第五章 實證分析
5.1.1 模型參數估計與檢定
國
立 政 治 大 學
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第五章 實證分析
實證資料為 1999 年 1 月 1 日至 2013 年 12 月 31 日的道瓊工業指數和 S&P 500 指數的日報酬率，與同段期間一年期美國國庫劵價格。先分別利用最大概似估計 法求得 BS 模型的參數估計值與 EM 演算法求得狀態轉換下利率與股價二維模 型、狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型、狀態轉換下利率與跳躍相關風 險之股票報酬二維模型的參數估計值，再利用概似比檢定，比較各模型對於股價 報酬率和債劵價格報酬率的相對適合性。接著，根據第四章導出的歐式買權定價 公式執行敏感度分析，並利用市場上實際選擇權資料分別進行樣本內參數估計及 樣本外定價誤差。最後，說明狀態轉換下利率與跳躍風險相關之股票報酬二維模 型也能夠捕捉到波動微笑曲線。
5.1 實證分析
5.1.1 模型參數估計與檢定
BS 模型假定股價指數報酬率服從常態分配，平均數為µ ，標準差為σ ，因 此可直接求得參數之最大概似估計值。狀態轉換下利率與股價二維模型、狀態轉 換下利率與跳躍風險之股價二維模型、狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報 酬二維模型，三種模型中包含的市場狀態和跳躍頻率皆為不可觀察資料，亦即為 遺失資料，在求算最大概似參數估計值與概似函數值時，若直接使用可觀察資料 及遺失資料的各種可能性而得到的不完整資料概似函數，則會使得計算過於複 雜，因此利用 EM 演算法取代之。接著，再透過概似比檢定分別檢定(1)
H ：股
0 價指數報酬率為 BS 模型H ：狀態轉換下利率與股價二維模型、(2)
1H ：狀態
0 轉換下利率與股價二維模型H ：狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型、
1 (3)H ：狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型
0H ：狀態轉換下利率與跳
1 躍相關風險之股票報酬二維模型。‧
1.BS 為 Black-Scholes 模型、RSMSI 為狀態轉換下利率與股價二維模型、RSMJSI 狀態轉換下利 率與跳躍風險之股價二維模型、MMJDMSI 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模 型。
2. −2 logΛ 為概似比檢定統計量之值，*表示在顯著水準為 0.05 時該模型比前一個模型更適合。
3.括弧內數值為估計參數的標準誤。
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1.BS 為 Black-Scholes 模型、RSMSI 為狀態轉換下利率與股價二維模型、RSMJSI 狀態轉換下利 率與跳躍風險之股價二維模型、MMJDMSI 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模
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動項平均數及標準差分別為-9.0E-03 及 0.0002，布朗運動項相關係數-0.1263，而 在狀態 2 之下股價布朗運動項平均數及標準差分別為-0.0007 及 0.0184，零息債 0.0065，零息債劵價格布朗運動項的平均數及標準差分別為-9.6E-06 及 0.0002，布朗運動項相關係數-0.0905，而在狀態 2 之下，股價布朗運動項的平均數及標準 差分別為-0.0005 及 0.0127，零息債劵價格布朗運動項的平均數及標準差分別為 6.7E-05 及 0.0006，布朗運動項相關係數-0.3464。上述的估計結果顯示狀態 1 為 股價為高(正)報酬、零息債低(負)報酬及低波動，狀態 2 則為股價為低(負)報酬、
零息債高(正)報酬及高波動。此模型的波動度是布朗運動項與跳躍項共同解釋，
因此布朗運動項之標準差有變小的趨勢。再由 EM 演算法可估計出跳躍項參數，
跳躍幅度項的平均數及標準差分別為-0.0011 及 0.0182，結果顯示跳躍發生時報 酬率的平均數為負成長及波動度較大。跳躍頻率的參數估計結果為每日平均跳躍
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-9.9E-06 及 0.0002，，布朗運動項相關係數-0.1007，且在狀態 1 時跳躍頻率參數 估計為每日平均跳躍 0.1774 次；而在狀態 2 之下，股價布朗運動項的平均數及 標準差分別為-0.0007 及 0.0107，零息債劵價格布朗運動項的平均數及標準差分 別為 6.9E-05 及 0.0006，布朗運動項相關係數-0.4060，且在狀態 2 時跳躍頻率參 及標準差分別為-0.003 及 0.0144，顯示股價跳躍發生時報酬率的平均數為負成長 及波動度相較大。 動項的平均數及標準差分別為-9.2E-06 及 0.0002，布朗運動項相關係數-0.1123，而在狀態 2 之下，股價布朗運動項平均數及標準差分別為-0.0010 及 0.0197，零 息債劵價格布朗運動項的平均數及標準差分別為 8.2E-05 及 0.0007，布朗運動項
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及 0.0076，零息債劵價格布朗運動項的平均數及標準差分別為-8.6E-06 及 0.0002，布朗運動項相關係數-0.0955，而在狀態 2 之下股價布朗運動項平均數及 標準差分別為-0.0008 及 0.0143，零息債劵價格布朗運動項在平均數及標準差分 別為 7.2E-05 及 0.0007，布朗運動項相關係數-0.3437。上述的估計結果顯示狀態 1 為股價為高(正)報酬、零息債低(負)報酬及低波動，狀態 2 則為股價為低(負)報 酬、零息債高(正)報酬及高波動。此模型的波動度是布朗運動項與跳躍項共同解 釋，因此布朗運動項之標準差有變小的趨勢。再由 EM 演算法可估計出跳躍項參 數，而跳躍幅度項的平均數及標準差分別為-0.0014 及 0.0243，估計結果顯示跳 躍發生時報酬率的平均數為負成長及波動度較大。跳躍頻率的參數估計結果為每 -9.2E-06 及 0.0002，布朗運動項相關係數-0.0995，且跳躍頻率參數估計為每日平 均跳躍 0.0843 次；而在狀態 2 之下，股價布朗運動項平均數及標準差分別為 -0.0010 及 0.0111，零息債劵價格布朗運動項平均數及標準差分別為 7.3E-05 及 0.0007，布朗運動項相關係數-0.4489，且跳躍頻率參數估計為每日平均跳躍‧ 國
立 政 治 大 學
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0.6617 次。上述的估計結果顯示狀態 1 股價為高(正)報酬、零息債劵為低(負)報 酬及低波動且報酬率發生的跳躍頻率較少，狀態 2 股價為低(負)報酬、零息債劵 為高(正)報酬及高波動且報酬率發生的跳躍頻率相較多。此外，高波動與跳躍頻 率多之市場也較不穩定。波動度是由布朗運動項與跳躍項共同解釋，因此布朗運 動項之標準差有變小的趨勢。再由 EM 演算法估計出跳躍幅度項的平均數及標準 差分別為 0.0006 及 0.0172，估計結果顯示股價跳躍發生時報酬率的平均數為正 成長及波動度相較大。
表 4 中的最後一列表示概似比檢定的檢定統計量之值，其中