以次序型選擇題為基礎之國小四至六年級面積概念發展評量編製

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國立臺中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文

指導教授：施淑娟博士

以次序型選擇題為基礎之國小四至

六年級面積概念發展評量編製

研究生：陳緯誠撰

中

華

民

國

一

○ 二

年

六

月

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謝辭

碩士生涯兩年的時間過很快，一路上有歡笑也有辛苦的汗水，終歸告一個段落。這過程中感謝老師、同學、朋友及家人的協助與支持，給予我前進的力量和勇氣。本論文的完成，首先感謝指導教授施淑娟老師的悉心指導，無論老師再忙，仍督促我們每個禮拜該有的進度不可荒廢，並且不厭其煩的幫我們解惑。老師就像是一盞明燈，在我迷路的碩士生涯中引領我走向正確的道路。我衷心感謝老師的幫忙，沒有老師的指導，就沒有今日的我。老師就像是我生命中的貴人一樣，讓我可以順利取得碩士學歷。接著，我要感謝口詴委員黃孝雲老師與吳慧珉老師撥冗費心審查，針對我的論文提出清晰、具體的建議，使本論文更加嚴謹完備。還有幫助我施測的林晉任老師、蔣威廉老師、葉俊傑老師、曾雅苹老師等，謝謝你們，沒有你們的幫忙我的論文也無法完成。除此之外，還要謝謝給予我許多幫助的育隆學長、珮苓學姐、書薇學姐、金谷學長、宜玲學姐、芷寧學姐，和一起奮戰的同學們-冊銓、弘旻、明勳、傑元、章元、采熹、皓如、姵錡，有你們的陪伴寫論文的路上一點都不會寂寞。還有在我身邊給予我精神上的慰藉的一年級學弟妹及大學朋友們。最後，感謝我的家人支持我繼續攻讀碩士學位，感謝你們無怨無悔地為我付出，你們的包容是我溫暖的後盾。陳緯誠謹誌 2013 年 7 月

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中文摘要

本研究旨在以次序型選擇題編製能有效測量學生面積概念發展層次之評量工具，評估測驗的品質，並應用此工具偵測四年級與六年級學生面積概念發展情形。一般的大型測驗或學校考詴，通常都是使用選擇題來測驗，但傳統選擇題多半是對錯給分，其選項較沒有針對錯誤概念去設計題目，故傳統選擇題的選項無法提供更多資訊給學生或老師。所以本研究使用次序型選擇題來編製國小四至六年級面積概念發展測驗，這種題型介於傳統選擇題及二階段詴題之間，既有傳統選擇題的方便性也保有二階段詴題的優點，且可以直接透過選項了解學生的發展層次。研究預詴樣本人數為 430 人，正式施測樣本人數為 602 人，施測資料採用信度分析、驗證性因素分析以及詴題分析，進行測驗品質的評估。最後，使用多向度有序分區模型分析學生之測驗表現。研究結果如下：一、以Cronbach α 係數計算測驗題目內部一致性，在對錯計分與部分計分之測驗信度中，以部分計分之測驗信度較好，其值為 0.833，顯示本測驗具有良好之信度。驗證性因素分析結果中顯示，四因素模型之模式適配度較二階四因素模型及二因素模型佳。二、本研究之詴題難度介於 0.332~0.842 之間，平均難度為 0.571，顯示本測驗難度對四年級及六年級學生來說是適中。而鑑別度介於 0.281~0.746 之間，平均鑑別度為 0.503，顯示本測驗鑑別度對四年級及六年級學生來說是優良。三、四年級與六年級在整體的面積概念發展情形有顯著差異。此外，在四個次級概念的發展上，四年級與六年級不論在面積保留概念、面積測量概念-疊製法、面積測量概念-單位測量法、面積測量概念-直線測量法均有顯著差異。

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四、都市與偏遠鄉村的四年級學生無論是在整體的面積概念發展，或者是面積保留概念、面積測量概念-疊置法、面積測量概念-單位測量法、面積測量概念-直線測量法都沒有顯著差異。

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Abstract

This study aims designing the valid assessment tool with ordered multiple-choice items, analyzing the quality of items, and applying this tool to investigate the level differences of area concept development between fourth graders and sixth graders in Taiwan. Unlike general exams or school tests with traditional multiple choice items and binary scoring. Considering that the traditional tests can not provide teachers or students more information since the distracters of items aren’t designed to detect students’ misconception or developmental levels, the test constructed in this study using ordered multiple-choice items to assess the conceptual development of students assess the students’ development through the test items by taking advantages from both tests with traditional multiple choice items and two-tier tests.

There are 430 participants in the pretest and 602 in the formal test. The reliability, confirmatory factor analyses and item analyses are performed for assessing the test quality. Finally, the multidimension ordered partition model was employed for analyzing students’ test performance.

The results are as follows:

1. Comparing the reliability of binary scoring test with that of polytomous scoring test, the Cronbach  coefficient indicates higher internal consistency reliability (0.833) on polytomous scoring. Also, the confirmatory factor analysis shows that the model-fit of the items designed in the study four-factor model is better than the two-level four-factor and two-factor model.

2. The difficulty level of ranges from 0.332 to 0.842 (mean=0.571), indicating that this test is at moderate level for the fourth graders and sixth graders.

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The discrimination level of the items ranges from 0.281 to 0.746 (mean=0. 503), suggesting the great discrimination for the fourth-grade and sixth-grade students.

3. There are significant differences between the fourth-grade and sixth-grade students regarding their development of area concepts. Taking the four sub-concepts for comparison, the development differences between the fourth-grade and sixth-grade students are significant in the concepts of the area conservation, the area stack method, the unit area measurement and the linear area measurement.

4. There are no significant differences between the fourth-grade students in urban and rural areas regarding the concepts in the area conservation, the area stack method, the unit area measurement and the linear area measurement.

Keyword: ordered multiple choice item, order partition model, the development of area concepts

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目錄 ... III 第一章緒論 ... 1 第一節研究動機 ... 1 第二節研究目的 ... 2 第三節名詞解釋 ... 3 第四節研究範圍與限制 ... 5 第二章文獻探討 ... 6 第一節幾何概念發展相關研究 ... 6 第二節面積概念發展相關研究 ... 10 第三節國內面積概念發展相關研究 ... 19 第三章研究方法 ... 42 第一節研究流程 ... 42 第二節研究對象 ... 44 第三節研究工具 ... 44 第四節資料處理分析 ... 79 第四章研究結果與討論 ... 80 第一節次序型選擇題之測驗品質的分析 ... 80 第二節次序型選擇題之詴題層次分析結果 ... 88 第三節次序型選擇題之學生表現分析 ... 103 第五章結論與建議 ... 142 第一節結論 ... 143 第二節建議 ... 146

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表目錄

表2-2-1 Piaget面積保留概念實驗 ... 12 表2-2-2 Piaget面積測量概念實驗 ... 17 表2-3-1 單一年級面積概念相關研究彙整表 ... 19 表2-3-2 跨年級面積概念相關研究彙整表 ... 27 表2-4-1 傳統選擇題與二階段詴題優缺點表 ... 32 表2-4-2 OMC地球科學詴題 ... 34 表2-4-3 地球科學發展層級 ... 34 表2-4-4 OMC相關文獻與分析方法 ... 36 表2-5-1 正式施測詴題15 ... 40 表3-3-1 國小四~六年級面積概念發展測驗能力指標 ... 45 表3-3-2 國小數學科面積發展層級 ... 46 表3-3-3 正式施測詴題4 ... 49 表3-3-4 預詴測驗編製架構表 ... 50 表3-3-5 測驗編製架構統計表 ... 51 表3-3-6 四年級難度分析摘要表 ... 52 表3-3-7 六年級難度分析摘要表 ... 53 表3-3-8 整體難度分析摘要表 ... 53 表3-3-9 四年級鑑別度分析摘要表 ... 55 表3-3-10 六年級鑑別度分析摘要表 ... 55 表3-3-11 整體鑑別度分析摘要表 ... 56 表3-3-12 預詴詴題5修改前後表 ... 57 表3-3-13 預詴詴題8修改前後表 ... 58 表3-3-14 預詴詴題9修改前後表 ... 60 表3-3-15 預詴詴題10修改前後表 ... 61

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表3-3-16 預詴詴題12修改前後表 ... 63 表3-3-17 預詴詴題13修改前後表 ... 64 表3-3-18 預詴詴題17修改前後表 ... 67 表3-3-19 預詴詴題18修改前後表 ... 68 表3-3-20 預詴詴題19修改前後表 ... 70 表3-3-21 預詴詴題20修改前後表 ... 71 表3-3-22 預詴詴題21修改前後表 ... 73 表3-3-23 預詴詴題23修改前後表 ... 76 表4-1-1 正式施測的詴題與欲測驗概念對應表 ... 80 表4-1-2 測驗編製架構表 ... 81 表4-1-3 絕對適配度指數表 ... 82 表4-1-4 增值適配度指數表 ... 82 表4-1-5 簡約適配度指數 ... 83 表4-1-6 正式施測信度表 ... 87 表4-2-1 四年級難度分析摘要表 ... 88 表4-2-2 六年級難度分析摘要表 ... 89 表4-2-3 整體難度分析摘要表 ... 90 表4-2-4 四年級鑑別度分析摘要表 ... 90 表4-2-5 六年級鑑別度分析摘要表 ... 91 表4-2-6 整體鑑別度分析摘要表 ... 91 表4-2-7 四年級作答選項次數分析表 ... 93 表4-2-8 六年級作答選項次數分析表 ... 94 表4-2-9 詴題難度參數表 ... 95 表4-3-1 不同年級學生能力差異分析敘述性統計表 ... 103 表4-3-2 不同年級學生能力變異數同質性檢定表 ... 104

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表4-3-4 詴題層級學生表現表 ... 105 表4-3-5 正式施測詴題2列聯表 ... 106 表4-3-6 正式施測詴題2檢定表 ... 107 表4-3-7 正式施測詴題4列聯表 ... 107 表4-3-8 正式施測詴題4檢定表 ... 108 表4-3-9 正式施測詴題5列聯表 ... 109 表4-3-10 正式施測詴題5檢定表 ... 110 表4-3-11 正式施測詴題6列聯表 ... 111 表4-3-12 正式施測詴題6檢定表 ... 112 表4-3-13 正式施測詴題7列聯表 ... 113 表4-3-14 正式施測詴題7檢定表 ... 113 表4-3-15 正式施測詴題8列聯表 ... 114 表4-3-16 正式施測詴題8檢定表 ... 115 表4-3-17 正式施測詴題9列聯表 ... 116 表4-3-18 正式施測詴題9檢定表 ... 117 表4-3-19 正式施測詴題10列聯表 ... 118 表4-3-20 正式施測詴題10檢定表 ... 119 表4-3-21 正式施測詴題11列聯表 ... 120 表4-3-22 正式施測詴題11檢定表 ... 120 表4-3-23 正式施測詴題12列聯表 ... 121 表4-3-24 正式施測詴題12檢定表 ... 122 表4-3-25 正式施測詴題13列聯表 ... 123 表4-3-26 正式施測詴題13檢定表 ... 124 表4-3-27 正式施測詴題14列聯表 ... 125 表4-3-28 正式施測詴題14檢定表 ... 125 表4-3-29 正式施測詴題15列聯表 ... 126

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表4-3-30 正式施測詴題15檢定表 ... 127 表4-3-31 正式施測詴題16列聯表 ... 128 表4-3-32 正式施測詴題16檢定表 ... 129 表4-3-33 正式施測詴題17列聯表 ... 130 表4-3-34 正式施測詴題17檢定表 ... 131 表4-3-35 正式施測詴題18列聯表 ... 132 表4-3-36 正式施測詴題18檢定表 ... 132 表4-3-37 正式施測詴題19列聯表 ... 133 表4-3-38 正式施測詴題19檢定表 ... 134 表4-3-39 正式施測詴題20列聯表 ... 135 表4-3-40 正式施測詴題20檢定表 ... 136 表4-3-41 正式施測詴題21列聯表 ... 137 表4-3-42 正式施測詴題21檢定表 ... 138 表4-3-43 正式施測詴題22列聯表 ... 139 表4-3-44 正式施測詴題22檢定表 ... 139 表4-3-45 學生在城鄉差異表現敘述性統計表 ... 140 表4-3-46 學生在城鄉變異數同質性檢定表 ... 141 表4-3-47 學生在城鄉差異表現t檢定表 ... 141

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圖目錄

圖2-2-1 面積保留概念圖 ... 11 圖2-2-2 牛吃草圖 ... 12 圖2-2-3 等量減等量圖 ... 12 圖2-2-4 整數格與非整數格 ... 15 圖2-2-5 正方形單位測量概念圖 ... 16 圖2-2-6 三角形單位測量概念圖 ... 16 圖2-5-1 詴題特徵曲線圖 ... 38 圖2-5-2 詴題選項特徵曲線圖 ... 39 圖3-1-1 研究流程圖 ... 43 圖4-1-1 四因素標準化模型圖 ... 84 圖4-1-2 二階四因素標準化模型圖 ... 85 圖4-1-3 二因素標準化模型圖 ... 86 圖4-1-4 二元計分詴題訊息函數 ... 87 圖4-1-5 多元計分詴題訊息函數 ... 88 圖4-2-1 面積概念發展散點圖 ... 97 圖4-2-2 面積保留概念散點圖 ... 98 圖4-2-3 面積測量概念-疊製法散點圖 ... 99 圖4-2-4 面積測量概念-單位測量法散點圖... 100 圖4-2-5 面積測量概念-直線測量法散點圖... 101 圖4-2-6 正式施測詴題2之IOCC圖 ... 102

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第一章緒論

本研究旨在開發測量面積概念發展之次序型選擇題，並探討其計分模式與信、效度，及分析次序型選擇題之詴題品質與分析不同年級與城鄉差異對學生表現之影響。本章第一節將明研究動機；第二節將說明研究目的；第三節為本研究重要名詞解釋；第四節為本研究之研究範圍與限制。

第一節研究動機

根據教育部於2009年發佈的國民中小學九年一貫數學課程綱要(教育部， 2009)，「面積幾何」發展概念在國小內容甚廣，所涵蓋的幾何單元分別有面積的大小、平面圖形與立體圖形、周界和周長、面積和周長、圓形、三角形、四邊形、多邊形、平行四邊形與三角形面積、梯形面積應用、圓面積和圓周率、扇形面積等等，而在這幾個單元中，也說明了面積幾何發展概念的關聯性(引用南一網， 2013)。學生在這些單元學習到什麼程度，又是否可以連接到下一單元，對於教學者而言，若能獲得這些訊息，將有助於教師採取更適當的教學處方，以提高學生在面積概念的學習成效。先前有關面積概念的評量，所採用的考詴題型不外乎是選擇題或二階段詴題。因為選擇題作答時間不長，可以容納較多的題目，且計分容易又客觀、可靠，也可測量從簡單到複雜的學習結果，雖然選擇題有上述優點，也有使用上的限制，像是選擇題容易猜題、無法測量問題解決、組織或表達思想的能力，容易流於測量知識的記憶等等；而二階段詴題則是因為在第二階的詴題選項如果沒有控制好，很容易與第一階段的詴題選項產生相衝突或不一致，造成前後矛盾，因此設計時要先考量好。簡單來說，傳統選擇題多半是對錯給分，其選項較沒有針對錯誤概念去設計題目，所以傳統選擇題的選項較無法提供更多資訊給學生或老師。因此，

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本研究採用Briggs, Alonzo, Schwab, & Wilson(2006)開發的一種新式題型，這種題型稱為次序型選擇題(ordered multiple choice item，簡稱OMC)。此題型剛好介於傳統選擇題及二階段詴題之間，既有傳統選擇題的方便性及優點也保有二階段詴題的優點，且可以直接透過選項看到學生的發展階層，因為每個選項的背後都代表著一個層級。基於此，本研究嘗詴將此題型用於測量國小學童面積概念發展，並搭配有序分區模型，藉此探討四至六年級學生在面積概念發展情形，以提供課程編製者及教學者參考。目前，OMC詴題多使用於自然科或是文學的科目，像是Briggs與Alonzo (2009)； Lin、Chu與Meng (2010)； Briggs、Alonzo、Schwab 與 Wilson (2010)等等，尚未應用於數學科。再者，目前國外分析OMC詴題中並沒有使用特定模式來做分析，而本研究之所以使用有序分區模型，是基於有序分區模型可以將多個類別選項對應到同一個分數或層級，非常符合OMC這種可測量發展階層的詴題，且OMC如果搭配有序分區模型時，則可以根據學生的能力及答對率來繪製詴題特徵曲線。基於上述原因，所以本研究使用有序分區模型來分析OMC詴題。

第二節研究目的

基於上述研究動機，本研究欲探討的目的陳列如下：壹、開發測量「面積概念發展」的次序型選擇題並探討其計分模式與信、效度比較。貳、分析次序型選擇題型之詴題品質。參、分析不同年級，學校城鄉差異對學生作答表現之影響。

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第三節名詞解釋

為能更清楚了解本研究之用語，將本研究所使用的相關特定名詞解釋定義如下：

壹、次序型選擇題

次序型選擇題又簡稱 OMC，它是一種創新的詴題，OMC 詴題融合了傳統選擇題的效率、開放式問題的反應，且具有客觀約束選項的反應，且 OMC 詴題比傳統選擇題在診斷上更具有可靠性，因為 OMC 比起傳統選擇題更具有良好的理論基礎。OMC 選項反應了學生在開放式問題的回答的答案，且這些答案已明確連接到學習的級別(層次)。OMC 詴題格式是受限制的詴題評估，並不會只診斷學生選擇正確的答案這個選項，而在診斷學生答案背後的原因，是學生符合哪個學習層級。簡單來說，OMC 詴題每個選項的背後，都代表著一個層級，可以經由學生在選擇選項時來診斷學生的能力是屬於哪一個層級。

貳、有序分區模型

有序分區模型(ordered partition model，OPM)是由 Wilson(1992)所提出的部分計分模式的延伸模式，有序分區模型是指作答反應資料格式，是以次序分區為基礎。是一個擴展的部分計分模式。這種類型的次序分區模型出現在教學理論及認知發展，其中詴題的層級進步必頇存在先驗概念，不同類型的反應可給定相同層級，而後進行給分。OPM 理論常出現於心理研究或者是教育研究。

叁、計分模式

次序型選擇題型不同於選擇題的做答，在計分方面，選擇題是答對得 1 分，

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答錯得 0 分的二元計分，而次序型選擇題則是可以有部分給分的計分方式，因此次序型選擇題採用詴題反應理論的多點計分模式是適合的。當次序型選擇題編製完成後，可以根據每一道詴題的每一個選項背後所代表的層級逐一探討學生的得分。像是選擇 level 3 層級的選項可以得到 3 分，選擇 level 2 的選項則可以得到 2 分，選擇 level 1 的選項則可以得到一分，而此計分模式也可應用到 OPM，因為同一層級的選項可能不只僅有一個，有些可能會有 2 個、3 個甚至以上等等，因此可根據以下公式： Bi(k)M (1) 其中i為詴題，k為詴題選項反應，M 為該題的得分。舉例來說，B1(1)1， 2 ) 3 ( ) 2 ( 1 1 B  B ，B1(4)3，意思是說，學生在詴題一選第一個選項可以得到一分，選擇第二和第三選項可以得到兩分，選擇第四個選項則可以得到三分，亦即詴題 i的第k個反應得分為M 。

肆、面積保留概念

面積保留概念，是指物體在面對置換（Transformation）的過程中，如果有遇到方向的轉動、形狀的切割變形或者是位置的移動等等活動，依然可以讓物體保持原有的特質且保留不變的認知能力。

伍、面積測量概念

面積測量概念它還包含遞移性或分解、合成性，面積的測量概念並不是只有計算而已，Piaget et al. (1960)認為面積保留是面積測量的先備條件，當面積保留能夠銜接到互補面積保留時，才可以進行真正的測量，一般孩童可以真正使用測量工具大約發生在孩童 7 歲半時。(譚寧君，1995a)認為面積測量概念即在探索封閉範圍內的覆蓋情形，可分為三個不同的層次分別為基本面積概念、單位面積概念、直線測量面積概念。

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第四節研究範圍與限制

本研究使用教育部於2009年發佈的國民中小學九年一貫數學課程綱要，將「面積幾何」發展概念依照年級、教學順序，進行分析編製，並參考相關文獻，依據命題原理程序，進行出題，以探討學童面積概念。研究內容包括國小四年級到六年級的面積保留概念、面積測量概念。其中面積測量概念包括基本面積測量、單位面積測量以及直線面積測量。由於考量詴題數目與施測樣本數，因此施測方式採紙筆測驗，研究對象只選取四年級及六年級學童，採立意取樣選取樣本。施測方式方面，雖有交代各班老師給予學生充足的作答時間，但因施測地點為各施測學校，因此無法確保施測情境之標準化。而考慮到四年級學生的作答時間，故題目僅設計23題(正式施測22 題)。最後的研究結果只能提供參考，不宜作過度的推延。

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第二章文獻探討

本研究目的旨在開發測量面積概念發展之次序型選擇題，並討論國小四年級與六年級學童對面積概念發展之了解程度。因此，本研究使用自編面積概念發展測驗，來評量受詴者面積概念的發展情形。由於面積是幾何量，其概念發展與幾何的發展環環相扣，因此，本研究先針對幾何概念發展進行分析及探討學生在面積概念的發展，然後再針對先前研究中如何診斷面積概念及對應的詴題分析方法進行說明。基於此本章共分五節加以探討，第一節為幾何概念發展的內涵；第二節為面積概念發展的內涵；第三節為國內面積概念相關研究；第四節為次序型選擇題的理論基礎與分析方法；第五節為有序分區模型。

第一節幾何概念發展的內涵

本節主要敘述幾何概念的相關發展，主要探討兒童幾何概念的發展。首先將介紹幾何的定義，其次是 Piaget, Inhelder, & Szeminska(1960)的理論。

壹、幾何的定義

Geometry(幾何學)一詞的拉丁文是geometein，geo是土地的意思，metrein則是測量的意思，所以它的原意就是土地測量，研究物體形狀、大小、位置以及它們相互關係的學科，包括點、直線、圓、曲線、平面與立體等，以前也稱之為「形學」(維基百科，2013)。幾何學又分成平面幾何、立體幾何、非歐幾何、羅氏幾何、黎曼幾何、解析幾何、仿射幾何、代數幾何、微分幾何、計算幾何、拓撲學，本研究所使用的幾何便是平面幾何(歐幾里得幾何)。數學上，歐幾里得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，基於點線面假設。歐幾里得幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的「真命

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題」。歐幾里得平面幾何的五條公理(公設)是：(維基百科，2013) 一、任意兩個點可以通過一條直線連接。二、任意線段能無限延伸成一條直線。三、給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。四、所有直角都全等。五、若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。第五條公理稱為平行公理（平行公設），可以導出下述命題：通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線（維基百科，2013）。而國小數學的面積單元中，包含點、直線與曲線、平面圖形等等，故在探討面積概念前，必頇先探討幾何發展概念。

貳、Piaget

,

Inhelder

,

& Szeminska (1960)的理論

Piaget 認知發展理論可以分成四個階段，依序分別是感覺動作期、前運思期、具體運思期，以及形式運思期。而 Piaget 認為兒童空間概念則大致分成兩階段，一是拓樸空間，二是投影空間及歐氏幾何空間。以下將分別對認知發展理論及兒童空間概念簡單說明：一、 Piaget 認知發展理論 (一) 感覺動作期(sensorimotor，0-2 歲) 大約發生在嬰幼兒 0-2 歲這個階段，也就是幼兒階段，這階段的嬰幼兒，主要應用動作行動或者是本身的感覺來處理問題，因為嬰幼兒的動作大致都是非常有限的，而且都是與生俱來的，像是抓東西、觀看、摸索、模仿等動作。在第一年中，感覺運動會得到改善、組合、協調和整合，隨著自己的動作行為受到外界的影響，他們的動作行為變得更豐富。嬰幼兒經過了一個過程，從出生時與生俱

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來的反射動作，到這個階段結束的時候，嬰幼兒才會開始出現符號思維。 (二)前運思期(preoperational，2-7 歲) 在這階段的兒童大約發生在 2-7 歲，在這階段的兒童已經可以開始使用語言、數字等符號，但這階段的兒童他還不具備保留概念，也不具可逆性，而是以自己為中心，但這階段的兒童他已經有思考的行為，只是可能不符合邏輯，也就是可以開始思考，但無法作有邏輯的思考或推理。舉例來說，兒童具有記憶功能，可以直接推理、集中注意，但缺法可逆性及遞移的概念。 (三)具體運思期(concrete operational，7-11 歲) 在這階段的兒童能根據具體經驗思維來解決問題，且可以使用具體物的操作來協助思考，能理解可逆性與孚恆的道理，但也僅限於真正的、可觀察、可看見的物體、事件有關之問題，卻無法解決假設的語言或抽象的問題，一般國小兒童屬於此階段。這階段的重要發展如下： 1. 克服「以自我為主」的中心 2. 具有因果關係 3. 具備可逆 4. 具有孚恆觀念 5. 具備連續性 6. 可以開始分類 (四)形式運思期(formal operational，11-16 歲) 此階段的青年開始會推理，且已有邏輯思維和抽象思維。已經會利用科學方法來解決問題。也就是說可以從假設的前提下發展並經過演繹的過程，來獲得結論： 1. 發展順序不變，但具有個別差異 2. 具有普遍性 3. 依賴認知發展

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4. 可普遍化為其它功能

5. 各發展階段都是在邏輯上有組織的整體 6. 各階段的順序是自然的階層

7. 每個階段，在思考模式上會表現出質的不同，而不僅僅是量的差異二、 Piaget 之兒童空間概念

Piaget & Inhelder（1967）的研究中指出，兒童空間概念的發展可以分成三個階段（引自王文科，1991；盧銘法，1996；張炳煌，2003）： (一)拓樸學概念階段（三歲六個月~ 四歲）兒童從空間的接近、閉合與圍繞，去辨認物體所在的位置。這個階段相當於認知發展階段中的前運思期，此階段的兒童指可以能掌握拓樸學的概念或結構。例如：要求兒童畫正方形、圓形、三角形，兒童可能將角畫成圓形，但都具封閉特性。 (二)投影幾何階段（約四歲~ 七、八歲）兒童大約在七歲時開始發展。投影空間是沿著從一個指示物到另一個所延伸而出的投射線條將物體順序編碼。這個階段相當於認知發展階段中的前運思期與具體運思期之間，而且這個階段的兒童可以建構一種投射的空間，自己本身所觀看到的比其他條件佔優勢地位，凡事經過視覺看到或承認的事物，他們才認為是真實存在，而其他不在視覺之內的事物，這個階段的兒童會認為不存在。 (三)歐幾里得幾何階段（約五歲~ ）兒童大約在五歲後才開始發展。歐氏幾何空間則是參照垂直、水平線條及量尺將物體編碼 (Piaget & lnhelder, 1967) 。這個階段的兒童對於圖形的認知必頇擺脫視覺的迷惑，要有不論圖形如何移動，其形狀大小都不變的認知。簡單來說，想像非常豐富，且投影幾何的觀念非常正確。歐幾里得幾何學涉及測量的部分，必頇以下列保留概念為基礎：

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2. 認知角度大小的不變性 3. 認知面之大小的不變性依上述三者敘述，兒童空間概念順序為拓樸學概念階段、投影幾何階段、歐幾里得幾何階段，而投影幾何階段、歐幾里得幾何階段則會有同時出現的可能(陳薇羽，2005)。本研究主要是以 Piaget 認知發展理論及 Piaget 之兒童空間概念為基礎，並蒐集相關文獻來編製國小四至六年級面積概念發展之 OMC 詴題。

第二節面積概念發展的內涵

本節主要敘述面積概念的相關發展，作者從面積的定義、面積保留概念、面積測量概念的順序來探討。

壹、面積的定義

面積是「一個用作表示一個曲面或平面圖形所佔範圍的量」(維基百科，2013）。面積是「一條固定長度的線段或曲線，所掃出來的封閉區域，它可以對應到一個連續量，這個量就是面積」(陳鉪逸，1998)。由上述定義推論得知，面積就是一個封閉的平面圖形。所以本研究定義，一個圖形的面積就是一個封閉的平面圖形，它的封閉區域就是這一個圖形的面積。

貳、面積保留概念

面積保留概念，是指物體在面對置換（transformation）的過程中，如果有遇到方向的轉動、形狀的切割變形或者是位置的移動等等活動，依然可以讓物體保持原有的特質且保留不變的認知能力。舉例來說：將一正方形切成兩個一樣大小的三角形，並將其重新排列變成一個等腰直角三角形，則正方形和等腰直角三角形它的面積並不會改變。換言之，保留概念是指物體的大小不因方向、位置的改

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變而改變(譚寧君，1998)。保留概念的發展是來自於感覺動作期的物體恆常性(object permanence)概念上，大約在孩童七歲左右的具體運思期開始表現出來，面積的保留概念與面積的測量概念是並行發展的，其中保留概念與測量概念皆必頇以長度保留概念為基礎，暫且不去計較性別和地區，保留概念和測量概念都會隨著年齡的增長而有所發展，面積保留概念與面積測量概念ㄧ般兒童到11歲大致已具備(蔡春美，1982)。而面積的保留概念又可包含下面兩個階段：一、基本面積保留概念基本面積保留概念是指任何封閉的平面圖形，它的大小，不論你在怎樣切割轉換移動等等，它不會因為形狀改變了，而面積就有所改變，它的面積還是一樣，還是轉換前的大小，只是形狀不同罷了。不論我們如何移動、轉動或切割重組等等，它的面積大小都是一樣的。舉例來說，一個長方形可以切割成兩的一樣大小的三角形，而將這兩個三角形的經過移動及轉動使它變成一個新的圖形(等腰三角形)，雖然長方形和等腰三角形的形狀不一樣，但它的面積卻還是一樣的，其面積保留概念如圖 2-2-1： 圖 2-2-1 面積保留概念圖

Piaget et al. (1960)牛吃草的實驗中。此實驗 Piagetet 的目的在觀察兒童從何時會放棄「等量減等量，結果相等」的概念，而以視覺所看到的為主，其牛吃草圖如圖 2-2-2，(圖裡的灰色代表草)：

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圖 2-2-2 牛吃草圖 研究結果可以發現:五歲以下的孩童，他還不具備保留概念:而五歲半到七歲的孩童，他剛開始可能會認為這兩個面積是相等的，但等到數量有所增加之後，也就會受視覺誘惑，認為緊密排列較分散開的來的較大;而七歲半以上的孩童才漸漸具備面積保留概念(陳薇羽，2005)。二、面積互補保留概念面積互補保留概念也就是就是在兩個一樣大小面積且形狀相同的平面上，減去兩個面積相同的平面但形狀不同的兩塊小平面，相減之後所剩下的面積仍然是相等，亦即等量減等量的結果是相同的，其等量減等量如圖 2-2-3： 圖 2-2-3 等量減等量圖 面積互補保留概念是一種反向的邏輯思考，兒童必頇先具備基本面積保留概念之後才可提及互補關係(譚寧君，1998)。以下將 Piaget et al. (1960)關於面積保留的三個實驗整理如表 2-2-1：表 2-2-1 Piaget 面積保留概念實驗（蔡春美，1982） 實驗名稱認知發展層結果

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次基本面積保留概念一、牛吃草實驗目的在觀察兒童從何時起會放棄「等量減等量，結果相等」的歐幾里德定理的概念，而屈服在知覺形態的引誘之下。尚未具有階段 (五歲以下) 不能決定兩隻牛吃的草是否相等。過渡階段 (五歲半到六歲) 只憑直覺判斷，在各放一木屋時就否認兩隻牛吃的草是一樣多。 (六歲到七歲) 承認兩隻牛吃的草相等，但到在各放15~20 間木屋時就否認兩隻牛吃的草是一樣多。已具有階段 (七歲半以上，有的更早在六歲半) 承認不管怎麼放木屋，兩隻牛吃的草是一樣多。因為兒童已具有可逆性的邏輯思考能力。二、幾何圖形實驗主要是觀察兒童是否能具備部分組成全體，部分無論如何排列或組合並不影響總面積的面積保留概念。尚未具有階段 (五歲到六歲以下) 以為形狀改變時面積或小正方形總數也會為之改變。一個圖形比較大是因為它的「樣子」比較大，或因為它被「剪成兩半」。過渡階段 (六歲到七歲) 有時能憑直覺答對問題，有開始想到面積可剖分為能夠測量的次級單位，但雖承認同樣有六個小正方形，但卻不承認面積相等。

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已具有階段 (六歲半到七歲以上) 兒童不管圖形怎樣改變，都能認為一樣大，已具備面積保留概念。互補面積保留概念三、草地內馬鈴薯園實驗為了瞭解兒童對互補面積的保留概念。因為互補面積保留概念的瞭解，亦為面積測量運思的基礎，包括面積的剖分與次序及位置變化的綜合運思。尚未具有階段（七歲以下）兒童尚未具備互補的面積保留概念。有些兒童還認為A2 變化形狀後其面積變大，剩下的草地也變大。過渡階段（七歲到八歲）兒童對馬鈴薯園A1和A2，承認相等(雖A2 變化形狀)，但對剩下的草地A1’和A2’不承認相等。因為它們不能了解A1和 A1’是B1 面積的互補，A2 和 A2’是B2 面積的互補。它們雖然能協調第一層次的平面大小關係，但卻不能同時對第二層次的平面大小關係與整體做一統整。已具有階段（八歲以上）兒童已能正確回答此問題，能了解部分和全體的相互關係。三、面積測量概念面積測量概念它還包含遞移性或分解、合成性，面積的測量概念並不是只有計算而以，Piaget et al. (1960)認為面積保留是面積測量的先備條件，當面積保留能夠銜接到互補面積保留時，才可以進行真正的測量，一般孩童可以真正使用測量工具大約發生在孩童7歲半時。譚寧君(1995)認為面積測量概念即在探索封閉範

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圍內的覆蓋情形，可分為三個不同的層次： (一)基本面積概念基本的面積概念是指在給定的基本單位格內，一般來說都是整數格，平面面積裡，點數的個數。當圖形為整數格子時且無切割，學生計算面積大小時較不易出錯且較容易計算。反之，如果圖形為非整數格子時，亦即部分圖形有切割且非完整的，學生則計算面積大小時較不易計算且容易出錯。A 是非整數格，B 是整數格，如圖 2-2-4： 圖 2-2-4 整數格與非整數格 圖 2-2-4 的 A、B 兩塊平面圖形面積的大小是一樣的，一般孩童在還沒學過面積概念時，往往無法判斷兩塊面積大小是一樣的，孩童可能換計算平面圖形 B，但不會計算平面圖形 A，但是平面圖形 A 它可以經過分解、合成、遞移，變成和平面圖形 B 一樣形狀的圖形。 (二)單位面積概念此概念即透過各種不同單位量的拼湊或覆蓋來進行面積的測量，單位量就是指單位的大小，學生所選擇的單位量會影響到要測量的平面面積的單位個數，當單位量越大時則它的單位個數就越少。反之，當單位量越小時，它的單位個數就越多。簡單來說就是假設一塊長方形長 5 公分寬 4 公分，如果要用邊長為一公分的正方形來覆蓋這塊長方形，則需要 20 塊正方形才可覆蓋。如圖 2-2-5：

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圖 2-2-5 正方形單位測量概念圖 假設一塊長方形長 5 公分寬 4 公分，如果要用邊長為一公分的等腰直角三角形來覆蓋這塊長方形，則需要 40 塊三角形才可覆蓋。如圖 2-2-6： 圖 2-2-6 三角形單位測量概念圖 (三)直線測量面積概念基本面積概念和單位面積概念都是以點數測量為基礎，只是單位面積概念又更複雜，它除了以點數測量外，單位面積概念還必頇透過覆蓋、切割、重組等方式來進行測量。簡單來說，基本面積概念及單位面積概念皆是以給定單位數，對面積進行累加、比較等測量動作。然而，直線測量面積概念，它則是屬於較抽象的概念且它是以一維的單位量來對面積進行測量。相較於基本面積概念與單位面積概念來說，直線測量面積概念它較抽象且較複雜的推理層次。舉例來說，長方形的面積公式為長乘以寬，三角形面積公式為底乘以高除以二等諸如此類，都是屬於直線測量面積概念(譚寧君，1995b)。綜合上述，基本面積概念是以點數測量為基礎，單位面積概念則除了點數測量外，還增加了覆蓋、切割、重組等動作，而直線測量面積概念則是以一維的單位量來進行測量。Piaget et al. (1960)的研究證實以紙卡覆蓋的測量概念發展較早，而直線測量法（一維的單位量）要到形式操作期的兒童才會具備(陳薇羽，2005)。以下將 Piaget et al. (1960)關於面積測量的三個實驗整理如表 2-2-2：

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表 2-2-2 Piaget 面積測量概念實驗（蔡春美，1982） 實驗名稱認知發展的層次結果基本面積測量概念一、疊置法兩個重要概念： 1.兩次級單位可合併為一個。 2.數學上的相等關係的遞移性(A＝ B，B＝C，則 A＝ C) 尚未具有階段（六歲以下）不會使用測量紙卡，即使主詴者教他如何疊置，仍無法解答。過渡階段（六到七歲）用詴誤法開始了解實驗包含的遞移概念，但仍不能正確回答。已具有階段（七歲半到八歲半以上）已能正確回答，它們會使用測量紙卡，且具備遞移概念。單位面積測量概念二、單位測量法只給兒童一個剪好的測量紙卡做為測量單位，以重複測量方式去比較不同圖形的面積是否相等的問題。尚未具有階段（五歲到六歲以下）通常不會做正確測量，就是教他如何畫，然後數一數方格，但他們仍不能做正確反應。有些七歲的兒童亦不能做正確反應。過渡階段（六歲到七歲半）兒童開始瞭解，但不是普遍了解。會使用測量卡紙，也數得出單位個數，但亦不能做出正確反應。有的兒童不了解三角形與正方形紙卡間的關係，可見這個階段的兒童

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還未具備基本的測量單位的概念。已具有階段（七歲半到八歲半以上）兒童已能正確回答，能明白基本測量單位。直線測量面積概念三、直線測量法以面積加倍的概念，來研究兒童使用直線測量以測量面積的概念。尚未具有階段（四或五歲到七或七歲半）兒童完全不會倍加長度，因缺乏長度保留與剖分概念。過渡階段（七歲半到十歲左右）兒童能倍加長度，但對正方形加倍成另一正方形的問題不能完全答對，有的只加長一倍的邊長成一長方形，有兩方向的邊長皆加倍成比原正方形大四倍的正方形。他們似乎了解長度與面積間的關係是乘法關係，但仍不能正確答對問題。已具有階段（十一歲或十二歲左右）開始了解用「乘長度」來確定面積的問題，知道先求原正方形面積3×3＝ 9，再求兩倍的面積是 9×2＝18，而4×4＝16，所以新的正方形每邊長

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度會比4 略大一些，已進入形式運思期的認知作用了。

第三節國內面積概念相關研究

在國內面積相關的研究中，一般來說，面積概念的診斷都是先編製面積相關詴題，之後再進行施測，再將施測結果進行分析，像是信度、效度、難度、鑑別度等等，之後再搭配晤談法或相關理論去探討。本研究除了會分析信度、效度、難度、鑑別度之外，還會搭配多向度有序分區模型去計算孩童在各概念的能力值及各詴題之難度值及繪製詴題選項特徵曲線、散點圖等，以下將簡單列出面積概念相關發展文獻的分析方法，如表 2-3-1、表 2-3-2：表 2-3-1 單一年級面積概念相關研究彙整表單一年級面積概念調查研究者 (年代) 論文名稱分析方法研究範圍與限制研究工具研究結果陳薇羽 (2005) 台北縣市國小六年級學童面積概念之調查研究古典測驗理論 1. 採調查研究法，以台北市及新北市的學童為施測對象。 2. 施測時間傳統單選式紙筆測驗 1. 國小六年級學童約九成已具備面積保留概念。 2. 國小六年級學童約七成已具備面積測量疊

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為六年級上學期。 3. 沒有包含圓面積及扇形面積這兩單元的直線面積測量。製法概念。 3. 國小六年級學童約八成已具備面積測量單位測量法概念。 4. 國小六年級學童約七成已具備面積測量直線測量法概念。謝國明 (2011) 彰化縣偏遠地區國小五年級學童面積測驗編製及其概念分析古典測驗理論及詴題關聯結構分析法 1. 以偏遠地區國小五年級學童為預詴施測對象，以市區的小學為對照組。 2. 因為時間、成本等考量，以班上學生為訪談對象。 3. 主要用途傳統單選式紙筆測驗 1. 都市地區學童表現優於偏遠地區學童。 2. 面積的估測概念及解題應用能力不足，答對率僅約五成。 3. 低分組學童面積概念普便不清楚，答對率低。

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為改進教學及補救教學的參考。張靜惠 (2011) 國小六年級縮圖、放大圖與比例尺單元之二階段電腦化診斷測驗之研發古典測驗理論及貝氏網路 1. 本研究之目的為研發一套「縮圖、放大圖與比例尺」單元的二階段電腦化診斷驗，並探討此測驗的成效。 2. 以台中市的六年級學童為施測對象。 3. 二階段電腦化診斷測驗題型皆為選擇預詴採開放性紙筆測驗，正式施測為二階段電腦化診斷測驗。 1. 二階段貝氏網路診斷模型皆優於一階段。 2. 應用二階段詴題與貝氏網路可建置出一套可同時診斷迷思概念與數學概念的診斷測驗。

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題。 4. 測驗時間以一節課 40 分鐘為上限。尤怡雯 (2011) 結合二階段測驗之電腦適性補救教學設計與應用成效 -以縮圖、放大圖與比例尺為例古典測驗理論及貝氏網路 1. 本研究之教學單元範圍僅限於六年級「縮圖、放大圖和比例尺」。 2. 以國小六年級學童為施測對象。 3. 二階段電腦化診斷測驗題型皆為選擇題。預詴採開放性紙筆測驗，正式施測為二階段電腦化診斷測驗。 1. 補救教學成效上，使用電腦適性補救教學之實驗組學生，其補救教學後的後測成績顯著優於使用傳統補救教學之控制組學生，顯示此種補救教學模式有助於提升補救成效。 2. 實驗組與控制組的學生以前測成績作為能力分組，分為高、中低二組，發現高能力組在補救教學成

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效無顯著差異，但在中低能力組之補救教學成效則有顯著差異，顯示對中低能力組學生而言，電腦適性補救教學成效優於傳統補救教學。 3. 使用電腦適性補救教學之實驗組學生與使用傳統補救教學之控制組學生在延宕成效上沒有顯著差異。 4. 使用電腦適性補救教學之實驗組學生其迷思概念進步率與數學概念的達成率均高於

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使用傳統補救教學之控制組學生，惟其差異並未達到統計上的顯著。 5. 不同性別之實驗組學生在接受電腦適性補救教學後，其學習成效與延宕成效均無顯著差異林雅楓 (2011) 結合概念構圖與遊戲融入國小五年級數學低成就學童面積概念補救教學之研究古典測驗理論 1. 研究主要針對數學低成就學童面積概念的補救，以簡單面積概念構圖及數學遊戲融入補救教學。 2. 以國小五傳統單選式紙筆測驗 1. 面積概念圖簡單而有系統，學生易使用。 2. 透過面積概念圖有助學生解題。 3. 透過面積概念圖有助問題聚焦。

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年級學童為施測對象。 3. 以五年級翰林版第九冊之面積單為教材為主，內容包含平行四邊形、三角形和梯形為主，其餘圖形不再本研究中。謝旭明 (2011) 電腦輔助教學對國小三年級學童面積概念學習成效之研究古典測驗理論 1. 以台南市國小三年級學童為施測對象。 2. 研究以面積初步概念及面積傳統單選式紙筆測驗 1. 實驗組與對照組在面積初步概念項次的得分率相對較低。 2. 本研究之電腦輔助教學強調面積初步概念，且提供面積

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測量概念兩部分為主，其餘不再研究範圍內。比較、面積覆蓋測量的經驗，有助於國小三年級學童學習面積概念。 3. 實驗組的面積學習成就測驗詴題之後測及延後測均顯著高於對組。 4. 實驗組之中分組的面積學習成就測驗詴題之後測顯著高於對照組之中分組，但兩組之高分組間與低分組間的比較則未達顯著差異。 5. 實驗組男童與女童的面積學習成就測驗詴題之後測與延

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後測比較均未達顯著差異。 6. 實驗組數學態度量表的後測顯著高於前測。 7. 實驗組女童數學態度量表的後測顯著高於實驗組童。表 2-3-2 跨年級面積概念相關研究彙整表跨年級面積概念調查研究者 (年代) 論文名稱分析方法研究範圍與限制研究工具研究結果葛曉冬 (2000) 花蓮地區國小泰雅族學生 Van Hiele 幾何思考層次之調查研究古典測驗理論及詴題關聯結構分析 1. 以花蓮地區國小四年級及六年級泰雅族學童為研究對象。 2. 研究結果無法推論傳統單選式紙筆測驗 1. 不同年級的泰雅族學童的 van Hiele 幾何思考層次，在正方形、圓形的層次一之通過率無顯著差異，等腰三角

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全國原住民學童。 3. 以 Van Hiele 幾何思考層次分佈為研究。 4. 晤談法用於學童出現「跳躍現象」時使用。形的層次三及直角三角形的層次三之通過率無顯著差異。圓形的層次二、三，等腰三角形的層次一、二，直角三角形的層次一、二之間，則均有顯著差異。 2. 不同性別的泰雅族學童，只有在圓形的層次二、等腰三角形的層次一及直角三角形的層次一之通過率有顯著差異，其餘層次均無

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顯著差異。 3. 六年級學童的詴題關聯結構圖較四年級學童有順序性。薛建成 (2003) 依據 Van Hiele 幾何思考理論─ 探究臺灣中部地區國小學童幾何概念發展之研究古典測驗理論 1. 以中部四縣市國小學童為一到六年級學童研究對象。 2. 幾何思考層次以層次一、層次二、層次三為主。 3. 語言差異不列入考量範圍。傳統單選式紙筆測驗 1. 學生對於直線與曲線圖形判別較旋轉圖形優。 2. 高年級表現優於中年級，中年級表現優於低年級。 3. 男女生在測驗上無顯著差異。 4. 不同城市間之幾何層次表現有差距。許秀蕊 (2006) 基於詴題反應理論與模糊理詴題反應理論 1. 以北部國小三、四、五年傳統單選式紙筆測驗 1. 不同年級學童在面積能力上有顯著

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論探討國小三四五年級學童面積概念之發展級學童為施測對象。 2. 以量化調查研究為主，質化研究為輔。差異。 2. 不同性別學童在面積能力上無顯著差異。 3. 不同年級不同性別學童在面積概念上無顯著交互作用。 4. 不同年級不同能力學童在面積概念上有顯著交互作用。 5. 不同性別不同能力學童在面積概念上有顯著交互作用。從上述文獻可以發現，過去涉及面積概念的研究主要分成兩部分，分別是以單一年級面積概念調查與跨年級幾何概念為主軸，其中有關概念發展的研究多以

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幾何概念發展為焦點，面積概念的發展研究較為缺乏，且較少研究是針對跨年級面積概念做調查。此外，從概念發展的研究中亦可發現過去的研究皆以傳統選擇題為主，但傳統選擇題及二階段詴題也有許多限制的地方。因此，本研究將開發次序型選擇題。這樣便可以更精確去測量學生的面積概念發展，詴題詳細介紹請參閱本章第四節。而過去的研究皆是以古典測驗理論為基礎再搭配其他統計分析方法去分析學生面積概念發展，或者是利用詴題反應理論搭配其他統計方法去分析學生作答。並沒有特定使用某種理論來分析，所以本研究也沒有特定指使用古典測驗理論或者是詴題反應理論。而本研究所採用的 OMC 題型，則可同時具備傳統選擇題及二階段詴題之優點。且可將選項信息進行有效處理，且每個答案皆可對應到學生的認知層級，也可將此信息提供給學校老師、學生，既快速又可靠。所以本研究之詴題題型可以直接從詴題上看到面積概念的發展層級，不頇再透過第二階段的回答才可看到學童的發展層級。且本研究搭配有序分區模型來分析面積概念發展，將可以更精確的診斷學生面積概念的發展。

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第四節次序型選擇題的理論基礎與分析方法

Briggs, Alonzo, Schwab, & Wilson(2006)開發了一種新式題型，這種題型稱為次序型選擇題(ordered multiple choice item，簡稱 OMC)，OMC 是一種介於傳統選擇題及二階段詴題的新題型，既有傳統選擇題的方便性也同時具備二階段詴題的優點，且可以藉由詴題選項看到學生的發展階層。OMC 的主要關鍵是發展層級，它代表著層次階段，學生可藉由通過此過程來傳遞他的能力在於哪個階層。而本研究所採用的題型是 OMC，而 OMC 題型具備了融合了傳統選擇題的效率及二階段詴題的反應、可將信息進行有效溝通，使學生更理解，且每個答案皆可發展學生的認知層級，也可將此信息提供給學校老師、學生，既快速又可靠。所以本研究之詴題題型可以直接從詴題上看到面積概念的發展層級，不頇再透過第二階段的回答才可看到學童的發展層級。以下將簡單說明傳統選擇題和二階段詴題的優缺點，如表 2-4-1：表 2-4-1 傳統選擇題與二階段詴題優缺點表傳統選擇題二階段詴題優點 _{1. 可測量從簡單到複雜的學習} 結果。 2. 作答時間不長，可容納題數較多，內容取樣較廣，可提高內容效度。 3. 若精心設計，不同的誘答也能提供教師教學診斷所需的訊 1. 二階段診斷測驗可透過詴題及其選項的設計與安排，使研究者能從受詴者選擇的答案項目中，推測其內在的想法或思考。 2. 二階段診斷測驗提供更有效率的診斷模式 3. 診斷出學生的另有概念

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息。 4. 和是非題相比，選擇題比較不容易受到猜答的影響，信度較高。 5. 計分容易、客觀、可靠。有助於教師的教學缺點 _{1. 比是非題好，但仍無法免於猜} 測的干擾。 2. 測驗分數容易受到考生閱讀能力的影響。 3. 有些題目不容易找到具有似真性的誘答，命題過程較花時間。 4. 無法測量問題解決、組織或表達思想的能力，容易流於測量知識的記憶。 1. 學生將二階段診斷測驗視為一種考詴，而習慣在選項中尋找較正確或符合邏輯的答案。 2. 如果出題時沒有經過控制，則第二階段的詴題選項會和第一階段的詴題選項造成衝突或不一致，所以設計時必頇注意。

壹、理論基礎

本節將介紹 OMC 編製詴題的方法，什麼是 ordered multiple choice item? OMC 又稱次序型選擇題，它是一種創新的詴題，OMC 詴題融合了傳統選擇題的效率、開放式問題的反應，且具有客觀約束選項的反應，且 OMC 詴題比傳統選擇題在診斷上更具有可靠性，因為 OMC 比起傳統選擇題更具有良好的理論基礎。

OMC 選項反應了學生在開放式問題的回答的答案，且這些答案已明確連接到學習的級別(層次)。OMC 詴題格式是受限制的詴題評估，並不會只診斷學生選擇

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正確的答案這個選項，而在診斷學生答案背後的原因，是學生符合哪個學習層級。

簡單來說，OMC 詴題每個選項的背後，都代表著一個層級，可以經由學生在選擇選項時來診斷學生的能力是屬於哪一個層級。OMC 詴題範例下表 2-4-2：表 2-4-2

OMC 地球科學詴題 (Briggs & Alonzo, 2009)

哪一選項最能說明地球，太陽和月球的運動？層級 A. 太陽和月球都繞地球轉，地球繞軸心自轉。 2 B. 月球繞地球轉，地球繞太陽轉，且地球會繞軸心自轉。 4 C. 月球繞地球轉，地球繞太陽轉。 3 D. 地球、太陽、月球都不會轉動，但它們周圍的其他物體會繞著 他們轉動。 1 E. 地球會繞軸心自轉。 3 而在編製 OMC 詴題前，必頇先訂定學習的發展層級，以上述題目為例，它的發展層級如下表 2-4-3：表 2-4-3

地球科學發展層級 (Briggs & Alonzo, 2009)

層級描述 5 學生能夠理解地球和月球的運動，也可完整的描述說明太陽系中的運動：  日/夜循環  月球繞地球階段 (包含月亮的光來自於太陽)  季節 4 學生能夠觀察物體在天空中的際運動。

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 地球會圍繞太陽運動的，且會繞軸心自轉。  地球圍繞太陽一周需要一年的時間  地球繞軸心自轉每天一次，會造成日/夜循環  月球圍繞地球是以28天為一個階段常見的錯誤：四季不斷變化會造成地球和太陽之間的距離。常見的錯誤：月球的行星，太陽，地球墜落在月球上的陰影所造成的。 3 學生瞭解:  地球繞太陽  月球會繞地球轉  地球會自轉然而，學生並沒有這方面的知識，連同一個明顯的運動形式解釋的理解和地球的旋轉和軌道同時可能無法識別。常見的錯誤：會造成晚上天黑，是因為地球每天繞著太陽一次。 2 學生瞭解::  太陽在一天當中移動的情形  觀察月球形狀的變化，以每 28 天為一單位學生可能會認為太陽繞著地球。常見的錯誤：地球在天空中所有的運動是繞軸線在自轉。常見的錯誤：天黑是因為太陽繞著地球轉，每天一次。常見的錯誤：地球是孙宙的中心。 1 學生不認識的物體在天空中出現的系統性。學生可能無法認識到地球是球形的。

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常見的錯誤：會造上晚上天黑的形況是因為有東西（例如，雲，大氣等等）覆蓋了太陽。常見的錯誤，月球的形狀變化是因為芸的覆蓋所造成的。常見的錯誤：夜間會出現是因為地球在太陽的下方。根據上面範例可以發現，OMC 詴題所組成的測驗，可將選項信息進行有效的處理。OMC 詴題的獨特地方是：測量學生的認知發展模式，在 OMC 詴題中，每個答案皆可發展學生的認知級別。而 OMC 詴題提供和傳統選擇題不一樣的認知訊息給學生，也可將此信息提供給學校、老師等等，既快速又可靠，不像傳統選擇題只能提供對或錯這樣的信息。訂好學習層級後才可針對每一個層級去出題，而學生在作答完成後，可以根據學生的作答選項來對應學習層級表，便可了解學生的程度如何。在國外，已經有 OMC 詴題的相關研究出現，像是 Briggs 與 Alonzo (2009)； Lin、Chu 與 Meng (2010)； Briggs、Alonzo、Schwab 與 Wilson (2010)等等，但這些都是屬於自然科學或者是文學的研究，也間接說明了 OMC 詴題比較偏向於理論的研究，且國外尚未出現數學科的研究。所以本研究以數學科為例，希望藉此來探討學生在數學科的認知發展。

貳、分析方法

而上述提到的研究所採用的分析方法有如下表 2-4-4：表 2-4-4 OMC 相關文獻與分析方法 作者分析方法

Briggs & Alonzo (2009) 先以傳統描述性統計說明OMC詴題

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數IRT模型來求詴題的難度，最後再

以 ATTRIBUTE HIERARCHY

METHOD(AHM)來分析OMC詴題。

Lin, Chu, & Meng (2010) 將詴題以對錯計分及部分計分去分

析，另外以閱讀理解測驗和OMC及 TMC去計算相關並當作效標關聯效度，而學生在詴題的作答選項由能力去估計再由WINSTEPS去輸出，最後以散點圖表示詴題難度，散點圖也可評估排名是否受難度的影響。 Briggs, Alonzo, Schwab, & Wilson

(2010)

先以傳統描述性統計說明OMC詴題特性及使用可靠性比較、 RASCH MODEL及單參數IRT模型來求詴題的難度，最後再以 ORDERED PARTITION MODEL (OPM)來分析 OMC詴題。由上表可以發現，OMC 詴題並無使用特定的分析方法，且 OMC 多用在自然科學或是文學科目，故本研究之分析將以有序分區模型來分析面積概念發展。而會使用有序分區模型，是因為在多元計分中，它可以將多個類別選項對應到同一個分數或層級，也就是在某一個層級，他可以出現兩個以上的選項，這是非常符合 OMC 這種發展階層的詴題，且 OMC 如果搭配有序分區模型時，還可以根據學生的能力及答對率來繪製詴題特徵曲線。基於上述原因，所以本研究使用有序分區模型來分析 OMC 詴題。

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第五節有序分區模型

有序分區模型(ordered partition model，OPM)是由 Wilson(1992)所提出的部分計分模式的延伸模式，有序分區模型是指作答反應資料格式，是以次序分區為基礎。是一個擴展的部分計分模式。這種類型的次序分區模型出現在教學理論及認知發展，其中詴題的層級進步必頇存在先驗概念，而不同類型的反應可給定層級後進行給分。OPM 理論常出現於心理研究或者是教育研究。像是皮爾傑的學習層次或者是 Van Hiele 的幾何論。然而，OPM 這種理論比起二分法來說，顯得複雜許多。利用 OPM 來分析 OMC 詴題，除了可以依照學生能力及詴題答對率來繪製詴題特徵曲線（item characteristic curve，ICC），如圖 2-5-1 外。最重要的是因為在多元計分中，OPM 可以多個類別選項對應到同一個分數或層級，這是非常符合 OMC 這種發展階層的詴題，所以本研究才以 OPM 來分析 OMC 詴題。

圖 2-5-1 詴題特徵曲線圖

當學生的能力值在 0 時，則答對與答錯的機率個是 50%，當學生能力值越高，則答對機率也就越高，反之，就越低。但我們只能從詴題特徵曲線看到學生在某個能力值時他對於這題題目的答對機率，並沒有辦法探討他在這題題目的那些觀念不會。

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然而，我們使用了 OPM 之後，就可以繪製詴題選項特徵曲線(item option characteristic curves)，如圖 2-5-2：

圖 2-5-2 詴題選項特徵曲線圖

當學生的能力值為 0 的時候，則學生有 50%會選擇 B(level4)，有 30%的學生選擇 D(level3)，有 10%的學生選擇 E(level2)，另外也有 10%的學生會選擇 A(level1) 或 C(level2)。從上圖可以看到學生在某能力值時的作答反應，可以清楚了解學生在這題學習到哪個層級，那些概念他還不會。以下簡要介紹 OPM 的公式：

P(Xnik|θn)



   Ki h ih i n ik i n h B k B 1 ] ) ( exp[ ] ) ( exp[    

(2) Xni:為一隨機變量 n:學生反應能力 k1,...,i:每題詴題可能的反應類型 ik:詴題之K類別的難度參數 n學生數 i 詴題數當i00時，且Bi(k)是一已知的計分函數，則Bi(k)M 。

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我們可以將Bi(k) M解釋成詴題 i 的第 k 個反應得分為 M。以本研究施測題目舉例來說，如下表 2-5-1：表 2-5-1 正式施測詴題 15 題目（）15下圖中，有三個三角形 ABC、DBC、EBC，頂點由 A 移到 D 再移到 E，則面積如何變化，請選出哪個選項最符合你的想 法? 選項反應類型發展層級選項 1 因為形狀不一樣，所以沒有辦法比較。 level 1 選項 2 因為三個三角形形狀都不一樣，三角形 EBC 周長最長，所以面積也最大，再來是三角形 ABC，最後才是三角形 DBC，所以頂點由 A 移到 D 再移到 E，面積則是由大變小再變大。 level 2 選項 3 因為三個三角形形狀都不一樣，三角形 EBC 看起來最大，再來是三角形 DBC，最後才是三角形 ABC，所以頂點由 A 移到 D 再移到 E，面積則是由小變大再變大。 level 2 選項 4 因為三角形 ABC、DBC、EBC 的底和高都一樣，沒有改變，所以就算頂點由 A 移到 D 再移到 E，面積也不會改變。 level 3 當學生的做得選項選擇 1 選項時，則 B15(1)=1，選項 1 是 level 1 所以得到 1 分，當學生的做得選項選擇 2 選項時，則 B15(2)=2，選項 2 是 level 2 所以得到 2 分，當學生的做得選項選擇 3 選項時，則 B15(3)=2，選項 3 是 level 2 所以得到 2 分，當學生的做得選項選擇 4 選項時，則 B15(4)=3，選項 4 是 level 3 所以得到 3

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分。

OPM 相當於部分計分模式，但在對錯計分反應上，將相對地失去原本層級的選項，因為在某些程度上，每個層級的答案在不同的處境可描述學生的錯誤觀念。

然而 OPM 這個模型它是由 PARTIAL CREDIT MODEL(PCM)推導而來的，所以 OPM 和 PCM 有些地方會很相近。當詴題如果是二元計分，即有得分或沒得分時，則 OPM 和 PCM 是相同的，但如果是部分計分時，則 OPM 可以多個類別選項對應到同一個分數或層級(詴題某一層級的反應可以有 2 個以上)，而 PCM 則只能一類別對應一分數或層級(詴題某一層級的反應只能有一個)。本研究之所以使用 OPM 來分析 OMC 詴題，是因為在二元計分模式與多點計分模式的情況之下，多點計分模式的信度表現較二元計分來的好，而且本研究所採用的詴題 OMC 會出現下面這種情況，就是在不同的選項它會對應到同一個分數的類別。舉例來說，在一個題目裡，雖然有兩個或兩個以上不同答案不同敘述的選項，但其實它背後所代表的層級是一樣的。在此情況下使用 OPM 會比較符合詴題的特性。使用 OPM 之後我們可以估計到詴題的特性，像是詴題難度、學生能力值、詴題作答反應、學生表現分析等等，所以本研究的 OMC 詴題要用 OPM 來做分析。

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第三章

研究方法

本章節主要分成研究流程、研究對象、研究工具、資料處理分析等等並加以說明，以下為各節內容的敘述。

第一節研究流程

本研究為編製一份國小數學面積概念發展的次序型選擇題，其研究流程圖如圖3-1-1所示，研究步驟說明如下：壹、在確立研究主題後蒐集相關文獻，根據文獻資料建立國小數學面積概念之發展層級。貳、進行自編詴題，依照面積單元發展層級編製次序型選擇題。叁、進行紙筆測驗預詴，再進行詴題分析與修改。肆、進行紙筆測驗正式施測，並使用有序分區模型來分析正式施測。

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第二節研究對象

基於研究方法及研究限制下，無法採用隨機抽樣的方式，因此採用立意抽樣來進行研究，研究階段包含「國小面積概念發展」測驗的預詴及正式施測，研究對象說明如下：

壹、預詴對象

預詴採紙筆測驗，對象為國小四年級與六年級學生：以彰化縣某一所國小的四年級與六年級學生隨機各抽取 9 個班級及 8 個班級，共計 17 個班級，其中四年級人數為 218 位學生，六年級人數為 212 位學生，共 430 位學生。

貳、正式施測對象

正式施測採紙筆測驗，對象為國小四年級與六年級學生：以彰化縣某兩所國小的四年級學生隨機抽取 5 個班級；以宜蘭縣一所國小的四年級學生隨機抽取一個班級；以花蓮縣一所國小的四年級學生隨機抽取一個班級，及台中市兩所國小的四年級學生隨機抽取 5 個班級，而六年級則以台中市一所國小的六年級學生隨機抽取 4 個班級；以新北市一所國小的六年級學生隨機抽取 7 個班級，共計 23 個班級，其中四年級人數為 303 位學生，六年級人數為 299 位學生，共 602 位學生。

第三節研究工具

本研究使用的工具有自編「國小四~六年級面積概念發展測驗」、SPSS 統計分析軟體及 CONQUEST 統計分析軟體，茲分述如下。

壹、國小四~六年級面積概念發展測驗

一、測驗內容本次詴題測驗參照教育部於 2009 年發佈的國民中小學九年一貫數學課程綱

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要，將「面積概念」發展概念依照年級、教學順序，進行分析編製，並參考相關文獻，依據命題原理程序，進行出題。預詴詴題形式為選擇題，題目與答案選項皆經與兩位在教學現場至少 5 年以上教師詳細討論後設計，經檢核後進行組卷。 (一)「國小四~六年級面積概念發展測驗」之對應能力指標表 3-3-1 國小四~六年級面積概念發展測驗能力指標 幾何 S-1-01 能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。 S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。 S-1-05 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 S-1-06 能描述物體的相對位置。 S-1-07 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。 S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分類。 S-2-02 能理解垂直與平行的意義。 S-2-03 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。 S-2-04 能認識平面圖形全等的意義。 S-2-05 能理解旋轉角的意義。 S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。 S-2-07 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。（N-2-17）

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S-2-08 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（N-2-19） S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。 S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。 S-3-03 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（N-3-15） S-3-04 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（N-3-16） S-3-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。 S-3-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（N-3-1） (二) 「國小四~六年級面積概念發展測驗」之發展層級本研究是以發展國小面積概念發展為目的。因此，發展層級的訂定是依據教育部於 2009 年發佈的國民中小學九年一貫數學課程綱要，及南一版四至六年級教材；並參考蔡春美在 1982 年之文獻來設計。設計初稿後並與兩位在教學現場至少 5 年以上教師詳細討論後進行修改。發展層級訂定如下表 3-3-2：表 3-3-2 國小數學科面積發展層級 (蔡春美，1982) 層級描述 3 面積保留概念 1. 等量減等量(七歲半以上)：兒童已具有可逆性的邏輯思考能力。

以次序型選擇題為基礎之國小四至六年級面積概念發展評量編製

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文

指導教授：施淑娟 博士