第二章 文獻探討
第一節 數學解題的理論及其相關研究
我國教育部將「獨立思考與解決問題」列為「國民中小學九年一貫課 程綱要」十大能力指標之一，其中數學學習領域提及學生需懂得利用推論 去解決數學的問題，包括理解和解決日常問題，以及在不熟悉解答方式時，
懂得自尋解決問題的途徑（教育部，2008）。
歐洲經濟暨合作發展組織（Organization for Economic Cooperation and Development）中的國際性學生評量計畫（International Program for Student Assessment，簡稱OECD/PISA）亦提及，數學能力是指能夠將數學理解並 應用於其他學科之中，即個人在面對不同的情境時，能利用不同的方式來 解決不同的數學問題（OECD, 1999）。對學生來說，解題不但是學習數學 的目標，也是學習數學的重要手段，因此教師要不定期設計多種的問題情 境， 讓學 生可 藉 由解 決問 題（ problem solving） 的 過程 促進 數學 的 學習
（National Council of Teacher of Mathematics [NCTM], 2000）。
由此可知，數學是日常生活中不可或缺的能力之ㄧ，對現代人來說，
如何利用數學解決生活上的問題是很重要的議題（王雪瑜，2006）。
壹、數學解題的意義
茲就數學問題與數學解題兩方面說明之：
一、數學問題
心理學家將達到目標的直接路徑被阻斷時之處境定義為「問題」，近
六十幾年來，「數學問題」（mathematical problem）也常被用「問題解決」
（problem solving）來討論研究（Kilpatrick, 1985），學者們依不同的觀點 將問題分類成幾種類型，茲敘述如下：
Polya（1981）從教學的層面將數學問題分成四種類型：
（一） 有規則可解的問題（One rule under your nose）：可利用已經教 過或學過的規則做機械式的問題解決。
（二） 有部分選擇可應用的問題（Application with some choice）：解 題者需要做一些判斷，從曾經學過的所有規則或步驟中，選擇 出適當的方法來解決問題。
（三） 結合選擇的問題（Choice of a combination）：需結合兩種或兩 種以上的規則或例子才可解決問題，此時解題者必須做更多的 判斷。
（四） 接近研究層面的問題（Approach research level）：此類問題需要 解題者運用相當高層次的思考，能創新的結合兩種或兩種以上 各分派的規則或例子。
Mayer 與 Hegarity（1996）將數學問題分為兩類：
（一） 例行性的問題（rou tine problem）：此類問題需要熟練某些技 巧，且解題者知道最適切的解決方法，例如數學課本中的練習 題即屬此類問題。
（二） 非例行性的問題（nonroutine problem）：解題者無法立即使用 已知技能來解決問題，必須透過統整所學過的知識和技能才可 擬出解決方法。
由此可知，學者對於數學問題的分類方式，皆依解題所需的認知層 面多寡來作依據，數學問題可以被簡單的分成兩大類來概述，一類是有 固定的答案或解題過程，解題者只需要按照一定的步驟即可；另一類則
無固定的答案或解題過程，解題者必需經過較複雜的思考過程才能得到 答案。研究指出，學生在解計算題及例行性的數學問題時表現較好，但 在解應用問題及非例行性的數學問題時表現較差（林碧珍，2001）。
許多的研究者都一致認為「現在對你來說的一個『問題』，也許明天 就不覺得它是『問題』了，但對他人來說，可能從來都不是個『問題』。」
（Kilpatrick, 1985），所以不管哪種類型的問題，只要找到解決方法，問 題是不會永遠存在的。
二、數學解題
Kahney（1993）認為個體在達到一個既定目標時，會尋找各種可獲 得的心理表徵知識或資源，當資源的來源缺乏時便會構成「問題」，「問 題解決」（problem solving）即為解題，是個體利用各種方法來克服障礙 的過程，通常只發生在無固定的答案或過程的問題（黃敏晃，1991），美 國數學督導協會（The National Council of Supervisors of Mathematics, NCSM）在1977年時即提出個體學習數學的主要目的在促進解題的能力。
其後 ， 美 國 國 家 教 育 發 展 評 量 （ National Assessment of Education Progress, NAEP）於1996年至2003年間將數學能力（Mathematical Abilities）
分成三個部份：
（一）概念性理解（conceptual understanding）
1.能辨別並舉例相同的例子。
2.能使用模型、圖表來表示各種概念。
3.能辨別和運用原則。
4.能知道並運用事實、定義。
5.能整合並擴充相關概念和原則。
6.能辨認及解釋表示概念的符號。
7.能詮釋概念間的關係。
（二）程序性知識（procedural knowledge）
1.正確的選擇與運用程式。
2.能具體證明並判斷程序的正確性。
3.能修正程序以解決問題中的因素。
（三）問題解決（problem solving）
1.能在新的情境中解決問題。
2.決定資料的一致性。
3.能使用策略、資訊及相關數學知識。
4.能發展、修正並使用程序。
5.能判斷結果的合理性與正確性。
從上述NAEP對數學能力的架構說明可明確看出，問題解決實為數學 能力中的重要能力之ㄧ。
Kilpatrick在1985年時，將數學解題以三個不同的觀點分析解釋如下：
（一） 心理學觀點（psychological perspective）：當遇到問題的情境 時，數學的概念和原理被用來尋找問題的答案，數學解題被看 成是解題歷程中主動積極尋找方法的過程。
（二） 社會人類學觀點（social-anthropological perspective）：數學教 室像是一個由教室內所有成員共同組成的社會環境，教師依學 生的反應給予適當的提示與引導，成員間的互動和意圖會影響 他們數學解題的方向。
（三） 教育學觀點：包含數學觀點（mathematical perspective）與教學 觀點（pedagogical perspective），兩者皆指出數學問題在數學學 科中佔極為重要的角色，所有的數學都是在構思和解決問題的 過程中被創造出來。
自 1980 年 代 開 始 ， 培 養 學 生 解 題 能 力 一 直 是 數 學 教 學 所 追 求 的 目 標，雖然許多學者對「數學解題」沒有一個相同的定義，但無非意指要 求解題者根據已存有明確已知條件的問題情境中，尋找策略來達成設定 之目標（陳蕙茹，2008）。
貳、數學解題的歷程
解題是一種運作複雜的心理歷程活動，問題的形成通常都具有「已知 狀態」（given state）、「目標狀態」（goal state）和「障礙」（obstacles）三種 特徵。「已知狀態」是個體已經知道的條件或資訊，「目標狀態」為個體欲 達到的目標結果，「障礙」為個體達到目標結果的路徑受到阻礙，其間由已 知狀態到目標狀態的運作歷程即為「解題」（Mayer, 1992），茲將各學者對 數學解題歷程的看法詳述於下：
一、Polya的解題歷程模式
Polya（1945）在「How to solve it」裡將數學解題歷程分成四步驟：
（一） 了解問題（understand the problem）：能從題目給予的資料中，了 解已知與未知數據、問題條件與目標等。
（二） 擬定計畫（making a plan）：根據所獲得的資訊找出其間相關聯 之處，並擬定出可能的解題計畫，若問題情境是個體曾遇過的類 似情境時，解題計畫較輕易擬定，反之，則需要花費較多的心力 來擬定解題計畫。
（三） 執行計畫（carrying out the plan）：依據之前所擬定的解題計畫，
逐一的運用數學知識完成每個步驟。
（四） 回顧（looking back）：檢查與討論所獲得的結果是否正確，並思 考是否有其他更好的解題方法，而解題方法可否運用到其他的情 境上等。
圖2-1 Polya 的解題歷程
了解問題 擬定計畫 執行計畫 回顧
Polya 認為此解題四階段非單一直線進行的流程，當個體在解題的過程中 遇到阻礙時，會在此四階段反覆的進行直到找到適合的解題方法。
二、Schoenfeld的解題歷程模式
Schoenfeld（1983）在其著作的「Mathematical problem solving」一書 中提到，影響解題者的四個因素有：1.資源（resources）：解題者所具備 的數學知識，包含定義、技巧、程序等資訊；2.捷思（heuristics）：解題 的策略和技巧，如：回顧驗算、畫圖表…等，解題策略通常是解題者在 過往的解題經驗中漸漸累積增加；3.控制（control）：決定資源和策略的 使用種類與時機，主導整個解題歷程：4.信念系統（belief system）：解題 者自身對數學的看法，此看法會影響解題者解題時的態度與行為。
在以上四個解題因素中，Schoenfeld發現「控制」是解題歷程中最重 要的角色，因其決定過程中所運用的資源、捷思策略，往往與解題的成 敗息息相關，所以Schoenfeld將「控制」的因素細分成以下六個階段：
（一） 讀題（reading）：解題者開始讀題，包含重述題目的過程。
（二） 分析（analysis）：尋找有系統的解題方法。
（三） 探索（exploration）：當問題沒有明確的解決方法時，解題者需 尋找其他的解題路徑。
（四） 計畫－執行（planning-implementation）：解題者經過分析、探 索階段後，擬定出一個適宜的解題計畫，並依計畫逐一執行解 題步驟。
（五） 驗證（verification）：檢驗上述步驟所獲得答案之正確性。
（六） 轉移（transition）：解題者對整個解題路徑做評估。
三、Mayer的解題歷程模式
Mayer （ 1992 ）從 認 知 心理 學 的觀 點將 解 題 分 成問 題 表 徵（ problem representation）與問題解決（problem solution）兩個階段，每個階段又細分 出兩個成分，茲分別敘述於下：
（一） 問題表徵（problem representation）：將題目上的文字或圖形敘述 轉換成心理表徵，其中包含以下兩個成分：
1. 問題轉譯（problem translation）：利用「語言知識」與「事實 知識」將問題中的句子轉換成內在的心理表徵。
2. 問題整合（problem integration）：運用個體的「基模知識」整 合所有問題的資訊。
（二） 問題解決（problem solving）：將題目的心理表徵透過解題的歷程 進行到最後的結果產生，其亦包含兩個成分：
1. 解題的計畫與監控（solution planning and monitoring）：利用
「策略知識」來發展解題計畫，列出解題的步驟並監控解題計 畫。
2. 解題的執行（solution execution）：使用「程序性知識」來執 行解題計畫。
圖2-2 Mayer的解題歷程策略
語言知識、事實知識 解題歷程
問題表徵
問題解決
問題整合
解題的計畫與監控
解題的執行
基模知識
策略知識
程序性知識 知識的種類
問題轉譯
四、Mason的解題歷程模式
Mason（1985）認為數學教學應重視培養學習者的數學性思考（thinking mathematically），教學過程中要激發學習者依據自己的經驗，主動進行有意 識的思考數學問題。透過不斷的猜測、質疑、挑戰、反省等行為，學習者逐 漸建構出自己真正理解的數學知識。
Mason認為數學有特殊化（specializing）與一般化（generalizing）兩種 解題歷程活動。特殊化指剛開始解題時，從問題的特例開始著手，因其認為 特例較能啟發解題者使用不同的解題的方式，問題較能順利被解決；一般化 則指能夠將問題的解題結果運用到一般情境中。在上述的解題活動中，Mason
Mason認為數學有特殊化（specializing）與一般化（generalizing）兩種 解題歷程活動。特殊化指剛開始解題時，從問題的特例開始著手，因其認為 特例較能啟發解題者使用不同的解題的方式，問題較能順利被解決；一般化 則指能夠將問題的解題結果運用到一般情境中。在上述的解題活動中，Mason