第二章 文獻探討
第一節 數感與估算
一、數感的定義
數感 (number sense) 是兒童對數學概念的理解與運用，兒童利用他們已知的 數學知識來探究在各種情境下，發展出多重方式之表徵數字，且善用參考點，了 解數字與運算間之相互關係，並從中發展有效的解題策略等，即是舊經驗與知識 相結合，不是靠著直覺所能形成的，需經過長期間教學培養。楊德清(2002)將此 譯為數字常識。Reys (1994) 認為數感是指個人對數字、運算，及數字和運算中 產生一般性理解與認知，當個體有需要時，便可從長期記憶區中搜尋並運用。數 感是指個人對數字、運算一般性之瞭解，包含有能力及彈性之方法並做出判斷及 發展出策略，處理數字和運算之關聯(楊德清，1997)。數感是指在數字與計算之 過程間一種習慣性的想法(支毅君，1997)。數感因強調學習數學是有意義的，因 此近幾年來逐漸被數學家與心理學家所重視(劉琪玲、謝哲仁，2003)。不僅如此，
美國數學教師協會 (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM, 1989) 、 美 國 教 育 研 究 中 心 (National Research Council, 1989) 、 澳 洲數 學 教育 協會 (Australian Education Council, 1991) ，皆主張「數感」學習數學的一個重要的要 素，更將「數感」列為數學課程及教學目標之一。為了引導兒童發展良好的數感，
第六屆美國國家教育進步評量 (National Assessment of Educational Progress, NAEP, 1996) 中包含 1.數感、數的性質及運算；2.量；3.幾何及空間感；4.資料分 析、統計及機率；5.代數及函數等。第三屆國際數學暨科學評量 (Third International Mathematics and Science Study, TIMSS) 在數學部分則分為 1.整數；2.分數及比例；
3.量、估測及數感；4.資料呈現、分析及機率；5.幾何；6.組型、關係及函數等六 類。
在 2000 年出版之學校數學原則及標準 (The Principles and Standards for School Mathematics) 描述「當兒童了解數字的大小、發展多重的表徵方式以表徵 數字、能使用基準點、以及能夠認知數字和運算之相對影響，數感即展現。」
Carpenter & Wilson (1976)認為發展出量的直覺才能有好的估算能力，量的直覺便 是一種數感能力。Brownell (1935) 認為有意義的學習測驗不是靠機器計算之方式，
而是真正掌握數字相關智慧之能力，才能瞭解數學上和實際中之含意。
Case (1989) 認為數感雖難定義但卻容易辨識，數感良好的學生能利用真實的 量與數學世界的數和數字表徵進行管理數字運作的程序。同樣的數可根據脈絡及 表徵的目的以多重方式進行表徵，辨識基準點 (benchmark numbers) 及數字組型 (number patterns) 。Hope (1987) 認為數感是在計算時對數學正確程度之了解，數 字支持論證之常識；在合理估計與偵測算術錯誤時選擇最有效的計算程序與辦識 數字組型之能力。Greeno (1991) 認為數感只是一個術語，只能要求理論上之分析，
並非是一種定義。Soweder (1992) 則認為數感：
(一)具有良好概念之組織網路，能連結數字及運算之關係。
(二)為一種辨認之能力，運用於比較數字、使用數字大小、相對、絕對大小，進 行質與量之判斷。
(三)能運用多變化與創新之數字形式解決問題。
Kastner (1989) 提出具有數感之能力的人對於數字具有特殊之感覺，及能將 數學與感官經驗結合起來，與他人和周遭環境產生關連之直覺能力。將抽象視為 是由具體而有意義之經驗類化，即能順利掌握數學之抽象特徵。
綜合上述，學者認為學習者學數學思考，數感將會有多種呈現方式，包含對 於答案的正確性與判斷合理性等。數感是將數字找到意義化後並與先前知識作結 合，尋找新的資訊，同時與學習者內心直覺進行連結展現其特徵。
Resnick (1989) 從不同之形式定義提出數感，包含：
(一)非算則化之概念 (nonalgorithmic) ；
(二)傾向於一種較複雜概念與想法之表現方式；
(三)經常產生一種多樣化的解答方式；
(四)一種細微差異的判斷和解釋；
(五)解題時呈多重標準的應用；
(六)解法具一定程度的不確定性；
(七)一種思考歷程的自我調整 (self-regulation) ； (八)一種有關於數字意義化之過程；
(九)一種精緻化之心智思考 (effortful) 。
Yang (1995) 指出，數感對於數字及運算過程之瞭解，包含數學判斷時，使 用複雜方式的瞭解，及發展有效之策略處理數字與運算。擁有數感能力，將能運 用數字與數量之方法溝通、處理、解釋資訊。NCTM 在 1989 年認為具有良好數 感之人需要擁有下列能力：
(一)對於數的意義有良好之理解；
(二)能發展數與數之間多重表徵之型式；
(三)辨識數的相對之大小；
(四)了解數運算之相對結果；
(五)發展出參照基準點來測量物體並應用於生活情境之中。
McIntosh, Reys, Reys, Bana, & Farrel (1997) 則認為數感須包含下列能力：
(一)瞭解數字的意義與大小的能力；
(二)瞭解並使用等值形式及表徵數字的能力；
(三)瞭解運算的意義和影響的能力；
(四)瞭解並善用等值形式解題的能力；
(五)發展計算和數數策略的能力；
(六)運用參考點的能力。
楊德清(2003)則將數感定義為：
(一)瞭解數字的基本意義以及數與數間之關係的能力；
(二)具備比較數字大小的能力；
(三)發展與使用參考點的能力；
(四)瞭解數字對運算的影響之能力；
(五)發展不同的計算策略與判斷答案合理性的能力。
將上述學者對於數感之定義，整理如下，並針對各學者之定義分析如下：
表 2-1-1 數感之定義
學者/年份 數感之定義
Howden (1989) 數感是對於數與數之間關係一正面直覺，在不同情境 下，透過不同的角度對數字探討後，逐漸形成的。數感 不是一種有限的實體，可以用有或沒有二分法來區分，
而是一種隨著經驗與知識發展、逐漸成熟的過程。
Reys (1994) 數感是在面臨數字情境的問題時，能做合理推理之形 式。當個體用數感來處理問題時，沒有單一形式，並且 不是符合標準答案之目的進行；相反的，它是一種在面 臨複雜情境下對於數字的直覺之反應，且與個體自身所 具備之知識與技能有關。
Reys & Reys (1992) 數感是高度個人化，個體在思考問題時，會選擇、發展、
使用運算之方法，其中包含心算、筆算、估算、電算器 等。
Schoen (1989) 不管在學校內、外，具有良好能力數感者能夠在真實情 境中，並流暢使用數字或運算，且能將數字在數學情境 中與真實環境中進行結合與運用。
Kastner (1989) 具數感的人有能力及信心來決定答案的合理性，並能將 數學與感官經驗結合起來進行決策。
McIntosh, Rey, & Reys (1992)
數感包含正確且有效率地計算、偵測錯誤及判斷結果合 理性之能力。
Reys & Barger (1991) 數感指個體能將數字中情境意義化之特質，而學習者進 行數學思考之過程中，能以各種不同方式呈現，包含意 識答案之正確性及判斷計算之合理性。
資料來源：本研究彙整
上述說明數感雖是一種很廣泛之概念，卻強調著在數學教學中，對於數字的 意義化相當重。擁有數感能力的人，對於數字有強烈的直覺，並能多元解釋其中 的意義、特性、相對之數字，且能與日常生活中含有數之情境相互結合。
二、數感的架構
早期的研究提出了許多數感能力較佳的學習者，在數學學習上有許多特徵，
在於建構數感之理論模式中，所有的努力在於尋求一致性，漸漸發展出數感的組
織架構。根據數學教育學者 (Thompson & Rathmell, 1989; Sowder, 1992; McIntosh, Reys & Reys, 1992;楊德清，2000，2002；許清陽，2001；Yang, 2003) 對於數感 架構之看法所提出的數常識理論架構可歸納出理論基礎包含 1.能瞭解數字的意義 及關係；2.會比較數字大小；3.會分解與合成數字；4.能瞭解運算對數字的影響；
5.能判斷答案合理性；與 6.會使用參考點進行估算。學者對數感組織架構說明如 表 2-1-2 所示。
表 2-1-2 數感組織架構
學者/年分 說明
Thompson & Rathmell (1989) 1.了解數字的意義與關係：瞭解數字的分 解與組合，像是正整數、分數、小數及 數字所代表的意義。
2.能察覺數字間多重關係：了解數字之意 義及表徵數字之能力，為察覺數字間關 係之基礎。
3.了解數字相對大小：了解數字之比較與 排序。
4.了解運算對數字的影響：了解運算符號 的意義、使用時機與相互關係，並能夠 預期運算的結果。
5.發展測量環境中之物體與情境的參考 點：以標準或非標準的測量單位為參考 點。
Sowder (1992) 將數感歸納為九種成分：
1.分解合成數字、在不同表徵彈性轉換、
了解何時某個表徵比另一個用的能力。
2.認識數字相對大小之能力。
3.處理數字絕對大小之能力。
4.使用參考點之能力。
5.運用有意義之方式連結數字、運算與相 關符號之能力。
6.瞭解數字運算之結果。
7.利用數字、運算之特質創新策略與表現 出心算之能力。
8.使用數字彈性的估算答案，並知道何時 估算較適當。
9.將數字意義化處理。
學者/年分 說明
McIntosh, Reys, & Reys (1992) 在結合情境以不同教學方呈現下，組織架 構分別區為：
McIntosh, Reys, Reys, Bana, & Farrel (1997)
5.有能力使用參考點(Benchmark)。
6.瞭解運算對數字相對的影響。
學者/年分 說明 許清陽(2006) 提出數感五向度：
1.向度一：「了解數字的基本意義」。
2.向度二：「比較數字的相對大小」。
3.向度三：「瞭解運算對數字的意義和影響 的能力」。
4. 向 度 四 ：「 能 夠 判 斷 運 算 結 果 的 合 理 性」。
5.向度五：「瞭解數與運算多重表徵的能 力」。
資料來源：本研究彙整
綜合國外學者 (Hope, 1989; Thompson ＆ Rathmell, 1989; Sowder, 1992) 提 出對於數感認知所做的內在結構敘述，與 McIntosh (1992) 提出數感理論架構，
皆不離數、運算、數與運算之結合。圖 2-1-1 可知道如何掌握數改涵義之基礎，
且說明數感之主軸為數、運算、數與運算三方面相互結合(侯淑芬，2003)：
圖 2-1-1Reys 之數感組織架構(侯淑芬，2003)
透過上述說明，了解到數感組織架構由於學者觀念不同，而提出的理念也不 合理性
(reasonableness)
數 (Number)
連結 (Connection)
運算 (Operations)
意義(meaning) 關係(relationships)
大小(magnitude)
運算(包含估算) Operation sense (Includes estimation)
決策真實世界的指示物 Referents for real world
decision making
盡相同，但在數感組織架構中均強調了瞭解數字之意義、比較數字大小之能力、
瞭解運算對數字之意義與影響、運用參考點及發展彈性運算策略等共同的元素，
皆認為估算能力之影響，只要提升估算能力數感能力均能提昇。本研究是根據許
皆認為估算能力之影響，只要提升估算能力數感能力均能提昇。本研究是根據許