第四章 研究發現與討論
第二節 數學精武門之學習平緩期
第二階段的實施方式與第一階段大致相同，可是，蜜月期已經結束 了。依第一階段研究者的省思，掌門人的位置從教室前方，調整到課輔 師徒中間，留意各組的問題，並做即時教學示範、提醒及回饋。
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第一階段座位安排 第二階段座位安排
圖 4- 1 數學精武門第一階段與第二階段座位調整狀況
壹、咬牙苦撐的數學徒弟
一、整數及分數的計算能力進步
由數學徒弟自身的認知及數學師父的觀察，數學徒弟在正負數的計 算或是分數的計算題，都有進步，但在應用問題的部份，仍是感到十分 吃力。
S01–L4：今天分數乘法真的很難，但我都會了。
S03–L4：分數會算了，但是好累喔！
S12–L4：我可以心算了：例：3+5=8。
S13–L4：我感覺師父教我教得很辛苦，但是我感覺我的正負數運算進步 很多，很高興。
S01–L5：我覺得我真的進步很多，原本不會的，今天會了。
T01–L5：徒弟的學習、動作越來越好，但會分心。
掌門人
掌門人 師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
師徒
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S03–L5：會把小數換分數了
S10–L5：我終於會負數正數的乘法了！
T10–L5：今天徒弟的答對，大大的增加了。
S02–L6：雖然還是會計算錯誤，但我真的進步了很多。
S06–L6：師父人很好。有些題目我也解得出來了，呵呵。
S14–L6：雖然會卡在應用題的文字理解很久，但是計算有進步。
S01–L6：覺得分數很難，但今天變簡單了 S02–L6：分數除法懂了很多。
二、開始學習解題策略
在第一階段的學習單中，就可以看出數學師父在示範解題時，會善 用一些解題技巧和策略，但在第一階段徒弟的學習日記中，都未紀錄到 這個部份，直到第二階段，才在徒弟的學習日記及學習單中發現，顯示 數學徒弟開始學習新的解題策略，並能運用在解題過程中。
M3–L4：S3 的學習單中，師父在一開始在示範時，為了讓徒弟更清楚了 解正負號的轉換，使用的標記符號，後來也出現在徒弟的解題過程。
S07–L4：師父教我題目要看清楚。
S08–L4：我發現師父都看得很仔細，我都沒看清楚@@。
T13–L4：徒弟算數學有了技巧，速度更快了。
S08–L5：師父教分配律時，常會劃線，我發現我跟著用就會了。
M1–L6：S1 在整數的四則運算時，先乘除後加減的概念不清。因此師父
（T1）會在四則運算的式子中，為其標示「（1）、（2）、（3），以提醒 計算步驟」，並常將「乘號Ⅹ」、「––得十」圈起來提醒徒弟，從徒 弟後來的學習單發現，徒弟將此解題策略學起來，使得四則運算「先 乘除」的觀念更為清楚。
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（師父的教學單）
（徒弟的學習單）
（徒弟的學習單） （徒弟的學習單）
圖 4- 2 數學徒弟模仿數學師父解題策略之示例
三、學習動機提升，但積極度變低
徒弟因為會解的題目增加，而更願意學習。學習動機提升後，主動 解題並請教師父，學習能力也跟著改變，成為一個良性的循環。
T01–L4：今天的單元（分數的加法）比較簡單，徒弟比較願意主動算。
T12–L4：徒弟真的很認真，也很虛心受教。
S02–L4：我錯的題目，都會馬上問師父，我那裡出差錯。
S01–L5：謝謝師父和老師給我這個機會重新學數學，這次我會認真聽。
S02–L5：今天非常認真的算數學。
S08–L5：覺得自己也有會解的題目，會開始想解題了。
T11–L5：徒弟今天的態度有明顯變好，只是一直說好想睡，害我也好想 睡。方程式變號時，常常會粗心。但提醒他，就能馬上知道錯在那裡。
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S01–L6：覺得自己也有解數學問題的能力了，會願意主動算數學。
S01–L6：我覺得把數學學習好真的很重要。
然而對進入第二階段的數學徒弟來說，充滿新鮮感的蜜月期過了，
面對的是精神不佳的問題。犧牲午休時間，出來參加課輔，徒弟們開始 顯出疲憊，這個階段的課輔因著睡意，略受影響。雖然在學習單中，較 多徒弟完整解題的的算式，但徒弟們在日記中不斷地流露出倦怠感，來 課輔的積極度變低。S05–L4：（勾選）今天的學習狀況很差，沒有開心 的地方，也沒有進步。
S05–L5：不要再出一堆題目！
M05–L5：師父為了讓徒弟更能理解問題，有時會把大問題猜成小問題，
所以徒弟覺得師父出了更多問題，而心生不耐。
S08–L5：每次來都知道會有收穫，但每次來都想睡覺…。
S07–L6：今天的學習狀況很差，精神很不好，很想睡覺。
S08–L4：比較想練習第三次月考範圍的題目。
四、錯誤的計算習慣無法立即改變
數學徒弟的計算能力、學習策略到了第二階段，都在進步中，但是 有些解題錯誤已經成為習慣，即使在認知上被修正，知道該如何解題，
但要克服原先錯誤的直覺想法，需要一些時間和努力，才能真正修正。
M3–L4：徒弟在「乘法對加減法分配律的應用」仍然感到困難。從學習 單中可以看出師父已不斷地示範用分配律的方式來解複雜的乘法計 算，例：1002 ×（-195），但徒弟仍然以直式乘法直接乘開。
T05–L5：（徒弟）絕對值不太會，還有類似 3+（-7），3-（-7）到現在還 是一直出錯。
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貳、面對現實但更顯穩重的數學師父
一、數學師父使用認知學徒制教學方式略有進步
數學掌門人從 T1 的教學日記及 S1 的學習日記中發現 T1 在運用
「好師父 6 招」時，只用了「示範」和「訓練」，因此在課輔時間，特別 到這一組旁邊，留意他們的互動，發現 T1 確實常在示範後就對 S1 說：「你 像我這樣解解看。」，因此數學掌門人先示範如何搭鷹架，讓 T1 再試試 看。
大部份在第二階段中的數學師父，仍以示範、訓練為多，鷹架也開 始使用得不錯。
T04–L4：示範後有些不懂，我必須多教幾次。（示範）
T02–L4：大多先示範，如果徒弟算錯，再要他想一想，並提示他。（示範、
訓練、闡明）
T02–L5：先示範題目，如果算錯，我會先問他怎麼想的，再告訴他那裡 算錯。（示範、訓練、闡明）
T03–L4：最喜歡用示範，但開始使用鷹架。
T05–L4：（徒弟）不會的就示範，讓他先自己算算看。算不出來，再告訴 他一些線索（鷹架）。
T07–L4：先給一些題目，再把那些觀念合在一題。（鷹架）
S08–L6：師父會給我開頭，讓我接下去寫。（鷹架）
但只有部份數學師父能熟練地使用闡明及反思，主要是闡明及反思 需要師父問好問題，才能將徒弟的錯繆觀念問出來，並刺激徒弟思考自 己和師父解題的差異性。
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M01–L4：在練習時，徒弟一直找不出自己那裡有錯，師父請他把過程寫 仔細一點，發現徒弟把－1003 寫成－1000＋3，而不是–1000－3，透 過請徒弟說明算式後，讓徒弟看見自己的錯誤。（闡明）
T03–L5：今天開始反問徒弟，讓他說出他的想法，並把正確的解法講給 他聽（闡明）。
M09–L4：T9 會在學習單上反覆寫著正負的變號方式，希望徒弟能認真將 他常混淆的觀念記起來（闡明）。
T05–L6：徒弟的絕對值還不太會，或是類似 3＋（－7），3－（－7）的 題目都常算錯。所以我就會出類似的題目讓他再分辨一下（闡明）
S08–L5：師父教分配律時常劃線，我發現我跟著用就會了。（反思）
M10–L5：「你看我這樣算，會不會比較不會粗心？」（反思）
M01–L5：師父會提醒徒弟：「你先想想再回答」，後來徒弟就想出來了。
（探究）
二、在教學中變得愈來愈細心
數學師父在訓練徒弟的過程中，除了查看徒弟最後的答案是否正確，
還需要看出徒弟到底是在那一步驟遇到困難，在查錯時，漸漸磨練出學 習數學過程中不可或缺的特質–細心。
T01–L4：要細心找出徒弟的錯在哪裡，也可以讓自己更細心。
T03–L5：今天連我自己也算錯，「-104-105=-1」，應該是「「-104-105=-209」。 會提醒自己，要更小心計算，更細心。
T04–L4：真的自己更不易計算錯誤。
T05–L5：（自己）會更小心計算，會努力算數學。
＋＋ → ＋
＋－ → －
－＋ → －
－－ → ＋
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T07–L6：會更小心計算，更細心：因為正負號變號我也常錯，但是徒弟 啊，你真的要多多注意啊。
三、操練出耐心的好品格
雖然在課輔前，已略有心理準備，但真正發現徒弟「最基本的都不 會」時，仍然會感到錯愕，面對數學徒弟反覆在同樣的問題上產生失誤，
數學師父不斷地提醒自己要有耐心，並維持鼓勵、讚美徒弟的好習慣，
試著把自己曾接受過的鼓勵，用來激勵徒弟，且在數學徒弟做得好的時 候，大方讚美他。
T01–L4：徒弟分配律不熟，要慢慢教。
T02–L4：上課要專心，希望你更進一步，不懂的題目要說喔！
T05–L4：徒弟啊，上課要用心！雖然我也不喜歡數學，可是我媽常說，
不動動腦的話，以後頭腦會壞掉，所以我會認真算數學。
T13–L4：開始進入應用練習，需要有耐心，加油！
T03–L6：要提醒自己不能生氣。
T04–L6：不會的題目多問、多算就會搞懂了，計算錯誤要小心。
T04–L6：徒弟，你已經更進步了，會自己找出算錯的地方，寫答時不要 再粗心了！每天多花十分鐘練習，相信你很快就能更進一步了！
T12–L6：徒弟做得很認真，很棒喔！只是錯的題型記得不要再錯嘍！
T13–L6：（給徒弟的話）線索都在題目裡！要試著耐心看完、理解題目，
也要對自己有自信心，堅持到最後！
四、能幫助別人讓自己感到滿足
雖然有些數學師父在教學的過程中，因著徒弟不同的狀況，偶爾會 有不耐煩的時候，但仍然會因為徒弟解題正確而為他感到開心，也為自 己可以幫助人，而感到滿足。
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T03–L4：今天徒弟都沒算錯，很開心。
T06–L4：雖然有點受不了徒弟的白目（他一直小聲唱歌，讓我覺得很煩）， 但是能幫助人的感覺很好。
T14–L4：原來教人沒那麼難。
T03–L5：能幫助人的感覺很好，而且會更主動算數學
T04–L5：能幫助徒弟搞懂不會的題目，我很開心，很有成就感。
五、教學技巧的進步
數學師父在教徒弟的過程中，除了「好師父 6 招」之外，會設計口 訣，想一些方法、換不同的講述方式，來讓徒弟能夠了解題目所需具備 的數學概念及解題方式。
T04–L5：徒弟啊，請記得我教的口訣！不要只是一直算，這樣容易錯啊！
T08–L6：分配律問題沒辦法直接反應，還需要配合直式來教他。
M8–L6：T8 很快地分辨出徒弟的困難，最難能可貴的是，能自己出適合 的練習題來幫助徒弟。並且在徒弟犯錯時，快速地分辨出，他是那個 觀念卡住了，然後再另外解釋相關概念。
參、鼓勵師徒的掌門人
一、徒弟積極學習數學使進步變得更明顯
S1 是課輔徒弟中最積極的，總是提早到課輔教室，師父還未到時，
也會主動解題。在原班的數學課中，也是上課態度良好的學生，勇於回 答問題，但卻常答非所問。經歷過 6 次的課輔後，在原班數學課討論基 本觀念的隨堂練習時，都能有不錯的表現，有時還能教旁邊的同學。