數學解題之相關理論

數學解題強調推理能力的養成與學生自我建構知識，讓學生不只是死板的將 公式記熟，而是強調概念理解 (Jackson, Krajcik, &Soloway ,1998)，鷹架可以融入 和真實世界一樣的情境，提供學生使用多種解題方法的機會來解題，讓學生主動 探索。

許多學者針對解題歷程有進一步的分析，Polya(1945)將解題歷程分為四個階 段：1.瞭解問題(understanding the problem)；2.擬定計劃(devising a plan)；3.執行計 劃(carrying out the plan)；4. 驗算與回顧(1ooking back)。

Kilpatrick（1967）以Polya 的四個解題歷程為依據，將各階段的解題策略之 檢核表重新修正為：1.瞭解問題：辨認未知資料或條件，透過畫圖及引入符號詮 釋題目。2.擬定計畫：重新敘述問題，並考慮相關問題。3.執行計畫：檢查解題 步驟。4.檢討：檢查答案是否合乎題目所需求。

Lester(1980)以六階段來描述數學解題過程，並強調這六個階段相互的關係。

如下所述：（一）察覺問題(problem awareness)：解題者對所面臨的情境，能覺察 到是一個問題，並且有意願解決問題。（二）理解問題(problem comprehension)：

這個階段包含兩個子階段：1.轉譯(translation)：解題者將問題提供的訊息譯成自 己可以理解的語句。2.內化(internalization)：解題者選取相關的訊息，並判斷其相 關的程度。（三）目標分析(goal analysis)：將問題變形以便應用熟悉的策略與技巧。

（四）計畫發展(plan development)：解題者擬定一個可行計畫、清楚可行的策略，

將子目標編列程序和詳細運算。（五）計畫執行(plan implementation)：解題者執行 擬定的計畫。（六）程序和解答評估(procedures and solution evaluation)：此階段不 僅要檢查答案是否有意義，而且從目標分析到發現解答的整個程序，皆屬評估範

圍。

Schoenfeld(1985)強調數學解題需考慮四個面向：資源(resources) ：解題的相 關數學知識，包含了數學事實、程序及技巧等訊息；捷思(heuristics) ：解題歷程 所使用的策略，例如簡化問題、畫表格、猜測等；控制(control)：著重在解題者 解題時，如何決定計畫、如何選擇目標及評估解題結果等方面；信念(belief system)：

指如何有效地運用資源及採用適當的策略。Schoenfeld（1985）將 Polya 的解題 歷程細分為六個階段， 閱讀、分析、探索、計劃-執行、驗證及轉移。

Garofalo &Lester(1985) 與Polya、Schoenfeld之解題歷程相近，建立了「認知 -後設認知」的解題模式，分為四個步驟，1.定向：評估並瞭解問題。2.組織：擬 定計畫並選擇策略。3.執行：執行計畫並在過程中監控解題狀況。4.驗證：驗算 計畫執行結果。

Mayer(1992) 從認知心理學的觀點將數學解題歷程及知識做了較具結構性的 分析，將解題歷程分為四個步驟，分述如下：1.問題轉譯(problem translation)：將 題目轉化成自己所瞭解的話語呈現。問題轉譯需要有良好的陳述性與程序性知識，

將問題從文字表徵轉換成心理表徵。2.問題整合(problem integration)：將問題的敘 述組合成連貫的表徵。為了整合問題的訊息，需要具有相關的先備知識。3.解題 的計畫與監控(solution planning and monitoring)：需具有如何解決問題的策略知識。

4.解題的執行(solution execution)：用程序性知識執行正確且有效的算式。

陳建廷 (2006)以Schoenfeld 之解題歷程為藍本，將其轉移階段併入驗證階段，

另外細分出計劃與探索兩階段，依序如下：讀題、分析、探索、計畫、執行、驗 證共六階段。

綜觀上述解題歷程，本研究所使用的後設認知鷹架策略則根據 Bloom 從所定

可使答案有更高的準確性(Thevenot & Oakhill, 2006)。Hill 與 Hannafin (2001)則指 出程序鷹架對學習目標的明確要求，能使學生將焦點放在任務本身，可有效降低