198319841985 1986198719881989 1990199119921993 1994199519961997 1998199920002001 2002200320042005 2006200720082009 2010201120122013 0
Total Volume (hundred million lots)
圖 1 芝加哥選擇權交易所各年度指數選擇權交易量
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由此可發現近五年來股價指數選擇權市場愈來愈被投資人重視，因此計算股價指 數選擇權價值時，描述股價指數的模型則顯得相當重要。
表 1 1999 年至 2013 年道瓊工業指數報酬率之統計
表 2 1999 年至 2013 年一年期美國國庫劵價格報酬率之統計
圖2 道瓊工業指數與一年期美國國庫劵指數動態圖
DJI 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Total 交易
天數 252 252 248 252 252 252 252 251 251 253 252 252 252 250 250 3521
平均 0.0009 -0.0002 -0.0003 -0.0007 0.0009 0.0001 0.0000 0.0006 0.0002 -0.0016 0.0007 0.0004 0.0002 0.0003 0.0009 0.0002 標準差 0.0100 0.0129 0.0132 0.0158 0.0103 0.0067 0.0064 0.0061 0.0090 0.0234 0.0150 0.0100 0.0131 0.0073 0.0063 0.0119
≧|±2%|
天數 16 29 24 51 16 0 1 0 14 72 45 18 32 4 3 325
≧|±3%|
天數 0 7 9 14 4 0 0 0 1 39 15 4 9 0 0 102
Bond 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Total 平均 -0.00005 0.00003 0.00012 0.00005 0.00001 -0.00004 -0.00005 -0.00002 0.00009 0.00011 -0.00001 0.00001 0.00001 -1.7E-06 1.2E-06 0.00002 標準差 0.0004 0.0004 0.0006 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0.0003 0.0006 0.0009 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0004
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由表 1 可發現，2000 年至 2002 年及 2008 年的道瓊工業指數平均報酬率為 負，且這些年的波動度較其它年為大，對應於圖 2 之道瓊工業指數動態圖亦可觀 察到指數在這幾年是呈下跌趨勢，而指數在其它年份則呈上漲趨勢。由表 2 可發 現在 2000 年至 2002 年間及 2007 年至 2008 年間，一年期國庫劵價格的平均報酬 率相對於其它年份為較高且波動度亦較其它年大，對應於圖 2 中一年期國庫劵價 格動態圖，可觀察到 2001 年至 2003 年及 2008 年一年期國庫劵價格呈現上漲趨 勢，而其份年份則呈現下漲趨勢，並可看出股票市場與債劵市場的報酬率大致呈 現反向關係。上述現象與 Hamilton (1989) 提到的景氣循環現象相符，可說明在 不同市場狀態之下，標的資產之報酬率會呈現出不同的平均值與波動度。據此，
本論文考慮的市場狀態分為兩種，並定義狀態 1 為股價指數報酬率為高報酬低波 動、債劵報酬率為低報酬低波動，狀態 2 為股價指數報酬率為低報酬高波動、債 劵報酬率為高報酬高波動。
若將股價日報酬率漲跌幅度超過 2%視為發生跳躍現象，則在觀察的 14 年 3018 筆資料中有 325 筆資料發生跳躍的現象，而其中有 102 筆資料漲跌幅超過 3%；再由表 1 可發現除 2004 年及 2006 年外，其它各年都有跳躍現象發生，並 可觀察到 2000 年至 2002 年、2008 年至 2009 年及 2011 年這些期間裡的跳躍發 生次數比其它年份頻繁，說明市場狀態除了影響報酬率的平均數與波動度外，當 跳躍發生時也會影響跳躍頻率或次數。
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圖 3 道瓊工業指數報酬率與一年期美國國庫劵指數報酬率動態圖
由報酬率動態圖可發現報酬率呈現較大波動時反映了市場上的重要訊息，
如：2000 年網路泡沫化，2001 年美國 911 恐怖攻擊事件，2003 年伊拉克戰爭，
2008 年雷曼兄弟破產及美國總統大選，2010 年至 2012 年歐債危機，並可看出股 價指數報酬率發生大波動時往往債劵價格報酬率亦呈現大波動。此外，報酬率有 大波動與小波動的區別，也就是說可利用波動度大小區分市場狀態。發生重要訊 息事件時，不但伴隨著報酬率的大波動，並且報酬率的跳躍頻率較多；若無重要 事件發生，則報酬率酬呈現小波動，且跳躍頻率較少。
Chen, Chang, Wen and Lin (2013)提出馬可夫調控躍過程模型股價動態過 程，該模型考慮布朗運動項及跳躍頻率會受市場狀態影響，本論文則進一步發展 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維度模型，考慮股價動態過程為馬 可夫調控跳躍過程，並加入零息債劵動態過程，且債劵市場布朗運動項的平均數 及波動度隨著市場狀態改變。
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本論文的目的分為理論與實證兩部分。理論部分是假設股價指數報酬率與零 息債劵價格報酬率的模型為狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股價報酬二維模 型，利用 Esscher 轉換法計算出的遠期機率測度下動態過程，並推導出狀態轉換 下利率與跳躍風險之股價二維模型的歐式買權定價公式。實證部分是以 1999 年 至 2013 年的道瓊工業指數與 S&P500 指數分別與同段期間的一年期美國國庫劵 作 為 研 究 資 料 ， 為 估 計 模 型 中 的 參 數 ， 本 論 文 分 別 採 用 EM (Expectation Maximization)演算法。再透過概似比檢定說明狀態轉換下利率與跳躍相關風險之 股票報酬二維模型更適合描述股價指數報酬率與零息債劵價格報酬率，最後執行 敏感度分析探討模型參數值變化時對於模型評價結果的影響，並藉由 2005 年至 2010 年道瓊工業指數選擇權資料進行模型校準，校準出在遠期測度下個模型的 參數估計值，並驗證出狀態轉換下利率與跳躍風險相關之股票報酬二維模型定價 誤差為最小，及此模型亦能捕捉到波動微笑現象。
本文架構如下：第二章簡介關於股價指數選擇權、股價報酬率模型之文獻及 其他模型之回顧；第三章介紹狀態轉換下利率與股價二維模型、狀態轉換下利率 與跳躍風險之股價二維模型與狀態轉換下利率與跳躍風險相關之股票報酬二維 模型，並介紹狀態轉換下利率與跳躍風險相關之股票報酬二維模型參數估計與檢 定方法；第四章則是利用 Esscher 測度轉換將真實機率測度轉至遠期機率測度，
得到三種模型假設下的歐式買權評價公式；第五章是以道瓊工業指數與 S&P 500 指數分別和一年期美國國庫劵在 1999 年至 2013 年的報酬率資料，進行模型參數 估計、檢定及實證分析、模型校準，波動微笑曲線；第六章為本論文之研究結論。