數學解題能力相關理論與研究

本節旨在探討數學解題能力相關的理論與研究，共分為三部分：數學解題 的定義、數學解題歷程、數學解題能力的相關測驗。

壹、數學解題的定義

解題是數學教育的重要課題，而解題被數學教育家認為是數學學習的焦點 (Schoenfeld, 1994)。學者們很難為題目或解題的定義建立一個共識。Brownell 對解題下了一個經典的定義，其認為解題是指知覺性和概念性工作；其性質含 原創性而包括先前學習經驗；在解題時並沒有直接解決的方法，而且解題者會 遇到困難卻不致於迷惑……為此，題目是位於完全明確熟悉和完全困惑陌生兩 個極端之間（引自梁淑坤，2002）。

美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）在 2000 年的時候指出，解題是指從事一項事先不知解答方法的工作，為了尋求解 答，學生須運用他們的知識，而且經由這樣的歷程，學生可能對數學發展出新 的領會。解題不只是學習數學的目標，而且是學習數學的主要方法。學生應該 時常有機會去規劃、對抗及解決需要經過很多的努力才能解決的複雜問題，解 題過程中的衝突、驚訝、困惑等，是激發兒童省思的動力。經由學習數學解 題，學生應可獲得思考的方法、堅持和好奇的習慣，以及在不熟悉情境中的自 信，這些可供他們在數學教室外好好的使用，在日常生活中及工作場所裏，成 為優秀的解題者，獲得極大的進步（引自陳淑琳，2001）。

一般人認為解題者會遇到一個陌生或者是困難而不能立刻或直接解決的問 題時，就可以稱為解題，這樣的問題才算是一道題目。葉明達（2004）指出，

數學解題是指解題者在面對數學問題時，沒有立即可利用的算則或方法，必須 融會原有的知識與數學概念，並靈活運用策略與方法以求得解答的歷程。

Kilpatrick 認為數學解題的意義可以分為三個層面來探討（引自張曉雲，

2003）：

一、心理學

在數學解題此情境中，反應在學生的心理上為：想要達到一個目標，可是 路徑被阻塞而產生了問題，需要解題者運用數學原理、方法和概念，即「為達 目標所做的活動」。

二、社會學

將數學解題視為老師給學生的任務，當學生在解題任務中會與老師產生微 妙的關係，彼此猜測對方的心意，由自我的觀點來解釋對方的行為。

三、數學

數學問題是數學建構的開端和思考的工具，因為數學都是數學家在形成問 題和解決問題的過程中創造出來的（楊瑞智，1993）。

綜觀上述，數學解題的定義是解題者面對題目時分析相關的資訊，並經由 邏輯的思考，將問題轉化成自己能理解的內容，最後形成結論，再經由驗證過 程確認結論是否符合題目要求的歷程。

貳、數學解題歷程

教育部在九年一貫數學領域課程綱要中，將獨立思考與問題解決列為重要 的能力之一（教育部，2008），可見數學解題能力的重要性已經被重視。數學 解題是否能夠順利完成，除了要具備有一定的數學能力之外，解題者的整個解 題歷程也扮演瞭解題成功與否的重要角色。

Dewey 在 How to Think 一書中，提出確認問題的情境、定義問題、擬定計 畫、執行計畫、體驗解題結果、評鑑，六個問題解決的階段。這六個階段建立 瞭解題歷程的雛形，學者提出的解題歷程多以其提出的理論建立（引自張曉 雲，2003）。以下就 Polya、Schoenfeld、Mayer 與國內學者胡炳生所提出的解 題歷程作敘述。

Polya (1957)是第一位將解題歷程作系統化區隔的學者。在其著作 How to Solve It 一書中提出四個階段的歷程理論─「瞭解問題、擬訂計畫、執行計畫、

回顧」，解題者有可能是從不斷的嘗試與一段時間的沈澱思考之後，重新理解 題意；也有可能根據擬定的計畫執行後，發現無法順利執行，再回到前一個階 段重新執行。也就是說解題歷程是一個不斷循環的過程。茲將 Polya 解題歷程列 出如下表。

表 2-2 Polya解題歷程

Schoenfeld（1985）在 Mathematical Problem Solving 一書中以 Polya 所提出 的理論為基礎，提出數學解題行為有四個因子，資源（resource）：解題者的數 學先備知識。捷思（heuristics）：解題者的解題策略與技能。控制（control）：

解題者監控如何選用適當的數學先備知識與技能。信念系統（belief system）：

解題者對數學的觀點，會影響解題者的解題行為，同時也會影響解題者對數學 的態度。

Schoenfeld 認 為 此 四 個 因 子 之 中 ， 控 制 居 於 較 為 關 鍵 的 地 位 ， 因 此 Schoenfeld 在解題歷程中，以控制的觀點，將解題歷程區分為讀題、分析、探 索、計畫執行、驗證、轉移等六個階段，每一階段又分為數個解題內容（陳淑 琳，2001）。茲將 Schoenfeld 解題歷程列出如下表：

表 2-3 Schoenfeld解題歷程

階段 內容

Mayer (1992)在 Thinking, Problem Solving, Cognition 一書中，依據認知心理 學 的 觀 點 提 出 數 學 解 題 的 歷 程 ， 將 解 題 歷 程 分 為 問 題 表 徵 （ problem representation）與問題解決（problem solution）二個階段，每個階段再分為二個 步驟。書中並將知識分類為：語言知識、事實知識、基模知識、策略知識和程

7.2×5.4＝38.88 0.3×0.3＝0.09 38.88÷0.09＝432 432×0.72＝311.04 資料來源：引自林清山譯（1997），教育心理學－認知取向。

胡炳生（1994）在其著作《數學解題思維方法》一書中提出，「觀察－聯

綜觀上述，不同學者所提出的數學解題歷程有不一樣的觀點以及用詞，大 多都依循 Polya 所提出的解題歷程概念，加以修改後更臻完善，本研究為方便閱 讀理解能力與數學解題能力進行分析，使用 Mayer(1985)所提出之概念作為數學 解題能力的基準，用以編製測驗。

叁、數學解題能力的相關測驗

數學解題能力是數學教學的重心之一。數學解題能力測驗，如根據 Polya 等 學者的理論，數學解題能力包含瞭解問題、擬訂計畫、執行計畫、回顧。瞭解 學童數學解題能力其中一個方法就是對學童進行數學解題能力測驗，測驗內容 必須包含瞭解問題、擬訂計畫、執行計畫、回顧等面向。

如何有效評量學生的解題能力是數學解題研究的重要課題。Goldin（1982）

曾將問題解決的測量方法歸納成幾個類型（引自劉秋木，1996）：

一、問題難度測量：

準備一組數學應用題或選擇題供學生作答，以個別學童通過的百分比代表 其數學解題能力。這類測驗只能度量學童解題的結果，而不能測量其解題的過 程（Schoenfeld, 1985）。

二、錯誤型態：

準備一組計算題或應用題讓學童解題，從學童解題過程中，分析其錯誤型 態。用這種方法可以發現學童解題思路上的缺點，做為補救教學的參考，但測 驗結果不易量化。

三、解題策略計分系統：

依據解題歷程理論，將解題分成階段式的題目，分階段評分。這個方法重 視個體解題時運用策略的種類與頻率，有助於研究解題心理歷程的理解。

四、結構化的訪談：

準備數學題目供學童作答，在解題過程中或解題之後，對學童進行結構式 訪談，由學童的回答瞭解其想法。若在解題進行中進行結構化訪談，會干擾學 童的解題思路，若提問不恰當，也可能會給學童不適當的解題線索。

五、問題空間之路徑法：

把解題看做是幾個步驟所構成，由起始狀態到目標狀態，就像由起點出發 到目的地，中間經過不同路徑，也經過不同景象。每一個景象就是一個狀態，

由這些狀態組織成一個問題空間。分析問題狀態的數量，可以測定問題的難 度，在每一狀態所花費的時間可以度量，由一狀態到另一狀態的移動是否正確 也可以評估。有一些步驟的轉移可以組成一組而形成結構，有相同結構的問題 也就有相同的解法。分析兒童解題的路徑，就可以明瞭其問題表徵。

六、口述、筆述與行動的腳本：

準備數學題目讓學生解題，請學生在解題過程中將自己思考的過程說出、

或利用紙筆寫下算式、畫圖、計算等，甚至操作具體事物的情景、面目表情等 利用錄影的方式記錄、分析成為腳本，分析這些資料以瞭解學童的解題能力及 所使用的策略。

由此可知，在研究的過程中想要有效評量學童的能力，選擇適當的評量方 法是相當重要的。

高石城（1998）依據 Goldin(1982)問題解決的測量方法中「解題策略計分系 統」所編製之「國小高年級數學解題能力測驗」，測驗目的為以數學解題認知 歷程探討高年級學童的數學解題能力。針對數學解題的認知歷程，設計五個分 測驗—「基本知識」、「題意理解」、「解題計畫」、「執行解題」、與「回 顧解題」。全部測驗共 35 題，「執行解題」集中於一個分測驗中，其餘分散於 各分測驗中。共計「基本知識」7 題、「題意理解」7 題、「解題計畫」7 題、

「體積問題」4 題、「面積問題」4 題、「計算題」7 題、「比的問題」4 題、

「分段收費」4 題、「追趕問題」4 題、「平均問題」4 題。以對或錯作為評分 的標準。本測驗的 Chronbach’s α 值為.83。分測驗與全測驗的相關係數介於.69

～.80 之間，呈現中度相關，整體測驗而言具有不錯的建構效度。

翁欣瑜（2001）參考劉秋木編製之「數學解題行為量表」，再依 Polya 所提 出「瞭解問題」、「擬訂計畫」、「執行計畫」、「回顧」四個步驟編製的

「幾何解題測驗卷」，其測驗目的為測量國小高年級學童幾何方面的解題能 力。測驗的 Chronbach’s α 值為.72。主要測驗六年級學童幾何解題歷程，在題目 分配上較不平均，無法兼顧每一個歷程的評估。王淑嬌（2006）以調查法對國 小四年級學童所進行的研究，數學解題測驗根據 Polya 數學解題歷程為架構編製 數學解題測驗，包括「瞭解題意」、「擬定計畫」、「執行計畫」、以及「檢 視回顧」各 6 題，共 24 題。研究結果顯示，學童在「執行計畫」的表現最好，

其他依序為「瞭解題意」、「擬定計畫」、「檢視回顧」各層面的數學解題歷 程。

鄧凱仁（2009）為建立普遍性的數學解題能力測驗及探討國小六年級學童

鄧凱仁（2009）為建立普遍性的數學解題能力測驗及探討國小六年級學童