線上合作鷹架策略對於國小學童數學學習成就與學習態度之影響
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(2) 線上合作鷹架策略對於國小學童數學學習成就與學習態度之影響 吳佩樺. 摘要. 鷹架策略能幫助學生在學習過程中，透過互動的方式了解如何學習及學習什 麼，在適當的時機放手讓學生建構自己的知識，透過鷹架的輔助讓他們有能力去 探索及嘗試，進而提升學習技能與知識，因此本研究旨在探討在線上合作學習平 台的環境下，透過不同鷹架策略輔助學生進行解題討論活動，如後設認知鷹架、 程序鷹架與無鷹架三種策略，對於國小學生因數與倍數之學習成效與學習態度的 影響，包括得分及態度上是否有所差異，作為提升數學解題能力之參考。 本研究採不等組前後測設計，以台北市某國小五年級學生 90 人為參與者， 分成三組進行教學實驗，自變項包含後設認知鷹架策略、程序鷹架策略及無鷹架 策略，以學生之學習成效與學習態度為依變項，實驗結果如下所述。 一、數學解題成就 1.不同的線上合作鷹架輔助之下，各組學生的數學解題成就有顯著差異。 2.不同的線上合作鷹架輔助之下，高分組及低分組學生的數學解題成就有顯 著差異。 二、數學學習態度 1.在情感性的表現上，程序鷹架策略組分數顯著高於後設認知鷹架策略組及 無鷹架策略組。 2.在價值性的表現上，程序鷹架策略組和後設認知鷹架策略組分數顯著高於 無鷹架策略組。 3.在動機性的表現上，程序鷹架策略組和後設認知鷹架策略組分數顯著高於 無鷹架策略組。 數學學習態度量表實驗結果，程序鷹架策略組和後設認知鷹架策略組成績高 於無鷹架策略組。 最後，本研究依據研究結果在研究及數學教學上提出若干建議。. 關鍵詞：線上合作學習、鷹架策略、數學學習成就、數學學習態度 i.
(3) The effect of online collaborative scaffolding strategies on mathematics learning achievement and attitude of elementary students Wu, Pei-Hua. Abstract. Scaffolding strategies that can help students to know how to learn and to learn what in an interactive way, and let the students construct their own knowledge at the right time, so that they have the ability to explore and try, enhance further learning the skills and knowledge. The purpose of this study was to examine the influence on learning effects on problem solving, including the difference of the scores in achievement test and attitude, when students studied collaborative problem solving on Moodle through different strategies of meta-cognitive scaffolding strategy, procedural scaffolding strategy and non- scaffolding strategy. The study can be reference for promoting students’ mathematical problem solving ability. A nonequivalent pretest-posttest group design was used with 90 participants of three classes of the fifth grade at an elementary school in Taipei City. They were assigned to three groups. This study uses three dependent variables which include meta-cognitive scaffolding strategy, procedural scaffolding strategy and non- scaffolding strategy. Students’ mathematical achievement of problem solving and students’ attitudes toward mathematical learning are adopted as the independent variables. There were conclusions as follows. 1. The analysis of students’ mathematics learning achievement of problem solving. (1)The score on word-problem-solving test of the meta-cognitive scaffolding strategy group and procedural scaffolding strategy group performed significantly better than control group. (2)There was significant difference between different scaffolding strategy group and intelligence quotient level in the scores of mathematics learning achievement. The group of higher score and lower score had significant effects on problem solving.. ii.
(4) 2. The analysis of students’ attitudes toward mathematics learning (1) In terms of student’s mathematics learning attitudes, there were significant differences between the two groups. The procedural scaffolding strategy group performed significantly better than meta-cognitive scaffolding strategy group and nonscaffolding strategy group on emotional performance. (2) In terms of student’s mathematics learning attitudes, there were significant differences between the two groups. The meta-cognitive scaffolding strategy group and procedural scaffolding strategy group performed significantly better than nonscaffolding strategy group on valuable performance. (3) In terms of student’s mathematics learning attitudes, there were significant differences between the two groups. The meta-cognitive scaffolding strategy group and procedural scaffolding strategy group performed significantly better than nonscaffolding strategy group on motivational performance. The learning attitude of the meta-cognitive scaffolding strategy group and procedural scaffolding strategy group are higher than the non- scaffolding strategy. Finally, based on the results, several suggestions could be made toward studies and mathematics teaching. Keywords: online collaborative learning, scaffolding strategies, mathematics learning achievement, mathematics learning attitudes. iii.
(5) 誌謝 經過漫長的努力，終於輪到我要寫致謝詞，本論文的完成，首先要誠摯感謝 指導教授何榮桂老師悉心的指導，不時的討論並指點我正確的方向，使我在這些 年中獲益匪淺，老師對學問的嚴謹更是我學習的典範。 此外，也要感謝兩位口試委員簡茂發老師與郭靜姿老師對這份論文的建言， 在百忙之中不辭辛勞，願意擔任這份論文的口試委員，同時以豐富的學術涵養與 嚴謹的研究態度，給予這份論文精闢的見解與寶貴的建議，使得這份論文能夠更 為完整。 在研究所的日子，感謝文偉、永進學長、麗如、紫珊、瑞敏、育榕學姐們不 厭其煩的指出我研究中的缺失，總能在我迷惘時為我解惑，也感謝君玉、宜娣、 哲宇、毓筑、婉寧好姐妹們的陪伴，雖然各自忙著事業與課業，但偶爾的小酌聚 餐也頗愜意。實驗室的文揚、駿奕、牧弦、景麟、瑞鴻學弟們當然也不能忘記， 實驗室裡共同的生活點滴，學術上的討論、閒扯及革命情感，讓生活多采多姿， 以及婉娟姐與信雄學長的幫忙我銘感在心，感謝你們！我是如此的幸運有你們的 陪伴。 最後，我要感謝最親愛的爸爸、媽媽與妹妹，因為你們全心全意的支持，讓 我無後顧之憂的完成學業，內心的感動溢於言表，謹以此文獻給我摯愛的家人及 所有關心我的人。 回首過去，要感謝的人實在繁不及備載，感謝之意時時放在心底，但若有因 為我的疏忽而有所遺漏的，請你們見諒，在我心裡其實抱著十二萬分的感謝。最 後，再一次感謝所有的師長、家人與朋友，感謝在這段時間刺激我、鼓勵我、幫 助我，還有陪我吃喝玩樂的家人、同學和朋友，謝謝你們讓我的生活每天都多采 多姿，有你們的協助與支持，讓我能夠順利完成論文，謝謝你們！我會懷念這一 段辛苦卻又充滿回憶的日子！. 吳佩樺 謹誌 中華民國一○一年七月 iv.
(6) 目錄 摘要. .................................................................................................................i. Abstract ................................................................................................................ii 目錄 ................................................................................................................ v 表目錄 ...............................................................................................................vi 圖目錄 ..............................................................................................................vii 第一章 緒論........................................................................................................ 1 第一節 研究背景與動機 ............................................................................. 1 第二節 研究目的 ......................................................................................... 5 第三節 待答問題 ......................................................................................... 5 第二章 文獻探討................................................................................................ 6 第一節 鷹架的相關理論與研究 ................................................................. 6 第二節 數學解題之相關理論 ................................................................... 11 第三節 合作學習的意義、形式及相關研究 ........................................... 14 第四節 數學學習成就與態度 ................................................................... 19 第三章 研究方法與程序.................................................................................. 21 第一節 受試者 ........................................................................................... 21 第二節 研究設計 ....................................................................................... 22 第三節 研究工具 ....................................................................................... 23 第四節 實施程序 ....................................................................................... 32 第四章 結果與討論.......................................................................................... 36 第一節 因數與倍數成就測驗分數的分析 ............................................... 36 第二節 數學學習態度量表分析 ............................................................... 39 第三節 線上合作鷹架策略對不同成就學生學習成效之分析 ............... 43 第四節 綜合討論 ....................................................................................... 49 第五章 結論與建議.......................................................................................... 52 第一節 結論 ............................................................................................... 52 第二節 建議 ............................................................................................... 55 參考文獻.............................................................................................................. 56 附錄 1 因數倍數合作學習教材......................................................................... 67 附錄 2 因數倍數成就測驗................................................................................. 74 附錄 3 因數與倍數成就測驗難度與鑑別度分析............................................. 78 附錄 4 數學學習態度量表................................................................................. 79 附錄 5 數學學習態度量表之因素分析............................................................. 81. v.
(7) 表目錄 表 表 表 表 表 表. 3-1 3-2 3-3 3-4 4-1 4-2. 受試者分佈 ............................................................................................ 21 研究設計 ................................................................................................ 22 成就測驗評分方式 ................................................................................ 29 各向度之 Cronbach’s α 係數 ................................................................. 31 後測得分的組內迴歸係數同質性檢定 ................................................ 36 成就測驗的原始分數與調整後分數之敘述統計 ................................ 37. 表 表 表 表 表 表 表 表 表. 4-3 調整後的後測得分之共變數分析摘要表 ............................................ 37 4-4 後測得分之事後比較 ............................................................................ 38 4-5 學生對於數學之學習態度 .................................................................... 39 4-6 數學學習態度量表之變異數分析摘要表 ............................................ 41 4-7 數學態度量表之事後比較 .................................................................... 42 4-8 高分組成就測驗得分的組內迴歸係數同質性檢定 ............................ 43 4-9 高分組學生成就測驗的原始分數與調整後分數之敘述統計 ............ 43 4-10 高分組調整後的成就測驗得分之共變數分析摘要表 ....................... 44 4-11 高分組成就測驗得分之事後比較摘要表 ........................................... 44. 表 表 表 表 表 表 表 表. 4-12 中分組學生成就測驗得分的組內迴歸係數同質性檢定 ................... 45 4-13 中分組學生成就測驗的原始分數與調整後分數之敘述統計 ........... 45 4-14 中分組調整後的成就測驗得分之共變數分析摘要表 ....................... 46 4-15 中分組成就測驗得分之事後比較 ....................................................... 46 4-16 低分組學生成就測驗得分的組內迴歸係數同質性檢定 ................... 47 4-17 低分組學生成就測驗的原始分數與調整後分數之敘述統計 ........... 47 4-18 低分組調整後的成就測驗得分之共變數分析摘要表 ....................... 48 4-19 低分組成就測驗得分之事後比較 ....................................................... 48. vi.
(8) 圖目錄 圖 圖 圖 圖 圖 圖 圖. 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7. 討論區模組畫面 .................................................................................... 24 聊天室模組畫面 .................................................................................... 25 學習單元模組畫面 ................................................................................ 26 單元課程結束指導語畫面 .................................................................... 27 作業模組畫面 ........................................................................................ 28 實驗流程圖 ............................................................................................ 32 線上鷹架輔助策略流程圖 .................................................................... 33. vii.
(9) 第一章 緒論. 第一節. 研究背景與動機. 2007 年「國際數學與科學教育成就趨勢調查」 （Third International Mathematics and Science Study, TIMSS）公佈，台灣學生的數學與科學表現排名世界前 3 名， 不過，學生的學習態度及自信心卻遠低國際平均值。而國內數學教育深受入學方 式的影響，教學目的大多是為紙筆測驗作準備，因此強調技巧、公式及程序的熟 練，而不強調理解、陳述及推理。多數老師為了因應考試需求，給予學生過多的 作業與練習，忽略了培養學生主動積極的學習態度以及終身學習的能力。 台灣教師於國小的教學法大多數仍使用傳統方式，跳脫不了記憶與背誦。雖 然有足夠練習，卻沒有反省與思考的空間，使得學生不喜歡學習，學習態度及自 信心部份尚有很大的進步空間。分析台灣數學與自然的成績，發現在台灣 8%的 四年級學生仍然未達數學的中等程度，一直到國中二年級，未達數學中等程度之 學生比率攀升至 14%，對照新加坡與韓國，台灣的低分學生比例偏高。年級越高， 學生對於數學解題的興趣及能力也隨之降低。 近一、二十年來，各國對於數學解題能力的研究發展特別重視，1977 年美 國數學督導學會(National Council of Supervisors of Mathematics, NCSM)指出「學數 學的目的是為了解決問題」、美國教師協會(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)(1980)亦強調「數學教育的核心是解決問題」 ，近幾年因應世 界潮流並配合社會的變遷，我國九年一貫課程強調數學教學應著重學生概念的瞭 解與能力的培養，避免零碎知識的記憶與背誦（教育部, 2001） ，其中十大基本能 1.
(10) 力也提到要培養學生獨立思考與解決問題的能力，由此可見，培養學生解題能力 是很重要的。而現今的數學教育強調技巧和公式不強調理解、推理，沒有反省與 思考的空間，造成刻板化的解題習慣，學生只是扮演接受者的角色，沒有辦法建 立屬於自己的知識。若學生可以主動學習，而不是被動接受，不僅可以建構自己 的知識，也可以加強概念的理解。 但在台灣的教育環境之下，學習大多還是以競爭為主，方式也屬於被動的接 受老師教學，學生在面對應用問題時，常因對於題意的理解不足，或熟背公式而 不瞭解形成原因，在統一標準教材下，學生變成有效率的解題工具，卻無法將所 學應用到日常生活中；而在課堂進行應用題討論時，也只有少部分的同學願意提 出解題的方法，大多數人則需仰賴老師或同學的提示才能完成，無論是課本或教 學內容，都無法充分讓學生合作解題，純粹是數學知識的討論，故在獨自解題時， 往往易產生困難。在此種狀況下，如何使學生主動學習，是很重要的課題。 國外研究者 John Dewey(1916)發現合作學習的環境可以促使學生主動學習， 互相幫助、批判修正與分享彼此的觀點，也透過同儕之間的合作討論克服學習中 所遇到的難題，降低學習障礙，增進學習的成效與動機。我們也可以從文獻、數 學教育研究，甚或英美國家的課程標準(DFE, 1995; NCTM, 1989)中可以發現越來 越重視數學合作學習的趨勢。研究發現，小組溝通互動學習在學習成效上優於傳 統教學的獨立學習(Empson, 2003；Fuson, Carroll & Drueck, 2000；Yang, 2003)， 且小組合作學習能增進學生的學習動機，藉由同儕互助建立彼此成功的學習經驗， 透過討論、發表、澄清過後，在修正自己所學的內容，致使學業成績較為進步(張 獻明，2002；林靜萍、楊坤原，2004；Preston，2005)，可見數學學習中相互溝通 的重要性。. 2.
(11) 在過去的研究中提到學生必須與能力較高的同儕合作，才能增進認知的成長 (Tudge, 1990)。但也有研究者指出不論程度高或程度低的學生，在鷹架輔助學習 之後，在認知上都有成長，而影響認知成長的主要因素，是在互動當中有效的分 享認知經驗(Cannella, 1993)。由上述研究發現，對於不同程度的學生來說，程度 的差異對於學習成效是否有所增長？研究結果相當分歧。 而利用網際網路進行教學，可以不受時間及空間的限制，教師可將傳統學習 環境改為網路學習，Hew and Cheung (2003)指出透過線上討論區來進行課程的討 論與學習，可以使學生相互觀摩彼此的問題點進而增加學習的經驗，培養學生自 主學習的機會，透過網路學習不僅能自由的討論，也可將想法公開保留在網路環 境裡，提供其他人瀏覽與互動，換句話說，藉由參與課程主題的討論，可以鼓勵 學生思考，進而提升更高層次的學習。但一般的網路學習常會因為教學受限於課 本內容，缺乏有效的互動，不僅限制了學生的解題思考，使得學習效果不彰，也 讓學生失去學習興趣。另外，學生缺乏合作解題的互動機制，讓合作學習沒有效 率。因此，如何協助學生在線上合作學習的環境表達自己的想法是數學解題中最 重要的課題。 綜觀台灣國中小課程，四年級至國中二年級之間，學習最不佳的單元為因數 與倍數，許多研究指出(林珮如，2002；陳標松，2003；黃寶彰，2003；陳筱涵、 2004；蕭正洋，2004；于國善，2004)大部分的學生對於因數與倍數的概念互相混 淆，導致應用題解題過程中使用錯誤的解題策略，造成錯誤的產生。由於觀念的 混雜，導致學生學習意願降低，對於學生解題的興趣及能力也有相當的負面影響， 因此本研究針對因數與倍數單元做探討。. 3.
(12) 綜上所述，為提昇學生學習興趣，並協助學生解決在面對數學應用問題上， 不知從何下手的困擾。本研究嘗試將相關研究者所提出的解題歷程及鷹架策略， 結合學生已具備的舊有經驗與運算技巧，融入五年級數學因數與倍數單元中，藉 以探討線上鷹架策略對於國小高年級學生數學解題能力的影響，並進一步探討對 於不同程度的學生之影響。本研究擬建置 Moodle 平台，透過網路為溝通媒介， 運用不同的鷹架策略與他人互動，包括後設認知鷹架、程序鷹架與無鷹架等三種 策略，期許提升學生因數倍數單元解題能力，並且對學生數學學習態度有正向的 影響，並增進理解及解決應用題的能力。此結果將作為線上數學解題輔助教學之 參考，並期望使用電腦輔助教學有更佳的成效。. 4.
(13) 第二節. 研究目的. 本研究擬針對國小五年級之「因數與倍數」課程，除探討與「傳統鷹架」教 學之不同外，也採用不同鷹架策略輔助數學解題，並探討三種不同的鷹架策略對 國小五年級學生於「因數與倍數」課程學習時，對於學生解題能力之影響。. 第三節. 待答問題. 基於上述研究目的，本研究欲透過線上合作鷹架的社會互動，以討論的方式， 幫助學生完成學習，並觀察應用題解題的成效及數學學習態度的轉變，擬定下列 研究問題做為本研究進行之指引：. 1.. 線上合作式鷹架策略，對於國小學生數學解題能力有何影響？. 2.. 線上合作式鷹架策略，對於國小學生數學學習態度有何影響？. 3.. 後設認知鷹架策略、程序鷹架設略及無鷹架策略對於國小不同程度學生 數學解題能力的影響為何？. 5.
(14) 第二章 文獻探討. 根據前述的研究動機與研究目的，本章分為三節探討相關文獻及研究結果。 分別說明鷹架的相關理論與研究、數學解題之相關理論與合作學習的意義、形式 及相關研究。. 第一節. 鷹架的相關理論與研究. 一、鷹架的意義 Vygotsky（1978）認為鷹架就是由成人或能力較強之同儕來幫助學生內在的 心理能力成長。在教學進行時，教師是否能視學生需要，適時給予鷹架支持，待 學生熟悉其學習任務，再慢慢撤除其鷹架，將學習責任還原給學生。根據鷹架解 題策略，在學生的近側發展區內，提供數學解題特定的鷹架協助(scaffolding)，讓 學生發展出獨立解決問題的技能(Vygotsky & Kozulin, 1986)，也就是根據學生目前 的待解決的關鍵處及下一步的目標，給予相關的提示，鼓勵學生自行完成整個解 題的過程。主要強調以學生的學習為主，老師透過引導使學生內在的認知結構和 外在的學習環境產生衝突及調適，以建構出新的知識（Von Glasersfeld, 1996） 。因 此，搭鷹架就是幫助學生去解決問題、執行工作或是達到某個目標的過程，而這 些問題、工作或目標是超出學生能力所及的，在過程中提供必要的支持、協助， 讓學生能專注、獨立地完成任務。. Langer（1991）則認為鷹架應該包含不同意見之間的協商，溝通和認知個重 要議題便是「溝通」與「認知」，透過語言的社會互動功能將有助於促進學生對 問題的解決與反思能力，以達成學習遷移的效果，並促進學生自我導向學習能力 6.
(15) 之培養。. Rigney（1978）和 Brown（1987）對「認知鷹架」下定義，將認知鷹架策略 界定為學得、選取、保留、及反思不同種類的知識等的活動。同時，有許多的研 究認為，諸如專屬信箱、留言板、討論區、即時交談等電腦應用技術，是可以支 援學習的認知工具（cognitive tools）(Jonassen, 1996; Jonassen & Reeves, 1996; Jacobson & Spiro, 1995)，透過鷹架、前導組體、學習路徑圖、學習歷程記錄、個 人筆記簿歷程記錄、討論區歷程記錄、即時交談歷程記錄等可以作為輔助學習的 認知策略。 過去與鷹架的相關研究，大多將學生視為被動的接受者，在此情況之下，並 不符合社會互動與建構觀點。楊代誠（2004）認為，應當以動態與雙向的觀點來 重新詮釋近側發展區間（the Zone of Proximal Development，簡稱 ZPD）理論，數 學高成就的學生不一定是協助，而低成就的學生也未必是接受者，才能獲得較符 合社會建構主義精神的詮釋。 綜上所述，鷹架就是在學習過程中，有系統幫助學生去解決問題、執行工作 或是達到某個目標的過程，透過與他人雙向互動，促進問題解決與反思能力，達 成學習遷移的效果。因此，本研究擬透過不同的鷹架策略輔助雙向溝通，讓每位 學生都能參與過程，建構自己的解題想法。 二、鷹架類型 Wood、Bruner 和 Ross（1976）等提出六種在學習上所能提供的鷹架理論基 礎，1.促使學生主動參與學習；2.可以協助學生了解重點；3.可以做為示範；4.減 輕學習的負擔；5.循序漸進的學習；6.控制學習過程所遇到的挫折。透過鷹架的 輔助，可以幫助兒童發展學習的能力，使兒童最後能夠自行完成。. 7.
(16) 鷹架會隨著學習活動的安排之不同，而其建構的方式亦隨之有所差異。Dyson （1990）則將鷹架依教學的意義分為垂直與水平兩種，(1)垂直鷹架：將學習內容 結構化，並透過學生漸進的學習互動中提高認知的複雜度，以培養其應用能力； (2)水平鷹架：強調教學與學習內容應配合學生的社會背景與經驗，透過較有經驗 的同儕輔助共同建構學習經驗。 在資訊科技融入教學的環境中，鷹架為提供給學生由科技傳達的支持，以協 助學生達成特定的學習目標(Sharma & Hannafin, 2007)。Hill 及 Hannafin(2001)提 出以下四種學習鷹架，(1)概念鷹架(Conceptual Scaffolding)：運用大網及概念圖， 幫助學生作思考，尤以教師指派的任務有多種不同方法適用；(2)後設認知鷹架 (Metacognitive Scaffolding)：教師提供一個明確的認知過程，指引學生在學習活動 中作思考，幫助學生培養後設認知的技能；(3)程序鷹架(Procedural Scaffolding)： 幫助學生使用資訊科技等工具，包含提供詳細步驟、網站導覽圖，及曲線圖等； (4)策略鷹架(Strategic Scaffolding)：可適時提供學生建議，幫助學生發展出問題解 決的方法。 Rittle-Johnson 與 Koedinger (2005) 根據知識類型的分類，將鷹架分為三種， (1)情境鷹架(Contextual Scaffold)：透過情境式的問題，引起學生的背景知識；(2) 概念鷹架(Conceptual Scaffold)：透過概念性知識引導問題的理解，視覺化的呈現 （如圖片和圖表）使學生能夠運用現有的策略解決問題或產生新的解決問題的策 略。(3)程序鷹架(Procedural Scaffold)：程序知識的輔助策略是循序漸進的方式整 合各種學過的知識逐步解決問題。 而陳育琳（2006）按照溝通型態，將鷹架分為以下三類，(1)教學鷹架：老師 技巧性的組織環境，重複的(recursive)和螺旋的(spiral)學習，使學生有效的學習， 並隨著學生個別需要做動態修正；(2)對話(discourse)鷹架：學習是一種社會過程， 透過學生不受限制的相互溝通建構而成；(3)同儕鷹架：學生與年齡相仿的學生溝 8.
(17) 通、互動，以獲得指引或接受新的刺激。 葉辰楨、王國華和蔡明致 (2010)則根據後設認知鷹架的概念，分為結構性鷹 架及動態性鷹架。結構性鷹架引導學生運用自己的先備知進行探究，分析自己不 足的部分，尋求適切的協助。動態性鷹架則根據各組的進度與遭遇的問題不同， 除了以結構式鷹架提供支持外，亦適時提供動態鷹架，以協助各小組解決因認知 架構或實驗操作能力不足造成的困難。 三、鷹架理論在教學上的應用 在鷹架理論的應用上，因為 Vygotsky 只針對可能發展區的概念做探討，因此 不同的研究者以不同的詮釋發展教學方式，並建構相關的教學模式(李長燦，2003)。 蔡慧玲(2001)的研究中探究國小二年級學生數學課中，老師利用引導策略協助學 生說明數學解題想法的情形，研究發現老師鷹架引導有助低年級學生說明解題想 法。 在曹萬春(2005)的研究中運用鷹架理論輔助學童分數迷思概念的學習，探討 在數學領域之分數基本概念具有迷思概念的學童，進行補救教學後之學習成效及 學習態度的情形，結果發現有助於學生的數學學習。而類似的研究中(陳正明，2003) 以國二學生為例，探討透過 Excel 輔助之後其學習態度的改變，及對補救教學的 看法。研究結果發現學生在學習函數的成效與學習態度上都有顯著的進步。 相關的研究顯示(陳麗春，2004)應用網際網路輔助數學解題，學生在數學學 習成就上有明顯差異，雖然在數學態度改變上雖沒有顯著差異，但學生持肯定且 正向態度，尤其是中分群的學生給予較多的肯定。. 9.
(18) 綜合以上所述，透過不同種類的鷹架，老師可以在不同的教學環境中，給予 符合學習內容和對學習有所助益的支持，因此本研究採用能給予學生詳細解題步 驟的程序鷹架，以及能引導學生在學習任務中思考如何解題的後設認知鷹架，期 望透過這兩種鷹架的支持能有效提升學生的態度及學習成效。. 10.
(19) 第二節. 數學解題之相關理論. 數學解題強調推理能力的養成與學生自我建構知識，讓學生不只是死板的將 公式記熟，而是強調概念理解 (Jackson, Krajcik, &Soloway ,1998)，鷹架可以融入 和真實世界一樣的情境，提供學生使用多種解題方法的機會來解題，讓學生主動 探索。 許多學者針對解題歷程有進一步的分析，Polya(1945)將解題歷程分為四個階 段：1.瞭解問題(understanding the problem)；2.擬定計劃(devising a plan)；3.執行計 劃(carrying out the plan)；4. 驗算與回顧(1ooking back)。 Kilpatrick（1967）以Polya 的四個解題歷程為依據，將各階段的解題策略之 檢核表重新修正為：1.瞭解問題：辨認未知資料或條件，透過畫圖及引入符號詮 釋題目。2.擬定計畫：重新敘述問題，並考慮相關問題。3.執行計畫：檢查解題 步驟。4.檢討：檢查答案是否合乎題目所需求。. Lester(1980)以六階段來描述數學解題過程，並強調這六個階段相互的關係。 如下所述：（一）察覺問題(problem awareness)：解題者對所面臨的情境，能覺察 到是一個問題，並且有意願解決問題。（二）理解問題(problem comprehension)： 這個階段包含兩個子階段：1.轉譯(translation)：解題者將問題提供的訊息譯成自 己可以理解的語句。2.內化(internalization)：解題者選取相關的訊息，並判斷其相 關的程度。 （三）目標分析(goal analysis)：將問題變形以便應用熟悉的策略與技巧。 （四）計畫發展(plan development)：解題者擬定一個可行計畫、清楚可行的策略， 將子目標編列程序和詳細運算。 （五）計畫執行(plan implementation)：解題者執行 擬定的計畫。 （六）程序和解答評估(procedures and solution evaluation)：此階段不 僅要檢查答案是否有意義，而且從目標分析到發現解答的整個程序，皆屬評估範 11.
(20) 圍。 Schoenfeld(1985)強調數學解題需考慮四個面向：資源(resources) ：解題的相 關數學知識，包含了數學事實、程序及技巧等訊息；捷思(heuristics) ：解題歷程 所使用的策略，例如簡化問題、畫表格、猜測等；控制(control)：著重在解題者 解題時，如何決定計畫、如何選擇目標及評估解題結果等方面；信念(belief system)： 指如何有效地運用資源及採用適當的策略。Schoenfeld（1985）將 Polya 的解題 歷程細分為六個階段， 閱讀、分析、探索、計劃-執行、驗證及轉移。 Garofalo &Lester(1985) 與Polya、Schoenfeld之解題歷程相近，建立了「認知 -後設認知」的解題模式，分為四個步驟，1.定向：評估並瞭解問題。2.組織：擬 定計畫並選擇策略。3.執行：執行計畫並在過程中監控解題狀況。4.驗證：驗算 計畫執行結果。 Mayer(1992) 從認知心理學的觀點將數學解題歷程及知識做了較具結構性的 分析，將解題歷程分為四個步驟，分述如下：1.問題轉譯(problem translation)：將 題目轉化成自己所瞭解的話語呈現。問題轉譯需要有良好的陳述性與程序性知識， 將問題從文字表徵轉換成心理表徵。2.問題整合(problem integration)：將問題的敘 述組合成連貫的表徵。為了整合問題的訊息，需要具有相關的先備知識。3.解題 的計畫與監控(solution planning and monitoring)：需具有如何解決問題的策略知識。 4.解題的執行(solution execution)：用程序性知識執行正確且有效的算式。 陳建廷 (2006)以Schoenfeld 之解題歷程為藍本，將其轉移階段併入驗證階段， 另外細分出計劃與探索兩階段，依序如下：讀題、分析、探索、計畫、執行、驗 證共六階段。. 12.
(21) 綜觀上述解題歷程，本研究所使用的後設認知鷹架策略則根據 Bloom 從所定 義的概念知識（Conceptual Knowledge）理念進行設計，從較複雜、較大的問題元 素間，提示其中的共同屬性，並予以分類形成的知識，透過漸進提示的方式，連 結學生的舊經驗(乘法、除法)，讓學生了解因數與倍數是運用乘除概念來進行溝 通。此時才能夠培養學生類化乘除法概念為其它概念的學習，培養學生了解如何 利用既有概念進行學習新概念的數學推理，連結既有概念與新概念，以及利用既 有概念溝通新概念的數學能力，讓學生自行思考獲透過同儕討論後解決問題，以 達到學習目標。 程序鷹架擬透過步驟式的流程引導學生透過討論、溝通的方式處理應用問題， 可使答案有更高的準確性(Thevenot & Oakhill, 2006)。Hill 與 Hannafin (2001)則指 出程序鷹架對學習目標的明確要求，能使學生將焦點放在任務本身，可有效降低 學生的認知負載。 Lim (2001)亦指出程序鷹架能使過步驟性引導的方式，幫助學 生老師專注在教學方法上，可支持較低層次認知活動。 本研究所使用的程序鷹架策略，將合作解題流程分為轉譯問題、引導分析題 目及條件、檢視計畫與討論可行性、執行與驗證五個步驟，分述如下。 1.瞭解問題：提問者要求作答者重新敘述題目，但不改變題目本意；作答者 經轉譯瞭解問題，並判斷題目中已知和未知的條件。 2.分析題目及條件：提問者引導簡化問題；作答者試著用較小的數來代入嘗 試解題。 3.計畫與討論：作答者擬出解決問題的程序，並說明自己的想法；提問者檢 視解決問題的過程，並思考是否可以使用不同方法得到答案。若作答者無法作答， 提問者可提供自己的想法進行討論，對話過程中溝通、解釋想法，進而達成共識。 4.執行：作答者進行運算。 5.驗證：提問者檢查解題步驟、答案是否合乎條件。. 13.
(22) 第三節. 合作學習的意義、形式及相關研究. 一、合作學習的意義 Parker(1985)認為合作學習提供一種合作的學習環境，且指出學生在異質小組 中與同儕一起學習，可以互相幫助、提供資源、批判並修正及分享彼此的觀點， 當個別的學生所要達到之學習目標與其他同學之間存在有正向積極的互賴關係 時，該學習情境即為合作學習(Johson & Johson, 1991)。Nijhot & Kommers(1985) 認為合作學習是一種可以鼓勵學生討論、思考的方式，Slavin(1985)認為合作學習 是一種有有系統的教學策略，可以提高個人學習效果及團體目標。綜合以上文獻 可歸納出下列特點。 （一）培養合作精神和競爭意識 過去的課堂中，雖然也有合作，但僅著重於討論，非真正的合作。而合 作學習，有不同的合作形式，有嚴格的分工，有共同的合作動機和學習責任， 學生必須團結、信任，在共同的期望目標激勵下，最大限度地完成小組分給 自己的任務。另外通過對合作學習結果的自評、互評和教師的評價比較，體 現了競爭，使學生的合作精神、競爭意識可以完整的發揮。 （二）增強學習風氣 過去的學習，多數是老師講、學生聽，即使是學生發言也是學生站起來 一個一個的講，因為學生多數不能在規定的時間把老師提出的問題表達清楚。 久而久之，就形成了課堂上只有少數同學發言的被動狀況。而合作學習就有 效地打破了這種狀況，面對老師的問題，全體同學都必須參與，必須按照分 工提出自己的意見，與其他同學交流，共同學習、共同進步。在這種參與互 14.
(23) 動中，也增強了學生的學習風氣。 （三）培養學習能力，提高學習效率 與傳統被動式性學習相比，合作學習的方式是，學生在老師的指導下， 面對共同的問題，每位同學都必須按分工先拿出自己的意見，即使意見是錯 誤的，也必須自己先講出來，再得到別人的糾正。因此，學生都得動腦筋來 思考問題。而討論的問題經過小組的補充、修正，形成比較科學的答案。在 這個過程中，學生增強了學習態度也學到了知識，提昇了學習效率。 （四）培養創造能力 合作學習的方式不斷地進化，學生合作討論的問題也從老師提出、學生 提出到多種形式的提出問題。在合作學習中，老師已不再限定學生討論的答 案統一在老師事先限定的框框之中，學生討論結果也有很多是老師始料不及 的，但卻是精彩獨到的、受學生矚目和歡迎的，是超越老師和挑戰教材的。 在這種學習方式下有很多被動接受的同學，也能產生出一些獨到的見解和奇 特的想法。 二、合作學習的應用 合作學習的方式為透過老師提供一個引發學生認知衝突的問題，引發學生進 一步進行探究的動機，並透過合作，來共同解決問題。學生以分組的方式，藉由 分工互助和互動的過程來澄清彼此的學習歷程，將知識作有系統的組織，分享彼 此的學習心得，並經由討論的方式來解決問題，提昇學生的學習成效及問題解決 的技巧(Johnson & Johnson, 1991)。 蔡文煥（2000）的研究發現，學生彼此之間擁有相當多共同的舊經驗，比較 能產生共享認知的機會。合作學習廣泛運用在不同學科領域上，透過線上學習是 15.
(24) 一種熱門的趨勢，林建仲、鄭宗文（2001）認為傳統學習最大的缺點在於欠缺同 儕之間的互動，而網路上的合作學習（cooperative learning）充份發揮了網路的特 性，藉由網路平台的功能，將學生緊密結合在一起，增進學習社群之間的互動， 不僅讓學生培養尊重他人想法與接受他人批評的態度，更使學生對學習負起責 任。 沈慶珩（2004）也提出資訊融入教學可充實學生與人合作的經驗與能力，學 生可運用各種資訊工具發表個人學習心得、成果與情感，並利用網際網路、電子 郵件等工具，與同儕、教師與專家進行資料的溝通、分享與討論，培養與人合作、 主動探索的能力，進而促使學生運用資訊科技作為學習的工具，以培養終身學習 的能力與習慣。 三、合作學習相關研究 許多研究顯示小組合作能夠在互動過程中澄清彼此的想法，將知識做有系統 的組織，分享彼此的發現，以討論的方式來解決困難(劉錫麒，1991；張景媛，1994； 張靜嚳，1995)。 張獻明(2002)提出在國中數學科實施合作學習法，對學習態度、學習氣氛及 學習成就的表現。研究結果發現分組討論時，老師扮演著關鍵角色，其作為左右 了合作學習的成敗，老師可善加運用同儕的影響力，讓學生自動建立自治的能力， 而合作學習對學生學習數學的動機、班級學習氣氛及數學學習成就均有正面提 昇。 黃詠仁與王美芬（2002）在國小自然科合作學習教學策略之行動研究中，探 討學生對於合作學習的反應和學習成果發現合作學習，結果發現：1.合作學習的 教學活動能提供良好的互動教學環境，有助於社會技巧的培養；2.合作學習能增 進學生的學習動機，有助於學生學科知識的學習；3.在合作學習的教學情境下， 16.
(25) 能提昇學生的學習態度。而在林政輝(2002)的研究中也探究在討論的學習環境下， 表達能力之成長情形。研究結果發現，小組討論有助於表達能力成長。 從林靜萍與楊坤原（2004），自然與生活科技領域教學經驗談-小組合作學習 之成效研究中，可以了解小組合作學習教學策略，並提高學生學習成效。黃寶園 與林世華（2002）針對國內合作學習對學習效果影響之相關研究作統合分析，結 果顯示有正面的學習成效。 Preston ( 2005 ) 讓學生自由分組，進行合作學習，利 用兩人小組進行程式教學寫作之學習活動，發現兩人小組進行學習活動對學生學 習程式寫作學習是有明顯的幫助。 在提升學生的學習成就研究上發現，中、低學習成就學生的學業成績進步空 間更顯著(粘金玉，2004；廖碧珠，2006)，在李淑如（2005）的研究中，實驗組 高、低成就學生的學習成就，較傳統講述法有顯著進步。但也有研究顯示：學習 成效並無顯著差異（林素如，2005）。 而隨著網路普及，以電腦為基礎的教學策略研究也愈來愈多，藉由網路的合 作學習，可提供較彈性的學習環境。許多實證研究也已證實學生在虛擬教室中， 進行瀏覽、搜尋的學習活動，能在某些科目中的學習評量得到與傳統面對面相等 或更加的學習成效（劉惠如，1999）。 綜合國內外學者對合作學習的看法，合作學習方式的產生是因應組員之間有 共同的、依賴的、正向之認知的學習目標，以及為了增進彼此互動、理解和友誼 等方面之情意的需要，而以一種有結構、有系統的教學方式進行，在過程中，鼓 勵組員之間互相幫助、提供資源，批判並修正、分享彼此的觀點、學習成果以及 學習成就上的喜悅，進而引導學生的認知能力朝向更高層次、多元的發展，來提 高個人學習效果及團體目標。. 17.
(26) 四、網路合作學習之探究 由於網際網路的發達，合作學習不再侷限於教室內，透過網路討論區、留言 版等分享、溝通、探究或解決問題，網路合作學習和一般課堂上的合作學習都是 強調培養學生高層次思考、溝通及社會互動等技能。網路科技的進步，使合作學 習不再侷限於教室範圍內，如何促使學生主動溝通、分享是網路合作學習成敗的 關鍵。 多位研究者對於網路合作學習視為一種參與的過程，學習的成效著重於是否 能產出有意義的知識(王千倖，2003；高碧玉，2005；李郁薇，2005)，在網路學 習環境，學生討論版容易淪為單向管道，或充斥著與課程無關的話題，主要的原 因是學生不曉得要問甚麼或說甚麼，所以成效不彰。因此，必須經過適當的引導， 協助克服不知道該如何溝通、發言的困難，才能達到網路合作學習的效果(王千 倖，2003；高碧玉，2005)。 在教育研究上，鷹架理論指的是協助學習者在學習過程中完成任務，由於學 生在網路合作學習的過程中，需要指導者引導，因此本研究擬設計網路合作鷹架 策略輔助學生合作學習，使學生能順利完成學習任務並達到網路合作學習的成 效。. 18.
(27) 第四節. 數學學習成就與學習態度之探究. 一、數學學習成就的定義與相關研究 數學，與生活息息相關，讓人們在繁雜的信息中，根據本身的知識和經驗， 條理地瞭解事情的來龍去脈，並應用以解決日常生活中的問題。而數學學習成就 的定義，根據不同研究者的觀點，會有不同的見解，一般來說，數學學習成就泛 指學生在接受數學課程後，在成就測驗上的成績表現(蔡政賜，2006；游俊雄，2007 柯巨航，2008；卓思廷，2008)。因此，本研究中所提及之數學學習成就即學業成 就，係指受試者在前一學年度三次段考之數學總平均成績。 在相關研究中，多為探討影響數學學習成就的相關因素，分析比較之後得知 數學態度積極、學習動機強者，會導致數學成就較高(林麗華，2006；游俊雄，2007； 林佩蓉，2008)，學校影響學生數學成就的因素大於學生學習特質。但在國小階段， 不同性別對於數學成就則無顯著相關(蔡政賜，2006；蘇一如，2007)，因此本研 究排除性別對於數學學習成就的影響。 許多關於數學學習態度與數學學習成就之研究結果都顯示學習態度與學習 成就的關係呈現正相關，學生對數學具有積極正向的態度，則會擁有較高的數學 學習成就(楊伯軒，2007；林宜慧，2007；卓思廷，2008)。 綜觀上述研究，可以發現數學的學習態度與數學學習成就間有正向關係，即 數學學習態度越好，其數學學習成就也會有越佳的表現。改善學生的數學成就， 必須從學生的態度著手，因此本研究希望透過鷹架策略輔助線上合作學習，能讓 學生有較正向的數學學習態度，以增進數學學習成就。. 19.
(28) 二、數學學習態度的定義與相關研究 不少的研究報告指出，數學對學生來說是最具困難與挫折的學科，不喜歡數 學的比率的隨年級逐漸增加而加深。過去的教學重點，強調於數學知識本身的認 知層面，注重記憶和解題技巧，造成學習的排斥與焦慮，自然就影響其在數學上 的學習成就，具有正向態度的學生會付出較多的努力在數學學習上。 有研究者把數學學習態度做分類，像是學數學的樂趣、重要性、動機、信心、 社會上的數學價值、數學的焦慮等綜合表現(余鴻穎，2006；康雅芳，2006；吳泓 泰，2007)，顧名思義，數學學習態度就是學生對於數學的認知、情意、技能方面 所表現出來不同程度的心裡傾向，可分為積極態度與消極態度，且有強弱度之分， 因此態度是可測量的。 數學的學習態度定義涵蓋的範圍相當廣，不同的研究者依其研究目的而有不 同的詮釋，許慧玉(2001)將數學學習態度量表分八大向度：數學學習信心、數學 學習動機、學習習慣、學習自我概念、溝通、互動傾向、數學的實用性。朱江文 (2003)認為數學對個人的影響、探究動機、對數學學習的看法、數學成玏的態度 等綜合表垷。Fennema 與 Sherman (1976)所編定的數學態度量表涵蓋了九個向度： 數學的實用性、數學是男性的領域、對學習數學的信心、探究數學的動機、對成 功學習數學所抱持的態度、學習者知覺父親對其學習數學的態度、學習者知覺母 親對其學習數學的態度、學習者知覺老師對其學習數學的態度以及數學焦慮。 本研究彙整以上研究者對數學學習態度的界定，參考 Fennema 與 Sherman (1976)所編定的數學態度量表，將數學學習態度分為三個構面情感性、價值性、 動機性等作為數學學習態度量表之構面。. 20.
(29) 第三章 研究方法與程序. 本章將分別說明受試者、研究設計、研究工具及實施程序。. 第一節. 受試者. 本研究之研究對象為台北市某國小五年級學生，三個班級總共 90 名學生， 這些學生皆具有整數的乘法和除法（整除）的概念，學過因數和倍數的計算，每 組學生為 30 人，並隨機指派為後設認知鷹架組、程序鷹架組與無鷹架組，每組 學生以第一學期的三次段考數學成績平均將學生進行異質分組，2 人一組，並以 合作學習方式進行教學，研究對象分佈如下表。 表 3-1 受試者分佈 組別. 性別. 男. 女. 合計. 後設認知鷹架組. 16. 14. 30. 程序鷹架組. 15. 15. 30. 無鷹架組. 15. 15. 30. 合計. 46. 44. 90. 21.
(30) 第二節. 研究設計. 本研究旨在探討線上鷹架策略對國小高年級學生數學應用題解題能力及數 學學習態度的影響。因此，本研究設計採不等組前後測準實驗設計，以部編版五 年級上學期數學「因數與倍數」單元進行教學，區分為實驗組「後設認知鷹架組」、 「程序鷹架組」及控制組「無鷹架組」，實驗組會在線上平台進行教學，控制組 則進行傳統課堂討論教學。三組均進行因數與倍數單元教學活動，教學實驗前， 取得三組學生的前一學期三次段考數學成績平均作為前測，並指導實驗組學生使 用 Moodle 平台。實驗過程中，實驗組會由線上平台記錄教學過程，教學時間為 每週一節，每節 40 分鐘，為期五週的時間後，實驗組及控制組皆進行因數與倍 數成就測驗與數學態度量表的施測，用以瞭解線上鷹架策略對學生數學解題的成 效是否有影響。此外，本研究為排除學生數學能力之不同對於依變項之影響，擬 以學生之數學成績為共變項進行分析。 本研究以組別為自變項；前測(前一學期三次段考數學成績平均)為共變項； 後測成績(因數與倍數成就測驗成績及數學態度量表分數)為依變項。根據研究目 的，探討線上鷹架策略在數學解題的成效及態度改變的差異，研究設計如表 3-2。 表 3-2 研究設計 組別. 前測. 實驗處理. 後測. 實驗組 1. O. 後設認知鷹架策略. O. 實驗組 2. O. 程序鷹架策略. O. 控制組. O. 無鷹架策略. O. 22.
(31) 第三節. 研究工具. 本研究所使用的工具包括因數與倍數教材、Moodle 平台、因數與倍數成就測 驗及數學學習態度量表。. 一、 教材內容 配合受試者學校的課程版本，以國小五年級部編版數學因數與倍數單元作為 教材，參考數學課本及教師手冊內容所編製，實驗組及控制組課程內容是相同的。 如附錄 1 所示。. 二、 Moodle 平台系統 本研究的實驗組透過 Moodle 平台進行數學解題活動，透過內建的討論區、 聊天室、作業與量表模組，希望能藉由群體的相互討論作為輔助教學。 1. 討論區：意見發問及分享。 當有人發表主題之後，對於其他人的做法有意見、有質疑或是認同，都 可以做回應(每個人至少要回應三篇)。. 23.
(32) 圖 3-1 討論區模組畫面. 討論區模組可以按照多種不同的方式加以組織， 還可以對每個貼文進 行相互評等，採非同步的方式進行溝通及討論。貼文可以用多種不同的格式 瀏覽，也可以包含附件。學生透過訂閱一個討論區後，透過電子郵件接受到 每一個新的貼文。. 當學生在解題時，必須思考如何說服別人，若自己無法解釋的話，就沒 辦法用。所以讓學生解題的時候，主動思考解題的想法，且其他人幫助說明， 也刺激了全班同學不同的思考方向，而且這些解釋是要依據自己所學，且大 家都聽得懂的。. 24.
(33) 指導語如下： (1)發表自己的做法，如果不知道該怎麼做，就發表自己對題目的看法， 或是不知道怎麼解決的地方，讓別人來幫你解答。 (2)去參觀至少三個人的想法，對他們的想法給予評論，無論是對或錯， 都值得去看看。 (3)判斷別人的想法是否正確。 (4)對其他人的正確想法可以提出認同。 (5)或是對其他人的錯誤想法可以提出質疑，並且說明你為什麼覺得不 對，解釋你的想法。 2.. 聊天室：即時討論及溝通。 聊天室模組允許多位參與者在瀏覽器上，以文字進行即時的溝通，提供. 瞭解其他人想法和問問題的方式，使用聊天室進行聊天與在討論區上進行的 非即時溝通是不同的，可用於管理和查看聊天情況。. 圖 3-2 聊天室模組畫面 25.
(34) 3. 學習單元：提供學習指引及重點提示。 單元課程介紹，以遊樂園一日遊為例(如圖)：在「您的答案」中填入對 此問題的想法及作法，並寫出答案。. 圖 3-3 學習單元模組畫面. 每個單元皆有一個討論區，做完單元課程時，就可以到討論區去分享做 法或疑惑，按下新增一個討論主題，就可以發表想法。. 26.
(35) 圖 3-4 單元課程結束指導語畫面. 學習單元模組以一種靈活有趣的方式來發佈內容。它包含一系列的頁面， 通常每個頁面的結尾都有一個問題，學生讀完後要作答才能進到下一單元。 Moodle 系統會根據學生的回答，將他帶入下一頁或者上一頁。 給學生設計有情境的應用問題，讓學生學習解決問題。為了避免學生只 想得到答案而不思考，所以先讓學生思考問題，記錄自己的解題想法之後， 才能到討論區進行討論。 指導語如下： 依據問題，將想法條列式寫出，直接寫答案或計算過程則依不 同情況部分計分。. 27.
(36) 4. 作業：依照不同實驗組別，而有不同的引導語，協助完成解題活動。 和其他人討論過、參觀過其他人的做法，並且獲得其他人意見後， 即可到課程心得的地方繳交作業，按下「修改繳交的作業」就可以依據 以下幾點，寫下你的心得。. 圖 3-5 作業模組畫面. 作業模組允許教師分配任務給學生，讓學生準備一份(任意格式的) 電子文檔，並上傳到伺服器上。常見的作業形式包括論文、試題和報告 等等。在這樣解題與討論的歷程中，藉由互相討論各自的解法，學生有 機會透過省思自己的經驗來產生學習，重組自己的數學知識體系，建構 自己的數學概念。 指導語如下： (1)寫下這一個單元所學到的東西(哪些已經懂了？哪些還不懂？)。 (2)寫下和同學討論的內容及對討論主題的回答。 (3)比較自己和其他人的解題方法有甚麼不同？ 28.
(37) 三、因數與倍數成就測驗 本測驗之目的在於瞭解線上鷹架策略輔助數學應用題解題活動後，實驗組及 控制組學生數學因數與倍數單元的學習成效是否有差異。因此，測驗編製依據九 年一貫數學能力指標，並參照教師手冊、課本及習作等內容，經國小教師審題後 進行預試，將不適合、題意不清、須加強之題目進行修改。. 1.預試 在正式施測前，針對因數與倍數成就測驗進行預試，由台北市某國小五 年級學生 105 人，其中男生 55 人，女生 50 人進行預試，受試者皆已學過因 數與倍數單元，預試後依試題分析的難度與鑑別度進行檢驗。施測結果，難 度介於 0.25～0.81 之間，鑑別度介於 0.12～0.86 之間，平均難度 0.53，平均 鑑別度 0.61，重測信度為 0.78(間隔 30 天)，以五年級數學成績為效標，效標 關聯效度為 0.80，預試結果如下表所示。 本研究依照預試分析結果進行難度及鑑別度分析(如附錄 3)，並對預試題目進 行刪減及修改，以作為正式施測之學習成就測驗(如附錄 2)，此試題共三面，應用 題共 12 題，每題 4 分。評分標準如表 3-3 所述。 表 3-3 成就測驗評分方式 得分. 解題表現 4. 考慮所有條件，過程無誤，且答案正確。. 3. 概念正確，但計算錯誤，導致答案錯誤。. 2. 有正確的概念運用。但忽略問題的某個已知條件。. 1. 對問題有初步了解，但無法完成作答。(如列出算式或畫出圖形)。. 0. 空白或所寫的不正確、不相關。. 29.
(38) 2.前測 本研究之前測是由前一學期三次段考數學成績平均算得，後測為自編數 學成就測驗，針對教材內容的理解設計題目，以瞭解學生對單元教材的理解 程度。測驗時間為單元課程結束後施測，以比較實驗組與控制組的數學解題 是否有差異。整份測驗之施測時間為 40 分鐘。. 四、數學學習態度量表 態度是經由後天的學習環境中逐漸形成的，但並非不可改變。學生對數 學的態度，不但影響數學的學習，更直接影響學生運用所學數學知識解決問 題的表現。因此，本態度量表改編自 Fennema 與 Sherman (1976)的數學態度 量表，為四點量表，記為 4 到 1 分，依序為「非常同意」 、 「同意」 、 「不同意」、 「非常不同意」 ，以學生在數學學習態度量表的總分與各層面得分，做為了解 學生數學學習態度之依據，得分愈高表示學生對數學學習態度愈正向。量表 總計 30 題，探討的態度成份包括情感性、價值性、動機性等三個向度，在實 驗進行後讓學生填寫，藉以瞭解學生數學學習態度 (如附錄 3 所示)。 情感性：指對數學成就的態度與情緒狀態。價值性：指對學生對自己數 學能力表現的評價，以及數學是否可以用解決日常生活問題，甚至幫助未來 的教育與工作的看法。動機性：指數學引起學生學習、維持學習活動的實際 行為，及和他人討論、表達個人想法的內在傾向。. 30.
(39) 經過預試之後，將量表總分由高到低排序，前 27% 者當作高分組；後 27% 當成低分組，將高低兩組進行 t-test，之後將其餘的 30 小題進行因素分 析（factor analysis） ，進行資料縮減，刪去不合適的題目，量表之因素分析如 附錄 5 所示。總量表信度 0.889，共 28 題，各向度詳細內容如下表所示。 表 3-4 各向度之 Cronbach’s α係數 向度. 題數. Cronbach’s α. 情感性. 9. .864. 價值性. 10. .776. 動機性. 9. .702. 31.
(40) 第四節. 實施程序. 本研究一共進行五週的實驗教學，實驗組與控制組授課教師、教材與進度相 同，實驗組透過線上鷹架策略給予學生解題輔助，控制組則進行傳統課堂討論， 在第六週進行數學成就測驗及數學學習態度量表，測驗時間為40 分鐘，其流程 如下圖所示。. 數學態度量表前測. 因數倍數課程教學. 數學解題活動. 後設認知鷹架 (觀念任務提示). 程序鷹架 (解題歷程提示). 成就測驗及數學態度量表後測 圖 3-6 實驗流程圖. 32. 無鷹架 (一般教室合作解題).
(41) 根據實施流程，將實施流程分述如下： (一) 一般教室進行因數與倍數課程教學 針對學生所使用的數學教材設計課程，由教師講解課程內涵和學習目標， 實驗組及控制組在一般教室的課程內容相同。此階段教學活動為全班參與， 共同學習為主。 (二) 實驗處理 在本研究中，研究者設計出以解題為出發點的鷹架策略，其中後設認知 鷹架透過概念提示策略，而程序鷹架則引用解題歷程的概念，使用 moodle 平台來引導學生透過溝通、觀摩的方式來進行解題，因此，實驗組(後設認知 鷹架組和程序鷹架組)在電腦教室進行線上鷹架策略教學，控制組(無鷹架組) 則進行自由討論。 由於實驗組學生須透過電腦進行解題活動，而為使合作學習過程獲得成 功的經驗，因此需事先教導合作學習的技巧及工具(平台)的使用，所以額外 利用一堂課的時間讓學生熟悉平台，知道如何在平台上進行溝通及討論，並 瞭解鷹架策略的使用。然後，教學平台漸漸減少提示，讓學生逐漸增加要擔 負的責任，最後，讓學生完全負起解題責任。 線上鷹架輔助解題活動大致可分為三個步驟，如下圖所示。 表達自我想法(引導思考). 理解他人想法. 評價自我及他人想法 圖 3-7 線上鷹架輔助策略流程圖 33.
(42) 1.表達自我想法(引導思考)：各組間組內進行討論與互動。依照不同的策 略進行線上討論，此時學生只能看到自己組員的意見，看不到其他組同學的 互動結果。 (1)個別解題歷程：包含兩個步驟，1.了解問題：試著找出題目所要 求的重點，並正確理解題意。2 訂定計畫：組織自己的解題想法。 (2)分享解題概念：包含相關概念或是對於問題的疑問。 2.理解他人想法：此階段各組將討論過後的解題觀念寫在網路的討論區 中，此時其他組的同學可以看到不同組別的解題觀念，並給予意見及回饋。 3.評價自我及他人想法：此階段同學們互相分享討論心得，並由老師澄 清學生的問題和解題觀念，過程中讓學生檢驗自己的做法以及記錄他人的作 法，以便未來應用至其他問題上。 後設認知鷹架組：提供解題任務流程及提示。 隨機分組，輪流作答方式，根據後設認知鷹架策略，作答及提問皆不受 限於解題歷程的限制，由學生使用自己的方式替自己的做法辯解、澄清，並 達成共識，每隔五分鐘會由教師根據學生作答狀況在公告欄給予思考方向的 重點提示。 程序鷹架組：提供解題步驟。 隨機分組，輪流作答方式，透過程序鷹架策略，循序引導完成解題，在 解題過程中，提問者在過程中需協助作答者完成解題，解題完成之後角色互 換。. 34.
(43) 無鷹架組 在一般教室進行解題教學，題目和實驗組相同，由老師帶領學生討 論，然後在線上進行合作解題練習。 (三) 後測及態度量表 課程結束後，針對學生的數學能力進行數學成就測驗評量，測驗時間為 40 分鐘，用以瞭解實驗組及控制組學習成效的差異，並透過數學學習態度 量表透過瞭解各組學習過後態度是否轉變，其內容則如附錄所示。. 35.
(44) 第四章 結果與討論. 本章主要呈現本研究的研究結果，並進行結果之討論。第一節為實驗結果， 將呈現學習成效結果與量表分析。第二節為討論，將探討這些實驗結果。. 第一節. 因數與倍數成就測驗分數的分析. 本研究係以「鷹架學習策略」為自變項，以學生的「因數與倍數學習成就」 為依變項，以學生的「第一學期三次段考數學成績平均」為共變量，進行單因子 共變數分析。以下就「鷹架學習策略對因數與倍數學習成就的影響結果」說明如 下。 進行共變數分析之前，先進行後測得分組內迴歸係數同質性檢定，考驗結果 如表 4-1，F (2,87) =.63，p=>.05，未達顯著標準，顯示符合組內迴歸係數同質性檢 定，表示三組迴歸線斜率相同，即共變量與依變項不會因自變項處理不同而有所 差異，故進行共變數分析，其成就測驗的原始分數與調整後分數之平均數與標準 差如表 4-2，共變數分析摘要如表 4-3。 表 4-1 後測得分的組內迴歸係數同質性檢定 變異來源. SS. df. MS. F. 組間. 91.613. 2. 45.807. .63. 誤差. 6325.680. 87. 72.709. 36.
(45) 表 4-2 成就測驗的原始分數與調整後分數之敘述統計 原始分數 組別. 調整後分數. 人數 平均數. 標準差. 平均數. 標準差. 後設認知鷹架. 30. 37.14. 6.98. 36.70. 1.26. 程序鷹架. 30. 34.60. 7.57. 35.19. 1.27. 無鷹架. 30. 30.75. 7.84. 30.60. 1.26. 由表 4-3 共變數分析摘要得知，F (2,86) =6.387，p=<.05，三組有顯著差異，表 示排除共變量影響後，因實驗處理的不同而成績有所差異，因此以調整後平均數 進行事後比較。 表 4-3 調整後的後測得分之共變數分析摘要表 變異來源. SS. df. MS. F. 共變項. 775.804. 1. 775.804. 16.353*. 組間. 605.993. 2. 302.997. 6.387*. 組內. 4079.862. 86. 47.440. 合計. 5476.046. 89. *p<.05 由表 4-4 結果發現後設認知鷹架組與無鷹架組、程序鷹架組與無鷹架組有顯 著差異，顯示實驗組兩組的學習成效皆優於控制組，在線上合作鷹架策略輔助下， 而後設認知鷹架組與程序鷹架組的學習成效則沒有顯著差異，因此顯示線上合作 鷹架策略組(後設認知鷹架策略組及程序鷹架策略組)對於受試者的學習有顯著成 效，後設認知鷹架策略組及程序鷹架策略組間則無差異，但後設認知鷹架策略組 在後側的表現上仍較優於程序鷹架策略組。. 37.
(46) 表 4-4 後測得分之事後比較 組別. 後設認知鷹架. 無鷹架. 程序鷹架. 1.507. 4.594*. 後設認知鷹架. 6.101*. *p<.05. 38.
(47) 第二節. 數學學習態度量表分析. 本研究於學習活動結束後讓學生填寫量表，以了解學生參與線上鷹架網路學 習活動後的意見，量表分析結果分三部份加以說明：第一部份為「情感性」，乃 在了解學生參與網路學習活動的興趣、認真程度及接納態度；第二部份為「價值 性」，乃在了解學生對學習因數倍數後於日常生活之有用性。意見；第三部份為 「動機性」，乃在了解學生對線上鷹架策略輔助網路學習活動促進其學習成效的 內在傾向。 表 4-5 學生對於數學之學習態度 無鷹. 程序. 後設. 全體. 架組. 鷹架. 認知. 同意. 同意. 組同. 鷹架. ％. %. 意％. 組同 意％. 第一部分 1.. 數學是有趣的。. 81. 71. 82. 78. 2.. 我不害怕數學。. 43. 51. 66. 53. 3.. 我自己有信心能解決數學問題。. 40. 66. 70. 59. 4.. 數學很容易。. 40. 55. 64. 53. 5.. 我相信我有解決數學問題的能力。. 61. 70. 77. 69. 6.. 我相信可以得到好的數學成績。. 41. 77. 72. 63. 7.. 對我來說數學考試很容易。. 40. 50. 55. 48. 8.. 解決一個數學難題後我會很有成就感。. 90. 88. 92. 90. 9. 我的解題想法被認同讓我覺得很有成就感。. 92. 88. 89. 90. 39.
(48) 第二部分 1. 學習數學解題的方法是很重要的。. 91. 90. 92. 91. 2. 學習數學是為了考試。. 30. 21. 22. 24. 3. 在數學方面表現良好我覺得很光彩。. 91. 88. 87. 89. 4. 數學很重要是因為在日常生活中可以用得到。. 95. 99. 97. 97. 5. 數學是一門值得花時間學習的科目。. 80. 99. 92. 90. 6. 數學表現很優秀讓我很高興。. 91. 90. 97. 93. 7. 在數學方面得到獎賞讓我很有自信。. 92. 93. 93. 93. 8. 學數學可以幫助我解決其他問題。. 75. 80. 92. 82. 9. 數學很實用因為很多地方都用得到它。. 76. 91. 92. 86. 10. 和同學討論數學問題對於提升解題正確率有幫助。. 90. 91. 90. 90. 31. 29. 22. 27. 第三部分 1. 解決數學問題是無聊的。 2. 看不懂的題目，我會反覆多看幾次。. 60. 71. 77. 69. 3. 我時常與其他人討論數學以找出正確答案。. 40. 80. 81. 67. 4. 下課後我會繼續思考課堂上尚未解決的題目。. 30. 60. 51. 47. 5. 我會把數學難題一直想到解出來為止。. 20. 30. 25. 25. 6. 我有能力解決困難的數學問題。. 41. 80. 81. 67. 7. 我會主動請教其他人如何解決數學難題。. 29. 77. 69. 58. 8. 對於數學難題的挑戰我感到很有興趣。. 77. 90. 91. 86. 9. 我會以過去學過的相關概念應用在解題中。. 32. 51. 55. 46. 40.
(49) 經由共變數分析結果，排除共變量後，不同組別之後測分數在情感性、價值 性及動機性上皆有顯著差異，如表 4-6 所示。 表 4-6 數學學習態度量表之變異數分析摘要表 向度 情感性. 價值性. 動機性. 變異來源. SS. df. MS. 組間. 559.089. 2. 279.544. 組內. 2304.067. 87. 26.484. 合計. 2863.156. 89. 組間. 70.822. 2. 35.411. 組內. 924.833. 87. 10.630. 合計. 995.656. 89. 組間. 664.689. 2. 332.344. 組內. 1808.600. 87. 20.789. 合計. 2473.289. 89. *p<.05. 41. F 10.555*. 3.331*. 15.987*.
(50) 由表 4-7 可知，在情感性方面，程序鷹架組得分顯著高於後設認知鷹架組、 無鷹架組，亦即程序鷹架組對自己數學成就的態度與情緒狀態顯著優於後設認知 鷹架組與無鷹架組；在價值性方面，後設認知鷹架組和程序鷹架組得分皆顯著高 於無鷹架組，亦即後設認知鷹架組和程序鷹架組對自己數學能力表現的評價優於 無鷹架組；而在動機性方面，後設認知鷹架組和程序鷹架組得分皆顯著高於無鷹 架組，亦即後設認知鷹架組和程序鷹架組引起學生維持表現的傾向優於無鷹架 組。 表 4-7 數學態度量表之事後比較 向度 情感性. 組別 程序鷹架. 後設認知鷹架. 無鷹架. 3.4*. 5.967*. 後設認知鷹架 價值性. 程序鷹架. 2.567 .1. 後設認知鷹架 動機性. 程序鷹架. 2.433* 2.533*. 1.167. 後設認知鷹架. 7.2* 6.033*. *p<.05. 42.
(51) 第三節. 線上合作鷹架策略對不同成就學生學習成效之分析. 為探討不同鷹架(後設認知鷹架、程序鷹架與無鷹架)對高分組受試者之學習成效 的影響，在統計上進行共變數分析，以實驗處理為自變項，前一學期三次段考數 學成績平均為共變項，因數倍數成就測驗為依變項，進行共變數分析。 先進行組內迴歸係數同質性考驗，考驗結果如表4-8，組內迴歸係數同質性考 驗未達顯著(F (2,22) =.685, p>.05)，表示三組迴歸線斜率相同，符合共變數分析的基 本假設，可以進行共變數分析。 表 4-8 高分組成就測驗得分的組內迴歸係數同質性檢定 Levene Statistic. df1. df2. .685. 2. 22. 在表4-9中，為高分組學生在因數與倍數成就測驗之敘述統計及調整後平均數 與標準差。 表 4-9 高分組學生成就測驗的原始分數與調整後分數之敘述統計 原始分數 組別. 調整後分數. 人數 平均數. 標準差. 平均數. 標準差. 後設認知鷹架. 7. 44.91. 1.81. 45.31. 1.31. 程序鷹架. 8. 43.4. 1.40. 42.84. 1.23. 無鷹架. 12. 37.5. 4.35. 36.75. 1.01. 43.
(52) 而後經由因數與倍數成就後測分數之共變數分析結果，排除共變量後，不同 組別之後測分數有顯著差異(F (2,21) =26.414, p<.05)，可知受試者的因數與倍數成就 測驗成績會因鷹架策略的不同而有所差異，可再進行事後比較。 表 4-10 高分組調整後的成就測驗得分之共變數分析摘要表 變異來源. SS. df. MS. F. 共變項. 11.672. 1. 11.672. 1.597. 組間. 386.114. 2. 193.057. 26.414*. 組內. 153.487. 21. 7.309. 合計. 539.610. 24. *p<.05. 由表4-11得知學生在程序鷹架組顯著優於無鷹架，另外後設認知鷹架也優於 無鷹架，但程序鷹架與後設認知鷹架之後測分數則無顯著差異。 表 4-11 高分組成就測驗得分之事後比較摘要表 組別. 後設認知鷹架. 無鷹架. 程序鷹架. 2.476. 6.087*. 後設認知鷹架. 8.563*. *p<.05. 44.
(53) 為探討不同鷹架(後設認知鷹架、程序鷹架與無鷹架)對中分組受試者之學習成效 的影響，在統計上進行共變數分析，以實驗處理為自變項，前一學期三次段考數 學成績平均為共變項，因數倍數成就測驗為依變項，進行共變數分析。 先進行組內迴歸係數同質性考驗，考驗結果如表4-12 ，組內迴歸係數同質性 考驗未達顯著(F (2,34) =1.274, p>.05)，表示三組迴歸線斜率相同，符合共變數分析 的基本假設，可以進行共變數分析。 表 4-12 中分組學生成就測驗得分的組內迴歸係數同質性檢定 Levene Statistic. df1. df2. 1.274. 2. 34. 在表4-13中，為中分組學生在因數與倍數成就測驗之敘述統計及調整後平均 數與標準差。 表 4-13 中分組學生成就測驗的原始分數與調整後分數之敘述統計 原始分數 組別. 調整後分數. 人數 平均數. 標準差. 平均數. 標準差. 後設認知鷹架. 14. 37.96. 2.23. 37.89. .63. 程序鷹架. 14. 35.27. 2.71. 35.30. .62. 無鷹架. 9. 32.33. 1.68. 32.40. .78. 45.
(54) 而後經由因數與倍數成就後測分數之共變數分析結果，排除共變量後，不同 組別之後測分數有顯著差異(F (2,33) =12.732, p<.05)，可知受試者的因數與倍數成就 測驗成績會因鷹架策略的不同而有所差異，可再進行事後比較。 表 4-14 中分組調整後的成就測驗得分之共變數分析摘要表 變異來源 共變項. SS. df. MS. F. 4.644. 1. 4.644. .861. 組間. 163.307. 2. 81.653. 15.133*. 組內. 178.058. 33. 5.396. 合計. 358.013. 36. *p<.05. 由表4-15得知學生在後設認知鷹架組顯著優於無鷹架組，但程序鷹架組與後 設認知鷹架組、無鷹架組之後測分數則無顯著差異。 表 4-15 中分組成就測驗得分之事後比較 組別. 後設認知鷹架. 無鷹架. 程序鷹架. 2.247. 2.785. 後設認知鷹架. 5.032*. *p<.05. 46.
(55) 為探討不同鷹架(後設認知鷹架、程序鷹架與無鷹架)對低分組受試者之學習 成效的影響，在統計上進行共變數分析，以實驗處理為自變項，前一學期三次段 考數學成績平均為共變項，因數倍數成就測驗為依變項，進行共變數分析。 先進行組內迴歸係數同質性考驗，考驗結果如表4-16 ，組內迴歸係數同質性 考驗未達顯著(F (2,23) =.565, p>.05)，表示三組迴歸線斜率相同，符合共變數分析的 基本假設，可以進行共變數分析。 表 4-16 低分組學生成就測驗得分的組內迴歸係數同質性檢定 Levene Statistic. df1. df2. .565. 2. 23. 在表4-17中，為低分組學生在因數與倍數成就測驗之敘述統計及調整後平均 數與標準差。 表 4-17 低分組學生成就測驗的原始分數與調整後分數之敘述統計 原始分數 組別. 調整後分數. 人數 平均數. 標準差. 平均數. 標準差. 後設認知鷹架. 8. 27.85. 4.39. 27.35. 1.23. 程序鷹架. 8. 24.62. 4.31. 26.60. 1.29. 無鷹架. 10. 22.72. 7.87. 23.03. 1.10. 47.
(56) 而後經由因數與倍數成就後測分數之共變數分析結果，排除共變量後，不同 組別之後測分數有顯著差異(F (2,22) =12.732, p<.05)，可知受試者的因數與倍數成就 測驗成績會因鷹架策略的不同而有所差異，可再進行事後比較。 表 4-18 低分組調整後的成就測驗得分之共變數分析摘要表 變異來源. SS. df. MS. F. 共變項. 397.197. 1. 397.197. 19.904. 組間. 508.130. 2. 254.065. 12.732*. 組內. 439.023. 22. 19.956. 合計. 1216.875. 25. *p<.05. 由表4-19得知學生在程序鷹架組顯著優於無鷹架組，另外後設認知鷹架組也 優於無鷹架組，但程序鷹架組與後設認知鷹架組之後測分數則無顯著差異。 表 4-19 低分組成就測驗得分之事後比較 組別. 後設認知鷹架. 無鷹架. 程序鷹架. .745. 3.57*. 後設認知鷹架. 4.315*. *p<.05. 48.
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