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隱含波動度依然是隨著到期時間的減少而一路上升。圖 4 則是到期時間 30～60 天的隱含波動度平面，和圖 3 相比，明顯地波幅的型態有了不同，在 30～60 天 當中，波幅變成較接近 skew 的情形，隱含波動度基本上是隨著價內外程度一路 上升。但是分類內隱含波動度隨著到期時間減少而上升的情況並沒有改變。如 果再比較圖 5 和圖 6，則可以發現波幅的曲度愈來愈低，愈來愈接近直線的型態，
而期間結構則總是維持負斜率。不同的到期期間在波幅上會有這樣的差異，可 能是因為在接近到期前，投資者除了預期 VIX 可能突然上升，也會針對 VIX 突 然 下 降 的 風 險 來 進 行 避 險 ， 導 致 屢 約 價 格 較 低 的 合 約 的 隱 含 波 動 度 也 因此而上升。
4.2 模型估計
表 5 是各個模型以最小平方法得到的估計結果。Model 1 的調整後相關係數 僅有 10.95％，Model 2 則有 61.90％，Model 3 在價平波動度的部分調整後相 關係數達到了 89.70％，但是在相對波動度的部分則只有 20.48％。從前面的圖 形已經可以看到隱含波動度明顯受到到期時間的影響，因此 Model 1 在整個樣
表 5 各模型係數估計結果
a
0a
1a
2a
3a
4a
5 Adj R2 Model 0 0.6939Model 1 0.6591 0.2115 0.0755 0.1095 Model 2 0.9739 0.3056 0.1464 -1.4967 0.9826 -0.3523 0.6190
Model 3
0.0602 0.9206 0.7810 -0.5375 0.8970
0
1
2-0.3248 0.3429 0.0619 0.2048 說明：表中所有係數均在 99％的信心水準下顯著異於 0。
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圖7 不同合約的隱含波動度
說明：2009年10月1日時，不同履約價格和到期時間的合約的隱含波動度，分別由2009 年10月、11月、12月以及2010年1月到期的各個履約價格合約計算而得。標準化價內外
程度為
T t
F K
t ATM t
t
i
,
ln ,
圖8 相同合約在不同到期時間之隱含波動度
說明：2009年10月到期的各個履約價格合約，在分別尚有7天、14天、21天和28天到期 時的隱含波動度。
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本的配適度不佳是可以預期的，也因此在加入到期時間因子後，配適度有了大 幅的上升。至於 Model 3 在價平隱波動度的配適上看起來似乎不錯，但是在相 對隱含波動度的配適上，經過價平波動度和到期時間調整的標準化價內外程度 對於相對波動度的解釋能力卻不甚理想，不同於此函數在 S&P500 指數選擇權市 場上的表現。之前的文獻提到使用標準化價內外程度的好處是估計出來的係數 穩定，但是我們從圖 7 可以看到使用標準化價內外程度畫出的笑狀波幅，在同 一時間點上若對應不同的到期時間，波幅的位置和形狀並不一致，圖 8 也顯示 交易日及到期時間相同的一組合約，隨著時間經過，波幅也在變動，因此配適 的效果不佳。
表 6 各模型樣本內評價誤差 所有選擇權
模型 平均誤差 均方誤 平均絕對誤差 Model 0 0.2068 0.4486 0.4970 Model 1 0.1983 0.4415 0.4877 Model 2 0.0370 0.1888 0.3049 Model 3 0.0941 0.4165 0.4358
買權
平均誤差 均方誤 平均絕對誤差 Model 0 0.1933 0.4349 0.4882 Model 1 0.1947 0.4278 0.4796 Model 2 -0.0377 0.1871 0.3007 Model 3 0.0749 0.3974 0.4221
賣權
Model 0 0.2208 0.4633 0.5062 Model 1 0.2018 0.4562 0.4965 Model 2 -0.0353 0.1912 0.3096 Model 3 0.1045 0.4557 0.4449
說明：平均誤差為預測價格減去實際價格後誤差的平均，正值表示預測值平均起來高估。均方 誤和平均絕對價格分別為將誤差取平方和取絕對值後的平均值。
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各個模型配適出隱含波動度後，就可以依此算出選擇權價格的理論值。表 6 是各 模型在所有樣本，以及分別在買權以及賣權內的評價誤差。只使用價內外程度的 Model 1 由於配適度低，評價上表現出來的結果也極差，和固定波動度的 model 0（BS model）
相比效果幾乎相同；相對的，model 2 加入到期時間因子後，配適度提高的效果也確實 反映在誤差的降低。而動態的 model 3 雖然在捕捉價平波動度上看起來不錯，但由於 在相對波動度的預測不佳，因此樣本內的表現僅較 model 1 好一些。
前面我們透過對資料作分類後的隱含波動度平面來觀察隱含波動度的特性，這裡 我 們 再 從 函 數 估 計 出 來 的 係 數 來 觀 察 各 個 因 子 對 隱 含 波 動 度 的 影 響 。 Model 2 的係數中，
a 控制波幅的最低點落於何處，
1a 控制了笑狀波幅的寬度。
2a
3和a
4 控制到期時間對波動度的影響，a
5則捕捉到期時間和價內外程度的混合效果。a 和
1a 分
2 別為為 0.3056 和 0.1464，意謂著這條迴歸線的最低點大約落在 ln(K/F) ＝－1.04 處，表示就整體來看，在我們的資料範圍（-0.7, 0.7）內，在到期時間不變的情況下，隱 含波動度大致隨著價內外程度的上升而上升，呈現 skew 的情形。而若價內外程度固定，
則到期時間與隱含波動度的關係為：
3 5 ,
,
0 1 , 2 2,
2 , 4
,t it it it it it
i
a T a a MN T a a MN a MN
由於
a
4
0，隱含波動度對到期時間的二次迴歸曲線最低點落在T
a
3 a
5 MN
i,t
2a4的位置， a
3 a
5 MN
i,t
2a4的最小值為 0.63613 (年)，表 示到期時間小於 0.6361 年(約 232 天)的合約4，其隱含波動度大致隨著到期時間的減少 而上升，而且愈接近到期，隱含波動度提高的速度愈快。
3 由於
t
MNi, 的範圍落在(-0.7, 0.7)之間，
a3a5MNi,t
2a4的最小值發生在MNi,t 0.7時，
1.4967(0.3523)(0.7)
20.9826
0.6361 T
4 到期天數小於 232 天的合約佔樣本的絕大部分，約 90.75％。
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圖 9 曲線右移示意圖
圖 10 實際與預測價平隱含波動度比較圖
至於價內外程度與到期時間的關係，若到期時間固定，迴歸式為：
1 5 ,
,
0 3 , 4 2,
2 , 2
,t it it it it it
i
a MN a a T MN a a T a T
由於
a
5
0，當 T 變大時，將使得迴歸曲線右移，這將使得 (虛線) 範圍內的波幅斜率 降低 (見圖 9)，也就是到期時間愈短，即T
i,t愈小時，微笑波幅較為陡峭，而長期合約‧ 國
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的笑狀波幅則相對較平坦。
圖 10 為動態的 Model 3 在價平波動度的預測上與實際走勢的比較。首先，在價平 波動度的部分，由係數