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第二章 文獻回顧
2.1 股價指數選擇權
1884年Charles Dow和Edward Jones推出道瓊運輸指數，之後發展出道瓊工業 指數便成為全球最早的股價指數。1982年堪薩斯交易所首先推出第一個股價指數 期貨，之後芝加哥商業交易所和紐約證券交易所陸續推出不同的股價指數期貨商 品。1983年芝加哥選擇權交易所推出利用S&P 100為根本指數的第一個股價指數 選擇權，選擇權契約型態為美式選擇權。1997年道瓊指數正式開始提供選擇權契 約，使得股價指數選擇權在市場上蓬勃發展。
BS模型雖然經常用來描述股價指數報酬率和計算歐式選擇權定價，實證發 現隱含波動度微笑的性質與BS模型假設波動度為固定常數不符。Day and Lewis (1988) 利用成交量做為權數計算股價指數選擇權的隱含波動度，並代入股利調 整的BS模型。結果顯示股價指數選擇權越靠近到期日時，市場環境通常發生無 法預期的變動，也就是報酬率會發生跳躍的現象，造成隱含波動度會受市場變動 而有上升的現象。
Corrado and Su (1997) 使用Jarrow and Rudd (1982) 提出的Jarrow-Rudd選擇 權評價模型，模型保留原先BS選擇權評價模型中報酬率為對數常態分配，加以 考慮偏態、峰態的修正項，並以S&P 500股價指數選擇權為實證，報酬率的左偏 和高狹峰使得B-S模型的隱含波動度有微笑的現象。而選擇權於深價內和深價外 時，Jarrow-Rudd選擇權評價模型可以有效將微笑的現象平坦化。
Bailey and Stulz (1989) 介紹股價指數選擇權經常被使用在大量的投資組合 中，因此細微的股價指數選擇權定價誤差也可能對於投資產生極大的損失。文中 提出簡單一般化均衡模型(Simple general equilibrium)，假設股價指數波動度和即 期利率為隨機變量函數，並使用Cox, Ingersoll, and Ross (1985b) 方法推導定價公 式。最後模擬結果顯示在股價指數選擇權於深價內且利率和股價指數為負相關 時，該模型可以降低定價誤差。
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Heston and Nandi (2000) 計算出當資產價格為GARCH(p,q)模型時，可獲得股 價指數選擇權定價的封閉解，並利用封閉解性質估計模型參數。以S&P 500股價 指數選擇權為實證指出，使用GARCH(1,1)模型可以明顯的降低在樣本外的定價 誤差。
Mixon (2007) 探討預期理論下，股價指數選擇權價值的隱含波動度期限結構 是否一致。以多個國家股價指數選擇權為樣本，指出不同到期日的選擇權在價平 時，雖然可以使用其隱含波動度預測未來短期隱含波動度，但忽略選擇權的風險 溢酬將使得預測能力不佳。因此作者考慮波動性風險溢酬修正預期理論預測結 果。
2.2 股價報酬率模型
Black and Scholes (1973) 提出股價動態過 程為幾何布朗運動(Geometric Brownian Motion)，假定股價期望值與波動度為固定常數，並進一步推導出歐式 選擇權評價公式，但是經由實證分析出該模型無法解釋股價報酬率不對稱與高狹 峰的性質，也說明許多實證中選擇權價格帶入隱含波動度會有微笑的曲線的現象 與模型假設相違背。
Hamilton (1989) 觀察 1952 年到 1984 年之間的美國國民生產毛額(GNP)，發 現 GNP 從正成長率轉為負成長率或從負成長率轉為正成長率，這樣狀態移轉的 現象不易直接觀察出來，需藉由圖形來推論景氣循環的現象，作者提出馬可夫轉 換 模 型 (Markov Switching Model) 又 稱 為 狀 態 轉 換 模 型 (Regime-Switching Model)，並使用美國第二大戰後 GNP 實際資料做驗證比較，結果顯示馬可夫轉 換模型與真實資料的自相關較 ARIMA 模型與真實資料的自相關相近，並說明馬 可夫自相關模型對於 GNP 資料的合適性。
Hardy (2001) 假設股價為狀態轉換對數常態模型，並在有限狀態為兩狀態之 下，狀態轉移機率為一階馬可夫鏈，延伸 BS 模型並在風險中立測度下推導出狀 態轉換下選擇權公式，並利用概似比檢定狀態轉換模型與其他模型的配適情況，
檢定結果顯示出狀態轉換模型相較於其他模型適合描述股價報酬率。
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Merton (1976) 提出跳躍擴散模型(Jump Diffusion Model)，延續 BS 模型將股 價動態過程模型加上跳躍項，用來描述重要訊息所引起的股價跳躍過程，跳躍項 部分則是跳躍頻率與跳躍幅度兩種隨機變數組成，為一個複合卜瓦松過程 (Compound Poisson Process)；假定跳躍頻率服從卜瓦松過程，跳躍幅度服從對數 常態分配，而跳躍風險項代表股價會因為市場某些訊息的來臨造成股價不正常變 散模型(Markov-Modulated Jump Diffusion Model)，並假定市場狀態服從馬可夫過 程，且跳躍項的跳躍頻率服從馬可夫調控卜瓦松過程(Markov-Modulated Poisson Process)，亦即市場狀態僅會影響跳躍頻率。並驗證出模型可以描述股價報酬率
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Chen, Chang, Wen and Lin (2013)討論退休金為確定提撥制下，退休金的投資 報酬率連結股價指數時，提出馬可夫調控跳躍過程模型描述股價指數報酬率，考
Heston (1993) 延續Stein and Stein (1991)隨機波動度模型，假設資產價格與 波動度具有相關性，透過特徵方程式和傅立葉逆轉換推導出歐式選擇權定價公 式。模擬結果說明當資產價格和波動度相關係數為零時，模型可以解釋報酬率的 高狹峰性質；資產價格和波動度相關係數不為零時，模型能解釋報酬率的不對稱 性質。
Bates (1996) 提出SVJD模型(Stochastic Volatility Jump Diffusion)，假設資產 報酬率為跳躍擴散過程，波動度為均數複歸平方根過程(Mean-Reverting Square Root process)，以1984年1月到1991年6月德國馬克對美元外匯期貨選擇權資料為
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樣本，結果顯示資產報酬率加入跳躍項能夠有效解釋隱含微笑現象。
Scott (1997) 提出SVSI模型(Stochastic Volatility and Stochastic Interest)，利用 累積機率函數的傅利葉轉換法計算機率密度函數，推導出選擇權定價公式，實證 結果發現該模型對於具到期日較長的選擇權定價可以描述的更精確。
Bakshi, Cao and Chen (1997) 提出SVSI-J模型(Stochastic Volatility, Stochastic Interest Rates and random jumps)，假設利率、波動度與跳躍項皆為隨機過程，推 導出SVSI-J模型選擇權定價公式。實證分析為比較SVSI-J的各個退化模型，並驗 證出結合隨機波動度和隨機跳躍的模型能夠有效的解釋隱含波動度，而模型只具 備隨機波動度能有最小的避險誤差。
Eraker, Johannes and Polson (2003) 延伸 SVJD 模型，假設資產報酬率和波動 度皆為跳躍擴散過程，並且假定兩者之間的跳躍幅度具有相關性，利用蒙地卡羅 馬可夫鏈法(Markov Chain Monte Carlo)估計參數，實證方面利用 1980 年到 1999 年 S&P 500 和 Nasdaq 100 股價指數報酬率為資料，結果顯示資產報酬率和波動 度加入跳躍項能夠有效降低定價誤差。