狀態轉換下利率與跳躍風險股票報酬之歐式選擇權評價與實證分析 - 政大學術集成
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(2) 狀態轉換下利率與跳躍風險股票報酬之歐式選擇權評價與實證分析 學生：巫柏成. 指導教授：陳麗霞 林士貴. 博士 博士. 國立政治大學統計學系. 摘要 Chen, Chang, Wen and Lin (2013) 提出馬可夫調控跳躍過程模型(MMJDM)描述 股價指數報酬率，布朗運動項、跳躍項之頻率與市場狀態有關。然而，利率並 非常數，本論文以狀態轉換模型配適零息債劵之動態過程，提出狀態轉換下的. 政 治 大. 利率與具跳躍風險的股票報酬之二維模型(MMJDMSI)，並以 1999 年至 2013 年. 立. 的道瓊工業指數與 S&P 500 指數和同期間之一年期美國國庫劵價格為實證資. ‧ 國. 學. 料，採用 EM 演算法取得參數估計值。經由概似比檢定結果顯示無論道瓊工業指 數還是 S&P 500 指數，狀態轉換下利率與跳躍風險之股票報酬二維模型更適合. ‧. 描述報酬率。接著，利用 Esscher 轉換法推導出各模型下的股價指數之歐式買. Nat. sit. y. 權定價公式，再對 MMJDMSI 模型進行敏感度分析以評估模型參數發生變動時. n. al. er. io. 對於定價公式的影響。最後，以實證資料對各模型進行模型校準及計算隱含波. i n U. v. 動度，結果顯示 MMJDMSI 在價內及價外時定價誤差為最小或次小，且此模型. Ch. engchi. 亦能呈現出波動度微笑曲線之現象。. 關鍵詞: 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型、EM 演算法、 Esscher 轉換法、歐式買權定價公式、敏感度分析、模型校準、波動度微笑曲線.
(3) Option Pricing and Empirical Analysis for Interest Rate and Stock Index Return with Regime-Switching Model and Dependent Jump Risks. Student：Po-Cheng Wu. Advisor：Dr. Li-Shya Chen. Dr. Shih-Kuei Lin Department of Statistics, National Chengchi University Abstract To model asset return, Chen, Chang, Wen and Lin (2013) proposed Markov-Modulated Jump Diffusion Model (MMJDM) assuming that the Brownian motion term and jump frequency are all related to market states. In fact, the interest rate is not constant, Regime-Switching Model is taken to fit the process of the zero-coupon bond price, and a bivariate model for interest rate and stock index return with regime-switching and dependent jump risks (MMJDMSI) is proposed. The empirical data are Dow Jones Industrial Average and S&P 500 Index from 1999 to 2013, together with US 1-Year Treasury Bond over the same period. Model parameters are estimated by the Expectation-Maximization (EM) algorithm. The likelihood ratio test (LRT) is performed to compare nested models, and MMJDMSI is better than the others. Then, European call option pricing formula under each model is derived via Esscher transformation, and sensitivity analysis is conducted to evaluate changes resulted from different parameter values under the MMJDMSI pricing formula. Finally, model calibrations are performed and implied volatilities are computed under each model empirically. In cases of in-the-money and out-the-money, MMJDMSI has either the smallest or the second smallest pricing error. Also, the implied volatilities from MMJDMSI display a volatility smile curve.. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. Keywords: MMJDMSI model; EM algorithm; Esscher Transformation; European call option pricing formula; sensitivity analysis; model calibration; volatility smile curve..
(4) 目錄 第一章 緒論 ....................................................................................................... 1 第二章 文獻回顧 ................................................................................................ 6 2.1 股價指數選擇權 ................................................................................................. 6 2.2 股價報酬率模型 ................................................................................................. 7 2.3 其他模型 ............................................................................................................. 9 第三章 模型與估計檢定 ....................................................................................11 3.1 模型 .................................................................................................................. 11 3.1.1 狀態轉換下利率與股價二維模型(RSMSI) .............................................. 11 3.2.2 狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型(RSMJSI) ........................ 12 3.2.3 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型(MMJDMSI) ... 14 3.2 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型之估計與檢定 ....... 15. 立. 政 治 大. 第四章 股價指數選擇權評價 ............................................................................ 18. ‧ 國. 學. ‧. 4.1 Esscher 轉換 ..................................................................................................... 18 4.1.1 狀態轉換下利率與股價二維模型 Esscher 轉換 ..................................... 18 4.1.2 狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型 Esscher 轉換 ................. 20 4.1.3 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型 Esscher 轉換 . 23 4.2 股價指數選擇權評價 ....................................................................................... 26 4.2.1 狀態轉換下利率與股價二維模型之選擇權定價公式 ............................ 26 4.2.2 狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型之選擇權定價公式 ........ 27 4.2.3 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型之選擇權定價 公式 ........................................................................................................... 28. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 第五章 實證分析 ............................................................................................... 29 5.1 實證分析 .......................................................................................................... 29 5.1.1 模型參數估計與檢定 ................................................................................ 29 5.1.2 狀態與跳躍動態分析 ................................................................................ 36 5.2 敏感度分析 ...................................................................................................... 38 5.3 模型校準 ........................................................................................................... 42 5.4 隱含波動度 ....................................................................................................... 48 第六章 結論 ...................................................................................................... 50 參考文獻 ............................................................................................................ 53 附錄 ................................................................................................................... 56 附錄 A EM 演算法估計模型參數之過程 ........................................................... 56.
(5) 附錄 B 狀態轉換下利率與股價二維模型之選擇權定價公式 ........................... 58 附錄 C 狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型之選擇權定價公式 ....... 64 附錄 D 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型之選擇權定價 公式 ........................................................................................................... 71. 表目錄 表 1 1999 年至 2013 年道瓊工業指數報酬率之統計 ............................................. 2 表 2 1999 年至 2013 年一年期美國國庫劵價格報酬率之統計 ............................. 2. 政 治 大. 表 3 道瓊工業指數日報酬及一年期國庫劵價格日報酬在四種模型中之參數 估計與檢定結果 ............................................................................................... 30. 立. ‧ 國. 學. 表 4 S&P500 指數日報酬及一年期國庫劵價格日報酬在四種模型中之參數 估計與檢定結果 ............................................................................................... 31 表 5 股價與債劵價格敏感度分析 .......................................................................... 39. ‧. 表 6 狀態轉移機率敏感度分析 .............................................................................. 39. y. Nat. 表 7 股價布朗運動項標準差敏感度分析 .............................................................. 40. io. sit. 表 8 零息債劵價格布朗運動項標準差敏感度分析 .............................................. 40. n. al. er. 表 9 布朗運動項相關係數敏感度分析 .................................................................. 40. i n U. v. 表 10 跳躍幅度平均數與標準差敏感度分析 ......................................................... 41. Ch. engchi. 表 11 跳躍頻率敏感度分析 ...................................................................................... 41 表 12 道瓊工業指數買權樣本內參數估計 ............................................................. 46 表 13 道瓊工業指數買權樣本外定價誤差 ............................................................. 46 表 14 S&P500 指數買權樣本內參數估計 ................................................................ 47 表 15 S&P500 指數買權樣本外定價誤差 ................................................................ 47.
(6) 圖目錄 圖 1 芝加哥選擇權交易所各年度指數選擇權交易量 ............................................. 1 圖 2 道瓊工業指數與一年期美國國庫劵指數動態圖 ............................................. 2 圖 3 道瓊工業指數報酬率與一年期美國國庫劵指數報酬率動態圖 ..................... 4 圖 4 道瓊工業指數、股價報酬率、國庫劵價格、債劵報酬率、狀態機率及跳躍 機率動態圖 ....................................................................................................... 36 圖 5 S&P500 指數、股價報酬率、國庫劵價格、債劵報酬率、狀態機率及跳躍 機率動態圖 ....................................................................................................... 37 圖 6 道瓊工業指數選擇權隱含波動度微笑曲線 ................................................... 49. 政 治 大. S&P500 指數選擇權隱含波動度微笑曲線 ................................................... 49. 立. 學 ‧. ‧ 國 io. sit. y. Nat. n. al. er. 圖7. Ch. engchi. i n U. v.
(7) 第一章 緒論 美國芝加哥選擇權交易所於 1983 年推出全球第一個股價指數選擇權契約， 其標的指數為 S&P 100，之後各國或不同產業陸續推出不同的股價指數。時至今 日，股價指數已成為衡量整體股市狀況的重要指標，並被引進期貨或選擇權合約 中。股價指數選擇權因能控管損失程度，適合作為共同基金投資人的避險工具， 這類商品推出後往往易於受到投資人喜愛，全球各主要交易所也因之發行各種聯 結不同股價指數的選擇權商品，如:日本大阪證劵交易推出的日經 225 股價指數 選擇權、芝加哥選擇權交易所推出的道瓊工業加權指數選擇權、香港期貨交易所 的恆生股價指數選擇權。我國則在 2001 年 12 月 20 日由台灣期貨交易所推出臺 指選擇權，這也是國內市場第一個選擇權商品。選擇權的推出不但讓投資人有多. 政 治 大. 樣化的商品可以進行投資，也造就了股價指數選擇權之蓬勃發展。. 立. 2.00 1.75. 1.25 1.00 0.75. y. al. n. 1.50. sit. 2.25. io. Total Volume (hundred million lots). 2.50. Nat. 2.75. er. 3.00. ‧. 3.25. ‧ 國. 3.50. 學. 3.75. Ch. engchi. i n U. v. 0.50 0.25 0. 198319841985 1986198719881989 1990199119921993 1994199519961997 1998199920002001 2002200320042005 2006200720082009 2010201120122013 Year. 圖 1 芝加哥選擇權交易所各年度指數選擇權交易量 圖 1 為 1983 年至 2013 年芝加哥選擇權交易所的指數選擇權年成交量，而各 年交易量是該交易所發行的各種指數選擇權在當年之成交量加總而得，其中包括 的指數選擇權有 S&P 500 指數、道瓊工業加權指數等。由圖 1 可以觀察到 1984 年至 2005 年間成交量大約介於五千萬口至一億兩千五百萬口，2006 年以後擇年 成交量突破一億五千萬口，到了 2010 年至 20014 年成交量更是高達三億多口， 1.
(8) 由此可發現近五年來股價指數選擇權市場愈來愈被投資人重視，因此計算股價指 數選擇權價值時，描述股價指數的模型則顯得相當重要。. 表 1 1999 年至 2013 年道瓊工業指數報酬率之統計 DJI. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005. 2006. 2007. 2008. 2009. 2010. 2011. 2012. 2013. Total. 交易 天數. 252. 252. 248. 252. 252. 252. 252. 251. 251. 253. 252. 252. 252. 250. 250. 3521. 平均. 0.0009. -0.0002 -0.0003 -0.0007. 0.0009. 0.0001. 0.0000. 0.0006. 0.0002. -0.0016. 0.0007. 0.0004. 0.0002. 0.0003. 0.0009. 0.0002. 0.0129. 0.0132. 0.0158. 0.0103. 0.0067. 0.0064. 0.0061. 0.0090. 0.0234. 0.0150. 0.0100. 0.0131. 0.0073. 0.0063. 0.0119. 16. 29. 24. 51. 16. 0. 1. 0. 14. 72. 45. 18. 32. 4. 3. 325. 0. 7. 9. 14. 4. 0. 0. 0. 1. 39. 15. 4. 9. 0. 0. 102. 2011. 2012. 2013. Total. 標準差 0.0100 ≧|±2%| 天數 ≧|±3%| 天數. 政 治 大. 立. 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005. 2006. 2007. 2008. 2009. 2010. -0.00005 0.00003 0.00012 0.00005 0.00001 -0.00004 -0.00005 -0.00002 0.00009 0.00011 -0.00001 0.00001 0.00001 -1.7E-06 1.2E-06 0.00002 0.0005. 0.0004. 0.0004. 0.0003. 0.0003. 0.0006. 0.0009. 0.0002. 0.0002. Nat. y. 0.0006. io. sit. 0.0004. n. al. er. 標準差 0.0004. ‧. 平均. 1999. 學. Bond. ‧ 國. 表 2 1999 年至 2013 年一年期美國國庫劵價格報酬率之統計. Ch. engchi. i n U. v. 圖 2 道瓊工業指數與一年期美國國庫劵指數動態圖. 2. 0.0001. 0.0001. 0.0001. 0.0004.
(9) 由表 1 可發現，2000 年至 2002 年及 2008 年的道瓊工業指數平均報酬率為 負，且這些年的波動度較其它年為大，對應於圖 2 之道瓊工業指數動態圖亦可觀 察到指數在這幾年是呈下跌趨勢，而指數在其它年份則呈上漲趨勢。由表 2 可發 現在 2000 年至 2002 年間及 2007 年至 2008 年間，一年期國庫劵價格的平均報酬 率相對於其它年份為較高且波動度亦較其它年大，對應於圖 2 中一年期國庫劵價 格動態圖，可觀察到 2001 年至 2003 年及 2008 年一年期國庫劵價格呈現上漲趨 勢，而其份年份則呈現下漲趨勢，並可看出股票市場與債劵市場的報酬率大致呈 現反向關係。上述現象與 Hamilton (1989) 提到的景氣循環現象相符，可說明在 不同市場狀態之下，標的資產之報酬率會呈現出不同的平均值與波動度。據此， 本論文考慮的市場狀態分為兩種，並定義狀態 1 為股價指數報酬率為高報酬低波. 政 治 大. 動、債劵報酬率為低報酬低波動，狀態 2 為股價指數報酬率為低報酬高波動、債. 立. 劵報酬率為高報酬高波動。. ‧ 國. 學. 若將股價日報酬率漲跌幅度超過 2%視為發生跳躍現象，則在觀察的 14 年. ‧. 3018 筆資料中有 325 筆資料發生跳躍的現象，而其中有 102 筆資料漲跌幅超過 3%；再由表 1 可發現除 2004 年及 2006 年外，其它各年都有跳躍現象發生，並. Nat. sit. y. 可觀察到 2000 年至 2002 年、2008 年至 2009 年及 2011 年這些期間裡的跳躍發. al. er. io. 生次數比其它年份頻繁，說明市場狀態除了影響報酬率的平均數與波動度外，當. n. 跳躍發生時也會影響跳躍頻率或次數。. Ch. engchi. 3. i n U. v.
(10) 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 圖 3 道瓊工業指數報酬率與一年期美國國庫劵指數報酬率動態圖. 由報酬率動態圖可發現報酬率呈現較大波動時反映了市場上的重要訊息，. ‧. 如：2000 年網路泡沫化，2001 年美國 911 恐怖攻擊事件，2003 年伊拉克戰爭，. Nat. sit. y. 2008 年雷曼兄弟破產及美國總統大選，2010 年至 2012 年歐債危機，並可看出股. er. io. 價指數報酬率發生大波動時往往債劵價格報酬率亦呈現大波動。此外，報酬率有. al. 大波動與小波動的區別，也就是說可利用波動度大小區分市場狀態。發生重要訊. n. v i n Ch 息事件時，不但伴隨著報酬率的大波動，並且報酬率的跳躍頻率較多；若無重要 engchi U 事件發生，則報酬率酬呈現小波動，且跳躍頻率較少。. Chen, Chang, Wen and Lin (2013)提出馬可夫調控躍過程模型股價動態過 程，該模型考慮布朗運動項及跳躍頻率會受市場狀態影響，本論文則進一步發展 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維度模型，考慮股價動態過程為馬 可夫調控跳躍過程，並加入零息債劵動態過程，且債劵市場布朗運動項的平均數 及波動度隨著市場狀態改變。. 4.
(11) 本論文的目的分為理論與實證兩部分。理論部分是假設股價指數報酬率與零 息債劵價格報酬率的模型為狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股價報酬二維模 型，利用 Esscher 轉換法計算出的遠期機率測度下動態過程，並推導出狀態轉換 下利率與跳躍風險之股價二維模型的歐式買權定價公式。實證部分是以 1999 年 至 2013 年的道瓊工業指數與 S&P500 指數分別與同段期間的一年期美國國庫劵 作 為 研 究 資 料 ， 為 估 計 模 型 中 的 參 數 ， 本 論 文 分 別 採 用 EM (Expectation Maximization)演算法。再透過概似比檢定說明狀態轉換下利率與跳躍相關風險之 股票報酬二維模型更適合描述股價指數報酬率與零息債劵價格報酬率，最後執行 敏感度分析探討模型參數值變化時對於模型評價結果的影響，並藉由 2005 年至. 政 治 大 參數估計值，並驗證出狀態轉換下利率與跳躍風險相關之股票報酬二維模型定價 立 2010 年道瓊工業指數選擇權資料進行模型校準，校準出在遠期測度下個模型的. ‧ 國. 學. 誤差為最小，及此模型亦能捕捉到波動微笑現象。. 本文架構如下：第二章簡介關於股價指數選擇權、股價報酬率模型之文獻及. ‧. 其他模型之回顧；第三章介紹狀態轉換下利率與股價二維模型、狀態轉換下利率. Nat. sit. y. 與跳躍風險之股價二維模型與狀態轉換下利率與跳躍風險相關之股票報酬二維. er. io. 模型，並介紹狀態轉換下利率與跳躍風險相關之股票報酬二維模型參數估計與檢. al. 定方法；第四章則是利用 Esscher 測度轉換將真實機率測度轉至遠期機率測度，. n. v i n Ch 得到三種模型假設下的歐式買權評價公式；第五章是以道瓊工業指數與 S&P 500 engchi U 指數分別和一年期美國國庫劵在 1999 年至 2013 年的報酬率資料，進行模型參數 估計、檢定及實證分析、模型校準，波動微笑曲線；第六章為本論文之研究結論。. 5.
(12) 第二章 文獻回顧. 2.1 股價指數選擇權 1884年Charles Dow和Edward Jones推出道瓊運輸指數，之後發展出道瓊工業 指數便成為全球最早的股價指數。1982年堪薩斯交易所首先推出第一個股價指數 期貨，之後芝加哥商業交易所和紐約證券交易所陸續推出不同的股價指數期貨商 品。1983年芝加哥選擇權交易所推出利用S&P 100為根本指數的第一個股價指數 選擇權，選擇權契約型態為美式選擇權。1997年道瓊指數正式開始提供選擇權契. 政 治 大. 約，使得股價指數選擇權在市場上蓬勃發展。. 立. BS模型雖然經常用來描述股價指數報酬率和計算歐式選擇權定價，實證發. ‧ 國. 學. 現隱含波動度微笑的性質與BS模型假設波動度為固定常數不符。Day and Lewis (1988) 利用成交量做為權數計算股價指數選擇權的隱含波動度，並代入股利調. ‧. 整的BS模型。結果顯示股價指數選擇權越靠近到期日時，市場環境通常發生無 法預期的變動，也就是報酬率會發生跳躍的現象，造成隱含波動度會受市場變動. y. Nat. er. io. sit. 而有上升的現象。. Corrado and Su (1997) 使用Jarrow and Rudd (1982) 提出的Jarrow-Rudd選擇. n. al. Ch. i n U. v. 權評價模型，模型保留原先BS選擇權評價模型中報酬率為對數常態分配，加以. engchi. 考慮偏態、峰態的修正項，並以S&P 500股價指數選擇權為實證，報酬率的左偏 和高狹峰使得B-S模型的隱含波動度有微笑的現象。而選擇權於深價內和深價外 時，Jarrow-Rudd選擇權評價模型可以有效將微笑的現象平坦化。 Bailey and Stulz (1989) 介紹股價指數選擇權經常被使用在大量的投資組合 中，因此細微的股價指數選擇權定價誤差也可能對於投資產生極大的損失。文中 提出簡單一般化均衡模型(Simple general equilibrium)，假設股價指數波動度和即 期利率為隨機變量函數，並使用Cox, Ingersoll, and Ross (1985b) 方法推導定價公 式。最後模擬結果顯示在股價指數選擇權於深價內且利率和股價指數為負相關 時，該模型可以降低定價誤差。. 6.
(13) Heston and Nandi (2000) 計算出當資產價格為GARCH(p,q)模型時，可獲得股 價指數選擇權定價的封閉解，並利用封閉解性質估計模型參數。以S&P 500股價 指數選擇權為實證指出，使用GARCH(1,1)模型可以明顯的降低在樣本外的定價 誤差。 Mixon (2007) 探討預期理論下，股價指數選擇權價值的隱含波動度期限結構 是否一致。以多個國家股價指數選擇權為樣本，指出不同到期日的選擇權在價平 時，雖然可以使用其隱含波動度預測未來短期隱含波動度，但忽略選擇權的風險 溢酬將使得預測能力不佳。因此作者考慮波動性風險溢酬修正預期理論預測結 果。 2.2 股價報酬率模型. 立. 政 治 大. Black and Scholes (1973) 提出股價動態過程為幾何布朗運動(Geometric. ‧ 國. 學. Brownian Motion)，假定股價期望值與波動度為固定常數，並進一步推導出歐式 選擇權評價公式，但是經由實證分析出該模型無法解釋股價報酬率不對稱與高狹. ‧. 峰的性質，也說明許多實證中選擇權價格帶入隱含波動度會有微笑的曲線的現象. Nat. er. io. sit. y. 與模型假設相違背。. Hamilton (1989) 觀察 1952 年到 1984 年之間的美國國民生產毛額(GNP)，發. al. n. v i n 現 GNP 從正成長率轉為負成長率或從負成長率轉為正成長率，這樣狀態移轉的 Ch engchi U 現象不易直接觀察出來，需藉由圖形來推論景氣循環的現象，作者提出馬可夫轉 換 模 型 (Markov Switching Model) 又 稱 為 狀 態 轉 換 模 型 (Regime-Switching Model)，並使用美國第二大戰後 GNP 實際資料做驗證比較，結果顯示馬可夫轉 換模型與真實資料的自相關較 ARIMA 模型與真實資料的自相關相近，並說明馬 可夫自相關模型對於 GNP 資料的合適性。. Hardy (2001) 假設股價為狀態轉換對數常態模型，並在有限狀態為兩狀態之 下，狀態轉移機率為一階馬可夫鏈，延伸 BS 模型並在風險中立測度下推導出狀 態轉換下選擇權公式，並利用概似比檢定狀態轉換模型與其他模型的配適情況， 檢定結果顯示出狀態轉換模型相較於其他模型適合描述股價報酬率。 7.
(14) Merton (1976) 提出跳躍擴散模型(Jump Diffusion Model)，延續 BS 模型將股 價動態過程模型加上跳躍項，用來描述重要訊息所引起的股價跳躍過程，跳躍項 部分則是跳躍頻率與跳躍幅度兩種隨機變數組成，為一個複合卜瓦松過程 (Compound Poisson Process)；假定跳躍頻率服從卜瓦松過程，跳躍幅度服從對數 常態分配，而跳躍風險項代表股價會因為市場某些訊息的來臨造成股價不正常變 動或稱為跳躍。. Lin, Shyu and Wang (2013) 根據 Hamilton (1989) 提出的狀態轉換模型說明 股價具有景氣循環現象，在股價動態過程加上馬可夫鏈與跳躍項，用來補捉無法 預期的事件發生所帶來的影響，提出跳躍風險下之狀態轉換模型來描述股價報酬. 政 治 大 從卜瓦松過程、跳躍幅度服從對數常態分配，並以 1999 年至 2010 年道瓊工業指 立. 率，模型假定跳躍項的跳躍頻率、跳躍幅度及市場狀態彼此獨立，且跳躍頻率服. ‧ 國. 學. 數與 S&P 500 指數作為樣本資料，利用 EM 演算法估計模型參數，並利用概似比 檢定比較各個模型對於報酬率的適合性，並導出歐式買權定價公式，以敏感度分. ‧. 析探討模型參數對歐式買權評價公式結果的影響。. Nat. sit. y. Charles, Fuh and Lin (2013) 提出考慮兩種市場狀態下的馬可夫調控跳躍擴. er. io. 散模型(Markov-Modulated Jump Diffusion Model)，並假定市場狀態服從馬可夫過. al. 程，且跳躍項的跳躍頻率服從馬可夫調控卜瓦松過程(Markov-Modulated Poisson. n. v i n Ch Process)，亦即市場狀態僅會影響跳躍頻率。並驗證出模型可以描述股價報酬率 engchi U 不對稱、高狹峰及波動度微笑的現象，亦能夠解釋波動叢聚與長期記憶性的特性。 Chen, Li and Lee (2013) 延伸 Charles, Fuh and Lin (2013) 馬可夫調控跳躍擴 散模型，考慮市場狀態會影響到跳躍幅度項的平均數，提出狀態轉換跳躍相關模 型，利用 Esscher 轉換法推導出股價指數選擇權定價公式。實證部分作者以利用 1999 年至 2010 年道瓊工業指數與 S&P 500 指數為樣本，再透過概似比檢定顯示 狀態轉換跳躍相關模型比狀態轉換跳躍模型更適合描述股價指數報酬率，並驗證 出模型可描述報酬率的不對稱、高狹峰、波動度微笑及波動叢聚現象。最後進行 敏感度分析探討模型參數值對於定價公式的影響，再驗證 BS 模型、跳躍擴散模 型及狀態轉換跳躍模型比較，結果顯示狀態轉換跳躍相關模型定價誤差為最小。 8.
(15) Chen, Chang, Wen and Lin (2013)討論退休金為確定提撥制下，退休金的投資 報酬率連結股價指數時，提出馬可夫調控跳躍過程模型描述股價指數報酬率，考 慮布朗運動項、跳躍項的跳躍頻率受到市場狀態影響，利用 1999 年至 2012 年的 道瓊工業指數與 S&P 500 指數的股價指數對數報酬率作為研究資料，採用 EM 演 算法估計參數。再透過概似比檢定說明馬可夫調控跳躍過程模型更適合描述股價 指數報酬率，並驗證出馬可夫調控跳躍過程模型具有描述報酬率不對稱、高狹峰 及波動叢聚的特性，假設最低保證利率為固定下，利用 Esscher 轉換法計算各模 型下型 I 保證之確定提撥制退休金的評價公式，並執行敏感度分析探討估計參數 值對於馬可夫調控跳躍過程模型下定提撥制退休金的評價公式的影響。. 政 治 大 Hull and White (1987) 提出隨機波動度模型，假設資產價格與波動度皆為布 立. 2.3 其他模型. 朗運動，且存在相關係數。當相關係數為零時，利用泰勒展開式推導歐式買權定. ‧ 國. 學. 價公式，然而當相關係數為零時，僅能使用模擬方法求得選擇權理論價格，結果. ‧. 顯示資產價格與波動度為正相關，B-S模型低估價外選擇權價值、高估價內選擇 權價值，當資產價格與波動度為負相關，B-S模型高估價外選擇權價值、低估價. io. sit. y. Nat. 內選擇權價值。. n. al. er. Stein and Stein (1991) 假設資產價格為布朗運動，並假設資產價格波動度為. Ch. i n U. v. O-U過程(Ornstein-Uhlenbeck process)，且兩者互相獨立，推導出選擇權定價公. engchi. 式，驗證出模型隨機波動度的部分能夠描述資產價格厚尾的特性。 Heston (1993) 延續Stein and Stein (1991)隨機波動度模型，假設資產價格與 波動度具有相關性，透過特徵方程式和傅立葉逆轉換推導出歐式選擇權定價公 式。模擬結果說明當資產價格和波動度相關係數為零時，模型可以解釋報酬率的 高狹峰性質；資產價格和波動度相關係數不為零時，模型能解釋報酬率的不對稱 性質。 Bates (1996) 提出SVJD模型(Stochastic Volatility Jump Diffusion)，假設資產 報酬率為跳躍擴散過程，波動度為均數複歸平方根過程(Mean-Reverting Square Root process)，以1984年1月到1991年6月德國馬克對美元外匯期貨選擇權資料為. 9.
(16) 樣本，結果顯示資產報酬率加入跳躍項能夠有效解釋隱含微笑現象。 Scott (1997) 提出SVSI模型(Stochastic Volatility and Stochastic Interest)，利用 累積機率函數的傅利葉轉換法計算機率密度函數，推導出選擇權定價公式，實證 結果發現該模型對於具到期日較長的選擇權定價可以描述的更精確。 Bakshi, Cao and Chen (1997) 提出SVSI-J模型(Stochastic Volatility, Stochastic Interest Rates and random jumps)，假設利率、波動度與跳躍項皆為隨機過程，推 導出SVSI-J模型選擇權定價公式。實證分析為比較SVSI-J的各個退化模型，並驗 證出結合隨機波動度和隨機跳躍的模型能夠有效的解釋隱含波動度，而模型只具 備隨機波動度能有最小的避險誤差。. 治 政 大 Eraker, Johannes and Polson (2003) 延伸 SVJD 模型，假設資產報酬率和波動 立 度皆為跳躍擴散過程，並且假定兩者之間的跳躍幅度具有相關性，利用蒙地卡羅 ‧ 國. 學. 馬可夫鏈法(Markov Chain Monte Carlo)估計參數，實證方面利用 1980 年到 1999 年 S&P 500 和 Nasdaq 100 股價指數報酬率為資料，結果顯示資產報酬率和波動. ‧. 度加入跳躍項能夠有效降低定價誤差。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 10. i n U. v.
(17) 第三章 模型與估計檢定. 本章分別介紹三種模型在連續時間股價與零息債劵價格動態過程和離散時間 下報酬率函數形式。最後介紹狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模 型的估計方法與模型檢定。 3.1 模型 3.1.1 狀態轉換下利率與股價二維模型(RSMSI). 政 治 大. dS (t ) = µ s ,qt dt + σ s ,qt dWs (t ) S (t −). qt = 1, 2. 學. ‧. ‧ 國. 立. dB(t , T ' ) = µb ,qt dt + σ b ,qt dWb (t ) B(t −, T ' ). S (t ) 為時間 t 的股價； B (t , T ' ) 為到期日 T ' 的零息債劵在 t 時的價格; qt 為時間 t 時. sit. y. Nat. 的市場狀態;在市場狀態為 qt 之下， µ s ,qt 為股價期望瞬間報酬率平均數； σ s ,qt 為. er. io. 股價期望瞬間標準差; µb ,qt 為零息債劵期望瞬間報酬率平均數； σ b ,qt 為零息債劵. al. v i n Ch 為股價與零息債劵布朗運動項相關係數; q 為時間 t 時所對應 engchi U n. 期 望 瞬 間 標 準 差 ； Ws (t ) ， Wbt (t ) 為 標 準 布 朗 運 動 項 ; Ws (t ) ~ N (0, t ) ，. Wb (t ) ~ N (0, t ) ; ρ qt. t. 市 場 狀 態 ， 且 qt 滿 足 一 階 馬 可 夫 鏈 P(qt qt −1 ,..., q1 ) = P(qt qt −1 ) ， 令 = pij P= (qt j | = qt −1 i ) 為狀態轉移機率，. 2. ∑p j =1. ij. =1。. 利用 Itô (1951) 提出之 Itô lemma，將股價隨機微分方程式與零息債劵價格隨 機微分方程式分別轉換為 (t − 1 , t ] 期間股價和零息債劵的動態過程其公式為. 1 S (t ) =− S (t 1) exp µ s ,qt − σ s2,qt + σ s ,qt Ws (1) 2 1 B(t , T ' ) =− B(t 1, T ) exp µb ,qt − σ b2t ,qt 2 11. + σ b ,qt Wb (1) .
(18) t = 1, 2,..., T ，則在 (t − 1 , t ] 期間股價與零息債劵的報酬率 Rs ; Rb 公式可表示如下. S (t ) S (t ) − S (t − 1) 1 2 ≈ log Rs = = µ s ,qt − σ s ,qt S (t − 1) 2 S (t − 1) . + σ s ,qt Z s . B(t , T ' ) B(t , T ' ) − B(t − 1, T ' ) 1 2 Rb = log ≈ = µb ,qt − σ b ,qt ' ' B(t − 1, T ) 2 B(t − 1, T ) . + σ b ,qt Z b ； . 1 2 1 2 1 1 µ s ,1 − 2 σ s ,1 + σ s ,1Z s qt = µb ,1 − 2 σ b ,1 + σ b ,1Z b qt = 亦即， Rs = ， Rbt = 1 1 2 2 µ − σ + σ Z q = µ − σ + σ Z q = 2 2 s ,2 s t b ,2 b t s ,2 2 s ,2 b ,2 2 b ,2. 政 治 大. 其中 {Z s } ， {Z b } 服從標準常態分配且 cov ( Z s , Z b ) = ρ qt. 立. ‧ 國. 學. 根據 Itô lemma，可將股價與零息債劵價格動態過程求出，即. (. ). Nat. io. sit. y. ‧. S (t ) B(t , T ') = µ s, qt − µb ,qt + σ b2,qt − ρ qt σ s ,qt σ b ,qt dt + σ s ,qt dWs (t ) + σ b ,qt dWb (t ) S (t −) B (t −, T '). d. er. 3.2.2 狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型(RSMJSI). al. n. v i n Ch 然而狀態轉換下利率與股價二維模型雖然可以描述報酬率的平均成長與波 engchi U. 動度會根據市場狀態有所不同，卻無法捕捉股價報酬率在重要訊息發生時所產生. 跳躍的現象，因此提出狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型，藉由此模型 可以捕捉到股價報酬率的跳躍現象. N (t ) dS (t ) = µ s ,qt dt + σ s ,qt dWs (t ) + d ∑ Ym − 1 S (t −) m =1 . dB(t , T ' ) = µb ,qt dt + σ b ,qt dWb (t ) qt = 1, 2 B(t −, T ' ). 12.
(19) 其中 qt 、pij 、µ s ,q、 σ s ,q、 µb ,q、 σ b ,q、 {Ws (t )}、{Wb (t )}、ρqt 之定義與狀態轉換下利 t t t t 率與股票二維模型相同，跳躍項擴散的現象為複合卜瓦松過程，其中 N ( t ) 為卜 瓦松過程 Poisson ( λt ) ， {Ym } 為跳躍幅度彼此獨立且服從相同的對數常態分配， 即 {log Ym } 服從 N ( µ y , σ y2 ) ，在此模型下跳躍幅度 {log Ym } 及跳躍頻率 N ( t ) 不會隨 著市場狀態而改變； {Ws (t )} 、 { N ( t )} 、 {log Ym } 相互獨立。. 利用 Itô (1951) 提出之 Itô lemma，將股價隨機微分方程式與零息債劵價格隨 機微分方程式分別轉換為 (t − 1 , t ] 期間股價和零息債劵的動態過程其公式為 N (1) 1 2 S (t ) = S ( t − 1) exp µ s ,qt − σ s ,qt + σ sWs (1) + ∑ log Ym 2 m =1 . 立. 政 治 大 1. ‧ 國. + σ b ,qt Wb (1) . 學. B(t , T ' ) = B(t − 1, T ' ) exp µb ,qt − σ b2,qt 2 . t = 1, 2,..., T ，則在 (t − 1 , t ] 期間股價與零息債劵的報酬率 Rs ; Rb 公式可表示如下. ‧. N (1). + σ s ,qt Z s + ∑ log Ym m =1. n. al. 亦即，. + σ b ,qt Z b . er. io. B(t , T ' ) B(t , T ' ) − B(t − 1, T ' ) 1 2 Rb = log = ≈ µb ,qt − σ b ,qt ' ' B(t − 1, T ) 2 B(t − 1, T ) . sit. y. Nat. S (t ) S (t ) − S (t − 1) 1 2 ≈ log Rs = = µ s ,qt − σ s ,qt S (t − 1) 2 S (t − 1) . Ch. engchi. i n U. v. N (1) 1 2 1 − + 1 µ σ σ Z + qt = s ,1 1 µb ,1 − σ b2,1 + σ b ,2 Z b qt = s ,1 s ,2 s ∑ log Ym 2 m =1 2 ， Rs = = R b N (1) µ − 1 σ 2 + σ Z + log Y q = µ − 1 σ 2 + σ Z q = 2 2 b ,2 b t ∑ s s s s m t ,2 ,2 ,2 b ,2 2 b ,2 2 m =1. 其中 {Z s } ， {Z b } 服從標準常態分配且 cov ( Z s , Z b ) = ρ qt ， N (1) 跳躍頻率為相同的 卜 瓦 松 分 配 Poisson(λ ) ， {Ym } 跳 躍 幅 度 為 相 同 的 對 數 常 態 分 配 ，. {log Ym } ~ N ( µ y , σ y2 ) ， {Z s } 、 { N (1)} 、 {log Ym } 相互獨立。. 13.
(20) 根據 Itô lemma，可將股價與零息債劵價格動態過程求出，即 S (t ) N (t ) B(t , T ') 2 = µ s, qt − µb ,qt + σ b ,qt − ρ qt σ s ,qt σ b ,qt dt + σ s ,qt dWs (t ) + σ b ,qt dWb (t ) + d ∑ Ym − 1 S (t −) m =1 B (t −, T '). d. (. ). 3.2.3 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型(MMJDMSI) 考慮到不同市場狀態下股價發生跳躍的發生頻率也會不相同，即市場狀態與 跳躍頻率會相關，進一步討論狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模 型. 政 治 大. Nqt ( t ) dS (t ) µ s ,qt dt + σ s ,qt dWs (t ) + d ∑ Ym − 1 = m =1 S (t −) . 立. ‧ 國. 學. dB(t , T ' ) = µb ,qt dt + σ b ,qt dWb (t ) B(t −, T ' ). qt = 1, 2. ‧. 參數假設與狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型隨機微分方程式不同處. Nat. sit. y. 在於跳躍項是一個馬可夫調控卜瓦松過程 N qt ( t ) 由兩個卜瓦松過程組成，其中在. n. al. er. io. λ1 , qt = 1 。最後假設 t 時間點之卜瓦松過程 N qt ( t ) 其平均數為 λqt t ，即為 λqt = 2 , q λ = 2 t . C. hengchi {Ws (t )} 、 { N q ( t )} 、 {log Ym } 彼此獨立。. i n U. v. t. 利用 Itô (1951) 提出之 Itô lemma，將股價隨機微分方程式與零息債劵價格隨 機微分方程式分別轉換為 (t − 1 , t ] 期間股價和零息債劵的動態過程其公式為 N qt (1) 1 S (t ) = S ( t − 1) exp µ s ,qt − σ s2,qt + σ sWs (1) + ∑ log Ym 2 m =1 . 1 B(t , T ' ) = B(t − 1, T ' ) exp µb ,qt − σ b2,qt 2 . + σ b ,qt Wb (1) . t = 1, 2,..., T ，則在 (t − 1 , t ] 期間股價與零息債劵的報酬率 Rs ; Rb 公式可表示如下. 14.
(21) S (t ) S (t ) − S (t − 1) 1 2 ≈ log Rs = = µ s ,qt − σ s ,qt S (t − 1) 2 S (t − 1) . + σ s ,qt Z s + . B(t , T ' ) 1 2 b(t , T ' ) − b(t − 1, T ' ) log Rb = ≈ = µb ,qt − σ b ,qt ' ' b(t − 1, T ) 2 B(t − 1, T ) . N qt (1). ∑ log Y. m. m =1. + σ b ,qt Z b . 亦即， N1 (1) 1 2 1 1 − + µ σ σ Z + qt = s ,1 1 µb ,1 − σ b2,1 + σ b ,2 Z b qt = s ,1 s ,2 s ∑ log Ym 2 m =1 2 ， Rs = = R b N (1) µ − 1 σ 2 + σ Z + 2 log Y q = µ − 1 σ 2 + σ Z q = 2 2 b ,2 b t ∑ s s s s m t ,2 ,2 ,2 b ,2 2 b ,2 2 m =1. 政 治 大{. }. 其中 {Z s } {Z b } 服從標準常態分配且 cov ( Z s , Z b ) = ρ qt ， N t ,qt 跳躍頻率為卜瓦松. 立. 分配 Poisson(λqt ) ，{Ym } 跳躍幅度為相同的對數常態分配， {log Ym } ~ N ( µ y , σ y2 ) ，. ‧ 國. }. 學. {. 最後假設 {Z s } 、 N qt (1) 、 {log Ym } 彼此獨立。. ‧. 根據 Itô lemma，可將股價與零息債劵價格動態過程求出，即. y. Nat. sit. n. al. ). er. (. io. S (t ) Nqt (t ) B (t , T ') = µ s, qt − µb ,qt + σ b2,qt − ρ qt σ s ,qt σ b ,qt dt + σ s ,qt dWs (t ) + σ b ,qt dWb (t ) + d ∑ Ym − 1 m =1 S (t −) B (t −, T '). d. Ch. engchi. i n U. v. 3.2 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型之估計與檢定 首先介紹使用 EM 演算法估計模型之參數，並說明如何利用概似比檢定比較 BS 模型、狀態轉換下利率與股價二維模型、狀態轉換下利率與跳躍風險之股價 二維模型及狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型是否適用於描 述股價指數報酬率資料以及零息債劵報酬率資料。. {. }. {. 假設股價報酬率 R s = Rs1 , Rs2 ,..., RsT ，零息債劵報酬 Rb = Rb1 , Rb2 ,..., RbT. {. }. 市場狀態 q = {q1 ,..., qT } ，跳躍頻率 N = N q1 (1),..., N qT (1) ，其參數空間為. 15. }.
(22) Θ ={π 1 , p11 , p22 , µ s ,1 , µ s ,2 , µb ,1 , µb ,2 , µ y , σ s ,1 , σ s ,2 , σ b ,1 , σ b ,2 , σ y , λ1 , λ2 , ρ1 , ρ 2. 0 ≤ π 1 , p11 , p22 ≤ 1 ；− ∞ < µ s ,1 , µ s ,2 , µb ,1 , µb ,2 , µ y < ∞；σ s ,1 , σ s ,2 , σ b ,1 , σ b ,2 , σ y , λ1 , λ2 > 0 −1 ≤ ρ1 , ρ 2 ≤ 1}. (. ). 定義 LC Θ R s , Rb , q , N 為狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維 模型的完整資料概似函數(Complete-data likelihood function)，表示如下. ) ∏ P(R , R ,q , N. (. T. LC Θ R s , Rb , q , N =. s. t =1. b. t. qt. (t ) Θ. ). T T T = ∏ P( Rs , Rb qt , N qt (t ), Θ) ∏ P( N qt (t ) qt , Θ) ∏ P(qt qt −1 , Θ) π q1 = = t1 t 1 = t 2 T T =π q1 ∏ pqt-1qt ∏ P( Rs , Rb =t 2= t1. 立. 政 治 大 q , N (t ), Θ) P( N (t ) q , Θ) T. t. ∏ . qt. =t 1. qt. . t. ‧ 國. 學. 但是市場上僅能觀察到股票報酬率及零息債劵報酬率，市場狀態和跳躍頻率. ‧. 因不可觀測，而被視為遺失資料，致使我們無法使用完整資料概似函數估計參. ). y. (. Nat. 數，而需考慮不可觀測變數的各種可能值而得到的不完整資料概似函數。定義. er. io. sit. LIC Θ R s , Rb 為狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型的不完整 資料概似函數(Incomplete-Data Likelihood Function)，表示如下：. n. al. ) ∏ ∑ ∑ L(ΘCR h, Re, qn, Ng) c h i. (. LIC Θ R= s , Rb 2. ∞. q1. = k 0. T. 2. ∞. t =1 = qt 1 = N qt 0. s. b. 2. i n U. v. ∞. m qt , Θ) = k q1 , Θ)∏ t = 2 ∑∑ Pqt −1qt P( Rs , Rb qt , N qt (t ), Θ) P( N qt (t ) = ∑ π q1 ∑ P( N q1 (1) = T. q=t 1 = m 0. 當總期數 T 較大時，各期之市場狀態的組合數 2T 會相當大，再加上跳躍頻 率沒有上限，需要龐大的計算量才能得出不完整資料概似函數，為使估計工作更 有效率的完成，本論文採用 EM 演算法(Expectation Maximization Algorithm)估計 模型參數，其特點為可以利用完整資料概似函數及前一步估計的參數值，經由逐 步疊代而找出參數的最大概似估計值，而詳細 EM 演算法過程可參考附錄 A。. 獲得參數估計值後，透過概似比檢定，可據以檢定參數較多的模型是否對報 16.
(23) 酬率資料的配適性較佳。在此本文比較四種模型，即(1) H 0 : 股價指數報酬率為 BS 模型、 H1: 狀態轉換下利率與股價二維模型(2) H 0 : 狀態轉換下利率與股價二 維模型、 H1: 狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型 (3) H 0 : 狀態轉換下利 率與跳躍風險之股價二維模型、 H1: 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬 二維模型。假設樣本的完整概似函數為 L (θ X )，其中 Θ 為參數空間的所有參數、 X 為 樣 本 資 料 { X 1 ,..., X n } ， 檢 定 之 虛 無 假 設 為 H 0 : θ ∈ Θ0 與 對 立 假 設 為. H1 : θ ∈ Θ − Θ0 ，檢定統計量 Λ 為. Λ=. sup L (θ X ). θ ∈Θ0. sup L (θ X ). 政 治 大 θ ∈Θ. 立. 其中 sup L (θ X ) 為在 Θ0 範圍內的最大概似函數值，而 sup L (θ X ) 是在整個參數 θ ∈Θ. ‧ 國. 學. θ ∈Θ0. 空間中的最大概似函數值。當虛無假設為真時，若樣本數夠大，則 −2 log Λ 會趨. ‧. 近於卡方分配，自由度為兩模型參數個數之差。因此，在顯著水準為 α 之下，若 −2 log Λ ≥ χα2 則拒絕虛無假設，表示有充分證據顯示對立假設 H1 的模型能解釋股. y. Nat. io. sit. 價指數與零息債劵價格的報酬率，若 −2 log Λ < χα2 時，則不拒絕虛無假設，表示. n. al. er. 尚無充分證據顯示對立假設 H1 的模型更能解釋股價指數與零息債劵價格的報酬. i n U. v. 率。本論文所討論的四種模型概似函數值是由 EM 演算法達到收斂時的 E 步驟的 對數概似數值。. Ch. engchi. 17.
(24) 第四章 股價指數選擇權評價. 本章介紹 Esscher 轉換法，並藉由 Esscher 轉換法分別就 3.2 節的三種模型， 各自介紹符合平賭條件的遠期機率測度，以對股價指數選擇權進行定價。4.1 節 為利用 Esscher 轉換法找到各模型遠期機率測度下的動態過程，4.2 節為各模型的 評價公式，而各模型的詳細推導定價過程可參考附錄 B、C、Ð 4.1 Esscher 轉換 Merton (1976) 認為股價的動態過程為跳躍擴散模型，跳躍項代表的是為可. 政 治 大. 分散風險，也就是說投資人可以透過其他投資組合規避股價的跳躍風險，因而投. 立. 資人不會要求風險溢酬。然而 Jarrow and Rosenfeld (1984) 實證指出跳躍項代表. ‧ 國. 學. 不可分散的風險，若預期股價會發生跳躍，則投資人會對此種風險要求溢酬，當 市場不完備且跳躍風險不可被分散時，可利用 Gerber and Shiu (1994) 提出的. ‧. Esscher 轉換法，找出對應於原本機率測度之平賭機率測度，使得選擇權的定價. io. sit. y. Nat. 更容易。. n. al. er. 由此可知，透過 Esscher 轉換法可將動態過程從真實機率測度轉為遠期機率. i n U. v. 測度。接著，分別介紹第三章討論的三種模型下的 Esscher 轉換，並對本論文提. Ch. engchi. 出的 Esscher 轉換說明其推導過程。以下 4.1.1、4.1.2 及 4.1.3 為各模型下的 Esscher 轉換情形。. 4.1.1 狀態轉換下利率與股價二維模型 Esscher 轉換 假定股價與零息債劵價格服從狀態轉換下利率與股價二維模型，真實機率測 度的動態過程可表示為. σ s2,qt − 2 ρ qt σ s ,qt σ b ,qt + σ b2,qt 2 µ µ σ ρ σ σ − + − − S (t ) S (0) b , qt b , qt qt s , qt b , qt sq 2 exp , t = ' ' B (t , T ) B (0, T ) +σ s ,qt Ws (t ) − σ b ,qt Wb (t ) 18. t .
(25) 其中 S (t ) 為時間 t 的股價； B (t , T ' ) 為到期日 T ' 的零息債劵在 t 時的價格; qt 為時間 t 時的市場狀態;在市場狀態為 qt 之下， µ s ,qt 為股價報酬率平均數； σ s ,qt 為股價報. 酬率波動度; µb ,qt 為零息債劵報酬率平均數； σ b ,qt 為零息債劵報酬率波動度；. Ws (t ) ， Wb (t ) 為標準布朗運動項; Ws (t ) ~ N (0, t ) ， Wb (t ) ~ N (0, t ) ; ρ qt 為股價與 零息債劵布朗運動項相關係數; qt 為時間 t 時所對應市場狀態，且 qt 滿足一階馬可 夫 鏈 P(qt qt −1 ,..., q1 ) = P(qt qt −1 ) ， 令= pij P= (qt j | = qt −1 i ) 為 狀 態 轉 移 機 率 ， 2. ∑p. ij. j =1. =1。. 治 政 大 假定市場在狀態轉換過程中無風險溢酬之現象，且在極小區間 (t − ∆t , t ) 內且 立 市場狀態為 q ，令 h 為狀態 q 之下布朗運動之 Esscher 轉換參數， t. t. 學. ‧ 國. Bqt. θ q2 = σ s2,q − 2 ρ q σ s ,q σ b ,q + σ b2,q t. t. t. t. t. t. ‧. θ q2t 2 = A µ s ,qt − µb ,qt + σ b ,qt − ρ qt σ s ,qt σ b ,qt − ∆t + σ s ,qt Ws (∆t ) − σ b ,qt Wb (∆t ) ， 2 . al. n. ( ). er. A. io. 2 hBq θ 2 ∆t t qt = − + ∆ − ∆ σ σ h W t h W t exp ( ) ( ) Bq s q s Bq b q b , , h A t t t t 2 E e Bqt h. e Bqt. η Bq=t. sit. y. Nat. 則 A 的 Esscher 轉換係數為. Ch. engchi. 因此，遠期機率測度下布朗運動項轉換為. i n U. v. WsQ (∆t )= Ws (∆t ) − hBqt (σ s ,qt − ρ qt σ b ,qt )∆t T. (. ). WbQ (∆t )= Wb (∆t ) − hBqt ρ qt σ s ,qt − σ b ,qt ∆t T. 因此，遠期機率測度下. Ws Q (∆t ) 0 1 T ~ N , ∆t Q ρ qt 0 Wb (∆t ) T. ρq 1 t. 利用在遠期機率測度下對任意時間點 t 時的股價與零息債劵價格期望皆為時 間點 t − ∆t 的股價與零息債劵價格，可推導出股價與零息債劵動態過程的平賭條 件，並透過平賭條件解出 Esscher 轉換參數。 19.
(26) 亦即由. S (t ) B(t , T ' ) Ft −∆t ， . T S (t − ∆t ) = EQ ' B(t − ∆t , T ). 0。 推導出平賭條件為 µ s, qt − µb ,qt + σ b2,qt − ρ qt σ s ,qt σ b ,qt + hBqt θ q2t =. 根據遠期測度與真實測度的關係式，以及使平賭條件成立的 Esscher 轉換參 數值，股價以零息債劵計價的動態過程可重新表示為 θ q2t S (t ) S (t − ∆t ) QT exp ( t W t θ ) ∆ + ∆ = − qt B (t , T ' ) B (t − ∆t , T ' ) 2 . 接著，不斷地向前變動上式中的 t 到起始時間，則在距到期日共 T 天、起始. 政 治 大. 市場狀態 q0 = i 和停留在狀態 1 共 k 天的情況下，遠期機率測度下的股價以零息 債劵計價的動態過程為. 立. ‧ 國. 學. T T 1 2 S (T ) S (0) QT exp = ∫ − θ qs ds + ∫0 θ qs dW ( s ) ' ' B(T , T ) B(0, T ) 0 2 . ‧. ηk2 S (0) = exp − + ηk Z ' B(0, T ) 2 dist. n. al. Ch. engchi. er. io. Z ~ N (0,1) ， η k2 =θ12 k + θ 22 (T − k ) ，k =0,1,..., T .. sit. y. Nat. 其中. i n U. v. 4.1.2 狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型 Esscher 轉換 假定股價與零息債劵價格服從狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模 型，真實機率測度的動態過程表示為. σ s2,qt − 2 ρ qt σ s ,qt σ b ,qt + σ b2,qt 2 − + − − µ µ σ ρ σ σ s, qt b , qt b , qt qt s , qt b , qt 2 S (t ) S (0) exp = N (t ) B (t , T ' ) B (0, T ' ) +σ s ,qt Ws (t ) − σ b ,qt Wb (t ) + ∑ log Ym m =1 . t . 其中 S (t ) 為時間 t 的股價； B (t , T ' ) 為到期日 T ' 的零息債劵在 t 時的價格; qt 為時間 t 時的市場狀態;在市場狀態為 qt 之下， µ s ,qt 為股價報酬率平均數； σ s ,qt 為股價報. 20.
(27) 酬率波動度; µb ,qt 為零息債劵報酬率平均數； σ b ,qt 為零息債劵報酬率波動度；. Ws (t ) ， Wb (t ) 為標準布朗運動項; Ws (t ) ~ N (0, t ) ， Wb (t ) ~ N (0, t ) ; ρ qt 為股價與 零 息 債劵 布 朗 運動 項相 關 係數 ; {Ym } 為 跳躍 幅度 ， 服從對數 常態 分 配，即. log Ym ~ N ( µ y , σ y2 ) 。 N (t ) 為跳躍頻率，服從卜瓦松過程 Poisson(λt ) ， qt 為時間 t 時 所 對 應 市 場 狀 態 ， 且 qt 滿 足 一 階 馬 可 夫 鏈 P(qt qt −1 ,..., q1 ) = P(qt qt −1 ) ， 令 = pij P= (qt j | = qt −1 i ) 為狀態轉移機率，. 2. ∑p. ij. j =1. =1。. 假定市場在狀態轉換過程中無風險溢酬之現象。而跳躍項為不可分散風險，. 政 治 大 為狀態 q 之下布朗運動之 Esscher 轉換參數， h 為系統性跳躍項的 Esscher 立. 表示投資人對跳躍項要求風險溢酬。且在極小區間 (t − ∆t , t ) 內市場狀態為 qt ，令 hBqt. t. J. 學. ‧ 國. 轉換參數，. θ q2 = σ s2,q − 2 ρ q σ s ,q σ b ,q + σ b2,q t. t. t. t. t. t. m. η Bq = t. sit. ，則 A、B 的 Esscher 轉換係數為. al. n. m =1. io. ∑ log Y. Ch. er. N ( ∆t ). y. Nat. 與. B=. ‧. θ q2t 2 = A µ s, qt − µb ,qt + σ b ,qt − ρ qt σ s ,qt σ b ,qt − ∆t + σ s ,qt Ws (∆t ) − σ b ,qt Wb (∆t ) 2 . iv n U . h θ ∆t = exp − + hBqt σ s ,qt Ws (∆t ) − hBqt σ b ,qt Wb (∆t ) h A 2 E e e. (. hBqt A Bqt. ). 2 2 Bqt qt. engchi. N ( ∆t ) exp hJ ∑ log Ym hJ B e m =1 = = ηJ = hJ B N ( ∆t ) E (e ) E exp hJ ∑ log Ym m =1 . N ( ∆t ). ∏Y m =1. hJ m. e − λ∆tξ ( hJ ). 其中. λ∆tξ h N ( ∆t ) N ( ∆t ) E exp hJ ∑ log Ym = EE exp hJ ∑ log Ym N (∆t ) = n = e ( J ) 與 = m 1= m1 . = ξ ( hJ ) e. 1 hJ µ y + hJ2σ y2 2. 21. −1.
(28) 由於布朗運動項與跳躍項彼此獨立，因此利用 η Bqt 和η J 可分別得到遠期機率測度 下之布朗運動項分配為. WsQ (∆t )= Ws (∆t ) − hBqt (σ s ,qt − ρ qt σ b ,qt )∆t T. (. ). WbQ (∆t )= Wb (∆t ) − hBqt ρ qt σ s ,qt − σ b ,qt ∆t T. 因此，遠期機率測度下. Ws Q (∆t ) 0 1 T ~ N , ∆t Q ρ qt 0 Wb (∆t ) T. ρq 1 t. 跳躍頻率分配為 N Q (∆t ) ~ Poisson ( λ∆t (ξ ( hJ ) + 1) ) T. 跳躍幅度分配為 log YmQ ~ N ( µ y + hJ σ y2 , σ y2 ) T. 立. 政 治 大. 利用在遠期機率測度下對任意時間點 t 時的股價與零息債劵價格期望皆為時. ‧ 國. 學. 間點 t − ∆t 的股價與零息債劵價格，可推導出股價與零息債劵動態過程的平賭條 件，並透過平賭條件解出 Esscher 轉換參數。亦即由. ‧. y. ). − µb ,qt + σ b2,qt − ρ qt σ s ,qt σ b ,qt + hBqt θ q2t + λ (ξ (hJ + 1) − ξ (hJ ) ) = 0。. io. n. al. sit. s , qt. er. (µ. Nat. T S (t − ∆t ) S (t ) = EQ Ft −∆t ，推導出平賭條件為。亦即推導出平賭條件為 ' ' B(t − ∆t , T ) B(t , T ) . Ch. i n U. v. 根據遠期測度與真實測度的關係式，以及使平賭條件成立的 Esscher 轉換參. engchi. 數值，股價以零息債劵計價的動態過程可重新表示為. N Q ( ∆t ) θ 2 S (t ) S (t − ∆t ) qt QT QT = − exp ( t h h t W t Y λ ξ ξ θ 1) ( ) ( ) log ∆ − + − ∆ + ∆ + ( ) ∑ J J qt m B(t , T ' ) B(t − ∆t , T ' ) 2 m =1 T. 接著，不斷地向前變動上式中的 t 到起始時間，則在距到期日共 T 天、跳躍 頻率 N Q (T ) = n 、起始市場狀態 q0 = i 和停留在狀態 1 共 k 天的情況下，遠期機 T. 率測度下的股價以零息債劵計價的動態過程為 T T n T T S (T ) S (0) 1 2 QT − − + − + + exp ( = ds h h ds dW s 1) ( ) ( ) log YmQ θ λ ξ ξ θ ( ) ∑ qS J J qs ' ' ∫ ∫ ∫ 0 B (T , T ) B(0, T ) m =1 0 0 2 . 22.
(29) dist. =. n T ηk2 S (0) − − + − + + exp 1 log YmQ h h T Z λ ξ ξ η ( ) ( ) ( ) ∑ J J k ' B(0, T ) m =1 2 . 其中 Z ~ N (0,1). (. ). ηk Z + ∑ log YmQ ~ N n ( µ y + hJ σ y2 ) ,ηk2 + nσ y2 ， n. m =1. T. ηk2 = kθ12 + (T − k )θ 22 ，k = 0,1, 2,..., T. 4.1.3 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型 Esscher 轉換. 治 政 大 二維模型，真實機率測度的動態過程表示為 立 σ − 2ρ σ. 假定股價與零息債劵價格服從狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬. qt. σ b ,q + σ b2,q t 2 s , qt. t. t. ‧. ‧ 國. 2 s , qt. 學. µ s, qt − µb ,qt + σ − ρ qt σ s ,qt σ b ,qt − S (t ) S (0) exp = ' ' N qt ( t ) B (t , T ) B (0, T ) +σ s ,qt Ws (t ) − σ b ,qt Wb (t ) + ∑ log Ym m =1 2 b , qt. y. Nat. sit. 其中 S (t ) 為時間 t 的股價； B (t , T ' ) 為到期日 T ' 的零息債劵在 t 時的價格; qt 為時間. n. al. er. io. t 時的市場狀態;在市場狀態為 qt 之下， µ s ,qt 為股價報酬率平均數； σ s ,qt 為股價期. i n U. v. 報酬率波動度; µb ,qt 為零息債劵報酬率平均數； σ b ,qt 為零息債劵報酬率波動度；. Ch. engchi. Ws (t ) ，Wb (t ) 為標準布朗運動項; Ws (t ) ~ N (0, t ) ，Wb (t ) ~ N (0, t ) ; ρ qt 為股價與零 息債劵布朗運動項相關係數;. {Ym } 為 跳 躍 幅 度 ， 服 從 對 數 常 態 分 配 ， 即. log Ym ~ N ( µ y , σ y2 ) 。 N qt (t ) 為跳躍頻率，服從卜瓦松過程 Poisson(λqt t ) ， qt 為時間 t 時所對應市場狀態，且 qt 滿足一階馬可夫鏈 P(qt qt −1 ,..., q1 ) = P(qt qt −1 ) ，令. = pij P= (qt j | = qt −1 i ) 為狀態轉移機率，. 2. ∑p j =1. ij. =1。. 假定在狀態轉換過程中市場不會發生風險溢酬之現象。而跳躍項為不可分散 風險，表示投資人需對跳躍項要求風險溢酬。且在極小區間 (t − ∆t , t ) 內市場狀態. 23.
(30) 為 qt ，令 hBJqt 為狀態 qt 下之 Esscher 轉換參數，. θ q2 = σ s2,q − 2 ρ q σ s ,q σ b ,q + σ b2,q t. t. t. t. t. t. N qt ( ∆t ) θ q2 = D µ s ,qt − µb ,qt + σ b2,qt − ρ qt σ s ,qt σ b ,qt − t ∆t + σ s ,qt Ws (∆t ) − σ b ,qt Wb (∆t )+ ∑ log Ym 2 m =1 則 D 的 Esscher 轉換參數 2 hBJq θ q2t ∆t t − + hBJqt σ st ,qt Wst (∆t ) − hBqt σ bt ,qt Wbt (∆t ) hBJqt C e 2 ， = exp η BJqt = N qt ( ∆t ) hBJqt C E e + hBJqt ∑ log Ym m =1 . (. ). 1 2 N qt ( ∆t ) hBJqt µ y + hBJq σ2 λqt ∆tξ ( hBJqt ) t y 2 = −1 。 e 其中 E exp(hBJqt ∑ log Ym ) = e 與 ξ hBJqt m =1 . (. ). 政 治 大. 立. 由於布朗運動項與跳躍項彼此獨立，因此利用 η BJqt 可分別得到遠期機率測度. ‧ 國. 學. 下之布朗運動項分配為. WsQ (∆t )= Ws (∆t ) − hBJqt (σ s ,qt − ρ qt σ b ,qt )∆t T. ‧. (. ). T. al. er. i n U. io. ρ 1 . n. Nat. Ws Q (∆t ) 0 1 ~ N , ∆t 因此，遠期機率測度下 T Wb Q (∆t ) ρ 0. 跳躍頻率之分配為 N qQ (∆t ) ~ Poisson ( λq ∆t (ξ (hBJq ) + 1) ) T. t. Ch. t. t. engchi. sit. T. y. WbQ (∆t )= Wb (∆t ) − hBJqt ρ qt σ s ,qt − σ b ,qt ∆t. v. 跳躍項的跳躍幅度分配為 log YmQ ~ N ( µ y + hBJqt σ y2 , σ y2 ) T. 利用在遠期機率測度下對任意時間點時的股價與零息債劵價格期望皆為時 間點 t − ∆t 的股價與零息債劵價格，可推導出股價與零息債劵動態過程的平賭條 件 ， 並 透 過 平 賭 條 件 解 出 T S (t − ∆t ) = EQ ' B(t − ∆t , T ). (µ. s , qt. Esscher. 轉 換 參 數 。 亦 即 由. S (t ) B(t , T ' ) Ft −∆t ，推導出平賭條件為 . ). (. ). 0 − µb ,qt + σ b2,qt − ρ qt σ s ,qt σ b ,qt + hBJqt θ q2t + λqt ξ (hBJqt + 1) − ξ (hBJqt ) =. 24.
(31) 根據遠期測度與真實測度的關係式，以及使平賭條件成立的 Esscher 轉換參 數值，股價以零息債劵計價的動態過程可重新表示為 N qQ ( ∆t ) θ2 t S (t ) S (t − ∆t ) qt QT QT exp ( t h h W t Y 1) ( ) ( ) log λ ξ ξ θ ∆ − + − + ∆ + = − ∑ qt m qt BJqt BJqt B (t , T ' ) B (t − ∆t , T ' ) m =1 2 T. (. ). 接著，不斷地向前變動上式中的 t 到起始時間，則在距到期日共 T 天、N1 (T ) = n1 為 [0, T ]之間狀態一累計跳躍頻率、 N 2 (T ) = n2 為 [0, T ]之間狀態二累計跳躍頻率 起 始市場狀態 q0 = i 和停留在狀態 1 共 k 天的情況下，遠期機率測度下的股價以零 息債劵計價的動態過程為. 立. 政 治 大. T N1 (T ) N 2 (T ) T T 1 2 T S (T ) S (0) QT QT − − + − + + + exp ( = ds h h ds dW s Y 1) ( ) ( ) log log Yl Q θ λ ξ ξ θ ∫ qs ∑ ∑ BJqt BJqt q m qs ' ' ∫ ∫ t 0 B (T , T ) B (0, T ) 2 = m 1 =l 1 0 0 . ). ‧ 國. 學. n1 n2 T ηk2 S (0) QT − − + + exp log Z Y + log Yl Q λ η ∑ ∑ T k m ' B(0, T ) m 1 =l 1 = 2 . Nat. Z ~ N (0,1). ‧. 其中. y. dist. =. (. io. sit. ηk2 = kθ12 + (T − k )θ 22 ，k = 0,1, 2,..., T. n. al. er. = λT λ1k (ξ (hBJ 1 + 1) − ξ (hBJ 1 ) ) + λ2 (T − k ) (ξ (hBJ 2 + 1) − ξ (hBJ 2 ) ). Ch. engchi. 25. i n U. v.
(32) 4.2 股價指數選擇權評價 根據 4.1 節找到遠期機率測度下的狀態轉換下利率與股價二維模型、狀態轉 換下利率與跳躍風險之股價報酬二維模型以及狀態轉換下利率與跳躍相關風險 之股票報酬二維模型，本節將近一步推導各模型的歐式買權定價公式。 4.2.1 狀態轉換下利率與股價二維模型之選擇權定價公式 考慮履約價格為 K 、零息債劵價格為 P 、選擇權到期時間 0 到 T ，則可以得 到狀態轉換下利率與股價二維模型之歐式買權定價公式為 T. =. {S N ( d. T. T. 2. ∑∑ π γ i =1. k. ‧ 國. 1 2 S0 + ηk ln ' KB(0, T ) 2 =. ηk. '. RSMSI 2, k. )}. 治 政 )N (d ( S N ( d ) − KB(0, T 大 RSMSI 1, k. 0. '. RSMSI d= d1,RSMSI − ηk 2, k k. RSMSI 2, k. )). ‧. Nat. 其中. 立. i T , k |q0 =i. ) − KB(0, T ) N ( d. 學. d1,RSMSI k. RSMSI 1, k. 0. y. = C0 EqQ0 EkQ. io. sit. π i 為市場狀態為 i 的穩定機率， i = 1, 2. al. n. 0. er. γ T ,k |q =i 為給定起始狀態 i ，到期日為 T 天、狀態 1 停留 k 天的機率. Ch. engchi. 26. i n U. v.
(33) 4.2.2 狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型之選擇權定價公式. 考慮履約價格為 K 、零息債劵價格為 P 、選擇權到期時間期間為 0 到 T ，則 可以得到狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型之歐式買權定價公式為. QT q0. C0. QT k. QT n. E E E. − L + n µ y + hJ + 1 σ y2 2 − KB(0, T ' ) N d 2,RSMJSI N d1,RSMJSI S0 e k ,n k ,n . (. ). (. . ) . − L + n µ y + hJ + 1 σ y2 − KB (0, T ' ) N d 2,RSMJSI π iγ T ,k |q0 =i S0 e 2 N d1,RSMJSI ∑∑∑ k ,n k ,n =i 1 = k n 0 2. T. ∞. (. ‧ 國. ). ). n. δ k ,n. RSMJSI d= d1,RSMJSI − δ k ,n 2, k , n k ,n. 學. ηk2 + nσ y2. ‧ y. Nat. 其中. sit. δ= k ,n. (. *. 政 治 大. δ k ,n S0 1 + − L + n µ y + hJ + σ y2 ln ' KB(0, T ) 2 2 = 2. d1,RSMJSI k ,n. 立. ). (. e − λ T λ *T n! . al. er. io. π i 為市場狀態為 i 的穩定機率， i = 1, 2 0. n. γ T ,k |q =i 為給定起始狀態 i ，到期日為 T 天、狀態 1 停留 k 天的機率 = L λ (ξ ( hJ + 1) − ξ ( hJ ) ) T. Ch. engchi. i n U. v. = λ * λ (ξ (h1 ) + 1). 透過上式可以知道當跳躍頻率為零，即 λ = 0 時，定價公式會退化至 4.2.1 節的結 果。. 27.
(34) 4.2.3 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型之選擇權定價公式. 考慮履約價格為 K 、零息債劵價格為 P 、選擇權到期時間期間為 0 到 T ，則 可以得到狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模型之歐式買權定價 公式為 T. T. T. T. EqQ0 EkQ EnQ1 EnQ2. C0. 2. T. ∞. {S e. ∞. ∑∑ ∑ ∑ π γ. =i 1. k = n1 0= n1 0. *. ( ). e − λ1 k λ1*k *. − λT +φ. 0. n1. i T , k |q0 =i. (S e. (. *. 2. ). (. N d1,MMJDMSI − KB(0, T ' ) N d 2,MMJDMSI k , n1 , n2 k , n1 , n2. ). )). n2. 政 治 大 − λ +φ. n2 !. S0 ln + KB(0, T ' ) =. 立2. 1. 2. T. MMJDMSI − δ k ,n1 ,n2 d= d1,MMJDMSI 2, k , n1 , n2 k , n1 , n2. δ k ,n ,n 1. 2. ηk2 + ( n1 + n2 ) σ y2. ‧. Nat. 其中. (. )}. y. 1. (. 學. δ k ,n ,n =. ). e − λ2 (T − k ) λ2* (T − k ). n1 !. ‧ 國. d. − λs +φ. 0. 2 δ k ,n ,n. MMJDMSI 1, k , n1 , n2. (. N d1,MMJDMSI − KB (0, T ' ) N d 2,MMJDMSI k , n1 , n2 k , n1 , n2. sit. π i 為市場狀態為 i 的穩定機率， i = 1, 2. λ1* λ1 (ξ (hBJ 1 ) + 1) = = λ2* λ2 (ξ (hBJ 2 ) + 1). er. al. n. 0. io. γ T ,k |q =i 為給定起始狀態 i ，到期日為 T 天、狀態 1 停留 k 天的機率. Ch. engchi. i n U. v. = λT λ1k (ξ (hBJ 1 + 1) − ξ (hBJ 1 ) ) + λ2 (T − k ) (ξ (hBJ 2 + 1) − ξ (hBJ 2 ) ). 透過上式可以知道當兩市場狀態的跳躍頻率相同，即 λ1 = λ2 ，定價公式會退化至 4.2.2節的結果。. 28.
(35) 第五章 實證分析. 實證資料為 1999 年 1 月 1 日至 2013 年 12 月 31 日的道瓊工業指數和 S&P 500 指數的日報酬率，與同段期間一年期美國國庫劵價格。先分別利用最大概似估計 法求得 BS 模型的參數估計值與 EM 演算法求得狀態轉換下利率與股價二維模 型、狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型、狀態轉換下利率與跳躍相關風 險之股票報酬二維模型的參數估計值，再利用概似比檢定，比較各模型對於股價 報酬率和債劵價格報酬率的相對適合性。接著，根據第四章導出的歐式買權定價. 政 治 大 樣本外定價誤差。最後，說明狀態轉換下利率與跳躍風險相關之股票報酬二維模 立 公式執行敏感度分析，並利用市場上實際選擇權資料分別進行樣本內參數估計及. 型也能夠捕捉到波動微笑曲線。. ‧. ‧ 國. 學. 5.1 實證分析. 5.1.1 模型參數估計與檢定. y. Nat. io. sit. BS 模型假定股價指數報酬率服從常態分配，平均數為 µ ，標準差為 σ ，因. n. al. er. 此可直接求得參數之最大概似估計值。狀態轉換下利率與股價二維模型、狀態轉. i n U. v. 換下利率與跳躍風險之股價二維模型、狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報. Ch. engchi. 酬二維模型，三種模型中包含的市場狀態和跳躍頻率皆為不可觀察資料，亦即為 遺失資料，在求算最大概似參數估計值與概似函數值時，若直接使用可觀察資料 及遺失資料的各種可能性而得到的不完整資料概似函數，則會使得計算過於複 雜，因此利用 EM 演算法取代之。接著，再透過概似比檢定分別檢定(1) H 0 ：股 價指數報酬率為 BS 模型 H1 ：狀態轉換下利率與股價二維模型、(2) H 0 ：狀態 轉換下利率與股價二維模型 H1 ：狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型、 (3) H 0 ：狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型 H1 ：狀態轉換下利率與跳 躍相關風險之股票報酬二維模型。. 29.
(36) 表 3 道瓊工業指數日報酬及一年期國庫劵價格日報酬在四種模型中之參數估計與檢定結果. 模型 p11. BS. RSMSI. RSMJSI. MMJDMSI. 0.9431. (0.0044). 0.9716. (0.0033). 0.9724. (0.0034). 0.8647. (0.0103). 0.9495. (0.1057). 0.9493. (0.0065). 0.0005. (0.0004). 0.0006. (0.0002). 0.0006. (0.0002). -0.0007. (0.0041). -0.0005. (0.0010). -0.0007. (0.0005). 0.0079. (0.0001). 0.0065. (0.0003). 0.0065. (0.0001). 0.0184. (0.0004). 0.0127. (0.0015). 0.0107. (0.0003). µy. -0.0011. (0.0008). -0.0003. (0.0006). σy. 0.0182. (0.0026). 0.0144. (0.0005). 0.1580. (0.0325). 0.1774. (0.0099). 0.6207. (0.0252). p22 0.0001. (0.0002). µ s ,2 σ s ,1. 0.0120. (0.0001). σ s ,2. λ1. Nat. σ b ,2. ρ1. io. ρ2. -9.6E-06. (1.5E-05). -9.9E-06. (4.7E-06). 8.3E-05. (2.0E-05). 6.7E-05. (4.7E-05). 6.9E-05. (2.1E-05). 0.0002. (5.9E-06). 0.0002. (2.8E-05). 0.0002. (2.9E-06). 0.0007. (1.5E-05). 0.0006. y. ‧ 國. σ b ,1. (5.8E-06). ‧. µb ,2. -9.0E-06. 學. µb ,1. (2.1E-04). 0.0006. (1.9E-05). -0.1263. (0.0003). -0.0905. sit. 立. λ2. 政 治 大. -0.1007. (0.0219). (0.3148). er. µ s ,1. n. (0.0135) -0.3464 a-0.2826 v(0.2862) -0.4060 (0.0578) i l 70001.0* 205.3*n 20.0* −2 log Λ Ch U engchi 1.BS 為 Black-Scholes 模型、RSMSI 為狀態轉換下利率與股價二維模型、RSMJSI 狀態轉換下利 率與跳躍風險之股價二維模型、MMJDMSI 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模 型。 2. −2 log Λ 為概似比檢定統計量之值，*表示在顯著水準為 0.05 時該模型比前一個模型更適合。 3.括弧內數值為估計參數的標準誤。. 30.
(37) 表 4 S&P500 指數日報酬及一年期國庫劵價格日報酬在四種模型中之參數估計與檢定結果. 模型 p11. BS. RSMSI. RSMJSI. MMJDMSI. 0.9393. (0.0048). 0.9587. (0.0793). 0.9618. (0.0039). 0.8579. (0.0108). 0.9158. (0.1522). 0.9220. (0.0078). 0.0006. (0.0002). 0.0006. (0.0774). 0.0007. (0.0002). -0.0010. (0.0006). -0.0008. (0.1481). -0.001. (0.0005). 0.0083. (0.0001). 0.0076. (0.0152). 0.0077. (0.0001). 0.0197. (0.0004). 0.0143. (0.0304). 0.0111. (0.0003). µy. -0.0014. (0.3612). 0.0006. (0.0006). σy. 0.0243. (0.0496). 0.0172. (0.0005). 0.0908. (0.1919). 0.0843. (0.0058). 0.6617. (0.0244). µ s ,1. 0.0001. (0.0002). µ s ,2 σ s ,1. 0.0129. (0.0002). σ s ,2. λ1. Nat. σ b ,2. ρ1. io. ρ2. -8.60E-06. (1.2E-03). -9.20E-06. (4.2E-06). 8.2E-05. (2.2E-05). 7.20E-05. (4.1E-03). 7.30E-05. (1.9E-05). 0.0002. (2.8E-06). 0.0002. (4.1E-04). 0.0002. (3.1E-06). 0.0007. (1.4E-05). 0.0007. y. σ b ,1. (4.3E-06). (1.4E-03). 0.0007. (1.3E-05). -0.1123. (0.0215). -0.0955. (0.0778). -0.0995. (0.0185). a-0.2855 l C 69471.2* h. ‧. ‧ 國. µb ,2. -9.2E-06. 學. µb ,1. sit. 立. λ2. 政 治 大. er. p22. n. v i 201.5* 13.4* n −2 log Λ U engchi 1.BS 為 Black-Scholes 模型、RSMSI 為狀態轉換下利率與股價二維模型、RSMJSI 狀態轉換下利 (0.0276). -0.3437. (0.6516). -0.4489. (0.0321). 率與跳躍風險之股價二維模型、MMJDMSI 狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模 型。 2. −2 log Λ 為概似比檢定統計量之值，*表示在顯著水準為 0.05 時該模型比前一個模型適合。 3.括弧內數值為估計參數的標準誤。. 接著，說明表 3 中的估計結果。假定報酬率模型為 BS 模型，則對應之常態 分配平均數的最大概似估計值為 0.0001 ，標準差則為 0.0120 。假定報酬率模型 為狀態轉換下利率與股價二維模型且市場有兩種狀態，則以 EM 演算法估計參 數，結果顯示狀態轉移機率矩陣中 pˆ11 = 0.9431 和 pˆ 22 = 0.8647 ，表示兩種狀態間 的轉換並不會頻繁發生，也就是說市場在會維持在同狀態一段時間。此模型中的 31.
(38) 布朗運動項之參數是與市場狀態有關，由 EM 演算法可估計出在狀態 1 之下，股 價布朗運動項的平均數及標準差分別為 0.0005 及 0.0079，零息債劵價格布朗運 動項平均數及標準差分別為-9.0E-03 及 0.0002，布朗運動項相關係數-0.1263，而 在狀態 2 之下股價布朗運動項平均數及標準差分別為-0.0007 及 0.0184，零息債 劵價格布朗運動項平均數及標準差分別為 8.3E-05 及 0.0007，布朗運動項相關係 數-0.2826。上述的估計結果顯示狀態 1 為股價為高(正)報酬、零息債低(負)報酬 及低波動，狀態 2 則為股價為低(負)報酬、零息債高(正)報酬及高波動。. 假定報酬率模型為狀態轉換下利率與跳躍風險之股價二維模型且市場有兩 種狀態，則以 EM 演算法估計參數，結果顯示狀態轉移機率矩陣中 pˆ11 = 0.9716 和. 政 治 大. pˆ 22 = 0.9495 ，表示兩種狀態間的轉換並不會頻繁發生，也就是說市場在會維持. 立. 在同狀態一段時間。此模型中的布朗運動項之參數是與市場狀態有關，由 EM 演. ‧ 國. 學. 算法可估計出在狀態 1 之下股價布朗運動項的平均數及標準差分別為 0.0006 及 0.0065，零息債劵價格布朗運動項的平均數及標準差分別為-9.6E-06 及 0.0002，. ‧. 布朗運動項相關係數-0.0905，而在狀態 2 之下，股價布朗運動項的平均數及標準 差分別為-0.0005 及 0.0127，零息債劵價格布朗運動項的平均數及標準差分別為. y. Nat. sit. 6.7E-05 及 0.0006，布朗運動項相關係數-0.3464。上述的估計結果顯示狀態 1 為. n. al. er. io. 股價為高(正)報酬、零息債低(負)報酬及低波動，狀態 2 則為股價為低(負)報酬、. i n U. v. 零息債高(正)報酬及高波動。此模型的波動度是布朗運動項與跳躍項共同解釋，. Ch. engchi. 因此布朗運動項之標準差有變小的趨勢。再由 EM 演算法可估計出跳躍項參數， 跳躍幅度項的平均數及標準差分別為-0.0011 及 0.0182，結果顯示跳躍發生時報 酬率的平均數為負成長及波動度較大。跳躍頻率的參數估計結果為每日平均跳躍 0.1580 次。. 最後，假定報酬率模型為狀態轉換下利率與跳躍相關風險之股票報酬二維模. 型且市場有兩種狀態，則以 EM 演算法估計參數，結果顯示狀態轉移機率矩陣中. pˆ11 = 0.9724 和 pˆ 22 = 0.9493 ，表示兩種狀態間的轉換並不會頻繁發生，也就是說 市場在會維持在同狀態一段時間。此模型中的布朗運動項及跳躍項的跳躍頻率之 參數與市場狀態相關，因此市場狀態可用布朗運動項的波動大小或跳躍頻率多寡 來區分，由 EM 演算法可估計出在狀態 1 之下股價布朗運動項的平均數及標準差 32.
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(1988a).”Does futures Trading increase stock market volatility?” Financial Analysts Journal, 63-69. “Futures Trading and Cash Market Volatility：Stock Index and Interest
香港教育大學 兒童與家庭科學中心 聯席總監
港大學中文系哲學碩士、博士，現 任香港中文大學人間佛教研究中心
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譚祥安博士 劉仲嚴博士
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