一個完整的有限單元接觸分析模型包含有限單元網格建立、接觸面幾何定義、接觸物理 特性定義、邊界條件及負載定義。本章則利用有限單元法來分析齒輪在負載下的接觸齒 印，其假設條件如下：(1)以三對齒來模擬齒輪組之接觸。(2)齒輪組的材料為等向均質 材料。(3)齒輪組為小變形及小滑動。(4)不考慮熱應力。
4.2.1 有限單元網格
曲 線 齒 輪 之 齒 面 為 複 雜 三 維 曲 面 ， 無 法 利 用 一 般 CAD 軟 體 如 I-DEAS 或 ProEngineer 來建立，本計畫利用曲線齒輪之齒面方程式如本章第一節所示，自行發展三 維齒面的有限單元網格建立軟體，可精確地計算齒面上任一節點的座標值，包括漸開線 作用齒面及齒根圓角部分，並可控制局部區域的網格密度，因而有效地降低有限單元法 中的幾何誤差。此外，使用自行研發的齒輪接觸分析軟體可計算出齒輪組的理論接觸 點，可加速齒輪組有限單元分析的計算速率。
在有限單元分析中，元素的選擇是一項關鍵因素，不同類型的元素將產生不同的準 確度，本計畫使用具有 8 個節點之六面體元素(C3D8I)來建立齒輪組的接觸有限單元模 型，此種元素屬於一階元素，同時具有非協調模式，以改善元素的彎曲特性。 具有三 對齒的齒輪組有限單元網格如圖所示，在其齒面寬中央齒面區域，其網格有局部加密，
可提高幾何精度並加速有限單元計算之收斂情形。
4.2.2 接觸面與表面特性定義
有限單元分析軟體 ABAQUS/Standard 的接觸分析定義包含兩部分：接觸面之定義 及接觸特性之定義。接觸面可分為兩種，一為 Master，一為 Slave。齒輪材料較硬或齒 面之網格較粗者為 Master，相反地，材料較軟或網格較細者為 Slave。分析軟體規定在 Master 上的節點可穿透 Slave，而 Slave 上的節點不可穿透 Master。在分析模型中，假設 小齒輪之齒面較軟，故小齒輪之齒面為 Slave，而大齒輪之齒面為 Master。此外，在分 析時選擇小滑動(Small sliging)及有充分地潤滑，故摩擦力可忽略。
圖 4.1 三對齒之有限單元網格
4.2.3 邊界條件之施加(Boundary Condition)
元素 C3D8I 具有 8 個節點，每個節有三個平移自由度，在分析模型中，大齒輪的側 邊及底邊上的每一節點階固定，即大齒輪的側邊及底邊上的節點平移量設為零。小齒輪 底邊上的每一節點利用剛體樑元素與傳動軸上的節點相聯，而傳動軸上的節點只可繞傳 動軸旋轉，其他自由度，如三個平移與二個旋轉階固定不動。扭力施加於小齒輪的旋轉 軸上，使小齒輪與大齒輪之齒面相互嚙合。具有三對齒的齒輪組有限單元接觸分析模型
如圖 4.2 所示。
圖 4.2 三對齒之有限單元模型
表 4.1 曲線齒輪組的設計參數
Gear Pinion
齒數 36 18
法向模數 3 3
法向壓力角 20˚ 20˚
齒面寬 30 mm 30 mm
刀盤半徑 42.85 mm 42.85 mm
節圓半徑 54 mm 27 mm
外徑 114 mm 60 mm
Pinion
Gear Fixed Point
Torque
表 4.2 齒輪材料特性
中碳鋼 AISI 1045
彈性模數 (MPa) 205.0E3 包松比(Poisson’s Ratio) 0.29
密度 (Kg/mm3) 78.5E-7
硬度 (HB) 350
允許的接觸應力 (Mpa, Source: AGMA 2001-C95) 980 允許的彎曲應力 (MPa, Source: AGMA 2001-C95) 275
表 4.3 有限單元分析模型
Gear Pinion
元素總數量 75,168
節點總數量 96,362
元素種類 C3D8I
接觸對 Master surface Slave surface 表面特性 Small sliding, no friction
邊界條件 Fixed Torque applied 50 N-m