同再加以細分，與比較題型 相似，是在比較兩個互斥集合的大小，可區分為參考量、比較量及差異量未 知，共六種題型。其中等化-添加-參考量未知、等化-添加-比較量未知兩種 為加法題型，在本研究中並未列入討論。其概念分析及概念結構圖如表 4-7 及圖 4-3 所示：表 4-7 整數減法文字題等化題型一覽表
型（D5-2），對學童而言，這兩種題型的上下位概念並不十分明確。
而等化-拿走-比較量未知題型（D4-1、D4-2）為最上位概念。學童要 先學會差異量未知題型和參考量未知題型，具備這兩種能力後，才能 學會比較量未知題型的概念。
（3） D4-1 和 D4-2 同為比較量未知題型，但通過率卻差異頗大，金錢對學 童而言是日常生活中較熟悉的題材，較容易理解與解題。
D4-1
0.6
0.7 D4-2 D5-2
D2-1 D2-2 0.8 D6-1
D5-1 D6-2
0.9
圖 4-3 等化題型之試題關聯結構圖
四、 整數減法文字題改變題型與等化題型的試題關聯結構圖
等化題型結合了改變與比較兩種題型，因此研究者希望透過試題關 聯結構圖分析，瞭解四種等化減法題型與五種改變減法題型之間的上下
D4-1
A3-1
0.6
0.7
A1-2 D4-2
A2-2 D5-2
A4-1 D2-1 D2-2 A2-1 0.8 D6-1
A1-1 D5-1 D6-2 A3-2
A6 A4-2 0.9
圖 4-4 改變與等化題型之試題關聯結構圖
首先，分析等化題型與改變題型的試題關聯結構圖，由圖 4-4 可以得到
下列結果：（1） 在改變與等化的減法文字題型中，首先可看到由改變-拿走-結果量未 知題型（A6）指向改變-添加-改變量未知題型（A3-2），再指向
等化-拿走-差異量未知題型（D6-1），最後指向改變-添加-起始量未知題型
（A1-2）。
（2） 其次，由改變-拿走-結果量未知題型（A6）、改變-添加-改變量未知題 型（A3-2）和改變-拿走-差異量未知題型（A4-2）指向等化-添加-差 異量未知題型（D5-1），再指向等化-拿走-參考量未知題型（D2-1、D2-2），
以及等化-添加-差異量未知題型（D5-2），最後指向等化-拿走-比較量未 知題型（D4-2）。
（3） 由上述兩點可以發現，對三年級學童而言，在改變題型與等化題型間的試 題關聯結構約可分為四個層次，最下位的概念是改變-結果量未知題型，接 著是改變（添加、減少）改變量未知題型，然後是等化-添加-差異量未知題 型和等化-拿走-參考量未知題型，最上位概念為等化-拿走-比較量未知題型。
另一方面，等化-拿走-差異量未知題型也是改變-添加-改變量未知題型的上 位概念。
五、 整數減法文字題等化題型與比較題型的試題關聯結構圖分析
接著，觀察等化題型與比較題型的試題關聯結構圖（圖 4-5）。從圖中可 以發現下列結果：
（1） 在比較與等化兩類題型中，以等化-添加-差異量未知題型（D5-1）為 最下位概念，是學童所需具備的能力中最基本的能力。其上位概念有 三，分別為比較-較少-差異量未知題型（C6-1）、比較-較少-比較量未 知題型（C4-2）和等化-拿走-參考量未知題型（D2-1），且這三種題型 呈現等價關係，代表所需具備的能力相當。接續這三種題型的上位概 念則為比較-較多-參考量未知題型（C1-1、C1-2）。
（2） 另外，在圖中亦可發現，比較-較多-比較量未知題型（C3-1）也是等
C2-1
0.4
C2-2
0.5
D4-1
C1-2
0.6
C1-1
0.7
C3-1 D4-2
C5-1 D5-2
C6-1 D2-1 C4-2 D2-2 D6-1
0.8 C3-2 C5-2
C4-1
C6-2 D5-1
D6-2
0.9 圖 4-5 比較與等化題型之試題關聯結構圖
（3） 值得注意的是，比較-較少-參考量未知題型（C2-1）雖然和其他比較 類題型無上下位關聯，但在此圖中，顯示出此題型為等化-拿走-差異
量未知題型（D6-2）和等化-拿走-參考量未知題型（D2-2）的上位概 念。
六、 整數減法文字題改變與比較題型的試題關聯結構圖分析
C2-1 C2-2
C1-2
0.6
C1-1
0.7 A1-2 C3-1
A2-2
C5-1
A2-1 C4-2 C6-1 A4-1 0.8 C3-2 C5-2 C4-1 A1-1 C6-2 A3-2
A4-2 A6 0.9
圖 4-6 改變與比較題型之試題關聯結構圖
為了更了解各個文字題類型彼此間的關聯，接著觀察改變與比較題型的
試題關聯結構圖，由圖4-6 觀察，可以得到下列結果：
（1） 在改變與比較題型中，改變題型較簡單為下位概念，比較題型較困難 為上位概念。
（2） 對三年級學童而言，改變-拿走-結果量未知題型（A6）為最下位概念，
接著是改變-拿走-改變量未知題型（A4-2），接著指向比較-較少-差異 量未知題型（C6-1）和比較-較少-比較量未知題型（C4-2）。最上位概 念則有比較-較多-參考量未知題型（C1-2）和改變-添加-起始量未知題 型（A1-2）。
（3） 此外，改變-添加-起始量未知題型（A1-2）還有另一個下位概念為比 較-較多-差異量未知題型（C5-1）。改變-拿走-起始量未知題型（A2-2）
則為比較-較少-比較量未知題型（C4-2）的上位概念之一。
（4） 比較-較少-參考量未知題型（C2-2）在所有題型中最為困難，和其他 題型間亦無明顯的上下位關聯。
七、 整數減法文字題合併題型與改變、比較、等化題型的試題關聯結 構圖分析
最後，著手分析合併題型與另外三種文字題型的試題關聯結構圖，以 便建立完整的整數減法文字題的上下位結構圖。合併題型有全體量未知和部 份量未知兩種類型，只有部份量未知題型為減法題型，全體量未知題型並未 納入探討範圍。由圖 4-7、圖 4-8、圖 4-9 觀察，只有改變-拿走-結果量未知 題型（A6）為其下位概念，其餘題型均為其上位概念。
表 4-8 整數減法文字題合併題型一覽表
題型 題目 試題
代號 算式 答對率 合
併 部 份 量 未 知
爸爸在魚缸裡養了鬥魚和大肚魚總共
39 條，有 1 8 條是大肚魚，其他都是鬥
魚，請問鬥魚有幾條？B2-1
A＋（）＝C
（）＋B＝C
0.86
妹妹在湖邊餵天鵝，全部餵了 35 隻，
有一些黑天鵝和 21 隻白天鵝，請問妹 妹餵了幾隻黑天鵝？
B2-2 0.85
A3-1 0.7 A1-2
A2-2
A2-1 A4-1 0.8
A1-1 A3-2 B2-1 B2-2
A4-2 A6 0.9
圖 4-7 改變與合併題型之試題關聯結構圖
0.3
C2-1
0.4
C2-2
0.5
C1-2
0.6
C1-1
0.7
C5-1 C3-1 C4-2 C6-1 0.8 C3-2 C5-2 C4-1
C6-2 B2-1 B2-2
0.9
圖 4-8 比較與合併題型之試題關聯結構圖
D4-1
0.7 D4-2 D5-2
D2-1 D2-2 0.8 D6-1
D5-1 D6-2 B2-1 B2-2 0.9
圖 4-9 等化與合併題型之試題關聯結構圖
八、 整數減法文字題四種題型之試題關聯分析
分析完各種整數減法文字題型彼此間的關聯結構及上下位關係，我們可
以得到所有題型完整的關聯結構，如圖 4-13 所顯示：（1） 在所有題型中，改變-拿走-結果量未知題型（A6）為最下位概念，對 三年級學童而言，最為簡單也最為基本，亦是國小數學教學中，最早 出現的文字題題型。
（2） 接著，改變-拿走-結果量未知題型（A6）一方面和改變-拿走-改變量 未知題型（A4）呈現等價關係，都是合併-部分量未知題型（B2）的 下位概念。另一方面指向改變-添加-改變量未知題型（A3），兩題型亦 呈現等價關係，最後這四種題型共同指向等化-添加-差異量未知題型
（D5）。由圖中亦可發現，等化-添加-差異量未知題型（D5）是唯一 銜接這四種下位概念和尚未提及的上位概念間之「唯一」概念，是學 習上位概念的一個重要關鍵。由此可知，等化題型帶入教學課程中，
圖 4-10 整數減法文字題上下位概念圖
（C1），是一連串題型中的最上位概念，相對難度較高。
（4） 此外，比較-較少-差異量未知題型（C6）指向比較-較多-比較量未知 題型（C3），再指向等化-拿走-比較量未知題型（D4）。而等化-拿走-參考量未知題型（D2）亦是等化-拿走-比較量未知題型（D4）的下位 概念之一。
（5） 另一方面，從比較-較少-比較量未知題型（C4）往上，指向比較-較多
-差異量未知題型（C5）
，再指向改變-添加-起始量未知題型（A1）。而 比較-較少-差異量未知題型（C6）亦是改變-添加-起始量未知題型（A1）的下位概念之一。
最後，改變-添加-改變量未知題型（A3）還指向等化-拿走-差異量未知
題型（D6），再指向比較-較少-參考量未知題型（C2），此為最上位概念，亦 是所有題型中相對難度最高的。另外，也指向比較-較少-比較量未知題型（C4），再與其他上位題型連接
第五章 第五章 第五章
第五章 結論與建議 結論與建議 結論與建議 結論與建議
本研究以試題關聯結構分析法為理論基礎，國小三年級學童為研究對象，
採紙筆測驗的方式，探討整數減法文字題概念的知識結構，進而更能清楚釐
採紙筆測驗的方式，探討整數減法文字題概念的知識結構，進而更能清楚釐