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第六章 結論
本文採用 Chen, Chang, Wen and Lin (2013)馬可夫調控跳躍過程模型作為股 價指數報酬率的模型，即是布朗運動項及跳躍頻率會受到市場狀態影響，進一步 考慮債劵動態過程為狀態轉換模型，提出狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票 報酬二維模型，並討論市場狀態為兩種之下。理論的部份利用 Esscher 轉換法找 出三種模型下的遠期機率測度，並推導各模型下股價指數買權定價公式；實證部 份以 1999 年至 2013 年道瓊工業指數與 S&P 500 指數的日報酬率資料分別與同期 間的一年期美國國庫劵日報酬率，使用 EM 演算法得到各模型的參數估計值，並 利用概似比檢定比較模型對於報酬率的適合性，檢定結果說明出狀態轉換下利率 與跳躍相關風險之股票報酬二維模型對於報酬率的描述較適合。
由狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型下歐式買權定價公 式進行敏感度分析的結果可知，維持市場狀態 2 的轉移機率
p 、股價及債劵布
22 朗運動項標準差、跳躍幅度項標準差、跳躍頻率，其值越大時，歐式買權價值會 越高；相對的，當維持市場狀態 1 的轉移機率p 越大時，停留在狀態 1 的機率
11 高時，報酬率的波動較小，因此歐式買權價值會越低；跳躍幅度項平均數µ 亦y 會影響買權價值，當參數為 0 時買權價值會最低。最後利用 2005 年至 2010 年道瓊工業指數選擇權與 S&P 500 指數選擇權市場 報價資料對各模型進行模型校準，樣本內參數估計出遠期測度下各模型參數，亦 發現 MMJDMSI 的均方根誤差較其他模型小，再利用樣本內參數所估計出來的 參數進行樣本外定價誤差，在不同價值情況和到期日，得知 MMJDMSI 的模型 定價誤差相對於其他模型小。
在 波 動 度 微 笑 曲 線 的 實 證 方 面 ， 根 據 不 同 價 值 狀 況 與 到 期 日 ， 利 用 MMJDMSI 模型計算出買權理論價格，並利用該價格代入 BS 模型的歐式買權公 式反推隱含波動度，結果發現在價平時的隱含波動度會較低，越往價內或價外的 隱含波動度會越高，說明 MMJDMSI 模型的定價公式能表現出隱含波動度微笑
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曲線現象。
本論文的 MMJDMSI 模型中，股價動態過程的跳躍頻率與布朗運動項同時 受到市場狀態，然而實際上跳躍幅度亦會受到市場狀態而有所不同，因此未來可 以加入探討對於跳躍幅度與狀態相依的動態過程，然而利率模型可以改參考用 Vasicek 模型或 HJM 模型等。最後，在定價過程中，我們假定市場狀態的馬可夫 過程不隨測度轉換而變化，表示投資人不會要求風險溢酬，然而投資人並非能知 道未來的市場狀態，所以可進一步考慮將狀態轉換風險納入定價過程的方法而對 本論文目前推導 MMJDMSI 模型下歐式買權定價公式作修正。
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因此，狀態轉換下利率與股價二維模型下歐式買權價值為
( ) ( )
{ }
0
'
0 qQT kQT 0 1,RSMSIk
(0, )
2,RSMSIkC = E E S N d − KB T N d
2 , |0
(
0(
1,)
'(
2,) )
1
(0, )
T
RSMSI RSMSI
i T k q i k k
i k
S N d KB T N d
π γ =
=
= ∑∑ −
其中
π 為市場狀態為i
i
的穩定機率，i
=1, 2, |0
T k q i
γ = 為給定起始狀態
i
，到期日為T
天、狀態 1 停留 k 天的機率‧
‧
‧
‧
‧
‧
‧
Q Q Q RSMJSI RSMJSI
q k n k
‧
‧
‧
exp exp exp
( , ) , , ,
‧
‧
‧
‧
Q Q Q Q MMJDMSI MMJDMSI
q k n n k n n k n n