第二章 文獻探討
第二節 普通數學
數的概念是學習數學領域最重要的基礎，數在中小學課程中最重要的是發展 數的感覺（number sense）（康軒，2016c），利用不同的方法表徵數並計算其數值。
而量的概念則可說是數的基礎，量除了具有數性特質之外，也能說是利用工具來 描述數的特質。
一、數與量的概念
數的學習單元中包含整數、分數、小數與概數，學習的順序也是由整數、分 數、小數到概數，整數包含正整數、0、以及負整數，而分數為用來解決「不滿 一個單位量的量」數值的問題，小數則是印度-阿拉伯計數系統由整數推廣至分 數情境時產生的概念。而「量」被區分為兩種，即離散量（discrete quantity）與 連續量（continuous quantity） （南一，2016a）。
二、因數與倍數
因數為一個代表總量的正整數，可以找到另一個代表其單位量的正整數，此 單位量即為因數，而倍數則是以某一個正整數為單位量，探討可以乘法性質合成 的正整數總量，因數與倍數的認知，必須建立在整數的乘除法、加減法等下位概 念（sub-concept）之上（康軒，2016d），屬於較複雜的學習類型，學生必須具備 測量運思的能力，從乘法的乘積以及除法的整除中，發現因數與倍數的關係。
三、單位與測量
在單位與測量中，學生首先由測量各種屬性開始，初步的了解長度、面積、
體積、重量、容量、時間、角度或速度等測量的量及特性，學習如何直接、間接 比較兩個量，接著在學習個別單位、普遍單位比較中，轉而認識量的公式概念，
學習計算方法（南一，2016b）。
四、比與比例
比是比較兩個數量，比例則是兩數量對應的情形，一般會使用三種方式，一 種是兩數不使用運算，單純做比較，另外兩種則使用減法和除法，求得兩數間的 差以及倍數（康軒，2016e；翰林，2016），利用這三種方法了解比與比值的意義，
就可以解決生活中與比例有關的數學問題。
五、指數、科學記號
指數為表示非負整數的次方，科學記號可表示極大或是極小的數值，在國中 的課程中，學生將學習如何利用這些符號來表示運算規律，並能實際活用於計算 式當中，如同底數相乘或相除的指數律，含乘方的數大小比較，認識科學記號以 及能作科學記號的運算（教育部，2003）。
六、平方根與畢氏定理
平分根對於國中數學是一個全新的學習經驗，由平方的概念，理解平方根的 意義，學習如何尋找平方根的近似值與其計算方法，將數值進行化簡或有理化。
畢氏定理與幾何教學息息相關，運用三角形全等的概念進行推導，並熟練如何計 算直角座標上的兩點公式（教育部，2003；康軒，2016h）。
七、數列與級數
將一連串有規則的數排成一列，即是數列，而將數列 an 各項依次用”+”號 連接，就是 an 定義的級數，國中階段會學習等差數列與等差級數，由認識數列 與等差數列開始，學習首項、末項、公差、n 項和項數等相關名詞意義，從中了 解首項、末項、項數間的關係，學習等差中項與第 n 項公式，再認識等差級數以 及級數求和（康軒，2017i）。
貳、幾何
幾何概念在數學的學習發展中是有階層性的，學生在學習的過程中，必須經 過多次的具體操作，觀察比較，才能了解幾何在各個階層應當獲得的概念（康軒，
2016b）。
一、三角形與多邊形
多邊形所指的就是多條直線所圍成的封閉區域（康軒，2016a），三角形在其 中最少邊的圖形，透過視覺學習，發現多邊形的邊、頂點、角的數量，再由此延 伸到邊與頂點的概念，學習邊長與面積的計算，以及各種多邊形內角、外角的角
度關係。
二、圓形
圓在構成的元素上主要有定點以及定線，定點即圓心，定線即是半徑，學生 從實物的具體操作中認識圓的基本要素，藉由學習圓的特性，了解直徑半徑關係、
圓周長與圓面積計算、圓周率的意義、圓心角等。
三、縮放與比例
將圖形依等比例放大或縮小，能得到該圖形的相似形。學生由比與比例的概 念延伸，從放大圖以及縮小圖的對應邊成正比、對應角相等的概念中，學習圖形 形成的要素，對應點、對應邊、對應角的關係（翰林 6a，2016）。
四、立體幾何
國小立體幾何主要是對於角柱與圓柱，角錐與圓錐的認識，了解形體外型特 徵與展開圖點、線、面的關係，國中則針對立體圖形的展開圖，計算其表面積與 側面積，以及直角柱，直圓柱的體積（南一，2016f）。
五、尺規作圖
利用直尺與圓規，在平面幾何中作圖，就是所謂尺規作圖，學生在章節中必 須利用已學習過的概念，例如三角形、四邊形的性質，垂直平分，線對稱圖形等，
完成等線段作圖，等角作圖，垂直平分線作圖與角平分線作圖，利用活動操作的 方法，讓學生熟悉作圖的步驟（康軒，2017i）。
六、幾何證明
幾何證明主要從學生先備知識導入，強調幾何概念的嚴格定義與計算方式，
了解推理證明的意義，並學習簡易的「數與量」、「代數」、「幾何」推理證明，理 解三角形以及多邊形外心、內心及重心的性質與關係（教育部，2003；康軒，
2016j）。
參、代數
一、一元一次方程式與因式分解
不同於國小數學應用問題的解決，國中解題多用抽象代數方法表示，從解題 觀點而言，國小有許多類型的數學問題都屬於一元一次方程式，但國中開始強調 以符號列式作運算的一元一次方程式有其優點，學生在課程中可訓練抽象思考的 能力（教育部，2003；南一，2016c）。
二、直角座標與二元一次聯立方程式
在一平面上，兩條相互垂直的線相交於原點形成直角坐標，在國中課程中，
學生要理解直角座標系的定義，學習如何在座標平面上，以代數的形式用公式表 達出來，描繪出二元一次方程式在座標平面上的圖示，並解讀二元一次聯立方程 式的幾何圖形意義（南一，2016d）。
三、一元一次不等式
不等式即兩量不等的敘述，運用一元一次方程式與等量公理的基本概念，理 解不等式與方程式的差異，注意負號出現後不等式的改變，學習簡單列式，標示 數的範圍，並能在數線上畫出相關線段，以圖示作說明（南一，2016d）。
四、乘法公式與多項式
為了把繁瑣的計算公式進行簡化，學生將學習分配律、和平方、差平方等乘 法公式，並能用交叉相乘、面積計算等方法導出乘法公式，利用乘法公式進行快 速計算。多項式屬於數學代數中的一項基礎，課程中會教導學生認識常數項、項 數、係數、升冪與降冪等概念，利用代數的形式做加減乘除的運算（康軒，2016h）
五、一元二次方程式
一元二次的課程中，首先要理解「解」的涵義，並學習運用配方法、公式解、
平方根概念找出方程式的解，判別解的性質，是否為兩重根、相異根、抑或是無 解的情況（南一，2016e）。
六、函數
在 X、Y 兩組資料中，若給定 X 組一個資料，可以唯一的對應到 Y 組的一 個資料，則 Y 就是 X 的一個函數（教育部，2003）。國中函數有一次函數、線性 函數、二次函數，學生能從中學習自變數、應變數的特殊對應關係，了解符號及 算式，用以描述函數的結構，描繪出函數在座標平面上的圖形，並能解讀圖形與 函數間的關係（康軒，2016g；康軒，2016k）。
肆、統計與機率
統計就是將大量數據分析，從中獲取有用資訊的方法，並將這些資訊經過整 理，用來說明現象的本質與意義，國小數學單元中會學習如何閱讀長條圖、折線 圖及圓餅圖上的統計資訊，以及如何製做出統計圖形（康軒，2016f）。國中開始 學習直方圖，利用折線圖、盒狀圖分析資料間的關係，了解中位數、平均數、眾
數、四分位數的意義並能作計算，也開始出現機率的概念（康軒，2016k）。
依據高級中等以下學校及幼兒園教師資格考試命題作業要點，「數學能力測 驗」考科中的普通數學，命題內容主要參照上述數與量、代數、幾何、統計與機 率四大單元，且數學題目程度截至目前為止，皆坐落在國小至國中的數學階段，
故諸如虛數、二元一次不等式等高中階段數學概念不在本研究討論範圍。本研究 將依此，從普通數學的四大單元向下細分，進行試題的分類編碼，使試題分類更 精確。