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試題關聯結構分析應用於瞭解學童解整數減法文字題之研究-以國小三年級學童為例

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Academic year: 2021

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全文

(1)

國 立

國 立

國 立

國 立 臺

臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系

中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系

中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系

中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系

國 小 教 師

國 小 教 師

國 小 教 師

國 小 教 師 在 職 進 修

在 職 進 修

在 職 進 修 教 學

在 職 進 修

教 學

教 學 碩 士 班 碩 士 論 文

教 學

碩 士 班 碩 士 論 文

碩 士 班 碩 士 論 文

碩 士 班 碩 士 論 文

指 導 教 授 : 許 天 維 博 士

試題關聯結構分析應用於瞭解學童解整

數減法文字題之研究-以國小三年級學

童為例

研 究 生 : 黃 惠 敏 撰

中 華 民 國 九 十 九 年 六 月

(2)

試題關聯結構分析應用於

試題關聯結構分析應用於

試題關聯結構分析應用於

試題關聯結構分析應用於瞭解學童解整

瞭解學童解整

瞭解學童解整數減法文字題之研

瞭解學童解整

數減法文字題之研

數減法文字題之研

數減法文字題之研

究—以國小

以國小

以國小三

以國小

三年級學童為例

年級學童為例

年級學童為例

年級學童為例

本研究之目的在由研究者編製整數減法文字題試題,並藉由試題關聯結 構分析法(IRS)對施測結果加以分析形成結構圖,以探討國小三年級學童 解整數減法文字題之概念結構。 本研究以台中縣四班國小三年級學童為研究對象,施測後,以 IRSP 電 腦程式及試題關聯結構分析法,進行測驗結果的分析與探討,期能透過學童 在試題關聯結構圖所呈現的訊息,了解學童概念發展。依據結構圖所呈現的 結果,獲得以下結論: 一、 在改變題型中,結果量未知是最下位概念,改變量未知居中,起始量 未知是最上位概念。 二、 在比較題型中,較少-比較量未知和較少-差異量未知為最下位概念, 再來是較多-差異量未知和較多-比較量未知,較多-參考量未知最上 位概念。較少-參考量未知最困難,和其他比較題型沒有上下位關聯。 三、 在等化題型中,添加-差異量未知為最下位概念,其次是拿走-參考量 未知,拿走-比較量未知為最上位概念。拿走-差異量未知屬於相對簡 單題型,和其他等化題型無上下位關聯。 四、 對合併題型而言,只有改變題型的結果量未知和改變量未知是其下位 概念,其餘都是上位概念。 關鍵詞:試題關聯結構分析法、減法文字題、上位概念、下位概念

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A Study of Applying Item Relational Structure Analysis to

Understand Students’ Abilities about Subtraction Word

Arithmetic Problems

Abstract

The purpose of this study was to explore third graders’ knowledge of

solving subtraction word arithmetic problems. The researcher developed a test about subtraction word arithmetic problems and used item relational structure analysis(IRS)to obtain the results as well as the structural graph.

Four classes of third graders in Taichung County were selected to participate in this study. After the test, the researcher used IRSP and IRS to analyze the data. The discussions in this study focused on the information about students that presented in the item relational structure graph. According to the structural graph, the outcomes of this study were as follows:

1. For Chang type, result unknown was the lowest concept. Change amount

unknown was the next and starting amount unknown was the uppest concept.

2. For Compare type, compare amount unknown and difference amount

unknown were the lower concepts and referent amount unknown was the uppest concept.

3. For Equalize type, difference amount unknown was the lowest concept.

Referent amount unknown was the next and compare amount unknown was the uppest concept.

4. For combine type, there were only two lower concepts. They were result

unknown and change amount unknown of change type.

Keywords: Item relational structure analysis, Subtraction word arithmetic Problem, upper concept, lower concept

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謝 辭

時光飛逝,轉眼間,三年的研究所求學生涯已接近尾聲,隨著論文完成 而結束。邊教學、邊學習的時光,有歡笑也有痛苦,但能將所學用於教學中, 與學童互相學習成長,亦是一大樂事! 首先要感謝指導教授許天維博士,在許教授親切、不厭其煩的指導下, 提供建議及研究方向,讓我能順利完成論文。以及感謝胡豐榮教授和陳進春 校長在論文口試時,細心聆聽並提供指導,並給予寶貴的意見,讓本論文之 架構及內容能更加完善。 其次要感謝台中教育大學的教授們,能體諒我們白天上班的辛苦,適時 為大家加油打氣;教學遇到困難時,能竭盡所能指點迷津,讓我的求學過程 收穫豐富。還要感謝同班的同學,在我遭遇困難時能提供協助、解答疑惑; 怠惰時能督促砥礪、奮發向上,讓我順利完成學業。 要感謝的人太多,一切盡在不言中。謹以本篇謝辭,感謝所有幫助及鼓 勵過我的人,謝謝你們! 黃惠敏 謹致 中華民國九十九年四月

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第一章

第一章

第一章

第一章 緒論

緒論

緒論

緒論

第一節 研究動機---1 第二節 研究目的與待答問題---3 第三節 名詞釋義---4 第四節 研究範圍與限制---6

第二章

第二章

第二章

第二章 文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

第一節 數概念探討---7 第二節 整數減法文字題類型與相關研究---11 第三節 試題關聯結構分析法---20

第三章

第三章

第三章

第三章 研究方法

研究方法

研究方法

研究方法

第一節 研究架構---29 第二節 研究對象---30 第三節 研究工具---30 第四節 研究流程---47 第五節 資料處理---48

第四章

第四章

第四章

第四章 研究結果

研究結果

研究結果

研究結果

第一節 試題性質分析---49 第二節 試題關聯順序性係數之分析---51 第三節 試題關聯結構圖之分析與討論---55

第五章

第五章

第五章

第五章 結論與建議

結論與建議

結論與建議

結論與建議

第一節 研究結論---73 第二節 研究建議---77

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參考文獻

參考文獻

參考文獻

參考文獻

一、 中文部份---79 二、 西文部份---81

附錄

附錄

附錄

附錄

附錄一 國小三年級學童整數減法文字題測驗專家效度調查問卷 ---83 附錄二 國小三年級學童整數文字題測驗試卷---88

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表 目

目 次

表 1-1 Fuson 的整數加減法文字題類型---4 表 2-2 整數減法文字題題型對照表---13 表 2-2 Pauwels 的整數加減法類型及正確率---14 表 2-3 古明峰的整數減法類型及正確率---16 表 2-4 謝慧齡的整數減法類型及正確率---17 表 2-5 黃湘婷的整數加減法類型及正確率---18 表 3-1 第一次預試整數減法題型與試題對照表---32 表 3-2 第一次預試預試人數一覽表---36 表 3-1 第一次預試試題分析表---36 表 3-4 第二次預試整數減法題型與試題對照表---38 表 3-5 第二次預試預試人數一覽表---42 表 3-6 第二次預試試題分析表---42 表 3-7 第一次與第二次預試試題分析比較表---44 表 4-1 正式施測人數一覽表---50 表 4-2 正式施測試題分析表---50 表 4-3 整數減法文字題關聯順序性係數表---52 表 4-4 整數減法文字題關聯順序性係數 0-1 表---54 表 4-5 整數減法文字題改變題型一覽表---56 表 4-6 整數減法文字題比較題型一覽表---58 表 4-7 整數減法文字題等化題型一覽表---61 表 4-8 整數減法文字題合併題型一覽表---68

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圖 目 次

圖 3-1 研究架構圖---29 圖 3-2 研究流程圖---47 圖 4-1 改變題型之試題關聯結構圖---57 圖 4-2 比較題型之試題關聯結構圖---59 圖 4-3 等化題型之試題關聯結構圖---62 圖 4-4 改變與等化題型之試題關聯結構圖---63 圖 4-5 比較與等化題型之試題關聯結構圖---65 圖 4-6 改變與比較題型之試題關聯結構圖---66 圖 4-7 改變與合併題型之試題關聯結構圖---68 圖 4-8 比較與合併題型之試題關聯結構圖---69 圖 4-9 等化與合併題型之試題關聯結構圖---70 圖 4-10 整數減法文字題上下位概念圖---71

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第一章

第一章

第一章

第一章

緒論

緒論

緒論

緒論

臺灣的學生,經常能在各項國際比賽名列前茅,處在我國的教育政策下, 學生對數理的學習興趣低落,喪失自信,卻能考高分,台灣師範大學數學系 教授林福來認為這種現象與臺灣「綿密的考試制度」有關(引自李宗祐,2008)。 若失去了學習興趣,學習是痛苦的,帶來的只有永無止盡的壓力。然而,教 學與評量卻又密不可分,如何在兩者之間取得平衡,學生不會因為過度考試 而討厭或放棄學習,教師也能藉由評量瞭解學生的知識結構、迷思概念等, 並能在課程實施後,進行教學改進與補救,是一項重大課題。因此,本研究 希望能藉由編製試題,並使用試題關聯結構分析法(Item relational structure

analysis,簡稱 IRS)來分析施測結果,藉以了解學生概念結構,並能針對不 足之處加以改善,以增進教師的教學成效。 本章將分為四節做較詳細之說明:第一節研究動機,第二節研究目的, 第三節名詞釋義,第四節研究範圍與限制。

第一節 研究動機

在國小的數學課程中,學童們最先接觸的數是整數,整數與我們的日常 生活息息相關,也是較容易理解與操弄的數概念。甚至在進入小學殿堂之前, 部分學童們已經學會了唱數、數數,然而進入正規的數學課程學習後,學童 對整數數概念的掌握並不如預期,尤其是在處理文字題的部分,而減法又較 加法更為困難。學生通常能輕易完成整數加減運算,卻不見得能正確解決文 字題。教師們便將一張張的考卷塞入學生手中,並期望如此一來能換回漂亮 的成績,殊不知在無意中,扼殺了學生的學習興趣。日前在報紙上讀到幾篇 文章,斗大的標題寫著:「臺灣國中小數理,超會考卻超不愛」、「考試怪獸, 吞噬學習興趣」(李宗祐,2008)著實令人震撼,而身為教育最前線的教師

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們,應當要負一大部分的責任。不管課程如何更迭,似乎總是跳脫不了「考 試」的迷思,總以為不斷的考試,學生就能進步。但真的是如此嗎?對於程 度不錯的學童而言,「精熟」學習確實能收到成效,但對其他學童來說,考 試並未讓他學得更多更好,只是增加他對數學的挫折感罷了。深入探討箇中 緣由,赫然發現,數學的學習不只有程序性的理解,還包含關係性的理解, 不但要能知其然,更要知其所以然。「數學」學科的主要成份是數學概念的 形成與發展(林淑君、陳竹村、陳俊瑜,2002),而不只是不斷的反覆練習。 Richard(陳澤民譯,1995)也提到學生學習數學若採用機械化反覆學習是不 會成功的,必須促使他們將自己的智力運用在學習上而得到增長才是成功的 教法。 應該怎麼做才能協助學生形成與發展相關的數學概念呢?數學學習的 問題就出在過於抽象和一般化(陳澤民譯,1995)。過於抽象的概念,令人 無法理解,而教師的職責便是將這些抽象概念具體的傳達給學生,形成有意 義的學習。 當教師在進行教學時,若非對課程有深入的了解,往往只能透過教科書 及教學指引來設計教學活動,從未曾反思在教學過程中,是否遺漏了些許概 念未曾傳達給學生?為何教材要這樣設計每一個教學單元?設計者所要傳 達的是什麼概念?省略其中某個步驟是否會對學童造成概念不清的影響? 此外,也未曾將生活中的相關經驗融入課程,對學童而言,數學就只是「數 學」罷了。劉好(1990)表示,了解一件事物必然有些預備性的先前概念, 如果學習者還沒準備好先前概念,那麼其學會的只是規則,而非理解。由此 可知,這些前置經驗是概念能否形成的重要因素,但即便是如此,也不代表 學生能夠按照教師所設定的路徑形成概念(黃金堆,2008)。概念雖然是客 觀的、不變的、約定俗成的;但概念的意義卻會因人、因時而異(韓景春, 1996)。相同的教學活動,相同的教學策略,常因不同的學生資質與領會而

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到學生究竟如何處理相關訊息,所形成的概念是否正確,以便在第一時間做 出回應,鞏固學童正確的認知與想法並修正錯誤認知。因此,如何明確掌握 學生的概念發展及知識結構,卻又不致因過度考試,影響學生學習數學的興 趣,是教學者必須仔細衡量的。 使用試題關聯結構分析法,可以了解學生的概念結構發展,再與相關概 念的學習結構相比較,就能清楚掌握學生學習狀況,對改善教學方法有莫大 的幫助(許天維,1995)。後續只要針對學生錯誤或不理解的概念再次教學 即可,學生也不會在一次次的挫敗考試經驗中,失去對學習的熱忱。相關概 念的學習結構因此顯得無比重要。本研究針對國小二年級學童的整數減法概 念做探討,盼能在學生學習整數之初,就建立正確的概念,讓日後的學習產 生事半功倍的成效。

第二節 研究目的與待答問題

綜合以上所述,本研究主要在探討國小三年級學童的整數減法文字題概 念結構,利用試題關聯結構分析法分析學童的整數減法文字題概念結構圖, 以作為教師教學之依據,具體目的如下: 運用試題關聯結構分析法,分析國小三年級學童的整數減法文字題關聯 結構及發展順序。 依據上述研究目的,本研究之待答問題如下: 一、 國小三年級學童整數減法文字題改變題型之概念結構發展為何? 二、 國小三年級學童整數減法文字題比較題型之概念結構發展為何? 三、 國小三年級學童整數減法文字題等化題型之概念結構發展為何? 四、 國小三年級學童整數減法文字題改變題型與等化題型之概念結構發 展為何? 五、 國小三年級學童整數減法文字題比較題型與等化題型之概念結構發

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展為何? 六、 國小三年級學童整數減法文字題改變題型與比較題型之概念結構發 展為何? 七、 國小三年級學童整數減法文字題合併題型與改變、比較、等化題型之 概念結構發展為何? 八、 國小三年級學童整數減法文字題四種題型之概念結構發展為何?

第三節 名詞釋義

本研究的目的在了解國小三年級學童的整數減法文字題概念結構發展 順序,為了能更清楚的了解本研究的內容,茲將相關的重要名詞定義如下: 一、 整數減法文字題 本研究依據 Fuson(1992) 加減法文字題的分類,依改變、合併、比較、 等化四種情境,再依據未知數位置和類型的不同,細分為二十種加減法文字 題類型,其中十六種為減法文字題類型。茲詳細列表舉例如下: 表 1-1 Fuson 的整數加減法文字題類型 題目類型 例題 情境 未知數 類型 改變 起始量 添加 甲有一些糖果,乙再給他 5 顆糖後,甲就有 8 顆糖 果,問甲原來有幾顆糖果? 拿走 甲有一些糖果,甲再給乙 5 顆糖後,現在甲有 8 顆糖果,問甲原來有幾顆糖果? 改變量 添加 甲原有 3 顆糖果,乙給甲一些糖果,甲現在有 8 顆糖果,問乙給甲幾顆糖果? 拿走 甲有 8 顆糖果,將其中一些給乙後,現在甲有 3 顆糖果,問甲給乙幾顆糖果? 結果量 添加 * 甲有 8 顆糖果,乙又給甲 5 顆糖果,現在甲有幾顆 糖果?

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果? 合併 全體量 * 甲有 3 顆糖果,乙有 5 顆糖果,問甲和乙共有幾顆 糖果? 部分量 甲和乙共有 8 顆糖果,甲有 3 顆,問乙有幾顆糖果? 比較 參考量 較多 甲有 8 顆糖果,甲比乙多 5 顆糖果,問乙有幾顆糖 果? 較少 甲有 8 顆糖果,甲比乙少 5 顆糖果,問乙有幾顆糖 果? 比較量 較多 甲有 8 顆糖果,乙比甲多 5 顆糖果,問乙有幾顆糖 果? 較少 甲有 8 顆糖果,乙比甲少 5 顆糖果,問乙有幾顆糖 果? 差異量 較多 甲有 8 顆糖果,乙有 5 顆糖果,甲比乙多幾顆糖果? 較少 甲有 8 顆糖果,乙有 5 顆糖果,乙比甲少幾顆糖果? 等化 參考量 添加 * 甲有 8 顆糖果,他再買 5 顆糖後,就會和乙有一樣 多的糖果,問乙有幾顆糖果? 拿走 甲有 8 顆糖果,他再吃掉 5 顆糖後,就會和乙有一 樣多的糖果,問乙有幾顆糖果? 比較量 添加 * 甲有 8 顆糖果,乙再買 5 顆糖後,就會和甲有一樣 多的糖果,問乙原有幾顆糖果? 拿走 甲有 8 顆糖果,乙再吃掉 5 顆糖後,就會和甲有一 樣多的糖果,問乙原有幾顆糖果? 差異量 添加 甲有 8 顆糖果,乙有 5 顆糖果,乙還要再買幾顆糖 後,才會和甲有一樣多的糖果? 拿走 甲有 8 顆糖果,乙有 5 顆糖果,甲還要再吃掉幾顆 糖後,才會和乙有一樣多的糖果? *表示此為整數加法題型 本研究只針對整數減法文字題編製測驗並加以研究探討,並未將加 法題型納入研究範圍。 二、 試題關聯結構分析 試題關聯結構分析是由日本竹谷 誠所提出,先依照不同的概念編製試 題後施測,並依據施測結果統計學生在各個試題的答對率,答對率較高者為

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下位概念,答對率較低者為上位概念,再按照試題間彼此反應所得的順序性 關係,製作有指向性的圖形結構,並依此結構圖分析試題的特性。

第四節 研究範圍與限制

本研究以國民小學三年級學生為研究對象,藉由試題關聯結構分析法, 探討學童整數減法文字題概念的知識結構。其研究範圍與限制如下: 一、 研究內容 本研究之測驗工具的主要內容為國民小學一至三年級數學的「整數減法」 教材。 二、 研究對象與方法 本研究主要目的在透過試題關聯結構分析法之分析,探討國小三年級學 童整數減法文字題的試題關聯,受限於研究時間、人力與經費等客觀因素, 係以台中縣某國小三年級四個班級的學生為研究對象,易言之,本研究方法 僅能視為一種「驗證測試」,推論結果只能用於相同情境,不能過度解釋(over generalized)。

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第二章 文獻探討

本章主要根據本研究中相關理論進行探討,各節內容分別為:第一節數 概念探討,第二節整數減法文字題類型與相關研究,第三節試題關聯結構分 析法。

第一節 數概念探討

一、數概念的形成 古今中外,曾有許多學者為數或數概念下過定義。例如吳新華(1992) 認為數概念是指操作數詞、數字以及記數對象間相互關係的心智能力……, 但這樣的文字表達非常抽象,我們無法透過這些定義一窺數概念的全貌。 Richard R. Skemp (陳澤民譯,1995)則認為直接去定義什麼叫「概念」 並不是讓人對他有正確概念的好方法。他認為要形成概念必須先有實際經驗, 而這些實際經驗必須有某些相似性、共通性,再逐步形成腦海中的想法。易 言之,可以透過提供大量具體實物的方式,如 5 隻蝴蝶、5 條魚、5 朵花、5 頭牛……(實際經驗),讓學童抽取出其中相同的部分「5」,進而形成「5」 的概念。然而這些概念是腦子裡的活動、內化的思想,有時很難判斷學生是 不是真的抓住正確概念了。我們往往擁有許多概念,但卻不見得能說出這些 概念的定義(饒見維,1994),此時,可藉由設計新活動或提出新問題,讓 學童將概念外顯為具體行為來加以觀察。 二、數概念的發展 (一)皮亞傑的研究 皮亞傑透過對兒童的觀察,建立關於兒童的數(離散量)概念發展,其 主要的論點有二:(1)數與其他數概念之真正理解是源於兒童的心智發展, 這些概念的發展是獨立自發、無人教導的(Piaget, 1953)。(2)數的保留概 念是數學理解的先決條件,兒童到了六歲半左右就會自然發展出這樣的能力 (Piaget, 1952)。雖然兒童在此階段前可能已經會唱數、數數、或做簡單的

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加減運算,但若不具有數的保留概念,都不能算是對數有真正的了解。 皮亞傑發現幼兒對數的了解可分為三個發展階段: (1) 第一階段(四-五歲):此時兒童對數概念無法理解,無法運用一對 一對應的關係去建構兩組具有相同數目的實物。 (2) 第二階段(五-六歲):屬於過渡時期,雖能運用一對一對應的關係 去建構兩組具有相同數目的實物,但對此關係仍一知半解。 (3) 第三階段(六歲半以後):此時是對數概念能真正理解的階段,已能 用各種方法建構同等性,也就是具有數的保留概念,不論外觀如何變 化,均不影響幼兒對同等性之判斷。 數與量的學習是國小低年級數學的核心課程,此時學童正是處於對數理 解的第三階段,易言之,此時學童應該已經具有數的保留概念。 (二)甯自強的研究 甯自強(1992)提到大多數的學者都同意「數概念」是聯結數物、說聽 數詞、讀寫數字及數辭的「核心」。我們透過「看」別人「數」物、「聽」別 人「說」數詞、「讀」別人「寫」的數字或數辭來「知道」別人的正整數概 念。若要觀察兒童是否已經具備正整數概念,則要以其所使用「正整數」的 方法是什麼來做判斷。學童能否按照標準數詞序列一一點數具體物或半具體 物?或者學童已經能從某一個正整數開始往上點數?這些行為都代表著學 童處於不同的數概念階段。 由於學童具體經驗、個別成長發展等因素的不同,發展出不同的數概念 品質,甯自強(1994)將其分為四個層次,以「53」為例: (1) 數的前置概念:此時「53」代表由 1 開始對應標準數詞序列到具體 事物的最後一項。即「53」可代表第 53 朵花、第 53 個小朋友。 (2) 起始數概念:這個時期「53」代表 53 個「1」所合成的新集聚單位。 「53」代表了全部共有 53 朵花、53 個小朋友。此時學童能按照標準

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(3) 內嵌數概念:「53」代表一個集聚單位,例如 48 朵花,再往上累積 5 個「1」朵花而形成的 53 朵花,「53」變成另一種新的集聚單位,也 由於「53」可內嵌其他數(如「48」和「5」),因而稱為內嵌數概念。 處於此一階段的學童已能從某一正整數開始,往上一一點數。 (4) 巢狀數概念:「53」代表由 5 個「10」和 3 個「1」所合成的新集聚 單位。此時「53」代表每 10 朵花綁成一束的花有 5 束,和另外 3 朵 一個一數的花,合起來共是 53 朵花。此時學童已具有「十」、「一」 的位值概念。 這四種數概念層次有不可跳躍的順序性,必須先有「前置概念」才會有 「起始數概念」,再進入「內嵌數概念」,最後才是「巢狀數概念」。 而處在不同概念品質下的兒童,操作數概念時,所表現的運思方式也不 同。代表學童對問題的理解、解題策略的運用,都會受到運思方式的制約(蔣 治邦、陳竹村、謝堅、林淑君、陳俊瑜,2000)。在起始數概念之前,學童 表現出序列性合成運思;在內嵌數概念時為累進性合成運思;到了巢狀數概 念時則表現出部分-全體運思(早期)或測量運思(後期)(張淑怡,1995; 甯自強,1994)。 (一) 序列性合成運思:序列性合成運思是指兒童依數詞將指示的量依序 全盤表現出來,以進行量的合成與分解,並將結果重新合成加以數值 化。例如:計算 2+4=?時,學童先做出代表 2 和 4 的表徵物,再從 1 開始一一點數所有的表徵物。計算 4-2=?的題目時也類似,先做 出 4 的表徵物,劃掉其中兩個後,仍然從 1 開始點數剩餘的表徵物。 此時,學童能運用序列性合成運思來解決「比較多、多多少?」的問 題,但無法解決「比較少、少多少?」的問題。因為「少多少」必須 將較少的量內嵌於較多的量中才能決定;而此種內嵌所蘊含的數與數 關係,超出序列性運思的功能。然而,在 Carpenter(呂玉琴譯,1988) 的研究觀察中指出,當有具體物可供利用時,可以使用配對法進行解

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題。這個策略是在兩個集合間造一個一對一的對應,直到有一個集合 的元素用盡,則沒有配對到的元素個數就是答案。 (二) 累進性合成運思:累進性合成運思是指兒童依數詞將指示的量依序 當成基礎出發點,而不需加以全盤表現出,以進行量的合成與分解, 且一邊進行合成或分解的活動,一邊將累進的結果數值化。此時,較 小的數內嵌於較大的數內,而內嵌的關係則源自於合成運思的心智活 動。學童的解題策略也由一一點數的階段發展到往上數或往下數的階 段,例如:計算 2+4=?時,學童直接以 2 為基礎,依標準數詞序列 再往上數 4 個數詞,得到 6 作為答案。計算 4-2=?的題目時也類似, 學童直接以 4 為基礎,依標準數詞序列再往下數 2 個數詞,得到 2 作 為答案。當學童開始使用累進性合成運思時,才能全盤了解加減情境 的所有意義。 (三) 部分-全體運思:此時學童已能掌握「1」與「10」為集聚單位,藉 以合成新元素,並能清楚分辨部分-全體兩者間之關係與意義,不會 混淆。例如:計算 24+12=?時,學童先將 24 分解為 2 個「10」與 4 個「1」,將 12 分解成 1 個「10」與 2 個「1」,再將 2 個「10」與 1 個「10」合成 3 個「10」,4 個「1」與 2 個「1」合成 6 個「1」,最後 再將 3 個「10」與 6 個「1」合成 36,計算 24-12=?時也類似。 (四) 測量運思:此時學童能以「1」和新集聚單位間的部分-全體關係為 基礎,進而掌握新集聚單位及與其為元素所合成的另一個集聚單位間 的部分-全體關係。例如:計算 5×4=?時,學童知道 5 是 5 個「1」 所合成,且將「5」視為一個新集聚單位,而 4 代表有 4 個「5」,進 而計算出答案為 20。故此時學童已能掌握兩個層級之集聚單位間的部 分-全體關係。

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第二節 整數減法文字題類型與相關研究

一、整數減法文字題類型 在九年一貫課程綱要(教育部,2008)中提到:小學應用問題的教學, 是利用兒童的生活經驗、直觀和(在培養中)抽象思考方法揉合在一起的活 動。這是兒童在國中學習抽象的代數和其他學科時,絕佳的前置經驗。 Carpenter(1981)則認為兒童學習簡單的加、減法文字題時期,正是學習數 學關鍵期,日後發生之學習困難,往往可追溯到此一時期的學習。應用問題 (也就是文字題)的重要性可見一斑。 Cummins(1991)認為文字題是以日常的生活事件為材料,用語文型態 來描述數學情境。如:花園裡有 14 隻蝴蝶,飛走了 3 隻後,花園裡還有幾 隻蝴蝶?若要解決文字題,解題者先要能閱讀理解題意,接著統整所有資訊 後形成完整的問題表徵,再依據問題表徵形成解決問題的計畫(寫出算式), 最後執行解題計畫中的計算(Mayer, 1987)。因此,除了基本的計算能力之 外 ,學 童 還 要具 備 語 文理 解 能 力和 問 題 解決 能 力 (Kintsch & Greeno, 1985)。 解題者必須能將文字題轉化成自己所能理解的方式,再轉化成數學表徵, 列出算式,這也是學童最感到困難的部分。很多學童解題之所以失敗,都是 因為無法將文字題正確轉化成算式。而雖然問題的語言結構是決定使用何種 解題策略的最主要因素,但是問題的敘述方式卻能夠影響孩童是否能夠解出 問題(呂玉琴譯,1988)。相同類型的題目,運用不同的敘述方式,對兒童 的解題成效差異很大,也就是說,在某些情況下,困難的是問題的敘述方式, 而不是問題的語文結構。 加減法文字題,並非單純的以算式為加法或是減法來分類。因不同學者 間看法的差異,對文字題的分類亦有所差別,常見的分類標準有四:步驟、 運算、情境、語意結構(林碧珍,1991),其中,以「語意結構」為分類標

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準最為常見。 茲將各研究者對整數減法文字題題型的分類,整理對照如下。由表 2-1 知,雖然各種減法類型的名稱不同,但對問題情境的陳述方式大同小異,不 過只有 Fuson 的分類中提及等化類型的減法文字題,本研究亦採用 Fuson 的 分類方法。Fuson(1992)以真實世界的加減法情境為分析焦點,將文字題 分為改變、合併、比較和等化四類,再依照數量運作的方向(增加、減少、 較多、較少)和未知數在文字題中的位置,將題目進一步細分。 改變類問題含有行為,是動態問題情境。若給予起始量和一個直接或間 接的行為,讓起始量增加,則為「添加型」問題;反之,從一個給定的集合 中取走一部分,則為「拿走型」問題。 合併類問題則是探討一個集合(全體量)和它的兩個互為補集的子集合 (部分量)之間的關係。 比較類問題在探討兩個互斥集合(參考集合和比較集合)間的大小或多 少之關係。 等化類問題為比較類和改變類的混合。和改變類問題一樣含有行為,但 卻是在比較兩個互斥集合的大小。和比較類問題一樣,有兩個互斥集合被比 較,然後提出問題:該如何做才能使這兩個集合的元素個數相等?它也和改 變類問題相似,可分為「添加等化型」和「拿走等化型」問題(呂玉琴譯, 1988)。 對於許多題目類型,學童的運思以及算式表徵形式可能為加,亦可能為 減,完全取決於他們對文字題題意的理解。以下題為例:水族館原來有一些 金魚,又買進了 35 條,現在水族館有 49 條金魚,請問水族館原來有幾條金 魚?若學童的算式表徵形式為:( )+35=49,則可視為加法題型;但若 是學童的算式表徵形式為:49-35=( ),則可視為減法題型。

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表 2-1 整數減法文字題題型對照表

Fuson(1992) Riley 等(1983) Pauwels(古明峰,1999) 李光榮(2001)

情境/未知數/類型 類型/未知數 基模類型/方向/未 知數 類型/方向/未知數 改變/起始量/添加 改變/增加/起始量 合成/添加/被加數 改變/起始量/拿走 差數改變/被減數 改變/減少/起始量 分解/追減/被減數 改變/改變量/添加 和數改變/加數 改變/增加/改變量 合成/添加/加數 改變/改變量/拿走 差數改變/減數 改變/減少/改變量 分解/追減/減數 改變/結果量/拿走 差數改變/差數 改變/減少/結果量 分解/追減/差數 合併/部分量 兩數合/加數 結合/子集合 合成/併加/加數 合成/併加/被加數 比較/參考量/較多 比多/大數 比較/較多/參照量 比較/比多/基準量 比較/參考量/較少 比少/大數 比較/較少/參照量 比較/比少/基準量 比較/比較量/較多 比多/小數 比較/比多/被比較量 比較/比較量/較少 比少/小數 比較/較少/比較量 比較/比少/被比較量 比較/差異量/較多 比多/差數 比較/較多/差異量 比較/比多/差異量 比較/差異量/較少 比少/差數 比較/較少/差異量 比較/比少/差異量 等化/參考量/拿走 等化/比較量/拿走 等化/差異量/添加 等化/差異量/拿走 16 種 11 種 11 種 13 種

二、Riley, Greeno & Heller 的研究

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以了解學童對這幾種減法文字題解題正確性。首先將整數減法題型分為兩數 合、合數改變、差數改變、比多及比少五大類,再依未知數的位置不同,分 為十一種減法文字題的類型。 在此研究中,除了差數改變/差數未知(100%)和差數改變/減數未 知(78%)兩種題型的解題正確率很高,其餘題型的解題正確率普遍偏低, 尤其是比多(差數未知 28%、大數未知 17%、小數未知 11%)和比少(差 數未知 22%、大數未知 6%、小數未知 28%)兩類型的題目,可能與研究 納入幼稚園及一年級學童有關,此階段學童對語文的掌握尚未發展成熟,數 概念的發展也還在啟蒙階段。不過,隨著而同年紀漸長,對每種題型的解題 正確率也隨之提高。 三、Pauwels 的研究 表 2-2 Pauwels 的整數加減法類型及正確率 基模 方向 未知數 解題正確率% 改變 增加 結果量集合 97 減少 結果量集合 88 增加 改變量集合 43 減少 改變量集合 78 增加 起始量集合 67 減少 起始量集合 83 結合 共有量集合 98 子集合 62 比較 較多 差異量集合 79 較少 差異量集合 78 較多 比較量集合 47 較少 比較量集合 44 較多 參照量集合 46 較少 參照量集合 38 Pauwels(呂玉琴譯,1988)針對二年級學童做整數減法的研究,先將

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加或減少,較多或較少),將題目類型細分為十四類,其中十一種為減法相 關題型。學童對比較類/參考量未知(較多 46%、較少 38%)和比較類/ 比較量較少(44%)的題型以及改變類/改變量增加(43%)的題型較感困 難,而不論是改變或比較類型,結果量或差異量未知的題型是學童較容易掌 握的。 四、古明峰的研究 古明峰(1999)的研究主要在探討整數加減法文字題語意結構、問題難 度和解題間的關聯性,只針對改變和比較兩大類型的題目,並未納入減法的 所有題型。 在改變類題型中,一般陳述和具體明確陳述題目的解題正確率相差並不 大,但當題目中給予多餘訊息時,解題正確率則略為下降,可見部分學童仍 會被多餘訊息所混淆,影響解題。也代表著學童在此階段的概念尚未非常穩 固。而在比較類的題型中,不一致的語言陳述則是學童較無法掌握的。如「砂 糖每公斤 27 元,砂糖每公斤售價比白糖少 3 元,請問白糖每公斤售價多少 元?」與「砂糖每公斤 27 元,白糖每公斤售價比砂糖多 3 元,請問白糖每 公斤售價多少元?」前者為不一致語言陳述文字題,後者為一致語言陳述文 字題。不一致語言陳述關係句子與兒童習慣用法不一致,兒童須在短時間內 將其轉換成語言一致的文字題,在轉譯過程中,可能發生錯誤,故不一致語 言問題對兒童較為困難。 問題的語意陳述方式如果與解題者經驗有關,將有助於從經驗中觸接, 有助於兒童解題。如將題目「小華和小明共有 9 顆糖果,小華有 3 顆,問小 明有多少顆糖果?」改寫為「小華和小明共有 9 顆糖果,其中小華有 3 顆糖 果,其餘為小明所有,問小明有多少顆糖果?」後者的題目陳述較清楚,兒 童較少發生錯誤、困難度較低。這種將題目改寫、使語意關係更明確的策略, 對低成就或初學者的的幫助尤其顯著。

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表 2 -3 古明峰的整數減法類型及正確率 題目類型 解題正確率% 未知數 語意結構 語意陳述 改變 起始量 可數具體述詞 一般陳述 78 具體明確陳述 79 多餘訊息陳述 63 不可數具體述詞 一般陳述 85 具體明確陳述 86 多餘訊息陳述 72 抽象述詞 一般陳述 79 具體明確陳述 80 多餘訊息陳述 75 改變量 可數具體述詞 一般陳述 80 具體明確陳述 64 多餘訊息陳述 64 不可數具體述詞 一般陳述 64 具體明確陳述 67 多餘訊息陳述 40 抽象述詞 一般陳述 75 具體明確陳述 68 多餘訊息陳述 52 比較 大數 具體述詞 一致語言陳述 78 不一致語言陳述 48 間接語言陳述 86 部分具體述詞 一致語言陳述 83 不一致語言陳述 47 間接語言陳述 77 抽象述詞 一致語言陳述 79 不一致語言陳述 43 間接語言陳述 84 小數 具體述詞 一致語言陳述 90 不一致語言陳述 68 間接語言陳述 93 部分具體述詞 一致語言陳述 91 不一致語言陳述 53 間接語言陳述 87

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不一致語言陳述 71 間接語言陳述 72 五、謝慧齡的研究 謝慧齡(2004)的研究主要針對一年級共 653 位學童,並未將所有整數 減法題型納入研究中,而只是選取教材中較常出現的十種減法題型加以討 論。 表 2-4 謝慧齡的整數減法類型及正確率 題目類型 解題正確率% 數字 拿走 83.15 十以內 80.70 二十以內無退位 比較 73.51 二十以內無退位 80.86 十以內 追加 84.38 十以內 73.35 二十以內有退位 減數未知 88.67 十以內 76.72 二十以內有退位 合併 70.75 二十以內無退位 71.52 二十以內有退位 被減數未知 69.98 十以內 61.10 十以內 比多 大數未知 54.52 十以內 47.47 二十以內無退位 比多 小數未知 48.39 十以內 53.60 十以內 比少 小數未知 72.59 十以內 66.31 二十以內無退位 比少 大數未知 27.87 十以內 20.83 二十以內有退位 在本研究中,顯示比較類型的題目對學童而言是相對困難的題型,比 多型又較比少型容易,研究者認為這是因為比多型的題目陳述較符合日常生 活用語,學童較容易理解。而比少型/大數未知是最困難的題型,亦符合古 明峰(1999)的研究,當語言陳述不一致時,學童對文字題題意理解與轉譯

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成解題算式感到困難,也因此正確率最低。 當數字大小及複雜性改變時,學童的解題正確性亦隨之改變。研究顯示 大部分一年級學童已能掌握十以內的概念,但當數字增加到二十以內或需要 退位時,計算錯誤的機會便增加了。 六、黃湘婷的研究 表 2-5 黃湘婷的整數加減法類型及正確率 題型 方向 未知數 解題正確率% 改變 添加 起始量 73.70 拿走 起始量 75.09 添加 改變量 72.66 拿走 改變量 80.62 添加 結果量 94.46 拿走 結果量 86.68 合併 全體量 96.02 部份量 79.76 比較 較多 參考量 63.49 較少 參考量 46.37 較多 比較量 76.99 較少 比較量 86.51 較多 差異量 75.26 較少 差異量 79.58 比較 添加 參考量 88.41 拿走 參考量 86.16 添加 比較量 70.07 拿走 比較量 65.74 添加 差異量 77.37 拿走 差異量 80.45 黃湘婷(2007)的研究針對 578 位國小一年級學童,總共二十種整數加 減法文字題進行施測。 在此研究中,四種題型的通過率由高至低為合併題型、改變題型、等化

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題型和比較題型。其中,合併-全體量未知題型和改變-添加-結果量未知題型 相對難度最低;比較-較少-參考量未知題型相對難度最高,有「關係性」敘 述的題目對一年級兒童的解題確實會產生困難,學童在釐清兩者間的關係時, 容易混淆發生錯誤。 經由上述研究,可發現一些影響解文字題的因素: (1) 題目設計:題目陳述時,具體明確的陳述學童較易理解,若加入多 餘訊息解題正確率則會下降。另外在比較類的題目中,不一致的語言 陳述與日常生活中的語言使用習慣較不相同,解題正確性也最低。 (2) 題目類型:在各種減法類型題目中,以比較類型的題目較為困難, 其中又以「比較-較少-參考量未知」的題型最令學童無法正確理解與 解題,但若是差異量未知的題型則較容易理解。 (3) 數字:解題時,數字愈大或計算愈複雜,計算過程中要做進位或退 位的計算時,學童愈容易發生計算錯誤,此種影響對越低年級學童越 是明顯。 雖然教學者能理解這些影響學童解題的因素,在教學過程中多注意及改 進教學設計,但卻無法適時理解及掌握學童的概念結構及發展。 在分數的學習中,學童要先學會同分母分數減法和通分,學會這兩種分 數概念後,方能學會做異分母分數的減法。反之,若學童在學習異分母分數 減法時有困難,教學者可透過分數學習的概念結構來推斷,學童可能是在學 習同分母分數減法時發生錯誤,或是在學習通分時發生錯誤。等教學者找出 學童的錯誤概念時,可直接針對此一概念做補救教學,而不需將兩種概念都 再次補救;或者學童這兩種概念都非常正確,只是仍不熟悉異分母分數減法 的解題,此時便可直接針對學童不理解的部分再次加強教學。 然而,多數研究都是針對各種加、減法文字題的類型作探討,以便得知 學童對何種類型題目較無法掌控、何種題目類型解題過程中容易發生錯誤或 迷思概念……,並沒有研究曾經針對這些減法文字題類型作試題關聯分析,

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我們不知道在這些減法文字題類型中,是否像分數一樣,存在著所謂的上下 位概念結構,可做為教學者參考判斷之依據;對班上學童之概念能力在結構 上的變化,亦無法取得有用之訊息(許天維,1995)。此時,可透過試題關 聯結構分析法,進行分析與了解學童的整數減法文字題的試題關聯結構。

第三節 試題關聯結構分析法

「次序理論」(Ordering theory)最早是由美國學者 Airasian P. W. & Bart

W. M. 在 1973 年提出來的,日本學者竹谷 誠在 1977 年參加美國威斯康辛

大學的研討會,透過 Baker F. B. 的介紹後,便著手改良「次序理論」的缺 點,於 1979 年發明「試題關聯結構分析法」(Item relational structure analysis), 簡稱「IRS 分析法」,又於 1980 年完成試題關聯結構分析法的理論。 IRS 分析法以測驗試題的結果,按題目彼此間反應所得的順序關係,繪 製成具有「指向性」的圖形結構,來分析試題的特性。透過這樣的測驗分析, 讓教師能在教學後,獲知學童的學習情況及教師的教學成果,即時了解學童 的學習概念結構,並可據此進行後續的教學。 根據學者研究的結果,試題關聯結構分析法有下列五種功能(引自許天 維,1995): 一、教學設計之應用: 在教師進行單元教學活動之前,可以先依照此單元課程內容所需的先備 知識,作知識結構分析。之後,再依結構所對應的知識概念分別設計測驗並 進行施測,然後根據學生作答結果以「試題關聯結構分析法」進行分析,可 以考驗出先備經驗概念有何不足之處,知其在未來指導時的困難所在,從而 規畫適合學生的教學課程,以作為進行設計教學歷程的參考。 二、形成性評量之運用: 教師在單元教學活動後,可以利用知識結構分析編製形成性評量,再加

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以施測,所得的結果以「試題關聯結構分析法」進行分析,從而得到學生學 習後的知識結構,以便對學生學習概念不清楚之處,特別加強補救教學。 三、認知學習構造之分析: 從形成性評量的反應結果,亦可利用佐藤 S-P 表獲得注意係數,從而偵 測出異質性的學童,此類學生所描繪出的結構圖與班上學生整體的結構圖互 相比較,從而得知此類學生學習異質的原因,之後再加強輔導教學。 四、概念形成過程之探討: 利用試題關聯結構分析法來進行縱貫研究(longitudinal study),以構造 出各年級的結構圖,以瞭解學生概念形成過程的發展。再者,可利用其來進

行橫斷研究(cross section study),亦可得知班上學生的概念形成過程的分布。

五、課程教材構造之解析: 由母群體隨機抽樣進行考驗後,透過「試題關聯結構分析法」進行構圖, 可得一般學生的學習構造,這對教科書編作者而言,是重要資訊,而且對於 塑造分析典範教師的學習指導構造圖的特質,都有很大的作用。 接著,運用直觀方式,針對試題關聯結構分析法的理論舉例說明如下: 假設有 A、B 兩組學生各有十位,均參加試題共為六題的同一種測驗,若答 對則得一分,答錯則得零分,其得分情況如下表所示: A 組 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 B 組 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 學生 1 1 1 1 1 1 1 學生 1 1 1 1 1 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 3 0 1 1 0 0 0 學生 3 0 0 1 0 0 0 學生 4 0 1 1 0 0 0 學生 4 0 0 0 0 0 0 學生 5 0 1 1 0 1 1 學生 5 0 1 1 1 1 1 學生 6 0 0 1 0 1 1 學生 6 0 1 1 0 1 1 學生 7 0 0 1 1 1 1 學生 7 0 1 1 1 1 1 學生 8 0 0 0 1 1 1 學生 8 0 0 1 0 1 1 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 10 0 0 0 0 0 0 學生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6 答對者數 2 5 7 4 6 6

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由上表可知兩組測驗後,各組各試題之答對者人數均相同,為方便起見, 可以改成下表: A 組 試 題 B 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 學 生 1 1 1 1 1 1 1 學 生 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 1 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 1 1 0 1 1 5 0 1 1 1 1 1 6 0 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 1 7 0 0 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 8 0 0 0 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1 9 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 答 對 者 數 2 5 7 4 6 6 答 對 者 數 2 5 7 4 6 6 其次,依照每位學生試題所得的總分由高至低,加以排序可得下表: A 組 試 題 B 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 學 生 1 1 1 1 1 1 1 學 生 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 0 1 1 0 1 1 5 0 1 1 1 1 1 7 0 0 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 6 0 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 1 8 0 0 0 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1 3 0 1 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 答 對 者 數 2 5 7 4 6 6 答 對 者 數 2 5 7 4 6 6 接著,以學生在各試題答對人數的多寡順序,由左而右排列,可得結果 如下: 高分 低分 高分 低分

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A 組 試 題 B 組 試 題 3 5 6 2 4 1 3 5 6 2 4 1 學 生 1 1 1 1 1 1 1 學 生 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 0 0 5 1 1 1 1 1 0 7 1 1 1 0 1 0 7 1 1 1 1 1 0 6 1 1 1 0 0 0 6 1 1 1 1 0 0 8 0 1 1 0 1 0 8 1 1 1 0 0 0 3 1 0 0 1 0 0 3 1 0 0 0 0 0 4 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 答 對 者 數 7 6 6 5 4 2 答 對 者 數 7 6 6 5 4 2 由上表得知兩組學生的總分順序及答對者人數的試題次序都相同;亦即 二組之試題難易分配與試題號碼之對應完全一致,但如果著眼於考慮順序結 構圖,依下列方法加以分析,就會有顯著的不同。 A 組中,答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號,他們亦同時答對了試題 4, 亦即答對試題 1 的學生亦答對試題 4,此時就有試題 4 到試題 1 的箭頭,記 作 4→1;同理,答對試題 4 的學生是 1 號、2 號、7 號及 8 號,他們亦同時 答對了試題 5、6,所以分別有 5→4、6→4;另一方面,答對試題 1 的學生 是 1 號及 2 號,他們亦同時答對了試題 2,答對試題 2 的學生是 1 號、2 號、 3 號、4 號及 5 號,他們亦同時答對了試題 3,所以分別有 2→1、3→2;此 外,答對試題 4 的學生有 7 號沒答對試題 2,故沒有試題 2 到試題 4 的箭頭, 其餘均依此類推。 同理,在 B 組中,答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號亦答對了試題 4,亦 即答對試題 1 的學生亦答對試題 4,此時就有試題 4 到試題 1 的箭頭,記作 4→1;答對試題 4 的學生是 1 號、2 號、5 號及 7 號亦答對了試題 2,所以 有 2→4;答對試題 2 的學生是 1 號、2 號、5 號、6 號及 7 號分別答對了試 題 5、6,所以分別有 5→2、6→2;答對試題 5、6 的學生有 1 號、2 號、5 多 少 多 少

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號、6 號、7 號及 8 號亦答對了試題 3,故有 3→5、3→6;其餘均依此類推。 從以上分析,如果定義答對率為 試題答對率= 則以答對率為縱座標,可將所有相關的指向箭頭標示出來,成為完整的 試題關聯結構圖,如下所示: 答對率 A 組結構圖 B 組結構圖 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 顯然,A、B 兩組試題的關聯結構圖截然不同。值得注意的是,僅管兩 個表的試題其答對率雖然相同,然而兩組學生的理解結構卻不相同。左圖顯 示 A 組有兩個系列存在,即試題 1、2、3 的系列以及試題 1、4、5、6 系列, 而右圖顯示 B 組的試題形成一個單純的一元化系列。故試題關聯結構圖可看 出在前一個表格中所觀察不到的各試題間的順序關係,可作有方向性的圖性 判讀。 以上所述只為闡明試題關聯結構分析法而設計的特殊實例,當學生數多 時,教師甚難運用直觀方式,判別題目間是否具有此種指向性的關係,故現 3 2 1 4 5 6 5 6 3 2 4 1

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X=(xijN×n i=1,2,…,N; j= 1,2,…,n. 其中xij=1 表第i個學生答對試題 I,xj ij=0 表第i個學生答錯試題 Ij。 又設:P(Ij)表試題 Ij答對的機率。 P(Ij)表試題 Ij答錯的機率。 P(Ik)表試題 Ik答對的機率。 P(Ik)表試題 Ik答錯的機率。 P(Ij,Ik)表試題 Ij與試題 Ik均答對的聯合機率。 P(Ij,Ik)表試題 Ij答錯且試題 Ik答對的聯合機率。 P(Ij,Ik)表試題 Ij答對且試題 Ik答對的聯合機率。 P(Ij,Ik)表試題 Ij與試題 Ik均答錯的聯合機率。 則可知下面機率的四分割表: 試 題 Ik 試題 Ij 對(1) 錯(0) 合計

對(1) P(Ij,Ik) P(Ij, Ik) P(Ij)

錯(0) P( Ij,Ik) P( Ij, Ik) P( Ij) 合計 P(Ik) P( Ik) 1 試題關聯結構順序性係數 r* jk表示法如下(引自許天維,1995): r*jk=1-P(Ij,Ik)/ [P(Ij)P(Ik)] 順序性係數 r*jk代表試題j指向試題k的順序性程度,也就是說試題j

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順序性係數是一個數值,而竹谷 誠以 0.5 為閥值(threshold),由電腦模擬 產生。若順序性係數大於閥值,則表示試題j與試題k有順序關係,反之則 無。另外,若順序性指向過少,可以減少閥值為 0.4;若順序性指向過多, 則可以增加閥值為 0.6。一般閥值介於 0.4 到 0.6 之間。接著,電腦便能依據 閥值,繪製試題關聯結構圖,其處理方式為(引自許天維,1995): 1. 以縱座標表示通過率,上方座標表示通過率低,下方座標表示通過率高, 將試題依通過率高低加以標示試題題號於座標上。 2. 在順序性係數 0-1 表中,若有 1 則繪出從「縱座標的試題題號」至「橫 座標的試題題號」的指向箭頭。 3. 為避免箭頭過多,影響分析工作進行,故需簡化圖形,例如盡量將通過 率相差懸殊的指向或遞移性指向加以省略,或依圖形理論將順序性 0-1 表,經由矩陣運算化為最簡,再行標示。不過在實務上有少數很不易歸 類,必須由數學學科專家加以識別。 接著將上述方式舉例說明如下,若其順序性 0-1 表的兩試題間關係如 下: 試題 1 試題 2 試題 3 試題 4 試題 5 試題 6 試題 1 0 0 0 0 0 試題 2 1 0 0 0 0 試題 3 1 1 0 0 0 試題 4 1 0 0 0 0 試題 5 1 0 0 1 1 試題 6 1 0 0 1 1

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則以通過率為縱座標,可將所有相關的指向箭頭標示出來,並依下列程 序形成完成完整的試題關聯結構圖,如下所示: 答對率 試題關聯結構圖 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 答對率 試題關聯結構圖 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 將遞移指向消除 3 2 1 4 5 6 3 2 1 4 5 6

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答對率 試題關聯結構圖 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 將等價合併 最後再以人工方式將圖形加以美化,使圖形便於觀看,即可進行分析。 一般而言,教師依據教學指引來進行教學,教學後再依據評量成績來了 解學童的學習狀況,如學童在此單元中獲得 80 分,代表學童學會了 80%, 但學童到底學會哪些概念?錯誤在何處形成?教師接續該如何因應?對於 這些問題,評量分數並無法給予教師滿意的答覆,因為無法得知學童在概念 能力方面所呈現的學習成果(learning outcomes)結構圖,也就是說無法呈 現 Skemp 所指的關係性理解狀況(許天維,1995)。本研究所編製整數減法 文字題概念試題主要是希望得知兒童的知識結構,透過評量結果建立結構 圖。 3 2 1 4 5 6

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第三章

第三章

第三章

第三章 研究方法

研究方法

研究方法

研究方法

本研究目的主要在探討國小三年級學童在整數減法文字題概念的試題關聯結 構圖所呈現的訊息。透過文獻探討,提出研究架構、研究對象、研究工具、研究 流程及資料處理等,並說明本研究的方法和程序:

第一節 研究架構

本研究依據研究目的與文獻資料,提出以下之研究架構,如圖 3-1 所示。 圖 3-1 研究架構圖 編製整數減法文字題概念試題 抽樣班級施測 進行預試 正式施測試題 IRS 分析 子概念結構圖 解釋概念結構圖 整理整數減法文字題類型 閱讀整數減法文字題相關文獻

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第二節 研究對象

本研究之目的在探討國小三年級學童整數減法文字題的概念結構發展, 受限於研究經費、研究時間、行政溝通與教師協調等因素,施測對象為僅選 取某國小四個班級之三年級學童,施測地區為台中縣。 為減少外在環境對學童產生影響,施測地點在原班教室,由原級任教師 監考,讓學童能在熟悉的環境安心作答。施測前就研究目的及作答方式簡略 說明,要求受試者寫出計算過程及結果。

第三節 研究工具

本研究之主要研究工具為「國小三年級學童整數減法文字題概念測驗」, 以及相關的統計軟體等,茲說明如下: 一、國小三年級學童整數減法文字題概念測驗 (一)試題編製依據 在經過整理與比較各研究的整數減法文字題類型後,以 Fuson(1992)的 分類較為詳盡且完備,故決定採用其分類及命名方式,再依據其文字題類型 編製試題。因此,本研究使用的研究工具「國小三年級學童整數減法文字題 概念測驗」的編製設計便依據各種文字題類型設計題目,詳細題目如表 3-1 所示。 在設計題目時,為確保單一題目只測單一概念,並盡量減少干擾因素的 影響,設計時依據下述原則編製試題: (1) 每種題目類型均設計三題,藉以減少學童隨意猜測答題的影 響。 (2) 謝慧齡(2004)的研究顯示,數字大小及是否進、退位,均會 影響學童答題的正確性,為避免類似的干擾因素,所有數字均限

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(3) 而為了避免部分學童全數猜減法來進行解題,設計試題時亦加 入各種類型的整數加法文字題,總共二十種,其中十六種為減 法。 (二)試題的信度 信度(reliability)又稱可靠性,是指測驗結果的穩定性而言。研究者以 Cronbach’s α 係數來求試題之內部一致性。信度檢核的目的在檢視該題項刪 除後,整體量表的信度係數變化情形,如果該題項刪除後,量表整體信度係 數比原先的信度係數高出許多,則此題項與其餘題項所要測的屬性,或心理 特質可能不同,可考慮將此題項刪除或修改(吳明隆,2000)。 (三)試題的效度 效度(validity)亦即正確性,是指一個測驗能夠準確的測量到它所要測 量之能力或潛在特質的程度,或測驗能夠達到其編製目的的程度而言。本研 究採用內容效度及專家效度。 內容效度的目的在有系統的檢查測驗內容的適切性,考量測驗內容是否 包括足夠的行為樣本或取樣的適切性,本測驗編製依據 Fuson 的整數加減法 文字題類型編寫試題,以判斷測驗的內容效度。而試題初稿完成後先進行預 試,之後針對預試結果不佳的試題進行修改,並交由測驗專家及學科專家審 查其試題是否適合,之後再進行第二次預試,使試題內容具有專家效度。 二、相關的統計軟體 (一)SPSS ( 10.0 for Windows ) 統計套裝軟體:用來進行測驗試題的信度 分析,以及相關研究分析。 (二)IRSP:用來求出各試題間的關聯順序性係數,以及繪製群體受試者之 試題關聯結構圖(郭伯臣、田聖才,1995)。 三、試題內容 本測驗之試題依據 Fuson(1992)的整數減法文字題類型編製,每種類

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型設計三題,共六十題。 四、預試結果 試題編製完成後,以台中縣某國小三個班級的三年級學生,共 81 名, 作為預試對象,預試結果(如表 3-3)以 Cronbach’s α 係數來求試題之內部 一致性,得到的 α 值為.946,是信度可接受的預試試題,難度低,鑑別度是 利用 d=PH-PL 來作分析,試題的鑑別度多在.30 以上,但有十八題的鑑別度 不佳,題目仍須再修改。 表 3-1 第一次預試整數減法題型與試題對照表 題型 代號 題型 試題 試卷題號 A1 改 變 / 添 加 起 始 量 未 知 水族館原來有一些金魚,又買進了 35 條,現在水族館 有 49 條金魚,請問水族館原來有幾條金魚? 2 小明有蒐集一些貼紙,哥哥又給他 11 張,小明現在有 37 張貼紙,請問小明原有幾張貼紙? 4 公車靠站後,有 17 個人上車,現在公車上有 38 個人, 公車上原來有幾個人? 31 A2 改 變 / 拿 走 起 始 量 未 知 公車靠站後,有 15 個人下車,車上還有 13 個人,公車 上原來有幾個人? 25 哥哥花了 23 元買了一個筆筒後,還剩下 15 元,哥哥原 來有多少元? 38 圖書館買進一批書,被借走了 34 本,還剩下 12 本,圖 書館原來買進幾本書? 34 A3 改 變 / 添 加 改 變 量 未 知 電梯從 12 樓到 28 樓,電梯走了幾樓? 6 花園裡有 24 隻蝴蝶,後來又飛來一些,現在花園裡有 38 隻蝴蝶,請問後來飛來幾隻蝴蝶? 8 小美有 12 張郵票,小莉又給了她幾張,小美現在有 29 張郵票,請問小莉給小美幾張郵票? 35 A4 改 變 改 變 麵包店早上做了 48 個月餅,中午時還有 31 個沒賣出, 麵包店上午賣了幾個月餅? 10

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/ 拿 走 量 未 知 班上每人拿一把雨傘,教室裡原來有 37 把雨傘,有 14 把雨傘沒有人拿,雨傘被拿走了幾把? 36 姐姐有 26 顆巧克力,送給妹妹一些,現在姐姐有還 20 顆,姐姐給妹妹幾顆巧克力? 49 A5 改 變 / 添 加 結 果 量 未 知 30 張獎卡可以換 1 個小禮物,小明已經累積到可以換 1 個小禮物,又得到 12 張獎卡,小明現在有多少張獎卡? 27 小朋友排隊買門票。小華排在第 17 個,小明排在小華 後面第 21 個,小明排在第幾個? 29 箱子裡有 27 顆蘋果,小婷又放入 22 顆,請問現在箱子 裡有幾顆蘋果? 39 A6 改 變 / 拿 走 結 果 量 未 知 樹上原來有 45 隻小鳥, 12 隻飛到草地上後,樹上還有 幾隻小鳥? 26 30 張獎卡可以換 1 個小禮物,小明已經有 44 張獎卡, 換了 1 個小禮物後,還有多少張? 40 有 39 張椅子,來 15 人後,一人坐一張椅子,還有幾張 椅子沒有人坐? 41 B1 合 併 全 體 量 未 知 小明有 24 元,小華的錢和小明一樣多,兩個人共有多 少元? 16 飲料店早上賣出 37 杯珍珠奶茶,下午賣出 11 杯珍珠奶 茶,請問今天飲料店賣了幾杯珍珠奶茶? 18 小英和小美帶一些錢上街,買了東西後,小英剩下 11 元,小美剩下 36 元,兩人合起來剩下多少元? 42 B2 合 併 部 份 量 未 知 盒子裡有 38 顆糖。牛奶糖有 1 8 顆,其他的都是巧克 力,巧克力有幾顆? 19 一箱蘋果有紅色和綠色 2 種,老師分給每個小朋友一顆 後剩下 46 顆,紅蘋果剩下 22 顆,那綠蘋果剩下幾顆? 50 37 隻鴨子,21 隻在水池中,其他的都在岸上,在岸上 的鴨子有幾隻? 44 C1 比 較 / 較 多 參 考 量 未 知 麵包店昨天賣出 25 個甜甜圈,昨天比今天多賣了 15 個,今天賣出幾個甜甜圈? 21 小英有 38 顆糖,小英比小宏多 16 顆,小宏有多少顆糖? 22 小玉體重 43 公斤,小玉比小娟重 11 公斤,小娟有幾公 斤? 45 C2 比 參 小華有 35 元,小華比小明少 14 元,小明有幾元呢? 12

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較 / 較 少 考 量 未 知 小婷昨天吃了 21 粒水餃,昨天比今天少吃 13 粒,請問 今天吃了幾粒水餃? 58 老師調查班上有學才藝的人數,學鋼琴的有 31 個人, 學鋼琴比跳舞的少 16 個人,請問學跳舞的有多少人? 46 C3 比 較 / 較 多 比 較 量 未 知 水族箱裡有一些紅魚和 25 條黃魚,紅魚比黃魚多 12 條,請問紅魚有幾條? 23 欣欣有 31 根棒棒糖,如如的棒棒糖比欣欣多 16 根,請 問如如有幾根棒棒糖? 1 姐姐有 20 元,妹妹的錢比姐姐多 25 元,請問妹妹有多 少錢? 47 C4 比 較 / 較 少 比 較 量 未 知 小玉有 38 張郵票,小丸子比小玉少 17 張,請問小丸子 有幾張郵票? 24 水彩一盒 45 元,彩色筆一盒比水彩一盒便宜 12 元,請 問一盒彩色筆多少錢? 54 二年級女生有 27 人,男生比女生少 4 人,請問男生有 多少人? 48 C5 比 較 / 較 多 差 異 量 未 知 水果店有 49 顆橘子,26 顆蘋果,請問橘子比蘋果多幾 顆? 13 一枝原子筆賣 27 元,一枝鉛筆賣 12 元,請問一枝原子 筆比一枝鉛筆貴多少錢? 7 郵差叔叔上午送 44 封信,下午送 31 封信,請問他上午 比下午多送幾封信? 60 C6 比 較 / 較 少 差 異 量 未 知 花店裡有 22 朵玫瑰花,45 朵荷花,請問玫瑰花比荷花 少幾朵? 3 冷飲店賣出 47 杯綠茶,25 杯紅茶,請問紅茶比綠茶少 賣幾杯? 51 老師有 24 顆糖果,想要送給 39 個小朋友每人一顆,請 問糖果還不夠幾顆? 37 D1 等 化 / 添 加 參 考 量 未 知 農場裡養了 21 頭牛,再買 16 頭牛後,就會和綿羊一樣 多,請問農場裡有幾隻綿羊? 14 花園裡種了 30 朵紅花,再種 18 朵後,就會和紫花一樣 多,請問花園裡有幾朵紫花? 28 弟弟已經存了 13 元,他再存 33 元後,就會和姐姐的錢 一樣多,請問姐姐有多少錢? 52

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D2 等 化 / 拿 走 參 考 量 未 知 書架上放了 45 本故事書,拿走 13 本後,就會和漫畫書 一樣多,請問書架上有幾本漫畫書? 11 冰箱裡有 37 蘋果汁,再喝掉 24 瓶後,就會和汽水一樣 多,請問冰箱裡有幾瓶汽水? 53 哥哥有 29 顆草莓,他再吃掉 7 顆後,就會和爸爸的草 莓一樣多,請問爸爸有幾顆草莓? 43 D3 等 化 / 添 加 比 較 量 未 知 爸爸收集了 27 架模型飛機,他再收集 13 輛模型汽車 後,就會和飛機一樣多,請問爸爸有幾輛模型汽車? 17 麵包店賣了 43 個甜甜圈,再賣 20 個蛋糕後,就會和甜 甜圈賣掉一樣多個,請問麵包店賣了幾個蛋糕? 9 小鈞練習踢毽子,第一天踢了 36 下,第二天再踢 15 下 後,就會和第一天踢一樣多下,請問他第二天踢幾下? 55 D4 等 化 / 拿 走 比 較 量 未 知 老師有 17 枝鉛筆和一些橡皮擦,送給小朋友 22 塊橡皮 擦後,就會和鉛筆一樣多,請問老師原來有幾塊橡皮 擦? 15 奶奶養了 31 隻小雞和一些小鴨,賣掉 12 隻小鴨之後, 就會和小雞一樣多,請問原來有幾隻小鴨? 33 哥哥有 26 元,弟弟再花掉 11 元後,弟弟的錢就會跟哥 哥一樣多,請問弟弟原本有多少錢? 56 D5 等 化 / 添 加 差 異 量 未 知 一個盒子可以裝 24 塊蛋糕,已經裝了 13 塊,再裝幾塊 就可以裝滿? 20 操場上有 35 個男生和 24 個女生在排隊,請問再來幾個 女生後,才會和男生有一樣多人? 30 媽媽買了 43 顆心形巧克力,11 顆圓形巧克力,請問媽 媽還要再買幾顆圓形巧克力,兩種巧克力才會一樣多? 57 D6 等 化 / 拿 走 差 異 量 未 知 動物園裡有 32 隻猴子,21 隻猩猩,再送走幾隻猴子後, 才會和猩猩一樣多? 5 小月有 46 張貼紙,小亮有 35 張貼紙,請問小月再用掉 幾張貼紙後,才會和小亮一樣多? 59 海邊有 28 隻螃蟹,14 隻彈塗魚,請問再跑掉幾隻螃蟹 後,才會和彈塗魚一樣多? 32

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表 3-2 第一次預試預試人數一覽表 班級 人數 1 27 2 27 3 27 合計 81 表 3-3 第一次預試試題分析表 N= 81, i= 60, NPH=22, NPL=23 試題分析 類別 試題代號 難度 鑑別度 信度 (α=.946) P (PH+PL)/2 D=PH-PL Alpha if Item Deleted A1 2 0.70 0.65 0.53 0.945 4 0.78 0.69 0.62 0.944 31 0.66 0.61 0.58 0.945 A2 25 0.92 0.88 0.24 0.944 38 0.89 0.83 0.23 ☉ 0.945 34 0.87 0.81 0.31 0.945 A3 6 0.76 0.66 0.55 0.944 8 0.84 0.72 0.49 0.944 35 0.85 0.76 0.44 0.944 A4 10 0.93 ☆ 0.86 0.25 ☉ 0.944 36 0.92 ☆ 0.87 0.27 ☉ 0.944 49 0.90 0.82 0.37 0.944 A5 27 0.72 0.72 0.56 0.945 29 0.72 0.75 0.46 0.946 39 0.91 ☆ 0.85 0.27 ☉ 0.944 A6 26 0.88 0.80 0.36 0.944 40 0.88 0.79 0.43 0.944 41 0.92 ☆ 0.85 0.27 ☉ 0.944

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18 0.79 0.68 0.63 0.944 42 0.91 0.85 0.27 0.944 B2 19 0.84 0.79 0.43 0.944 50 0.89 0.80 0.40 0.944 44 0.87 0.77 0.36 0.944 C1 21 0.55 0.61 0.27 0.947 22 0.64 0.66 0.52 0.945 45 0.66 0.67 0.42 0.945 C2 12 0.55 0.60 0.53 0.946 58 0.35 0.46 0.46 0.946 46 0.57 0.61 0.65 0.945 C3 23 0.77 0.70 0.50 0.945 1 0.84 0.79 0.43 0.945 47 0.91 0.87 0.27 0.945 C4 24 0.90 ☆ 0.84 0.28 ☉ 0.944 54 0.85 0.79 0.40 0.944 48 0.89 0.82 0.37 0.944 C5 13 0.88 0.78 0.35 0.944 7 0.86 0.76 0.38 0.944 60 0.85 0.77 0.50 0.944 C6 3 0.87 0.80 0.40 0.944 51 0.92 0.86 0.29 0.944 37 0.91 ☆ 0.82 0.32 0.944 D1 14 0.68 0.74 0.34 0.946 28 0.75 0.75 0.47 0.945 52 0.89 0.84 0.28 0.945 D2 11 0.87 0.83 0.23 ☉ 0.945 53 0.90 ☆ 0.84 0.28 ☉ 0.944 43 0.89 0.85 0.20 ☉ 0.945 D3 17 0.66 0.61 0.56 0.945 9 0.82 0.84 0.07 ☉ 0.946 55 0.58 0.56 0.49 0.946 D4 15 0.77 0.80 0.30 0.946 33 0.64 0.62 0.51 0.946 56 0.72 0.67 0.60 0.945 D5 20 0.89 0.78 0.44 0.944 30 0.84 0.75 0.43 0.944

數據

表  2-1  整數減法文字題題型對照表
表  2 -3    古明峰的整數減法類型及正確率  題目類型  解題正確率%  未知數  語意結構  語意陳述  改變  起始量  可數具體述詞  一般陳述  78  具體明確陳述  79  多餘訊息陳述  63  不可數具體述詞  一般陳述  85  具體明確陳述  86  多餘訊息陳述  72  抽象述詞  一般陳述  79  具體明確陳述  80  多餘訊息陳述  75  改變量  可數具體述詞  一般陳述  80  具體明確陳述  64  多餘訊息陳述  64  不可數具體述詞  一般陳述  64
表 3-2    第一次預試預試人數一覽表  班級  人數  1  27  2  27  3  27  合計  81  表 3-3 第一次預試試題分析表  N= 81,  i= 60,  N PH =22,  N PL =23  試題分析 類別  試題代號  難度  鑑別度  信度  (α=.946)  P  (PH+PL)/2  D=PH-PL  Alpha  if Item  Deleted  A1  2  0.70  0.65  0.53  0.945 4 0.78 0.69 0.62 0.944
表 4-3    整數減法文字題關聯順序性係數表                    1          2          3          4            5          6          7            8          9        10        11        12        13        14        15          16        17        18        19        20
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