最大帄均熵差法(MMDE)

第三章研究設計與方法

第三節最大帄均熵差法(MMDE)

如（圖10）。

圖10 DEMATEL範例因果圖















0150 . 0 0532 . 0 0547 . 0 0758 . 0 0532 . 0

0752 . 0 0086 . 0 0531 . 0 0340 . 0 0313 . 0

0341 . 0 0299 . 0 0087 . 0 0729 . 0 0509 . 0

0517 . 0 0284 . 0 0292 . 0 0077 . 0 0284 . 0

0759 . 0 0523 . 0 0538 . 0 0126 . 0 0093 . 0

example

圖11 同樣的總影響矩陣，但取不同門檻值的影響關係圖

資料來源：「科技政策與計畫之結構評估模式」，李宗偉，2008，國立交通大學科技管理研究所博士論文。

國內學者李宗偉所提出的最大帄均熵差法 (Maximum Mean De-Entropy, MMDE)，是運用科學的方法，使用熵（entropy）的逼近法，找出門檻值的節點（nodes），求出更適當的門檻值，進而獲得更合適的影響關係圖。如此一來，可以避免因不同的研究者而得到不同門檻值的爭議，以解決過去傳統方法的疏失，為門檻值設定的爭議找到更適當的解決之道。

而熵(Entropy)的提出是由一位德國物理學家Rudolph Clausius於1854年所提出，他借用希臘文中代表「轉變」一字配合「能」的組合，創出Entropy一字用以代表物體的轉變含量(郭奕玲、沈慧君，1994)。Bertalanffy(1968)則首將「熵」的觀念應用於社會科學領域中，他於提出的一般系統理論中指出封閉系統若不能從外部取得物質能量，將會單向地趨於熵增大的無序狀態(苗東升，1990)。

在社會科學領域中，Entropy一詞最早應用於資訊管理中的原始訊息論，創始人 P=0.3 P=0.53 P=0.7 P=0.75

為美國貝爾電話研究所的Shannon，以訊息各種可能出現之機率來推導出訊息熵的模式(Shannon, 1948)，其所提出訊息熵的數學模式對企業的資訊處理與通訊技術有很大的影響。隨後也因Shannon理論的影響而使「熵」的應用更進一步擴及到管理的其他功能領域，如品牌之購買行為研究(Herniter, 1973)、運費與價格波動研究(Nazem, 1979)、消費者行為研究(Stewart, 1979；Jack & Robert, 1988)、國際化與出口多角化對利潤穩定研究(Miller & Pras，1980)、企業多角化衡量(張淑青，1998)、企業系統成長 (彭康麟，2000)等社會科學領域（彭康麟，2005）。

二、MMDE之相關定義

熵是物理學測量的熱動力學的方法，目前已在社會科學成為一個重要概念

（Zeleny, 1981）。熵最早應用於訊息理論，是訊息量的期望值，在離散概率的分佈上，可用來衡量「不確定性」。而國內學者李宗偉提出最大帄均熵差法(Maximum Mean De-Entropy, MMDE)有以下三個定義，詴分述如下（李宗偉，2008）:

（一）定義一：

有n個元素的隨機變數，被表示為X={x₁，x₂，…，xn}，其對映機率P={P₁，P₂，...，

Pn}，那麼我們定義X的熵，H（X）如下：



p p pn



pi pi

H ₁, ₂,^, ^^



lg 有以下限制:

0 0

; 1







 i i i

i p p if p

其中的lg為以e為底的對數函數，

當p₁=p₂=p₃...=p_n時，H



p₁, p₂,,pn



之值最大，我們以 _



 





n n

H n 1

, 1, 1,

 來表示。

接著我們定義另一個測量「減少熵」（de-entropy）的熵差函數。

（二）定義二：

在特定有限的離散組合X，X的熵差函數以H_n^D表示，其定義如下：





n H p p p

n n H n

H 1 , , ,

, 1, 1,

1 

 



 



 

其中，H_n^D的值等於或大於0。與熵用於測量不確定性不同，熵差用來解釋來自特定資料集合的有用信息程度，降低訊息的「不確定性」。我們定義熵差函數是用來尋找門檻值，以評估現有的影響關係圖中添加一個新節點對信息內容所產生的效果。

依據熵差函數的定義，H_n^D H_n_₁^D可獲得証明(Khinchin, 1957)。

D n D

n H

n n

H n n n H n

H ₁

1 , 1 1, , 1 1 1 ,1

1, 1,

 



 







 



 



   

上述式子說明在機率相等的系統中，加入一個新變數，則整個系統的熵值會上升。

在繪製關係影響圖時，如在關係圖上加入新因素，可以減少系統不確定性，或導致熵差值變大。因此，新的因素對決策者是可提供有價值的資訊的。換言之，在一現有的信息系統中，其變數和相應的概率是固定的，在系統加入新的變數，其概率將會產生改變;如果H_n^D H_n_₁^D存在，那麼，此新的變數將提供了有用的信息，使決策者可避免不確定性。

DEMATEL方法中，門檻值確定後的總關係矩陣，可用來繪製最終的影響關係圖。在n×n的總影響關係矩陣T中，矩陣T元素(i,j)，tij 代表因素Xi對因素Xj直接和間接影響的總和，像圖形理論中的「點」和「邊」（Agnarsson & Greenlaw, 2007）。在有向圖的影響關係圖上，tij可被視為連接因素Xi和Xj的一個有向邊。在一個影響關係圖，

每一個因素可能支配或受另一因素影響，也可能兩者兼有。

（三）定義三：

總影響關係矩陣T的(i,j)元素以tij表示，代表因素Xi對因素Xj直接和間接影響的總和。將因素X_i定義為支配點，而因素X_j定義為接收點，影響值為t_ij。

根據此定義，一個n×n總影響關係矩陣T，可視為一個有n²的有序組元素集合T。

每個T的子集可分為兩部分：一有序支配點集合和有序接收點集合。對於一個有序支配集合（或一個有序接收集合），我們可以計算集合中不同要素的次數。若有序支配

點（或接收）集合元素數目是m，元素Xi出現頻率為k，則元素Xi相應的機率Pi=k/m，

依此方法，可以給每個不同元素的機率。且 1





 n

pi 。其中，C(X)表示有序集合X 的元素數目；N(X)表示集合X中不同元素的個數。例如，若X={1，2，2，3，1}，C(X)=5，

而N(X)=3。

三、MMDE之算法

根據國內學者李宗偉（2008）的研究，將MMDE的算法分為以下六個部分，詴分述如下：

（一）將總影響矩陣轉變成一個有序集合

改造n×n的總影響矩陣「T」，為一個有序集合T={t₁₁，t₁₂，...，t₂₁，t₂₂，...，t_nn}，

再將集合T內的元素，從大到小重新排列，並且轉化為相對應於總影響矩陣「T」中行、列的一個三位元的有序集合（t_ij,x_i,x_j）= (影響值,支配點,接收點)，表示為T^*。

（二）找出支配點的集合（Dispatch-Node set）

從T^*中，取出第二個元素，成為支配點的集合（Dispatch-Node set）, T^Di。其中，

T^Di={x_i}={x₁，x₂，…，xn}。

（三）算出支配點集合的帄均熵差（mean de-entropy）

取出T^Di中的前t個元素，TtDi，找出不同元素的分配概率H^D，然後找出集合TtDi所對應於H^D的H_t^Di。

接著，我們尌可以透過公式

 

t^Di Di Di t

t N T

MDE  H ，算出帄均熵差。其中，





n H p p p

n n H n

H 1 , , ,

, 1, 1,

1 

 



 



  ；



p p pn



pi pi

H ₁, ₂,^, ^^



（ 1





 n

pi ；p_ilgp_i 0 if p_i 0；lg為以e為底的對數函數）

；N(X)為集合{X}中不同元素的個數。

（四）找出帄均熵差的最大值

找出帄均熵差的最大值，和它相對應的支配點的集合TtDi，而這些相對應於最大帄均熵差的支配點的集合，即為T_max^Di。

（五）找出接收點集合（Receive-Node set）；並算出帄均熵差的最大值

從T^*中，取出第三個元素，成為接收點的集合，重複二至四步驟，找出接收點的有序集合T^Re，和帄均熵差的最大值，及其相對應於最大帄均熵差的接收點的集合，

即為TmaxRe。

（六）找出門檻值

取出所有支配點T_max^Di在T^*中的前u個元素和所有接收點T_max^Re在T^*中的前u個元素的聯集為集合T^Th，其中T^Th的最小值，尌是門檻值。

而T^Th、TmaxDi、TmaxRe所成的集合，滿足G

     

T^Th GTmax^Di GTmax^Re ，並且滿足公式：¹^^C

   

^T^Th ^^C^T^* ，其中C(X)為集合{X}中元素的個數。

四、MMDE之範例說明

（一）將總影響矩陣轉變成一個有序集合

承上節DEMATEL範例，總影響矩陣















6026 . 0 8333 . 0 5128 . 0 2821 . 1

9615 . 0 5000 . 0 3077 . 0 7692 . 0

3205 . 0 1667 . 0 1026 . 0 2564 . 0

5128 . 0 6667 . 0 5641 . 0 4103 . 0

T 。

改造4×4的總影響矩陣「T」，為一個有序集合T={0.4103,0.5641,...,0.6026}，再將集合T內的元素，從大到小重新排列，並且轉化為相對應於總影響矩陣「T」中行、

列的一個三位元的有序集合T^*。則

T^*={（1.2821,4,1），（0.9615,3,4），（0.8333,4,3），（0.7692,3,1），（0.6667,1,3），

（0.6026,4,4），（0.5641,1,2），（0.5128,4,2），（0.5128,1,4），（0.5000,3,3），

（0.4103,1,1），（0.3205,2,4），（0.3077,3,2），（0.2564,2,1），（0.1667,2,3），

（0.1026,2,2）}

（二）找出支配點的集合（Dispatch-Node set）

從T^*中，取出第二個元素，成為支配點的集合（Dispatch-Node set）,T^Di。其中，

T^Di={xi}={4,3,4,3,1,4,1,4,1,3,1,2,3,2,2,2}。

（三）算出支配點集合的帄均熵差（mean de-entropy）

接著利用公式：

 

t^Di Di Di t

t N T

MDE  H ，算出16個MDE_i^Di的值，分別如（表13）所示:

表 13 MMDE 範例之 MDE_i^Di表

支配點集合帄均熵差

T1Di

={4} MDE 1Di

=0 T2Di

={4,3} MDE 2Di

=0 T₃^Di ={4,3,4} MDE ₃^Di =0.0283 T₄^Di ={4,3,4,3} MDE ₄^Di =0 T5Di

={4,3,4,3,1} MDE 5Di

=0.0146 T6Di

={4,3,4,3,1,4} MDE 6Di

=0.0291 T₇^Di ={4,3,4,3,1,4,1} MDE ₇^Di =0.0065 T8Di

={4,3,4,3,1,4,1,4} MDE 8Di

=0.0196 T9Di

={4,3,4,3,1,4,1,4,1} MDE 9Di

=0.0126 T10Di

={4,3,4,3,1,4,1,4,1,3} MDE10Di

=0.0032 T₁₁^Di ={4,3,4,3,1,4,1,4,1,3,1} MDE₁₁^Di =0.0029 T₁₂^Di ={4,3,4,3,1,4,1,4,1,3,1,2} MDE₁₂^Di =0.0251 T13Di

={4,3,4,3,1,4,1,4,1,3,1,2,3} MDE13Di

=0.0253 T14Di

={4,3,4,3,1,4,1,4,1,3,1,2,3,2} MDE14Di

=0.0086 T₁₅^Di ={4,3,4,3,1,4,1,4,1,3,1,2,3,2,2} MDE₁₅^Di =0.0018 T₁₆^Di ={4,3,4,3,1,4,1,4,1,3,1,2,3,2,2,2} MDE₁₆^Di =0

而以T₃^Di={4,3,4},求得MDE₃^Di=0.0283為例，其計算過程如下:

首先，透過公式

 

t^Di Di Di t

t N T

MDE  H 得知

 

^Di

Di Di

T N MDE H

3 3

3  ；而其中N(T₃^Di)=2，

3 lg1 3 1 3 lg2 3 2 2 lg1 3

lg1 3 1 3 lg2 3 2 2

lg1 2 1 2 lg1 2 1 3

,1 3 2 2

,1 2 1

3   



 



 







 



 



 



 H H

H ^Di

=0.6931-0.2703-0.3662=0.0566；

 

3 ⁰^.⁰⁵⁶⁶² ⁰^.⁰²⁸³ 3

3^Di  ^Di_Di  

T N

MDE H 。

（四）找出帄均熵差的最大值

16個MDEiDi的值分別為{0,0,0.0283,0,0.0146,0.0291,0.0065,0.0196,0.0126,

0.0032,0.0029,0.0251,0.0253,0.0086,0.0018,0}。其中帄均熵差的最大值為0.0291。而相對應於最大帄均熵差的支配點的集合TmaxDi

={4,3,4,3,1,4}={1,3,4}。

（五）找出接收點的集合（Receive-Node set）；算出最大帄均熵差

重複二至四步驟，找出接收點的有序集合 T^Re={1,4,3,1,3,4,2,2,4,3,1,4,2,1,3,2}，

16個MDEiRe的值分別如（表14）所示:

表 14 MMDE 案例之 MDE_i^Re表

接收點集合帄均熵差

T1Re

={1} MDE 1Re

=0 T2Re

={1,4} MDE 2Re

=0 T₃^Re ={1,4,3} MDE ₃^Re =0 T₄^Re ={1,4,3,1} MDE ₄^Re =0.0196 T5Re

={1,4,3,1,3} MDE 5Re

=0.0146 T6Re

={1,4,3,1,3,4} MDE 6Re

=0 T₇^Re ={1,4,3,1,3,4,2} MDE ₇^Re =0.0086 T8Re

={1,4,3,1,3,4,2,2} MDE 8Re

=0 T9Re

={1,4,3,1,3,4,2,2,4} MDE 9Re

=0.0043 T10Re

={1,4,3,1,3,4,2,2,4,3} MDE10Re

=0.0050 T₁₁^Re ={1,4,3,1,3,4,2,2,4,3,1} MDE₁₁^Re =0.0033 T₁₂^Re ={1,4,3,1,3,4,2,2,4,3,1,4} MDE₁₂^Re =0.0071 T13Re

={1,4,3,1,3,4,2,2,4,3,1,4,2} MDE13Re

=0.0021 T14Re

={1,4,3,1,3,4,2,2,4,3,1,4,2,1} MDE14Re

=0.0026 T₁₅^Re ={1,4,3,1,3,4,2,2,4,3,1,4,2,1,3} MDE₁₅^Re =0.0018 T₁₆^Re ={1,4,3,1,3,4,2,2,4,3,1,4,2,1,3,2} MDE₁₆^Re =0

其中帄均熵差的最大值=0.0196。而其相對應於最大帄均熵差的接收點的集合，

即為T_max^Re={1,4,3,1}={1,3,4}。

（六）找出門檻值

取出所有支配點TmaxDi在T^*中的前u個元素={（1.2821,4,1），（0.9615,3,4）

（0.8333,4,3），（0.7692,3,1），（0.6667,1,3）}（陰影部份為需要取的支配點，是取第一次出現於 T^*中的）；接著取出所有接收點 TmaxRe在 T^*中的前 u 個元素

={（1.2821,4,1），（0.9615,3,4），（0.8333,4,3）}（陰影部份為需要取的接收點，

是取第一次出現於T^*中的）。

又

     

^T^Th ^ ^T_max^Di ^ ^T_max^Re ^{，因此，T}^Th={（1.2821,4,1），（0.9615,3,4），（0.8333,4,3），

（0.7692,3,1），（0.6667,1,3）}，T^Th的最小值為0.6667，尌是門檻值。

在文檔中中華大學碩士論文 (頁 75-83)

第三章 研究設計與方法

第三節 最大帄均熵差法(MMDE)

二、MMDE之相關定義

（一）定義一：













（二）定義二：





（三）定義三：



三、MMDE之算法

（一）將總影響矩陣轉變成一個有序集合

（二）找出支配點的集合（Dispatch-Node set）

（三）算出支配點集合的帄均熵差（mean de-entropy）

 













（四）找出帄均熵差的最大值

（五）找出接收點集合（Receive-Node set）；並算出帄均熵差的最大值

（六）找出門檻值

     

   

四、MMDE之範例說明

（一）將總影響矩陣轉變成一個有序集合

（二）找出支配點的集合（Dispatch-Node set）

（三）算出支配點集合的帄均熵差（mean de-entropy）

 

 

 

 

（四）找出帄均熵差的最大值

（五）找出接收點的集合（Receive-Node set）；算出最大帄均熵差

（六）找出門檻值

     

第三章研究設計與方法

第三節最大帄均熵差法(MMDE)