以下將應用 Litvin[16]所提出之齒形過切分析方法，分析曲線齒圓柱型齒輪之過切 線分佈情形。由微分幾何之定義可知，若曲面上之一點，其切向量不存在或切向量大小 等於零，則此點稱為奇異點。一般齒輪之齒面為規則曲面，即齒面上不存在奇異點，若 齒面上出現奇異點，即表示齒面發生過切現象。若以齒條刀之刀面
Σ
F創成曲線齒圓柱型 齒輪之齒面Σ
1，在齒面之創成過程中，齒條刀之刀面Σ
F與被創成之齒面Σ
1的瞬間接觸 點，其位置向量在任意一固定座標系觀察時，兩者之位置向量應相等。將Σ
F與Σ
1瞬間接 觸點表示於固定座標系S
f( X
f, Y
f, Z
f)
，則下式必成立：) 1 ( ) (
f F
f
R
R =
(1.12)上式對時間微分可得:
) 1 ( ) 1 ( ) ( ) (
r tr F r F
tr V V V
V + = + (1.13)
經移項整理後可得:
)
由(1.15)式及(1.16)式可分別改寫成下列兩式：
)
方程式(1.19)存在唯一解之充要條件為方程式(1.19)之擴增矩陣(Augmented Matrix)
表 1.2 曲線齒在不同設計參數下奇異點發生之位置 單位：mm 參數
截面
) ( F
ψ
n =14.5°,rF=30mmψ
n( F)=20°,rF=30mmZ
1l
FLl
FRl
FLl
FR-15.00 0.933 1.073 -0.856 -0.833 -14.00 1.033 1.148 -0.708 -0.679 -13.00 1.119 1.214 -0.577 -0.546 -12.00 1.194 1.271 -0.462 -0.432 -11.00 1.258 1.320 -0.361 -0.334 -10.00 1.314 1.363 -0.272 -0.248 -9.00 1.362 1.400 -0.195 -0.175 -8.00 1.403 1.433 -0.128 -0.112 -7.00 1.438 1.460 -0.071 -0.058 -6.00 1.467 1.483 -0.023 -0.013 -5.00 1.491 1.502 0.016 0.023 -4.00 1.511 1.517 0.048 0.052 -3.00 1.525 1.529 0.073 0.075 -2.00 1.536 1.537 0.090 0.091 -1.00 1.542 1.542 0.100 0.101 0.00 1.544 1.544 0.104 0.104
聯立方程組(1.24)式及(1.25)式中具有三個未知數，其求解方法為將
θ
F視為已知而給 定一數值以求解一組對應之l
F和φ
1，然後再將θ
F給予一增量，再求解另一組對應之l
F和φ
1，如此即可解得刀具上創成齒面奇異點之限制曲線。玆舉表 1.1 所列之曲線齒圓柱型齒輪設計參數為例，根據方程式(1.24)及(1.25)所組 成之方程式以探討齒輪組之過切情形。表 1.2 與表 1.3 顯示曲線齒左右齒面在不同的設 計參數下，當齒面出現奇異點時，齒輪
Z
1截面位置與齒面參數l
F之關係。其中l
FL表示曲 線齒左齒面∑
1L之齒面參數，l
FR表示曲線齒右齒面∑
1R之齒面參數。由於曲線齒之齒面寬 兩側是對稱的，所以在齒面寬之兩側其奇異點發生處之l
F值亦是對稱的，故表 1.2 與表 1.3 只列出齒面寬其中一側之奇異點發生處。如表 1.2 第二欄所示，改變齒輪之壓力角為 14.5 度時，在此設計條件下，曲線齒左齒面∑
1L在齒面寬中央法向截面(即Z
1=0.0mm 處) 所對應奇異點發生處之l
F值為 1.544mm。若設計用以創成齒面之刀面工作區範圍等於表 1.3 曲線齒在不同設計參數下奇異點發生之位置 單位：mm 參數
截面
) ( F
ψ
n =25°,rF=30 mmψ
n( F)=20°,rF=30 mZ
1l
FLl
FRl
FLl
FR-15.0 -2.844 -3.294 0.104 0.104 -14.0 -2.672 -3.009 0.104 0.104 -13.0 -2.516 -2.770 0.104 0.104 -12.0 -2.378 -2.568 0.104 0.104 -11.0 -2.254 -2.397 0.104 0.104 -10.0 -2.144 -2.251 0.104 0.104 -9.0 -2.047 -2.126 0.104 0.104 -8.0 -1.963 -2.020 0.104 0.104 -7.0 -1.889 -1.930 0.104 0.104 -6.0 -1.827 -1.856 0.104 0.104 -5.0 -1.775 -1.794 0.104 0.104 -4.0 -1.734 -1.745 0.104 0.104 -3.0 -1.701 -1.708 0.104 0.104 -2.0 -1.679 -1.681 0.104 0.104 -1.0 -1.665 -1.666 0.104 0.104 0.0 -1.661 -1.661 0.104 0.104
0.0mm
≤ l
F≤
5.93mm，其中l
F=0.0mm 為創成齒面上漸開線之起點，而l
F=5.93mm 則為創 成漸開線之終點(亦即齒頂)；若奇異點發生處之l
F值落在刀面工作區範圍內，即表示齒 面發生過切現象。由表 1.2 之第二欄中可知，當Z
1=0.0mm 時，齒輪在設計參數l
F=1.544mm 處會發生過切。由表 1.2 與表 1.3 之分析結果可發現，越接近齒面寬中央截面處，齒面越容易發生 過切現象，亦即表示中央截面之齒面過切較嚴重。由於曲線齒之左右齒面不相同，其左 右齒面發生奇異點之
l
F值亦不相同，但越靠近齒面中央之截面處，則左右齒面發生奇異 點之l
F值越相近，如表 1.2 及表 1.3 所示。另外，由表 1.2 及表 1.3 可知，齒面在不同的壓力角設計條件下，其齒面過切情形 亦不同，齒面壓力角越大時，曲線齒之齒面越不容易發生過切現象。表 1.3 最後兩欄表
示刀盤半徑等於 30 公尺之下的分析結果，當刀盤半徑很大時，曲線齒趨近於正齒輪。
由表 1.3 最後兩欄所顯示之過切特性與正齒輪是一致的，即左右齒面呈現對稱形態而其 左右齒面之過切狀態也相同，而且整個齒面在任何一截面的過切現象也相同，由此亦可 驗證本研究所推導之曲線齒圓柱型齒輪之齒面數學模式及分析模式之正確性。