本研究目的旨在開發測量面積概念發展之次序型選擇題，並討論國小四年級 與六年級學童對面積概念發展之了解程度。因此，本研究使用自編面積概念發展 測驗，來評量受詴者面積概念的發展情形。由於面積是幾何量，其概念發展與幾 何的發展環環相扣，因此，本研究先針對幾何概念發展進行分析及探討學生在面 積概念的發展，然後再針對先前研究中如何診斷面積概念及對應的詴題分析方法 進行說明。基於此本章共分五節加以探討，第一節為幾何概念發展的內涵；第二 節為面積概念發展的內涵；第三節為國內面積概念相關研究；第四節為次序型選 擇題的理論基礎與分析方法；第五節為有序分區模型。
第一節 幾何概念發展的內涵
本節主要敘述幾何概念的相關發展，主要探討兒童幾何概念的發展。首先將 介紹幾何的定義，其次是 Piaget, Inhelder, & Szeminska(1960)的理論。
壹、幾何的定義
Geometry(幾何學)一詞的拉丁文是geometein，geo是土地的意思，metrein則是 測量的意思，所以它的原意就是土地測量，研究物體形狀、大小、位置以及它們 相互關係的學科，包括點、直線、圓、曲線、平面與立體等，以前也稱之為「形 學」(維基百科，2013)。
幾何學又分成平面幾何、立體幾何、非歐幾何、羅氏幾何、黎曼幾何、解析 幾何、仿射幾何、代數幾何、微分幾何、計算幾何、拓撲學，本研究所使用的幾 何便是平面幾何(歐幾里得幾何)。
數學上，歐幾里得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，基於點線面假設。
歐幾里得幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的「真命
題」。歐幾里得平面幾何的五條公理(公設)是：(維基百科，2013) 一、任意兩個點可以通過一條直線連接。
二、任意線段能無限延伸成一條直線。
三、給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
四、所有直角都全等。
五、若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直 角，則這兩條直線在這一邊必定相交。
第五條公理稱為平行公理（平行公設），可以導出下述命題：通過一個不在 直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線（維基百科，2013）。
而國小數學的面積單元中，包含點、直線與曲線、平面圖形等等，故在探討 面積概念前，必頇先探討幾何發展概念。
貳、Piaget
,Inhelder
,& Szeminska (1960)的理論
Piaget 認知發展理論可以分成四個階段，依序分別是感覺動作期、前運思期、
具體運思期，以及形式運思期。而 Piaget 認為兒童空間概念則大致分成兩階段，
一是拓樸空間，二是投影空間及歐氏幾何空間。以下將分別對認知發展理論及兒 童空間概念簡單說明：
一、 Piaget 認知發展理論
(一) 感覺動作期(sensorimotor，0-2 歲)
大約發生在嬰幼兒 0-2 歲這個階段，也就是幼兒階段，這階段的嬰幼兒，主 要應用動作行動或者是本身的感覺來處理問題，因為嬰幼兒的動作大致都是非常 有限的，而且都是與生俱來的，像是抓東西、觀看、摸索、模仿等動作。在第一 年中，感覺運動會得到改善、組合、協調和整合，隨著自己的動作行為受到外界 的影響，他們的動作行為變得更豐富。嬰幼兒經過了一個過程，從出生時與生俱
來的反射動作，到這個階段結束的時候，嬰幼兒才會開始出現符號思維。
(二)前運思期(preoperational，2-7 歲)
在這階段的兒童大約發生在 2-7 歲，在這階段的兒童已經可以開始使用語言、
數字等符號，但這階段的兒童他還不具備保留概念，也不具可逆性，而是以自己 為中心，但這階段的兒童他已經有思考的行為，只是可能不符合邏輯，也就是可 以開始思考，但無法作有邏輯的思考或推理。舉例來說，兒童具有記憶功能，可 以直接推理、集中注意，但缺法可逆性及遞移的概念。
(三)具體運思期(concrete operational，7-11 歲)
在這階段的兒童能根據具體經驗思維來解決問題，且可以使用具體物的操作 來協助思考，能理解可逆性與孚恆的道理，但也僅限於真正的、可觀察、可看見 的物體、事件有關之問題，卻無法解決假設的語言或抽象的問題，一般國小兒童 屬於此階段。這階段的重要發展如下：
1. 克服「以自我為主」的中心 2. 具有因果關係
3. 具備可逆 4. 具有孚恆觀念 5. 具備連續性 6. 可以開始分類
(四)形式運思期(formal operational，11-16 歲)
此階段的青年開始會推理，且已有邏輯思維和抽象思維。已經會利用科學方 法來解決問題。也就是說可以從假設的前提下發展並經過演繹的過程，來獲得結 論：
1. 發展順序不變，但具有個別差異 2. 具有普遍性
3. 依賴認知發展
4. 可普遍化為其它功能
5. 各發展階段都是在邏輯上有組織的整體 6. 各階段的順序是自然的階層
7. 每個階段，在思考模式上會表現出質的不同，而不僅僅是量的差異 二、 Piaget 之兒童空間概念
Piaget & Inhelder（1967）的研究中指出，兒童空間概念的發展可以分 成三個階段（引自王文科，1991；盧銘法，1996；張炳煌，2003）：
(一)拓樸學概念階段（三歲六個月~ 四歲）
兒童從空間的接近、閉合與圍繞，去辨認物體所在的位置。這個階段相當於 認知發展階段中的前運思期，此階段的兒童指可以能掌握拓樸學的概念或結構。
例如：要求兒童畫正方形、圓形、三角形，兒童可能將角畫成圓形，但都具封閉 特性。
(二)投影幾何階段（約四歲~ 七、八歲）
兒童大約在七歲時開始發展。投影空間是沿著從一個指示物到另一個所延伸 而出的投射線條將物體順序編碼。這個階段相當於認知發展階段中的前運思期與 具體運思期之間，而且這個階段的兒童可以建構一種投射的空間，自己本身所觀 看到的比其他條件佔優勢地位，凡事經過視覺看到或承認的事物，他們才認為是 真實存在，而其他不在視覺之內的事物，這個階段的兒童會認為不存在。
(三)歐幾里得幾何階段（約五歲~ ）
兒童大約在五歲後才開始發展。歐氏幾何空間則是參照垂直、水平線條及量 尺將物體編碼 (Piaget & lnhelder, 1967) 。這個階段的兒童對於圖形的認知必頇擺 脫視覺的迷惑，要有不論圖形如何移動，其形狀大小都不變的認知。簡單來說，
想像非常豐富，且投影幾何的觀念非常正確。歐幾里得幾何學涉及測量的部分，
必頇以下列保留概念為基礎：
1. 認知線段長度的不變性
2. 認知角度大小的不變性 3. 認知面之大小的不變性
依上述三者敘述，兒童空間概念順序為拓樸學概念階段、投影幾何階段、歐 幾里得幾何階段，而投影幾何階段、歐幾里得幾何階段則會有同時出現的可能(陳 薇羽，2005)。
本研究主要是以 Piaget 認知發展理論及 Piaget 之兒童空間概念為基礎，並蒐 集相關文獻來編製國小四至六年級面積概念發展之 OMC 詴題。
第二節 面積概念發展的內涵
本節主要敘述面積概念的相關發展，作者從面積的定義、面積保留概念、面 積測量概念的順序來探討。
壹、面積的定義
面積是「一個用作表示一個曲面或平面圖形所佔範圍的量」(維基百科，2013）。 面積是「一條固定長度的線段或曲線，所掃出來的封閉區域，它可以對應到一個 連續量，這個量就是面積」(陳鉪逸，1998)。由上述定義推論得知，面積就是一 個封閉的平面圖形。所以本研究定義，一個圖形的面積就是一個封閉的平面圖形，
它的封閉區域就是這一個圖形的面積。
貳、面積保留概念
面積保留概念，是指物體在面對置換（transformation）的過程中，如果有遇 到方向的轉動、形狀的切割變形或者是位置的移動等等活動，依然可以讓物體保 持原有的特質且保留不變的認知能力。舉例來說：將一正方形切成兩個一樣大小 的三角形，並將其重新排列變成一個等腰直角三角形，則正方形和等腰直角三角 形它的面積並不會改變。換言之，保留概念是指物體的大小不因方向、位置的改
變而改變(譚寧君，1998)。
保留概念的發展是來自於感覺動作期的物體恆常性(object permanence)概念 上，大約在孩童七歲左右的具體運思期開始表現出來，面積的保留概念與面積的 測量概念是並行發展的，其中保留概念與測量概念皆必頇以長度保留概念為基礎，
暫且不去計較性別和地區，保留概念和測量概念都會隨著年齡的增長而有所發展，
面積保留概念與面積測量概念ㄧ般兒童到11歲大致已具備(蔡春美，1982)。而面 積的保留概念又可包含下面兩個階段：
一、基本面積保留概念
基本面積保留概念是指任何封閉的平面圖形，它的大小，不論你在怎樣切割 轉換移動等等，它不會因為形狀改變了，而面積就有所改變，它的面積還是一樣，
還是轉換前的大小，只是形狀不同罷了。不論我們如何移動、轉動或切割重組等 等，它的面積大小都是一樣的。舉例來說，一個長方形可以切割成兩的一樣大小 的三角形，而將這兩個三角形的經過移動及轉動使它變成一個新的圖形(等腰三 角形)，雖然長方形和等腰三角形的形狀不一樣，但它的面積卻還是一樣的，其 面積保留概念如圖 2-2-1：
圖 2-2-1 面積保留概念圖
Piaget et al. (1960)牛吃草的實驗中。此實驗 Piagetet 的目的在觀察兒童從何時 會放棄「等量減等量，結果相等」的概念，而以視覺所看到的為主，其牛吃草圖 如圖 2-2-2，(圖裡的灰色代表草)：
圖 2-2-2 牛吃草圖
研究結果可以發現:五歲以下的孩童，他還不具備保留概念:而五歲半到七歲 的孩童，他剛開始可能會認為這兩個面積是相等的，但等到數量有所增加之後，
也就會受視覺誘惑，認為緊密排列較分散開的來的較大;而七歲半以上的孩童才漸 漸具備面積保留概念(陳薇羽，2005)。
二、面積互補保留概念
面積互補保留概念也就是就是在兩個一樣大小面積且形狀相同的平面上，減
面積互補保留概念也就是就是在兩個一樣大小面積且形狀相同的平面上，減