國中一年級學生中文閱讀能力與數學解題能力之相關研究

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(1)國立臺中教育大學特殊教育學系碩士班碩士論文 Department of Special Education National Taichung University of Education Master Thesis. 國中一年級學生中文閱讀能力與數學解題能力之相關研究 Chinese Reading Ability and Mathematical Ability among Seventh Graders in Taiwan. 蘇慧嫻 Huei-Sian Su. 指導教授﹕廖晨惠博士 Advisor：Chen-Huei Liao, Ph. D.. 中華民國 101 年 6 月 June, 2012.

(2) 國中一年級學生中文閱讀能力與數學解題能力之相關研究. 摘要本研究旨在瞭解國中一年級學生的中文閱讀能力（識字量、閱讀理解）與數學解題能力（程序性解題、問題解決）表現，及中文閱讀能力和數學解題能力間的相關性，並了解不同中文閱讀能力的學生在數學解題能力的差異情形，及中文閱讀能力對數學解題的預測表現。研究對象為 129 名的國中一年級學生，其中男生 64 人、女生 65 人，利用「識字量評估測驗」、「中文閱讀理解測驗」、「程序性解題測驗」與「問題解決測驗」為研究工具，以描述性統計、皮爾遜積差相關、獨立樣本 t 檢定、單因子變異數分析與階層性迴歸分析等統計方法進行分析。本研究之主要發現結果如下：一、男、女學生在識字量達顯著的差異表現，但閱讀理解、程序性解題與問題解決三種能力的表現上無顯著差異。二、不同中文閱讀能力（識字量、閱讀理解）的學生在程序性解題與問題解決的表現上皆有顯著的差異，且經事後比較法後發現，其在此兩種數學解題的差異皆是高程度組優於中程度組與低程度組，而中程度組優於低程度組。三、中文閱讀能力（識字量、閱讀理解）與數學解題能力（程序性解題、問題解決）在各測驗間皆達顯著的正相關。四、國中一年級學生在控制年齡、智力之後，僅識字量對程序性解題有顯著的預測力，閱讀理解對程序性解題無顯著預測力；在問題解決部分，識字量與閱讀理解均對問題解決有顯著的預測力，但其中識字量對問題解決的預測力高於閱讀理解，顯示國中一年級學生識字量多寡對數學解題的重要性。再進一步控制國中一年級學生的年齡、智力之後， I.

(3) 識字量、閱讀理解、程序性解題對問題解決皆有顯著的預測力，但程序性解題對問題解決的影響力顯著高於識字量、閱讀理解。. 關鍵字：中文閱讀、識字量、閱讀理解、數學解題、問題解決. II.

(4) Chinese Reading Ability and Mathematical Ability among Seventh Graders in Taiwan Abstract. The purposes of the study are to analyze the correlation between Chinese reading ability (character recognition and reading comprehension) and mathematical ability (procedural knowledge test and problem solving test) for the seventh graders in Taiwan, and to investigate the difference in mathematical ability between the students with different Chinese reading abilities. The participants of study were 129 seventh graders with 64 males and 65 females. The main findings of this research are: (1) There is a significant difference between male and female students in character recognition, but there were no significant differences in reading comprehension, procedural knowledge test and problem solving test. (2) The performance of students with different Chinese reading abilities showed significant differences in procedural knowledge and problem solving. By comparing group performance, the high level group performed better than the middle and low level groups, and the middle level group performed better than the low level group. (3) There was a significantly positive correlation between Chinese reading ability (character recognition and reading comprehension) and mathematical ability (procedural knowledge and problem solving ) between all tests. (4) For the part of procedural knowledge, a significant prediction was only found for character recognition after controlling the factors of age and intelligence of the seventh graders; for the part of problem solving, both character recognition and reading comprehension showed significant prediction with a higher effect of character recognition than reading comprehension, which showed character recognition has its III.

(5) own influence on problem solving. Keywords: Chinese reading, character recognition, reading comprehension, mathematical ability, problem solving. IV.

(6) 目. 錄. 摘要............................................................................................................. I 目錄............................................................................................................ V 表目次.........................................................................................................VI 圖目次....................................................................................................... VII 第一章緒論 .................................................................................................1 第一節研究動機...................................................................................1 第二節研究目的與待答問題 ...............................................................2 第三節名詞釋義...................................................................................4 第二章文獻探討 .........................................................................................6 第一節數學解題的理論及其相關研究................................................6 第二節閱讀與閱讀理解的理論 ......................................................... 17 第三節閱讀與數學解題的關係及其相關研究 ..................................25 第四節文獻探討總結 ......................................................................... 30 第三章研究方法 ....................................................................................... 32 第一節研究架構................................................................................. 32 第二節研究樣本與工具 .....................................................................33 第三節研究流程................................................................................. 43 第四節資料分析................................................................................. 46 第四章結果與討論 ................................................................................... 48 第一節國中一年級學生在各測驗的表現情形 ..................................48 第二節中文閱讀能力與數學解題能力的差異分析 .......................... 52 第三節不同背景能力、中文閱讀能力與數學解題能力的相關情形 58 第四節中文閱讀能力對數學解題能力的預測分析 .......................... 62 第五章結論與建議 ................................................................................... 67 第一節結論 ........................................................................................ 67 第二節建議 ........................................................................................ 69 第三節研究限制................................................................................. 71 參考文獻 .....................................................................................................73. V.

(7) 表目次表 2-1 閱讀與數學解題之相關研究 ............................................................................. 27 表 3-1 各班學生人數分配表......................................................................................... 34 表 3-2 各班學生程度分布情形..................................................................................... 34 表 3-3 數學解題測驗的能力指標分布 ......................................................................... 37 表 3-4 程序性解題測驗之試題分析 ............................................................................. 40 表 3-5 問題解決測驗之試題分析 ................................................................................. 42 表 4-1 樣本學生在各測驗得分之描述性統計表.......................................................... 49 表 4-2 男、女學生在各測驗表現之差異情形.............................................................. 51 表 4-3 不同中文識字能力的學生在程序性解題表現之單因子變異數分析摘要表 .... 54 表 4-4 不同中文識字能力的學生在問題解決表現之單因子變異數分析摘要表........ 54 表 4-5 不同中文閱讀理解能力的學生在程序性解題表現之單因子變異數分析摘要表 ....................................................................................................................................... 56 表 4-6 不同中文閱讀理解能力的學生在問題解決表現之單因子變異數分析摘要表 56 表 4-7 各智力變項的學生在中文閱讀能力的相關矩陣 .............................................. 59 表 4-8 各智力變項的學生在數學解題能力的相關矩陣 .............................................. 59 表 4-9 中文閱讀能力與數學解題能力的相關矩陣 ...................................................... 60 表 4-10 中文閱讀能力對程序性解題能力之逐步多元迴歸分析表 ............................. 63 表 4-11 中文閱讀能力對問題解決能力之逐步多元迴歸分析表 ................................. 63 表 4-12 程序性解題能力對問題解決能力之逐步多元迴歸分析表 ............................. 64. VI.

(8) 圖目次圖 2-1 Polya 的解題歷程 ........................................................................................... 10 圖 2-2 Mayer 的解題歷程策略 ................................................................................... 12 圖 2-3 Mckenna and Robinson 的學科閱讀認知成份 ................................................ 26 圖 3-1. 研究架構圖 ...................................................................................................... 32. 圖 3-2. 研究流程圖 ...................................................................................................... 45. VII.

(9) 第一章緒論本研究旨在探討國中一年級學生中文閱讀能力與數學解題之間的相關性。本章將說明本研究的研究動機、研究目的與待答問題，再依據研究內容解釋與本研究相關的名詞。. 第一節研究動機研究者為國中現職教師，在學校進行數學教學時，發現學生在數學解題的程度落差極大，其中有一些解題失敗的學生在經過教師對題目的說明後，即能獨立完成接續的解題步驟，研究者針對此現象尋找相關的研究理論，發現國內外研究針對國中學生在中文閱讀能力與數學解題方面的研究相當缺乏，因此激發研究者的研究動機，欲以國中學生為研究對象，探討國中學生的中文閱讀能力與數學解題間是否有相關的存在。除了教學現場，我們在日常生活中，舉凡買東西計算金錢、測量長度、測量速度、利息計算，甚至於光年、奈米等極大或極小的單位使用，都需要使用到數學的概念，教育部亦在「國民中小學九年一貫課程綱要」的數學學習領域中，說明學生需要習得如何解決日常生活上的數學問題（教育部，2008），由此可知，對現代人來說，學習如何使用數學解決問題是很重要的議題。除此，在科學的領域中除了需具備專業知識外，數學也是基本的重要能力之ㄧ，例如：微積分、矩陣、統計等，所以數學有「科學之母」的美稱。有些學者認為，培養數學的解題能力就是在學習數學，因此數學解題能力的發展會直接影響學生的數學學習（Brown, Wilson, & Fitzallen, 2007）。是故數學解題能力在發展所佔的角色不可輕忽。王淑嬌（2006）研究指出，數學問題多以文字的方式呈現，但學生會因無法理解題目的意思或理解錯誤，而造成解題失敗。亦有研究指出美國學生解題失敗的原因有 60％是不懂題目的意思（黃敏晃，1986）。而 DeCorte 與 Verschaffel（1991）指出解題者在解題時，需使用語文能力對數學題目中的 1.

(10) 文字進行理解，因此解題者在解數學問題時，語文理解能力的重要性亦不可言喻，解題是兩者同時運作而獲得的結果。文獻指出（Clark, 1983；Jordan & Montani, 1997；王思佳，2010；王淑嬌，2006；林麗華，2006；黃俊仁，2003），學生會因閱讀能力優劣而影響其對於數學解題的成敗，但多數研究僅止於研究國小學童閱讀能力與數學解題能力間的關係，鮮少以國中學生為研究對象進行研究，因此，本研究欲以國中學生為研究對象，進一步了解國中學生中文閱讀能力與數學解題能力間的關係，找出其間之相關性及數學概念在此關係中的影響程度多寡，以做為教學上及後續研究之參考。. 第二節研究目的與待答問題壹、研究目的根據上述的研究動機，我們可以知道閱讀能力與數學解題的關係密切，本研究將進一步以國中一年級學生為研究對象，探討閱讀能力與數學解題能力之相關性，並將研究結果提出具體建議，以提供國中教師在數學教學上的參考，本研究的具體目的如下：一、了解國中一年級學生在中文閱讀能力與數學解題能力的表現情形。二、了解不同中文閱讀能力的國中一年級學生在數學解題能力表現的差異情形。三、探討國中一年級學生中文閱讀能力與數學解題能力之間的相關表現。四、探討國中一年級學生中文閱讀能力對數學解題能力的預測效果。. 貳、待答問題根據上面的研究目的，本研究的待答問題有下列四點：一、國中一年級學生在中文閱讀能力與數學解題能力的表現情形為何？ 1.國中一年級學生在識字量評估測驗、中文閱讀理解測驗、程序性解題測驗與問題解決測驗的表現情形為何？ 2.不同性別的國中一年級學生在識字量評估測驗、中文閱讀理解測驗、 2.

(11) 程序性解題測驗與問題解決測驗的差異情形為何？二、不同中文閱讀能力的國中一年級學生，在數學解題能力的差異情形為何？ 1.探討不同識字能力（高程度、中程度、低程度）的學生，在「程序性解題測驗」的差異表現情形為何？ 2.探討不同中文閱讀理解能力（高程度、中程度、低程度）的學生，在「程序性解題測驗」的差異表現情形為何？ 3.探討不同識字能力（高程度、中程度、低程度）的學生，在「問題解決測驗」的差異表現情形為何？ 4.探討不同中文閱讀理解能力（高程度、中程度、低程度）的學生，在「問題解決測驗」的差異表現情形為何？. 三、國中一年級學生在不同背景能力、中文閱讀能力、數學解題能力間的相關情形為何？ 1.國中一年級學生不同背景能力（智力與各分測驗智力）與中文閱讀能力（識字量評估、中文閱讀理解測驗）間的相關表現情形為何？ 2.國中一年級學生不同背景能力（智力與各分測驗智力）與數學解題能力（程序性解題測驗、問題解決測驗）間的相關表現情形為何？ 3.國中一年級學生中文閱讀能力（識字量評估、中文閱讀理解測驗）與數學解題能力（程序性解題測驗、問題解決測驗）間的相關表現情形為何？. 四、國中一年級學生中文閱讀能力對數學解題能力的預測效果為何？ 1.國中一年級學童的中文閱讀能力（識字量評估、中文閱讀理解測驗）對程序性解題測驗的預測效果為何？ 2.國中一年級學童的中文閱讀能力（識字量評估、中文閱讀理解測驗）對問題解決測驗的預測效果為何？ 3.國中一年級學生的程序性解題測驗對問題解決測驗的預測效果為何？ 3.

(12) 第三節名詞釋義壹、中文閱讀能力閱讀是識字與語言理解的產物（Gough & Tunmer, 1986），是指個體能從文章中獲得訊息，包括對幾個文句整體意義的理解，以及較複雜之理解。Pearson 與 Johnson（1987）將閱讀理解定義為讀者利用既有的知識來解釋自己閱讀到的內容，是讀者與作者所提供的訊息產生互動，以便建構意義之歷程，閱讀理解幾乎是各學科學習的必備基本能力。因此，閱讀指讀者先利用文字的再認技巧區辨符號，將其轉變成有意義的形式，即為理解。所以理解是一種行為，亦是一種能力。本研究的中文閱讀能力依閱讀的內涵分為「識字」和「中文閱讀理解」兩個部份。識字係指學生在「識字量評估測驗」上的識字量得分，得分越高表示識字量越多，反之，得分越低表示識字量越少。而中文閱讀理解係指學生在「中文閱讀理解測驗」上的得分，得分越高表示中文閱讀理解能力越好，反之，得分越低表示中文閱讀理解能力越差。. 貳、數學解題能力當個體在解數學問題欲達到一個既定目標時，會尋找各種可獲得的心理表徵知識或資源，個體利用各種方法來克服障礙的過程即為數學解題（Kahney, 1993）。解題者在解題時需先了解題目意思，從自己的先備知識中擬定出可行的解題計劃，最後對結果進行驗證與回顧。一般解題研究探討的解題能力包括計算能力與理解能力（古明峰， 1999），本研究的數學解題能力指學生在「程序性解題測驗」與「問題解決測驗」上的得分，得分越高表示該數學解題能力越好，反之，得分越低表示該數學解題能力越差。. 參、各智力變項本研究所指各智力變項係指樣本學生在國民中學智力測驗更新版智力、國民中學智力測驗更新版各分測驗智力三種不同的變項。其中國民 4.

(13) 中學智力測驗更新版各分測驗智力為國民中學智力測驗更新版中的三個分測驗，分別為語文推理、數量推理與圖形推理。. 5.

(14) 第二章文獻探討本研究主要目的在探討國中一年級學生閱讀理解能力對數學解題表現的相關性與影響。本章第一節討論數學解題的理論及其相關研究；第二節討論與閱讀理解相關的理論；最後在第三節探討閱讀理解與數學解題的關係並整理過去與此相關的研究。. 第一節數學解題的理論及其相關研究我國教育部將「獨立思考與解決問題」列為「國民中小學九年一貫課程綱要」十大能力指標之一，其中數學學習領域提及學生需懂得利用推論去解決數學的問題，包括理解和解決日常問題，以及在不熟悉解答方式時，懂得自尋解決問題的途徑（教育部，2008）。歐洲經濟暨合作發展組織（Organization for Economic Cooperation and Development）中的國際性學生評量計畫（International Program for Student Assessment，簡稱OECD/PISA）亦提及，數學能力是指能夠將數學理解並應用於其他學科之中，即個人在面對不同的情境時，能利用不同的方式來解決不同的數學問題（OECD, 1999）。對學生來說，解題不但是學習數學的目標，也是學習數學的重要手段，因此教師要不定期設計多種的問題情境，讓學生可藉由解決問題（ problem solving）的過程促進數學的學習（National Council of Teacher of Mathematics [NCTM], 2000）。由此可知，數學是日常生活中不可或缺的能力之ㄧ，對現代人來說，如何利用數學解決生活上的問題是很重要的議題（王雪瑜，2006）。. 壹、數學解題的意義茲就數學問題與數學解題兩方面說明之：. 一、數學問題心理學家將達到目標的直接路徑被阻斷時之處境定義為「問題」，近 6.

(15) 六十幾年來，「數學問題」（mathematical problem）也常被用「問題解決」（problem solving）來討論研究（Kilpatrick, 1985），學者們依不同的觀點將問題分類成幾種類型，茲敘述如下：. Polya（1981）從教學的層面將數學問題分成四種類型：（一）有規則可解的問題（One rule under your nose）：可利用已經教過或學過的規則做機械式的問題解決。（二）有部分選擇可應用的問題（Application with some choice）：解題者需要做一些判斷，從曾經學過的所有規則或步驟中，選擇出適當的方法來解決問題。（三）結合選擇的問題（Choice of a combination）：需結合兩種或兩種以上的規則或例子才可解決問題，此時解題者必須做更多的判斷。（四）接近研究層面的問題（Approach research level）：此類問題需要解題者運用相當高層次的思考，能創新的結合兩種或兩種以上各分派的規則或例子。. Mayer 與 Hegarity（1996）將數學問題分為兩類：（一）例行性的問題（rou tine problem）：此類問題需要熟練某些技巧，且解題者知道最適切的解決方法，例如數學課本中的練習題即屬此類問題。（二）非例行性的問題（nonroutine problem）：解題者無法立即使用已知技能來解決問題，必須透過統整所學過的知識和技能才可擬出解決方法。. 由此可知，學者對於數學問題的分類方式，皆依解題所需的認知層面多寡來作依據，數學問題可以被簡單的分成兩大類來概述，一類是有固定的答案或解題過程，解題者只需要按照一定的步驟即可；另一類則 7.

(16) 無固定的答案或解題過程，解題者必需經過較複雜的思考過程才能得到答案。研究指出，學生在解計算題及例行性的數學問題時表現較好，但在解應用問題及非例行性的數學問題時表現較差（林碧珍，2001）。許多的研究者都一致認為「現在對你來說的一個『問題』，也許明天就不覺得它是『問題』了，但對他人來說，可能從來都不是個『問題』。」（Kilpatrick, 1985），所以不管哪種類型的問題，只要找到解決方法，問題是不會永遠存在的。. 二、數學解題 Kahney（1993）認為個體在達到一個既定目標時，會尋找各種可獲得的心理表徵知識或資源，當資源的來源缺乏時便會構成「問題」，「問題解決」（problem solving）即為解題，是個體利用各種方法來克服障礙的過程，通常只發生在無固定的答案或過程的問題（黃敏晃，1991），美國數學督導協會（The National Council of Supervisors of Mathematics, NCSM）在1977年時即提出個體學習數學的主要目的在促進解題的能力。其後，美國國家教育發展評量（National Assessment of Education Progress, NAEP）於1996年至2003年間將數學能力（Mathematical Abilities）分成三個部份：（一）概念性理解（conceptual understanding） 1.能辨別並舉例相同的例子。 2.能使用模型、圖表來表示各種概念。 3.能辨別和運用原則。 4.能知道並運用事實、定義。 5.能整合並擴充相關概念和原則。 6.能辨認及解釋表示概念的符號。 7.能詮釋概念間的關係。（二）程序性知識（procedural knowledge） 1.正確的選擇與運用程式。 8.

(17) 2.能具體證明並判斷程序的正確性。 3.能修正程序以解決問題中的因素。（三）問題解決（problem solving） 1.能在新的情境中解決問題。 2.決定資料的一致性。 3.能使用策略、資訊及相關數學知識。 4.能發展、修正並使用程序。 5.能判斷結果的合理性與正確性。從上述NAEP對數學能力的架構說明可明確看出，問題解決實為數學能力中的重要能力之ㄧ。. Kilpatrick在1985年時，將數學解題以三個不同的觀點分析解釋如下：（一）心理學觀點（psychological perspective）：當遇到問題的情境時，數學的概念和原理被用來尋找問題的答案，數學解題被看成是解題歷程中主動積極尋找方法的過程。（二）社會人類學觀點（social-anthropological perspective）：數學教室像是一個由教室內所有成員共同組成的社會環境，教師依學生的反應給予適當的提示與引導，成員間的互動和意圖會影響他們數學解題的方向。（三）教育學觀點：包含數學觀點（mathematical perspective）與教學觀點（pedagogical perspective），兩者皆指出數學問題在數學學科中佔極為重要的角色，所有的數學都是在構思和解決問題的過程中被創造出來。. 自1980年代開始，培養學生解題能力一直是數學教學所追求的目標，雖然許多學者對「數學解題」沒有一個相同的定義，但無非意指要求解題者根據已存有明確已知條件的問題情境中，尋找策略來達成設定之目標（陳蕙茹，2008）。 9.

(18) 貳、數學解題的歷程解題是一種運作複雜的心理歷程活動，問題的形成通常都具有「已知狀態」（given state）、「目標狀態」（goal state）和「障礙」（obstacles）三種特徵。「已知狀態」是個體已經知道的條件或資訊，「目標狀態」為個體欲達到的目標結果，「障礙」為個體達到目標結果的路徑受到阻礙，其間由已知狀態到目標狀態的運作歷程即為「解題」（Mayer, 1992），茲將各學者對數學解題歷程的看法詳述於下：. 一、Polya的解題歷程模式 Polya（1945）在「How to solve it」裡將數學解題歷程分成四步驟：（一）了解問題（understand the problem）：能從題目給予的資料中，了解已知與未知數據、問題條件與目標等。（二）擬定計畫（making a plan）：根據所獲得的資訊找出其間相關聯之處，並擬定出可能的解題計畫，若問題情境是個體曾遇過的類似情境時，解題計畫較輕易擬定，反之，則需要花費較多的心力來擬定解題計畫。（三）執行計畫（carrying out the plan）：依據之前所擬定的解題計畫，逐一的運用數學知識完成每個步驟。（四）回顧（looking back）：檢查與討論所獲得的結果是否正確，並思考是否有其他更好的解題方法，而解題方法可否運用到其他的情境上等。. 了解問題. 擬定計畫. 圖2-1. 執行計畫. Polya 的解題歷程. 10. 回顧.

(19) Polya 認為此解題四階段非單一直線進行的流程，當個體在解題的過程中遇到阻礙時，會在此四階段反覆的進行直到找到適合的解題方法。. 二、Schoenfeld的解題歷程模式 Schoenfeld（1983）在其著作的「Mathematical problem solving」一書中提到，影響解題者的四個因素有：1.資源（resources）：解題者所具備的數學知識，包含定義、技巧、程序等資訊；2.捷思（heuristics）：解題的策略和技巧，如：回顧驗算、畫圖表…等，解題策略通常是解題者在過往的解題經驗中漸漸累積增加；3.控制（control）：決定資源和策略的使用種類與時機，主導整個解題歷程：4.信念系統（belief system）：解題者自身對數學的看法，此看法會影響解題者解題時的態度與行為。在以上四個解題因素中，Schoenfeld發現「控制」是解題歷程中最重要的角色，因其決定過程中所運用的資源、捷思策略，往往與解題的成敗息息相關，所以Schoenfeld將「控制」的因素細分成以下六個階段：（一）讀題（reading）：解題者開始讀題，包含重述題目的過程。（二）分析（analysis）：尋找有系統的解題方法。（三）探索（exploration）：當問題沒有明確的解決方法時，解題者需尋找其他的解題路徑。（四）計畫－執行（planning-implementation）：解題者經過分析、探索階段後，擬定出一個適宜的解題計畫，並依計畫逐一執行解題步驟。（五）驗證（verification）：檢驗上述步驟所獲得答案之正確性。（六）轉移（transition）：解題者對整個解題路徑做評估。. 三、Mayer的解題歷程模式 Mayer（1992）從認知心理學的觀點將解題分成問題表徵（problem representation）與問題解決（problem solution）兩個階段，每個階段又細分出兩個成分，茲分別敘述於下： 11.

(20) （一）問題表徵（problem representation）：將題目上的文字或圖形敘述轉換成心理表徵，其中包含以下兩個成分： 1. 問題轉譯（problem translation）：利用「語言知識」與「事實知識」將問題中的句子轉換成內在的心理表徵。 2. 問題整合（problem integration）：運用個體的「基模知識」整合所有問題的資訊。（二）問題解決（problem solving）：將題目的心理表徵透過解題的歷程進行到最後的結果產生，其亦包含兩個成分： 1. 解題的計畫與監控（solution planning and monitoring）：利用「策略知識」來發展解題計畫，列出解題的步驟並監控解題計畫。 2. 解題的執行（solution execution）：使用「程序性知識」來執行解題計畫。解題歷程. 問題轉譯. 知識的種類. 語言知識、事實知識. 問題表徵問題整合. 解題的計畫與監控. 基模知識. 策略知識. 問題解決解題的執行. 圖2-2. Mayer的解題歷程策略 12. 程序性知識.

(21) 四、Mason的解題歷程模式 Mason（1985）認為數學教學應重視培養學習者的數學性思考（thinking mathematically），教學過程中要激發學習者依據自己的經驗，主動進行有意識的思考數學問題。透過不斷的猜測、質疑、挑戰、反省等行為，學習者逐漸建構出自己真正理解的數學知識。 Mason認為數學有特殊化（specializing）與一般化（generalizing）兩種解題歷程活動。特殊化指剛開始解題時，從問題的特例開始著手，因其認為特例較能啟發解題者使用不同的解題的方式，問題較能順利被解決；一般化則指能夠將問題的解題結果運用到一般情境中。在上述的解題活動中，Mason 將解題分成以下三個歷程：（一）進入（entry）：解題者思考的問題有「已經知道的訊息有哪些？」「解題的目的是什麼？」「過程中需要加入哪些訊息？」（二）攻擊（attack）：對問題提出所有的假設、猜測，再對提出的所有可能假設進行確認與驗證。（三）回顧（review）：主要驗證解題結果的正確性，並對解題的過程進行反思，以利未來能夠利用到類似的情境問題上。. 在上述各理論之中，雖然各學者對解題歷程有不同的分類階段，但各理論的基本核心概念皆沒有太大的差異。各學者提出的解題歷程模式中，皆說明解題者在解題過程需要先了解題目的意思，再尋找是否有類似的經驗，擬定出解題的可行計畫並執行，最後對解題的答案進行驗證並回顧。更有學者認為教師可以從發現問題、問題表徵、擬定解題計畫、執行解題計畫與評估驗證等五個解題歷程，協助學生解決數學應用問題上的困難（凃金堂、林佳蓉，2000）。. 參、影響數學解題表現之相關研究解題除了需要了解其歷程模式以外，解題後的成效也是受到大家關注的一個焦點，而影響解題成效的因素很多，研究者將國內外的相關研究依 13.

(22) 「問題表徵的因素」、「解題策略的因素」、「後設認知的因素」與「解題者個人特質的因素」等四向度做分類討論。. 一、問題表徵的因素王春展（1997）指出當解題者面對問題時，會發展出「問題表徵」，對問題敘述進行詮釋。而數學問題主要是以文字符號的方式呈現，所以解題者在問題表徵的歷程中，是否能順利將文字符號正確的轉換成數學符號將成為重要關鍵（凃金堂，2007）。凃金堂於2007年時，以36位國小學生作為研究樣本進行問題表徵的研究，研究發現解題表現較差的學生在解題時以「表面結構」作為分類原則；而解題表現較佳的學生則以「深層結構」作為分類原則。結果顯示，使用「深層結構」作分類的學生在數學表現比使用「表面結構」作分類的學生較佳。魏佐容（2011）將數學與閱讀理論結合，採用循環性理解、簡化、擬題、澄清與回顧等五個階段，分析高中低成就的學生解題習慣，研究發現，低成就的學生在解題時無法理解題目的意思而導致解題失敗，因此教師在教學時若能補強學生的弱勢能力，對學生的數學文字題閱讀理解力較有幫助。 Mayer（ 1989, 1992）認為缺乏正確的問題表徵就無法獲得正確答案，問題表徵即成為能否順利解決數學問題的重要關鍵。因此有研究者研究國內小學生解數學文字題時發現，學生會因無法理解問題的文字意義，而使用了錯誤的解題策略（謝毅興，1991）。. 二、解題策略的因素黃敏晃（1987）認為數學解題歷程中能否得到正確的結果，最重要關鍵在於解題者能否對問題擬定出一個適合的解題計畫，即為解題策略。Hegarty, Mayer 與 Monk 在1995年比較成功解題者與失敗解題者的解題模式中，發現成功解題者在解題時使用問題模式策略（problem-model 14.

(23) strategy）來建構問題的情境；而失敗的解題者則是直接選擇題目中的數字與關鍵字，利用直接轉譯策略（direct-translation strategy）來解題（引自王雅蘭，2002）。 Lerner（2000）研究學習障礙兒童在解題時，會因為不清楚解題策略而導致解題失敗，教師需要給予足夠的引導與練習，才能使學生的思想和語言結合。除此，有學者利用Polya的解題歷程步驟來分析92位學生的解題能力，結果發現在四個步驟當中，大部分的學生常會忘記「回顧」這個步驟，只有34%的學生會有評鑑與反省的解題過程（McCoy, 1994）。. 三、後設認知的因素 Montague（1991）研究資賦優異學生（簡稱資優生）與學障資優生使用解題策略的情形，結果顯示資優生比學障資優生有較多的成功解題經驗，因資優生在解題時，會使用較多的認知與後設認知。 Cai（1994）分析高低解題能力的學生，在定向、組織、執行、驗證等四個解題歷程中的差異表現情形，結果發現高解題能力的學生，會花費較多的時間在組織與計畫，且在解題的過程中會時常監控自己的解題歷程，隨時修改或調整。薛宏宜（2004）研究國二學生後設認知，對數學解題表現的影響中發現，高成就組的學生在解題時，自我監控的能力較強；而低成就組的學生自我監控能力較弱，在解題歷程中錯誤的地方往往比高成就組多。. 四、解題者個人特質的因素解題者在解題時，會從基模中提取與問題相關的知識結構，因此解題者本身所具備的知識結構，是影響解題的重要因素（Chi & Glaser, 1985）。除此，蔣大偉（2001）對數學障礙學生的工作記憶進行研究，發現數學的工作記憶與語文的工作記憶有顯著相關，而現今數學題目幾乎都是以文字敘述為主，因此語文能力變成為解題的重要關鍵。 15.

(24) 葉家綺（2005）整理多位學者的研究結果後，將影響數學文字題的解題者個人因素區分為知識、信念與後設認知三部分。知識為學習者所擁有的知識，其中包含數學先備知識與語文理解能力；信念為學習者的解題信念，即學習者是否有毅力與不放棄的精神；後設認知則為學習者的自我監控能力及驗證答案的能力。除上述的因素外，有研究者研究發現，影響解題者的解題表現因素尚包含：解題者的解題方法、數學思維、解題經驗與邏輯等（胡炳生，1997）。亦有研究者從性別的角度做探討，黃俊仁（2003）研究發現，不同性別的學生在解數學文字題的能力表現上沒有顯著的差異，此結論與高淑娟（2010）所做的研究相同，皆發現男、女生在數學文字題解題表現沒有差異情形。而陳湘琪（1999）發現，學生在數學解題表現上，不同性別的學生在「數學算則理解表現」、「數學解題歷程表現」與「數學解題整體表現」等三個變項上沒有顯著差異。蔡慧真（2010）在分析學生數學學習表現與性別的差異時發現，女生在數學學習表現上較男生好，但是沒有很大的差距。陳世杰（2005）則發現，在數學文字題閱讀理解與數學文字題解題的表現上，女生的表現皆優於男生。此結果與Henney在1970年所研究的結果相同，皆顯示女生在文字題之閱讀測驗得分顯著高於男生。. 綜觀上述各學者的研究結果發現，影響數學解題的因素有很多面向，每個因素也都有相當的影響力，但其中又以語文能力、了解問題表徵的影響最多，有研究者明確指出，要提升數學低成就學生的解題能力就必須使學生了解問題，加強學生的語文能力（Cardelle-Elawar, 1992），且教師在教學時應該加強訓練學生的閱讀能力與學生對數學文字題的「問題轉譯」與「問題整合」能力（王思佳，2010）。. 16.

(25) 第二節閱讀與閱讀理解的理論在日常生活中，「閱讀」已成為人人不可或缺的重要能力，我們可以透過書本、報紙、甚至上網來吸取知識，閱讀亦能讓我們窺知古今往來，淬取前人的智慧（柯華葳，1991）。曾志朗（2001）認為閱讀是心靈捕手，是教育的靈魂，只有透過閱讀，才有終身學習的可能。由此可知，閱讀已成為人類的重要技能之ㄧ，以下就閱讀理解作更進一步的探討。. 壹、閱讀的意義茲就閱讀理解的意涵與閱讀理解的成分兩方面進行說明：. 一、閱讀的意涵 Spodek（1985）將廣泛的閱讀定義歸納為三大類，（1）閱讀是解碼的過程，即是符號與發音之間的連結；（2）閱讀不只是解碼的過程，尚包括字與字音連結後的意義；（3）閱讀除了字與字音連結外，批判性閱讀、問題解決等複雜的心智運作亦包含在閱讀中。研究指出，閱讀即為文章與閱讀者的心智及記憶之間互動所產生的結果（林寶貴、錡寶香，2000），是指閱讀者利用自己的先備知識，包括字詞的認識、推論、統合、擷取前後文要義，與閱讀時的情境和既有的知識進行分析、比較、推論、想像等的思考過程，主動建構屬於自己的知識，而影響閱讀理解的因素有閱讀者本身、文章內容與環境因素三種（王瓊珠，2004）。因此，即使是同一篇文章，兩個不同的讀者永遠不會建構出相同的意義，甚至也不會有任何一位讀者的意義與作者相同（洪月女譯，1998）。. 二、閱讀的成分在數年的學校教育裡，學生的主要發展任務之ㄧ是學習如何閱讀。閱讀是語文的基礎技能，人類的知識與文化均藉由文字的記載傳承，因此閱讀便成為獲得知識與獨立學習的重要能力（詹文宏，2002）。而閱 17.

(26) 讀最終的結果是在獲得文章的意涵，美國國家委員會指出，良好的閱讀能力需要具備三個能力：識字能力、運用閱讀策略的能力與流暢的閱讀能力（引自吳庭耀，2009）。. 若將閱讀依成分分析，可將其分成「認字」與「理解」兩大部分（張春興，1995），以下依此兩成分進行探討：. （一）認字「認字」被認為是獲得理解的基礎，即為文字的辨認（ word identification），又稱為解碼。讀者在閱讀文章時，認字的過程需要經過字型辨識（word recognition）、字音辨讀（phonetic activation）與字義搜尋（semantic encoding）等三種活動（張春興，1995）。. Brookshire（1997）提出閱讀者在閱讀詞彙時有三種策略： 1.直接讀字：直接從過去的經驗裡提取詞彙的知識，不會對詞彙做字母或音素的拆解。 2.音素分析：通常都發生在讀者遇到不熟悉的詞彙時，對詞彙所進行的音素分析或拆解，再將它們拼音讀出來。 3.利用情境認字：讀者遇到生字時，利用情境來猜測詞彙的意思。有時還可利用語義映射（semantic mapping）來了解文章所要表達的意思或情境。. （二）理解藍慧君（1991）整理多位學者的理論，認為理解是技能的表現，當讀者具備閱讀技能時，就產生了閱讀理解，而閱讀技能的不同就產生了下面四種不同的閱讀層次： 1.字義的理解（literal comprehension）：指讀者從字句的意思來了解 18.

(27) 文章的內容、思想。 2.推論的理解（inferential comprehension）：指讀者依據文章所描述的內容與自己的過去經驗來推論文章的內容涵意。 3.評鑑的理解（evaluative comprehension）：指讀者從文章所表達的訊息中產生了自己的想法。 4.批判的理解（critical comprehension）：指讀者能分析批判所閱讀的文章內容。. 除此，Mercer 與 Mercer （2001）亦將理解分成下列五個成分： 1.字彙發展（vocabulary development）：以既有的知識、經驗或文章脈絡去理解字彙的意思。 2.字義理解（literal comprehension）：能理解字彙的意思並了解文章中的訊息或涵義。 3.推論或解釋理解（inferential or interpretative comprehension）：依據文章中的訊息及讀者的經驗，對文章內容做出適當的推論。 4.評鑑或批判理解（evaluation or critical reading）：依據文章所提供的資訊及讀者的經驗，對文章進行評鑑或批判。 5.鑑賞（appreciation）：讀者對文章的內容所呈現的情感表現。. 即使上述學者對理解的分類不同，但可發現主要皆包含「字義理解」與「文章理解」兩大部分，前者主要在了解字彙的意義，進而對詞彙、句子的理解，後者則是理解整個文章的內容涵義，並對文章進行批判或欣賞。. 由上可知，閱讀包含認字與理解兩部分，亦受到讀者本身的語言知識、背景、經驗等等的影響，是一個相當複雜的心理歷程，而閱讀的最終目的在於理解文章的內容與涵義，潘麗珠（2004）認為凡是有符號、有意義的東西都可以閱讀，即使是一個人的行為、姿勢、服裝，甚至到一幅畫、一 19.

(28) 部電影等，都可以利用閱讀來了解其中的意義。. 貳、閱讀理解的歷程閱讀是一個複雜的心理運作過程，讀者除了需要具備認字的基本技能外，還涉及很多歷程與策略的應用（Gersten, 1998）。Gagne 於1985年時，將閱讀理解歷程分成四個階段，且這四個階段在閱讀時是同時進行的： 1.解碼（decoding）：從長期記憶中將單字的意義檢索出來，包含「比對」（matching）與「轉錄」（recoding）兩種解碼歷程。「比對」是將字的字義直接從長期記憶中比對出來，為自動化的解碼歷程，「轉錄」是看到字時無法直接自動化解碼，需透過字音的協助從長期記憶中檢索字義，兒童多用此方法進行閱讀，成人遇到不熟悉的單字時也會採用此方法解碼。 2.字義理解（literal comprehension）：單字在經過解碼的歷程後，找出適合的文字意義，包含「詞彙加工」（lexical access）與「語法分析」（parsing）兩個歷程。「詞彙加工」是指字彙經過解碼後，找出一個適合文章的字義，為解碼的最終結果，「語法分析」指將個別的字義連結起來，以了解一個句子的意思。在此兩個歷程的共同運作下，才能提供字義上的理解。. 讀者透過「解碼」和「字義理解」兩個歷程便可以理解文章的表面意義，但若要了解文章的深層涵義則需要使用接下來的兩個歷程。. 3.推論理解（inferential comprehension）：讀者透過推理理解可以對文章獲得更廣泛、更深層的理解，包含「統整」（integration）、「摘要」（summarization）和「精緻化」（elaboration）等歷程。「統整」指讀者在閱讀文章時，將概念相近的知識結合為一致性的心理表徵，如此可以減少記憶的負擔，「摘要」是指讀者在讀完一段文字 20.

(29) 後，能歸納出文章的內容大意，「精緻化」則指讀者利用本身的先備知識或經驗，給予文章更豐富的意義。 4.理解監控（comprehension monitoring）：讀者檢視自己是否確切理解文章的內容涵義，包含「目標設定」（goal setting）、「策略選擇」（strategy selection）、「目標檢核」（goal checking）和「修正」（remediation）四個歷程。「目標設定」與「策略選擇」指讀者在閱讀時選擇一個目標，並決定達成此目標的策略，「目標檢核」與「修正」指讀者檢視是否已達成目標，並隨時修正歷程中斷的任何原因。此階段歷程屬於「後設認知」（metacognition），是一種高層次的閱讀認知成分，監控讀者思考的過程。. 1960年代認知心理學家開始利用心理歷程來解釋閱讀活動，利用「訊息處理論」對閱讀理解歷程提出了四種不同的模式（張新仁，1992）。. 一、由下而上模式（bottom-up model）此模式係由行為主義理論發展而來，較重視閱讀的解碼過程，從辨識字母到語音、意義的了解，強調閱讀理解是從細節到整體、感覺刺激到心理表徵的知覺歷程，過程被視為資料導向歷程（data driven model）（林清山譯，1990）。讀者在閱讀時是從字、語詞、句子、段落到文章，因此若每一階段的訊息處理能自動化，將能有助於閱讀理解。不熟練的讀者會把多數時間花在識字上，而識字已自動化的讀者則可以把多餘心力花在文章的理解上（Laberge & Samuels, 1974）。此派學者認為閱讀的主要成分是文章的內容，讀者在閱讀文章時沒有使用到相關的先備知識或先前閱讀過的內容，讀者會注意文章中的每個字，透過有順序的訊息處理而得到文章的內容涵義（Heilman, Blair, & Rupley, 1986）。此模式將閱讀歷程過度簡化，無法處理預測或推理等高層次的理解活動，因此在現今的閱讀理解歷程已較不適用（陳佳音， 2004）。 21.

(30) 二、由上而下模式（top-down model）此模式由完形心理學理論發展而來，讀者會根據閱讀內容進行假設、預測、理解文章意義，再從文章中的脈絡來認字。重視理解的重要性及讀者的舊經驗與先備知識，不強調識字能力，認為讀者的先備知識是閱讀理解的來源（McCormick, 1995）。此模式主張閱讀理解是一種主動的過程，讀者利用本身的先備知識組織文章內容，與文章產生互動，透過不斷的對文章提出猜測與驗證來理解內容，因此又稱讀者本位模式（reader based models）（汪榮才，1995）。此模式將焦點放在讀者上，讀者是利用過去的經驗進行預測，所以讀者在理解文章時，不會特別注意字彙，而是瀏覽文章來檢核他們的推論，因此流暢的閱讀者帶有的訊息會比文章所得到的訊息還多（Heilman, Blair, & Rupley, 1986）。. 三、交互模式（interactive model）此模式由認知心理學與建構心理學理論發展而來，重視「由下而上」和「由上而下」兩種模式的互動。上述的兩種模式皆為直線模式，「由下而上」重視感覺刺激的知覺歷程，而忽略讀者本身的先備知識影響；而「由上而下」則較重視讀者本身的先備知識，忽略文章的重要性，兩者模式對閱讀理解的解釋皆有偏頗。「交互模式」則強調兩者的重要性，應同時兼顧讀者與閱讀文章的角色（郭靜姿，1993）。目前較多學者採取「交互模式」歷程，認為「由下而上」與「由上而下」在閱讀過程中是交互發生的，讀者在閱讀時會同時處理高層次的文意理解與低層次的字義辨別，進而對文章做出最適當的解釋（林清山譯，1990）。. 四、循環模式（recycling model）此模式強調閱讀是一種循環的歷程，而非直線運作的，讀者在閱讀 22.

(31) 時是一種心理表徵不斷的被建構與統整，直到讀者理解文章的內容為止（柯華葳，1995）。因此閱讀除了受讀者先備知識與閱讀策略的影響外，社會情境也是其中的影響因素，所以不同的讀者可能會對相同的文章有不同的解釋（引自張玉成，2001）。. 上述的閱讀歷程模式，無論是「由下而上」、「由上而下」、「交互模式」或「循環模式」都有文章與讀者間的相互作用，只是程度多寡和先後順序的差異而已（張修維，2011）。潘麗珠（2008）指出閱讀一直被視為重要的能力，在學校裡更被視為學習的基本技能，如數學的解題也需透過閱讀來了解題目，當閱讀有困難時，不只在學習上受到影響，連日常生活的活動也會受到影響，如看報紙或菜單等，可見閱讀的重要性是不可小覷的。. 參、閱讀的發展階段閱讀的發展可以分成幾個不同的階段，每個階段間的過程沒有明確的劃分界線，但可讓我們了解閱讀的發展過程，藉此來安排教學與檢視試題的適當性（林寶貴、錡寶香，1999），Chall（1983）認為閱讀特徵隨著年齡增長而發展，從零歲開始，閱讀行為便會產生質與量的變化，他將閱讀發展從階段零到階段五，分成六個階段如下：. 一、階段零：前閱讀期（early reading stage）此階段約介於0至6歲。幼兒在此階段會快速發展聽覺語言能力，對生活週遭常用的語言已漸熟悉，且能區別印刷品上的文字與非文字，也能認得常用字，尤其是與自己有密切關係的文字。此階段學習者識字與讀寫行為的發展，為日後的閱讀打下基礎。. 二、階段一：識字階段（decoding stage） 23.

(32) 此階段約介於6到7歲。兒童在此階段開始學習文字和語音間的連結，建立解碼的能力，但由於此能力尚未自動化，所以閱讀速度相當緩慢，多數的認知資源都用在識字上。. 三、階段二：流暢階段（fluency from print）此階段約介於7到8歲。兒童閱讀時不會固著在文字本身，識字解碼能力已自動化，因此能將認知資源運用在理解文章的意義，閱讀時的理解能力與流暢性快速增加，因此，讀者透過大量文章閱讀到許多不同的字彙，當字彙可以以口語形式出現時，表示讀者已了解其意。. 四、階段三：閱讀新知階段（reading for learning）此階段約介於9到14歲。此階段的課程內容漸漸出現很多抽象觀念，訊息內容也漸趨複雜，他們透過認識更多字彙的意義來理解課程內容，學習新知識，是閱讀發展中的重要關鍵，因此，兒童由為了樂趣而閱讀轉變成為了學習而閱讀。本階段的前期主要是由聆聽來學習，聽的理解力較佳；後期時，閱讀理解能力則與聽的理解力相差不遠。. 五、階段四：多元觀點階段（multiple viewpoints）此階段約介於 14到18歲。青少年開始從文章中理解事物的組織原則，不再只是單純靠背誦或記憶的方式學習，他們開始對文章內容進行分析，建構不同層面的假設並思考各種不同的觀點。. 六、階段五：建構和重建階段（construction and reconstruction）此階段約為18歲以上。學習者已會主動的選擇性閱讀，且能利用分析、綜合、判斷將閱讀的內容形成自己的觀點，並能對習得的知識進行批判思考，此階段為閱讀發展的最高層次，但並非每個達到此年齡的人都會具備此閱讀能力。 24.

(33) 上述閱讀發展的六階段，可以發現階段零到二為閱讀基礎的階段，學習者在此三個階段是「學習如何閱讀」（learn to read）；而階段三到五為學習知識的階段，學習者在此三階段是「藉由閱讀來學習」（read to learn）。由此可知，人從出生就處在閱讀的環境，不斷接受閱讀的學習，學習者一開始先學習閱讀，當閱讀解碼的過程自動化後，便開始利用閱讀來進行學習，因此，每一學科的學習皆與閱讀息息相關，均需透過閱讀將訊息建構成自己的觀點。. 第三節閱讀與數學解題的關係及其相關研究壹、閱讀與數學解題的關係 DeCorte 與 Verschaffel（1991）提出「數學文字的理解能力」，指解題者對數學題目中的文字，同時運用語文與數學概念進行理解的能力。學生在解數學題目時，會先對問題進行理解，並用自己的語言做適當的解讀，將題目符號化後再演算，為「語文理解」轉換成「形式數學」的過程，轉換中解題者所具備的一般知識和數學概念皆是不可或缺的角色。因此，解數學文字題是一個需要同時使用語文與數學能力的活動（Mayer, 1992）。 Mckenna 與 Robinson（2002）提出學科的閱讀認知包含三個主要成分：（1）一般讀寫技巧（general literacy skills）；（2）學科先備知識（prior knowledge of content）；（3）學科特殊讀寫技巧（content-specific literacy skills），三者間的關係如圖2-3所示：. 25.

(34) 學科先備知識. 一般讀寫技巧. 學科特殊讀寫技巧. 圖2-3. 學科閱讀. Mckenna and Robinson 的學科閱讀認知成份. 研究者從 Mckenna 與 Robinson 的學科閱讀認知成份探討可知，數學學科的閱讀認知成分則包含一般讀寫技巧、數學學科的先備知識與數學學科的特殊讀寫技巧，其中一般讀寫技巧則包含閱讀理解技能，即對數學文本的理解。王淑嬌（2006）整理各學者的研究發現，數學問題多以文字的方式呈現，解題者需從題目中提取相關訊息進行解題運算，若解題者對題目中的文字無法理解或理解錯誤時，則會造成解題的困難。陳世杰（2005）綜合各項研究發現，影響學生對數學題目閱讀理解困難的原因有：數學詞彙理解困難、先備知識不足、程序性知識理解困難、數學圖示理解困難、數學題意的難度與一般語文能力。由此可知，數學解題除了需具備數學的先備知識外，仍需具備閱讀的能力，解題者在解題時先利用閱讀理解來分析題意，再使用數學知識進行運算，解題是兩者交互作用下的結果，可見數學解題與閱讀理解兩者的關係密不可分。. 26.

(35) 貳、閱讀與數學解題之相關研究近年來有許多研究指出閱讀與數學解題有顯著的正相關，茲分別將國內、外閱讀與數學解題之相關研究說明於下： Clark（1983）研究發現若提高學生的閱讀理解能力，則能有效增進數學概念的理解，學生的數學解題能力也將隨之提高。Jordan 與 Montani （1997）探討數學學習困難學生在問題解決與算術技巧的差異表現，結果發現閱讀理解是數學學習的基礎。王思佳（2010）以四年級學生為研究對象，採用分層隨機抽樣進行問卷調查，發現中文閱讀理解能力愈強之學童，其數學文字題解題表現越好。王淑嬌（2006）以四年級學生為研究對象，使用問卷調查法分析閱讀理解能力與數學解題歷程之相關，研究結果發現國小學童的閱讀理解對數學解題能力表現呈現正相關，解題者的閱讀理解能力對整體數學解題有顯著預測力。林麗華（2006）以三年級學生為研究對象，進行數學文字題的閱讀理解表現情形之研究，發現「數學文字題閱讀理解測驗」與「中文閱讀理解測驗」達顯著相關。黃俊仁（2003）以五年級學生為研究對象，探討數學文字題解題表現之相關因素，研究發現閱讀能力越高的學生，對有情境的數學文字題解題表現越好。謝毅興（1991）研究國小學生解數學文字題時發現，學生因無法理解問題的文字意義，使用了錯誤的解題策略導致解題失敗，研究中說明語文教學能有效幫助學生理解題目的內容。蔣大偉（2001）對數學障礙學生的工作記憶進行研究，發現數學的工作記憶與語文的工作記憶有顯著相關，因此語文能力變成為解題的重要關鍵，茲將相關研究整理如表2-1所示。. 表 2-1 閱讀與數學解題之相關研究年代. 研究者. 研究對象. 研究方法（工具）. 研究結果. 1983. Clark. 七年級學 1.閱讀理解測驗閱讀理解能力與數學概念生 2.數學概念與應用知識有顯著的相關（接下表） 27.

(36) 表 2-1 閱讀與數學解題之相關研究（續）年代. 研究者. 研究對象. 研究方法（工具）. 研究結果. 1997. 24 名三年問題解決和數字特定型 MD 在回憶事實時 Jordan 級數學學事實（number-fact 有困難，而一般型 MD 在 & 問題概念化與執行計算步 Montani 習困難 skills）的調查（MD）學驟有較多延緩童與 24 名正常學童. 2001. 蔣大偉. 37 名國小 1.閱讀理解測驗二年級學 2.基礎數學概念評童量 3.語文工作記憶作業 4.數數工作記憶作業 5.視空間工作記憶作業. 1.數數工作記憶與語文工作記憶有顯著正相關，兩者間有相當程度的影響 2.語文在數學學習過程扮演相當重要的角色. 2003. 黃俊仁. 267 名國 1.傳統數學文字題小五年級 2.有情境的數學文學童字題 3.有情境的數學文字題解題態度問卷 4.閱讀能力測驗工具 5.家長對子女學習態度問卷. 1.男、女生在解有情境的數學文字題表現無顯著差異 2.閱讀能力表現越好的學生，對有情境的數學文字題表現越佳. 2006. 王淑嬌. 394 名國 1.自編閱讀理解測 1.閱讀理解對數學解題表小四年級驗評量工具現呈顯著正相關學童 2.自編數學解題測 2.閱讀理解表現對數學解驗評量工具題具顯著預測力（接下表）. 28.

(37) 表 2-1 閱讀與數學解題之相關研究（續）年代. 研究者. 研究對象. 研究方法（工具）. 研究結果. 2006. 林麗華. 412 名國 1.瑞文氏智力測驗 1.數學文字題閱讀理解與小四年級 2.基礎數學概念評中文閱讀理解達顯著相學童量關 3.閱讀理解測驗 2.不同數學程度學生在自 4.中文閱讀理解測編數學文字題閱讀理解驗各方面皆有顯著差異 5.自編數學文字題閱讀理解測驗. 2010. 王思佳. 402 名國 1.閱讀理解困難篩 1.中文閱讀理解越好的學小四年級選測驗生，數學文字題解題表學童 2.自編解題歷程測現越佳驗 2.不同中文閱讀能力的學生，在數學文字題解題表現上有顯著的差異. 綜合上述研究結果得知，閱讀與數學解題表現的關係相當密切，若解題者無法正確的理解題目意思，則會影響其接續的數學解題歷程，進而導致解題失敗。但目前對此相關研究的數量仍相當有限，且研究對象多以國小學童為主，除此，有學者提出閱讀的成分包含「識字」與「理解」兩部分（張春興，1995），綜觀所有研究發現，多數研究皆在探討閱讀理解與數學解題之相關性，尚未有研究同時探討識字、閱讀理解兩者與數學解題的相關性。因此，研究者欲了解現階段國中學生是否亦存在此閱讀理解與數學解題的顯著相關表現，並再進一步了解識字在數學解題中是否有顯著的相關性，而當對識字能力進行分析探討時，其與閱讀理解兩者能否提高對數學解題的影響力亦值得探討。因此，針對上述原因，本研究將以國中學生為研究對象，探討國中學生中文閱讀能力與數學解題能力的相關性，及數學概念在此關係中的影響程度多寡。. 29.

(38) 第四節文獻探討總結由上述各節之文獻探討知悉數學解題、閱讀理解與兩者間的關係，本節將針對上述各節的理論作一個總結性的探討。綜合各文獻可知，數學解題是個體為達到目標的過程中，找尋各種可解決的方法和途徑，若過程中遇到阻礙時，「解題」，就因此而產生了（Kahney, 1993；Kilpatrick, 1985；陳蕙茹，2008；黃敏晃，1991）。而數學問題被分為兩大基本的類別，一類為固定的解題步驟，有固定的解題過程或答案；而另一類則無固定的解題步驟，解題者需要運用較高層次的思考，統整或創新既有的知識來獲得解決（Mayer & Hegarity, 1996；Polya, 1981），而「解題」所指的問題，通常是指無固定解題步驟的問題。當解題者欲將問題解決時，需經過複雜的心理歷程運作，多位學者提出的解題歷程模式，主要皆在說明解題者在解題之初需要先了解題目，接著尋找解題的方法，擬定解題欲執行的計畫，解題的計畫執行後，進一步檢驗答案的正確性與回顧先前的解題歷程（Mason, 1985；Mayer, 1992；Polya, 1945； Schoenfeld, 1983）。綜合多位研究者的研究發現（Cai, 1994；Chi & Glaser, 1985；Hegarty, Mayer, & Monk, 1995；Henney, 1970；Lerner, 2000；Mayer, 1992；McCoy, 1994；Montague, 1991；王春展，1997；胡炳生，1997；凃金堂，2007；高淑娟，2010；陳世杰，2005；陳湘琪，1999；黃俊仁，2003；黃敏晃，1987；葉家綺，2005；蔡慧真，2010；蔣大偉，2001；謝毅興，1991；薛宏宜，2004；魏佐容，2011），影響數學解題的因素很多，在第一節的部份已分別依「問題表徵的因素」、「解題策略的因素」、「後設認知的因素」與「解題者個人特質的因素」等四個向度做分類討論。其中，可以發現語文能力與了解問題表徵的影響因素很大，且更有研究者明確指出，提高學生的語文能力，將能對學生的數學解題表現有所助益。在閱讀與閱讀理解的部分，多位學者將閱讀定義為文章與閱讀者互動過程所產生的結果，閱讀是一個解碼的歷程，閱讀者運用自己的先備知識，與文章 30.

(39) 進行分析、比較、推論等思考過程，主動建構出自己的知識（Spodek, 1985；林寶貴、錡寶香，2000）。而閱讀是日常生活中一個重要的技能，學生在學校教育裡，首先主要的發展任務是學習如何閱讀，即是由「學習如何閱讀」，到後來的「藉由閱讀來學習」，閱讀已成為個體可以獨立學習，獲得知識的重要能力（Chall, 1983；詹文宏，2002）。閱讀，是一個複雜的心理歷程，各學者從不同的觀點提出了各種不同的閱讀理解歷程模式，在第二節的部分已依「由下而上」、「由上而下」、「交互模式」和「循環模式」等四個模式進行討論，但不管是哪一種模式，主要都提及文章與讀者間的互動，其最終目的為對文章進行理解，了解文章內容（ Heilman, Blair, & Rupley, 1986； Laberge & Samuels, 1974； McCormick, 1995；汪榮才，1995；林清山譯，1990；柯華葳，1995；陳佳音，2004；郭靜姿，1993）。當學生閱讀理解有困難時，其所造成的影響不只是在數學解題方面有困難，連在其他學科的學習上也會有極大的問題，更甚至於日常生活的活動也會受到相當的影響。由上可知，數學多與文字脫離不了關係，數學問題需依賴文字的書寫來闡述題意，解題者看到題目時，會先對文字進行解碼，再將解碼後的文字，利用閱讀理解來分析題目所欲表達之意，待解題者了解題目的意思後，再使用數學的先備知識進行運算，解題即是彼此間的交互作用下所產生的結果。已有多數研究發現，閱讀與數學解題兩者間有顯著的正相關，因此，本研究欲分析探討國中學生是否亦存在此閱讀理解與數學解題間的顯著相關表現，並且再進一步探討識字能力在數學解題中是否有顯著的關係存在。. 31.

(40) 第三章研究方法本研究以國中一年級的學生為對象，利用相關測驗工具來了解學生的各智力變項、中文閱讀能力與數學解題能力，並分析探討其間的相關性為何。本章說明本研究的方法與流程，共計四節：第一節為研究架構；第二節為研究樣本與工具；第三節為研究流程；第四節為資料分析，茲針對各節內容說明如下：. 第一節研究架構根據第二章之文獻探討及第一章的研究目的，擬定本研究各變項的關係，研究架構以圖 3-1 表示如下：. 各智力變項. 智力與各分測驗智力（語文、數量、圖形）. A 數學解題能力. C A. 1.程序性解題測驗 2.問題解決測驗. 中文閱讀能力. B 1.識字量評估 2.中文閱讀理解測驗. 圖3-1 研究架構圖. 32.

(41) 茲將本研究架構圖各研究路徑說明如下： A. 各智力變項（智力與各分測驗智力）、中文閱讀能力（識字量評估、中文閱讀理解測驗）和數學解題能力（程序性解題測驗、問題解決測驗）在國中一年級學生彼此間的相關表現。 B. 不同中文閱讀能力（識字量評估、中文閱讀理解測驗）的國中一年級學生，在數學解題能力（程序性解題測驗、問題解決測驗）表現的差異情形。 C. 控制各智力變項後，中文閱讀能力對數學解題能力的預測效果。. 第二節研究樣本與工具壹、研究樣本本研究樣本為九十九學年度的國中一年級學生，研究者隨機從服務的學校抽取四班，共 129 位學生，其中男生 64 人、女生 65 人，各班學生人數分配如表 3-1 所示。學生入學時，學校採用常態編班的方式進行編班，每班的學生素質相當。為確定樣本學生程度，研究者根據本研究目的，採用學生在學校各科成績中與本研究最密切相關的國文科來分析學生程度分布。先排出全校所有學生的國文學期成績百分比，再從中將樣本分成高程度、中程度與低程度三組，觀察樣本學生程度的分布情形，高程度組為全校前百分之三十的學生，中程度組為中間百分之四十的學生（即 30％~ 70％），低程度組為全校後百分之三十的學生。分布情形如表 3-2 所示，由表可看出各班人數最多的學生皆分布在中程度組，各程度皆有一定比例的學生，而各班分佈的情形差異不大。. 33.

(42) 表 3-1 各班學生人數分配表班級代號. 男生. 女生. 總計. 甲. 17. 16. 33. 乙. 17. 16. 33. 丙. 16. 16. 32. 丁. 14. 17. 31. 總和. 64. 65. 129. 表 3-2 各班學生程度分布情形高程度人數中程度人數班級代號（前 30 %）（30 % ~70%）. 低程度人數（後 30 %）. 總計. 甲. 13. 14. 6. 33. 乙. 7. 19. 7. 33. 丙. 6. 20. 6. 32. 丁. 10. 12. 9. 31. 總和. 36. 65. 28. 129. 在統計分析時，將樣本學生先後依「識字量」與「中文閱讀理解」測驗的結果分高程度、中程度與低程度三組。其中識字量高程度、中程度與低程度組分別為識字量評估測驗前 30%、中間 40%與後 30%的學生；而中文閱讀高程度、中程度與低程度組則分別為中文閱讀理解測驗前 30%、中間 40%與後 30% 的學生。. 34.

(43) 貳、研究工具本研究為了了解閱讀與數學解題的相關性與差異表現，使用的研究工具有「國民中學智力測驗更新版」（陳榮華，2004）、「識字量評估測驗 A39」（洪儷瑜，2007）、「中文閱讀理解測驗」（林寶貴、錡寶香，1999）與自編「數學解題測驗」，茲分別說明各測驗內容如下：一、國民中學智力測驗更新版由陳榮華（2004）所編製，測驗內容包含語文推理、數量推理與圖形推理三部分，其中語文推理與數量推理可以評估學生的「晶體智力」（crystallized intelligence），這類智力為學生從教育所獲得的認知技能。而圖形推理可以評估學生的「流體智力」（fluid intelligence），這類智力可測出學生的抽象推理能力，是教育外的一般經驗。本智力測驗的三項分測驗可以分別換算成量表分數及百分等級，各分測驗的分數總和則可換算成平均數為 100、標準差為 15 的離差智商（IQ），以及百分等級。測驗的折半信度為.79~.88，重測信度（時距 3 週）為.42~.91；測驗所得的 IQ 分數與國中基測之相關為.83，與學科成績（段考分數）之相關為.62 ~.94。二、識字量評估測驗由洪儷瑜、王瓊珠、張郁雯、陳秀芬（2004）編製，此工具參考國立編譯館「國小常用字庫」所編製，先將字庫裡的字分成 16 級字，再按字級分層取樣，每一級字隨機抽出 3-4 字不等，測驗並依閱讀識字發展階段分為兩個版本。本研究所使用的版本為 A39，適用範圍從國小三年級至國中三年級，共 40 題。識字量的推估是以答對某級目標字的字數對應出該級估計字數的數量，再將各級估計字數的數量加總後即為識字量分數。本測驗的重測信度（間隔兩週）為.80~.94，折半信度介於.85~.92 之間，各年級內部一致性介於.85~.91 之間；在效度方面，與常見字流暢性測驗的相關介於.50~.78，與閱讀理解的相關介於.54~.66，和其他閱讀相關的測驗也有 35.

(44) 低到中度的相關。三、中文閱讀理解測驗由林寶貴、錡寶香（1999）所編製，共有 100 題選擇題，答對一題得 1 分。本測驗用於篩選有閱讀理解困難的學生，內容包含六篇故事類記敘文與六篇說明文，測驗試題設計有「音韻處理能力」、「語法能力」、「語意能力」、「文章基本事實的了解」、「抽取文章重點大意」、「推論」、「比較分析」等七種評量閱讀理解次能力的題目，測驗的原始分數可以對照常模轉換成百分等級與 T 分數。本測驗的重測信度（間隔兩週）為.89，庫李信度為.90，內部一致性信度為.96，折半信度為.95；在效度方面，各閱讀理解次能力之間的相關為.79~.98，全測驗總分與各項次能力之相關為.85~.96。「中華國語文能力測驗」全測驗與本測驗的得分相關為.80。四、數學解題測驗本研究數學解題測驗有「程序性解題測驗」與「問題解決測驗」兩種，研究者將測驗試題依 NAEP 數學能力架構中的「程序性知識」與「問題解決」分成「程序性解題測驗」與「問題解決測驗」。「程序性解題測驗」的題目在解題時所運用的認知層面較少，解題者僅需運用基本的數學知識即可解題；「問題解決測驗」的題目在解題時需要用到較多的認知層面，解題者除了需要具備數學知識外，還需運用語文理解、推論與分析等較高層次的認知能力。測驗題目均選自於郭伯臣、楊裕貿、胡豐榮（2008）所研發的「BNAT 適性測驗暨補救教學系統」（Bayesian networks based adaptive testing,簡稱 BNAT），並以「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」中的七年級分年細目為依據（教育部，2008），選出適合國中一年級學生能力指標的題目，並考慮學生寫題目時所需花費的時間，最後各選出 40 題試題作為此次研究的測驗試題，各測驗題目的能力指標分布情形如表 3-3 所示，因「BNAT 適性測驗暨補救教學系統」為一診斷測驗，系統內的題目經過多位研究者進行 36.

(45) 研究分析皆有良好的信度、難度與鑑別度，因此本研究為了解國中一年級學生的數學能力，僅從題庫中選出符合課程綱要數學學習領域的七年級分年細目之題目，施測後只對測驗題目進行分析，了解本研究樣本在測驗各題的難度與鑑別度表現情形，並未對題目進行刪減。. 表 3-3 數學解題測驗的能力指標分布分年細目. 程序性解題測驗題號. 問題解決測驗題號. 1、2. 2. 7-n-01. 能理解質數的意義，並認識 100 以內的質數. 7-n-02. 能理解因數、質因數、倍數、公因數、公倍數及互質的概念，並熟練質因數分解的計算方法. 4. 1、3、4、5. 7-n-03. 能以最大公因數、最小公倍數熟練約分、擴分、最簡分數及分數加減的計算. 3、5. 6、7. 7-n-04. 能認識負數，並能以「正、負」表徵生活中性質相反的量. 6. 8、19. 7-n-05. 能認識絕對值，並能利用絕對值比較負數的大小. 7、8. 10. 7-n-06. 能理解負數的特性並熟練數 (含小數、分數)的四則混合運算. 10、12、13. 11、12. 7-n-07. 能熟練數的運算規則. 11. 14、15 （接下表）. 37.

(46) 表 3-3 數學解題測驗的能力指標分布（續）分年細目. 程序性解題測驗題號. 問題解決測驗題號. 9. 9、13. 7-n-08. 能理解數線，數線上兩點的距離公式，及能藉數線上數的位置驗證數的大小關係. 7-n-09. 能以不等式標示數的範圍或數線上任一線段的範圍. 7-n-10. 能理解指數為非負整數的次方，並能運用到算式中. 15. 16. 7-n-11. 能理解同底數的相乘或相除的指數律. 14. 17. 7-n-12. 能用科學記號表示法表達很大的數或很小的數. 16. 16. 7-n-13. 能理解比、比例式、正比、反比的意義，並能解決生活中有關比例的問題. 27、32、33. 28、32. 7-n-14. 能熟練比例式的基本運算. 28、29. 27. 7-n-15. 能理解連比、連比例式的意義，並能解決生活中有關連比例的問題. 30、31. 29、31、30. 7-a-01. 能熟練符號的意義，及其代數運算. 17. 36. 38. （接下表）. 38.

(47) 表 3-3 數學解題測驗的能力指標分布（續）程序性解題測驗題號. 分年細目. 問題解決測驗題號. 7-a-02. 能用符號算式記錄生活情境中的數學問題. 18. 7-a-03. 能理解一元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出一元一次方程式. 20、35. 7-a-04. 能以等量公理解一元一次方程式，並做驗算. 18、20. 39. 7-a-05. 能利用移項法則來解一元一次方程式，並做驗算. 19. 33. 7-a-06. 能理解二元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出二元一次方程式. 21. 21、22. 7-a-07. 能理解二元一次聯立方程式，及其解的意義，並能由具體情境中列出二元一次聯立方程式. 22. 23. 7-a-08. 能熟練使用代入消去法與加減消去法解二元一次方程式的解. 23. 24. 7-a-09. 能認識函數. 25、26. 25. 7-a-10. 能認識常數函數及一次函數. 24、34. 26 （接下表）. 39.