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金 融 學 系 碩 士 班
碩 士 論 文
VIX 選擇權之評價及其隱含波動度之探討
Valuation and Implied Volatility of VIX Options
指導教授：陳威光 博士
研究生：黃暐能
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誌 謝
開始動手敲下致謝的第一個字，意謂著研究所的生涯即將告一段落。在不斷 地學習與研究中，研究所短短兩年的時間轉瞬即逝，在政大金融所上的第一堂選 擇權的課似乎仍歷歷在目，轉眼間已經要畢業了。這段時間的學習和經歷對我來 說真是相當重要的一個階段。 本論文能夠順利完成，首先感謝我的指導教授陳威光老師這兩年來對我辛勤 的教導。老師在課堂上的表現永遠是那麼地獨樹一格，完全激發出我對選擇權以 金融商品的興趣，這麼對學生生活關心的老師也是前所未見。論文方面適時地提 點我進行的方向更是對我幫助匪淺。另外也要感謝口試委員郭維裕教授和徐政義 教授對本論文的指導和修正，使得本論文能更趨於完整。 感謝蔡老，在課業、打球與多次出遊等活動中都受到你許多的照顧，這些活 動也讓我的研究所生活更多采多姿，你真是我的貴人，和你相處的時光會是我研 究所生涯中難忘的回憶；感謝建安、聖元、來亦儂在我在十一樓奮鬥時幫我帶了 許多餐的晚餐，讓我可以有更多的時間投入在課業上，和你們打牌更是繁重的研 究所生活中小小的調劑；謝謝戰友祈凱學長在口試前幫忙處理許多瑣碎的事務， 聯絡老師、送交論文紙本等工作都是學長幫我處理，讓我可以在最後關頭專心完 成我的論文。 最後我要感謝我的家人，父母生活上的照顧讓我在學習外無後顧之憂，本 論文完成之時也是逢姊姊的小寶寶出生，希望小姪子可以健康平安地長大。感謝 父母以及姊姊在我成長一路上的栽培和照顧，真的由衷地感謝你們。‧
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VIX 選擇權之評價與隱含波動度之探討
摘要
CBOE 於 2006 年 2 月推出了 VIX 選擇權，本論文利用 2006 年 2 月 24 日至 2010 年 6 月 30 日的 VIX 選擇權資料，計算出其隱含波動度，結果發現 VIX 選 擇權的隱含波動度具有以下性質：(1)隱含波動度隨著價內外程度的提高而上 升，故其笑狀波幅大致呈現由左下至右上的型態；(2)隱含波動度隨著到期時間 的減少而上升，愈長期的合約平均來說隱含波動度愈低；(3)隨著到期時間的減 少，笑狀波幅的斜率更為增加，即隨著到期日的接近，微笑波幅更為陡峭，價 內和價外選擇權的隱含波動度的差距加大；(4)VIX 和 VIX 的波動度具有正向的 不對稱關係，即 VIX 的上漲將使 VIX 波動度上升，且 VIX 上漲使 VIX 波動度上 升的幅度大於 VIX 下跌使 VIX 波動度下降的幅度。 VIX 選擇權中，除了價內外程度，到期時間也扮演著相當重要的角色。不 論是從樣本內的配適度或是從評價結果來看，加入到期時間因子後，誤差都有 大幅的改善，顯示到期時間對於評價選擇權價格很重要，以價內外程度和到期 時間作為解釋變數的模型在評價上擁有最高的準確度，而且評價誤差相當穩 定，在各個年度當中並沒有明顯的落差。 而本文最佳的模型與 Wang ＆ Daigler (2011)使用過去各個模型得到的評 價誤差作比較，即便和 Wang 認為最佳的 Whaley 模型相比，誤差仍然勝過 Whaley 模型，因此我們可以推論市場上的交易者或許仍然是採用較簡單的方式來評價 選擇權，而非透過類似 Lin ＆ Chang 此類複雜的模型。‧
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目錄
第１章 緒論... 1 1.1 研究背景... 1 1.2 研究目的... 5 1.3 研究架構... 5 第２章 文獻回顧... 6 第３章 研究方法與資料... 10 3.1 理論... 10 3.2 模型設定... 12 3.3 資料... 13 第４章 實證結果與分析... 15 4.1 VIX 選擇權隱含波動度型態描述 ... 15 4.2 模型估計... 20 4.3 模型測試結果... 25 4.4 模型在各期間表現... 32 第 5 章 結論... 33 參考文獻... 35‧
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表目錄
表 1 VIX 指數日變動率分配... 4 表 2 VIX 選擇權敘述統計... 15 表 3 VIX 買權隱含波動度分類敘述統計... 16 表 4 VIX 賣權隱含波動度分類敘述統計... 17 表 5 各模型係數估計結果 ... 20 表 6 各模型樣本內評價誤差 ... 22 表 7 各模型隱含波動度預測值(每週三) ... 26 表 8 各模型隱含波動度誤差(每週三) ... 26 表 9 各模型選擇權評價誤差(每週三) ... 27 表 10 Model 4 係數估計結果... 28 表 11 Model 4 隱含波動度與選擇權評價誤差(每週三)... 29 表 12 價平波動度預測誤差 ... 30 表 13 各模型選擇權評價誤差(每日) ... 30 表 14 Model 2R 不同天數後評價誤差 ... 31 表 15 Model 2R 每日評價誤差... 31 表 16 各年度評價誤差... ... 32‧
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圖目錄
圖 1 S&P 500 指數與 VIX 指數走勢... 2 圖 2 VIX 指數日變動率分配... 4 圖 3 VIX 選擇權隱含波動度平面(到期天數 30 天以內) ... 18 圖 4 VIX 選擇權隱含波動度平面(到期天數 30～60 天)... 18 圖 5 VIX 選擇權隱含波動度平面(到期天數 60～90 天)... 19 圖 6 VIX 選擇權隱含波動度平面(到期天數超過 90 天)... 19 圖 7 不同合約的隱含波動度 ... 21 圖 8 相同合約在不同到期時間之隱含波動度 ... 21 圖 9 曲線右移示意圖 ... 24 圖 10 實際與預測價平隱含波動度比較圖 ... 24 圖 11 實際與預測價平隱含波動度比較圖(每週三) ... 29‧
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第１章 緒論
1.1 研究背景
1987年十月的股市大崩盤，使得市場和學術界開始注意到波動度商品，而 芝加哥選擇權交易所(Chicago Board Options Exchange, CBOE)在2006年2月24 日推出了一個新的波動度商品：VIX選擇權 (Options on Volatility Index)。 VIX選擇權讓投資者可以針對S&P500指數的波動度來進行投機或避險的交易。 VIX選擇權推出後交易量便迅速地成長，在2006年總交易量為約500萬口，到了 2009年已經成長到3,300萬口，2010年僅上半年交易量就已經超過3,000萬口， 平均每日交易量已達到25萬口，因此VIX選擇權的正確評價更顯重要。 VIX的理念是為了衡量市場對市場未來30天波動度的預期，最初CBOE以 S&P100指數選擇權的價格算出隱含波動度，利用8個近月與次近月接近價平買賣 權合約的隱含波動度加權平均而計算出VIX。而在2003年9月，CBOE改用使用上 更為廣泛的S&P500股價指數選擇權作為標的，重新編制VIX，並將1993年提出的 VIX更名為VXO。有別於舊的VXO指數使用隱含波動度的加權平均求得，新的VIX 在計算上不需模型 (model-free)，在變異數交換契約 (variance swaps)的理 論基礎下，直接透過近月與次近月價平和價外的買賣權的履約價格和市價計算 而得。 由圖1可以看到S&P500指數和VIX指數走勢呈現一個反向的關係，兩者一階 差分的的相關係數為-0.83。因此VIX選擇權除了可以作為規避波動度風險的商 品，這種負相關的特性使得VIX選擇權也可以加入權益的投資組合以分散風險並 提昇效率前緣。此外，當投資者因為投機或避險需求而要交易股票市場的波動 度，若利用一般選擇權的跨(勒)式策略(straddle/strangle)，則損益勢必要受 到標的指數價格、利率、股利等因素的影響。相對的，VIX選擇權的標的VIX在‧
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圖 1 S&P 500 指數與 VIX 指數走勢 0 10 20 30 40 50 60 70 80 600 800 1000 1200 1400 1600 02/24/2006 02/24/2007 02/24/2008 02/24/2009 02/24/2010 S&P 500 VIX 說明：2006年2月24日～2010年6月30日之間的S&P 500指數與VIX指數(週資料) 計算上與上述影響一般選擇權價格的因素皆無關，因此使用VIX選擇權來交易波 動度便不必考慮這些因素對波動度部位的影響，可以更方便地達到規避波動度 風險的目的。 關於VIX選擇權的評價，過去相關的文獻並不多。Whaley (1993)以Black (1976)的期貨選擇權評價模式為基礎，假設波動度固定，以歷史資料估算出VIX 選擇權的隱含波動度，再求得VIX選擇權價格；Grunbichler ＆ Longstaff (1996)和Detemple ＆ Osakwe (2000)基於波動度具有均數迴歸 (mean- reverting)的性質，在VIX的波動度固定的假設下，建構VIX的動態，並推導出 VIX選擇權公式解；Lin ＆ Chang (2009)則是透過建構具有跳躍 (jump- diffusion)過程，且波動度具有報酬相關性的均數迴歸性質的S&P500動態過 程，來求得VIX選擇權的封閉解；Carr ＆ Lee (2007)的VIX選擇權評價方法則 為無模型(model-free)方法的先驅，不需要進行參數估計的動作，直接利用市 場資料計算而得。然而，過去這些評價模型及方法缺乏資料檢驗，只能使用模 擬產生VIX指數路徑以檢驗模型，直到Wang ＆ Daigler(2011)才針對過去的模‧
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型以市場資料驗證比較各個模型的優劣。 如同交易一般選擇權面臨波動度風險，交易VIX選擇權同樣必頇面臨VIX的 波動度風險。Black-Sholes公式假設同一標的的選擇權波動度皆相同，且不隨 時間改變。因此若將隱含波動度表達成履約價格和到期時間的函數，畫出一個 隱含波動度平面(implied volatility surface)，此平面應該為一個固定不變 的水平面。但實際上觀察由選擇權市價反推而得的隱含波動度，可以發現市場 的情形和理論的假設並不同。不同履約價格的合約隱含波動度會有所差別，不 同到期時間的合約隱含波動度可能也不盡相同。 若將隱含波動度表示成履約價格(或價內外程度1 )的函數畫出其波幅，隨著 市場不同，波幅可能呈現smile (價平附近隱含波動度較低)或skew (價內或價 外處隱含波動度較低)的形狀。會有這樣的現象，可能是因為標的報酬實際分配 的尾端機率大過常態分配的尾端機率。例如在外匯市場，匯率驟升和驟跌的機 率都大過常態分配的預期，導致價外的買權和賣權價格都較高，因此若畫出波 幅，曲線呈現兩端都較高，類似U字型的情形，為名副其實的笑狀波幅。Campa, Chang ＆ Reider (1998)中就有展示在多種外匯市場確實都有如此現象；而在 權益市場，價格大跌的機率較大，因此對於股票或股價指數選擇權，投資人較 傾向購買價外賣權避險，因此履約價格較低的合約隱含波動度較大，波幅呈現 左上至右下的skew。Dumas, Fleming ＆ Whaley (1998)的文章中可以看到 S&P500股價指數選擇權具有此特性；而在Borovkova ＆ Permana (2009)中，顯 示原油市場的波幅為左下至右上的曲線，因為在原油或農產品等商品市場，商 品 容 易 受 到 戰 爭 或 氣 候 等 因 素 的 影 響 導 致 價 格 突 然 大 漲 ， 因 此 避 險 需 求 將推升價外買權的價格，故履約價格愈高，隱含波動度愈大。 至於本文研究的對象 VIX 選擇權，由前面圖 1 我們看到了 VIX 指數和股價 指數具有反向的關係，且觀察 VIX 指數報酬的分配，如圖 2 和表 1 所示，可以 發現 VIX 指數報酬呈現右偏，偏態係數為大於零的 0.8582，也就是類似商品市 1 價內外程度一般定義為 ln(K/F) 或 (K/F) - 1‧
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圖 2 VIX 指數日變動率分配 說明：2006年2月24日～2010年6月30日之間的VIX指數日變動率頻率分配圖，橫軸為VIX 指數的每日變動率，縱軸為相對頻率，即各區間次數除以總次數。資料中移除離群值2007 年2月27日，當日之VIX變動率為64.92％。 表 1 VIX指數日變動率分配 平均 0.31％ 標準差 7.30％ 最小值 -29.57％ 最大值 34.48％ 偏態係數 0.8582 峰態係數 6.1377 說明：資料同圖2。 場，價格大漲的機率較大，因此我們會推測VIX選擇權的波幅應該也會是一條左 下至右上的曲線。而觀察隱含波動度與到期時間之間的關係，則可以得到隱含 波動度的期間結構 (term structure)。S&P500選擇權一般來說到期時間愈長， 隱含波動度愈高，Borovkova ＆ Permana (2009)中有提到原油選擇權也有類似 情形。因此VIX選擇權的期間結構或許也不會是一條水平的線段。‧
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最後，前面曾經提到在S&P500市場，價格的下跌會造成隱含波動度的上升， 即所謂的「槓桿效果」，而且這種反向的關係通常是不對稱的，即價格下跌時 使波動度上升的幅度大過價格上漲時使波動度下降的幅度，因此我們也將觀 察，VIX指數和VIX選擇權的隱含波動度之間的關係究竟為何。1.2 研究目的
本文希望基於Whaley (1993)的概念，透過推估VIX選擇權的隱含波動度來 求解VIX選擇權的價格，並結合Dumas, Fleming, ＆ Whaley (1998)和Rosenberg (2000)的想法，以隱含波動度函數來捕捉隱含波動度的型態，以達到評價VIX選 擇權的目的。因此，本研究擬採用CBOE的VIX選擇權資料，計算出VIX選擇權的 隱含波動度，並觀察隱含波動度呈現出來的一些特性。然後比較不同的隱含波 動度函數對於VIX選擇權隱含波動度和價格的評價表現。1.3 研究架構
本章之後還有４個章節，第２章為文獻回顧，大致介紹發表於國際期刊的 關於VIX評價以及隱含波動度的文章。第３章為研究方法，說明本研究模型的設 定。第４章為實證結果，探討VIX選擇權隱含波動度表現出的各種現象，以及比 較各個模型在評價VIX選擇權上的表現。第５章為結論與建議。‧
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第２章 文獻回顧
Dumas et al. (1998) 在波動度函數為deterministic的假設下，比較了四 種不同的DVF(deterministic volatility function) model在S&P500選擇權市 場的預測能力和避險表現。結果發現「節約參數模型」(Parsimonious Model) 在預測誤差上表現較好。加入到期時間因子的模型，在預測上表現得特別差， 代表到期時間因子是導致模型過度配適 (overfitting) 的主因。此外，由B-S 模型得到的避險比率也比DVF模型得出的較為可靠。因此，愈簡單的模型反而會 有較好的表現 (simpler is better)。
Rosenberg (2000)針對Dumas et al. (1998)的研究，提出了新的動態隱含 波動度函數(Dynamic Implied Volatility Function, DIVF)，針對隱含波動度 函數的係數往往隨時間變化劇烈的問題提出了改善的方法。作者將隱含波動度 函數分為兩部分：一為會隨時間經過而變動的價平隱含波動度，另一部份則為 不隨時間變動的相對波動度，而由兩者結合推得預測結果。結果顯示動態隱含 波動度函數能夠有效地提升對於S&P500選擇權的預測表現，降低預測誤差。
Borovkova (2009)針對原油選擇權在OTC市場因為交易量稀少，導致資料量 不足，難以建構出隱含波動度平面 (implied volatility surface)的問題，介 紹了一種新的「半參數」(semi-parametric）的方法。之前，建構隱含波動度 平面的方法主要有兩種：一為參數法（parametric method），例如可以透過以 下的函數建立隱含波動度平面：
MN T
b b MN bMN b4T b5MN T MN,T 2 3 2 1 , 另一方法則為無母數法 (non-parametric method)，即將資料點以內插法 補上資料點之間的平面，例如Bourke (1998)的nearest neighbor weighted interpolation。然而，無母數法建構出來的平面形狀相當複雜，佈滿了許多局 部的高點或低點，導致一般在實務上很少被使用，因為一般從業者會認為實際‧
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上波幅的形狀應該是smile或skew之一，而非一個不規則的形狀。且以無母數建 構出來的平面來預測波動度，將會產生套利機會，也就是明顯不合理的預測值。 此外，選擇權的特性是vega(即選擇權價格對波動度的敏感度)在價平處最大， 無母數方法建構出來的平面將會破壞此一特性，這也是與實務衝突的地方。而 參數法建構出來的平面，對於所有的到期時間，其笑狀波幅的形狀皆相同，與 現實中觀察到，有些到期期間的笑狀波幅呈smile，有的呈skew的情況不符。半 參數法同時具有參數法的簡易性和無母數法的彈性，不會像無母數法建構出不 合理的平面，配適度和預測能力則勝過參數法，因此當某個OTC市場的選擇權交 易量稀少，而且在其他交易所中沒有相同到期日及相同履約價格的合約，我們 要評估這個選擇權的波動度，進而計算其價格，使用半參數法會有較好的表現。 Campa et al. (1998) 針對OTC市場的外匯選擇權，分別使用cubic spline、 隱含二元樹（implied binomial tree）、和混合對數常態分配（mixture of lognormal distribution）三種不同的方法透過選擇權價格畫出風險中立機率 密度函數（risk- neutral probability density function）。在不同的方法下， 得出的機率密度函數皆很相似，且都與對數常態分配有明顯的差別。此外，比 較相同價外程度的買權與賣權的價格是另一種衡量偏態係數的方式，而由機率 密度函數的偏態係數和即期匯率（spot rate）正相關關係我們可以得出，愈強 勢的貨幣有愈大的可能性繼續升值。瞭解了機率密度函數與報酬之間的關係， 政府可以依機率密度函數的形狀來判斷財政和貨幣政策的走向；企業可以依此 避險；投資者也可以作出投資決策。 Whaley (1993)首先提出了波動度指數的概念，說明如何編制波動度指數， 並說明了波動度衍生性商品存在的必要和好處。投資者若持有一個選擇權的投 資組合，目前處於價格風險中立 (delta-neutral)，但是投資組合的vega為負， 投資者若要規避波動度風險，但又不想破壞價格風險中立，在沒有波動度衍生 性商品下，只能同時買入買權和賣權來規避投資組合的波動度風險。但是若能‧
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透過波動度衍生性商品來避險，則可以大大降低避險成本。波動度期貨在不考 慮保證金的情況下成本為零。至於購買波動度選擇權所需的成本，也就是波動 度選擇權的權利金，Whaley採用Black (1976)的期貨選擇權公式來計算。而使 用波動度選擇權避險所需成本也遠低於同時買入一般的買權和賣權。因此，波 動度衍生性商品在規避波動度風險上具有容易操作和成本低廉的好處。Carr ＆ Lee (2007) 提出了評價和避險「實際波動度選擇權」 (options on realized volatility)的策略，Carr ＆ Lee提出的策略有以下的特色：(1)所 需的參數容易取得：使用一般的選擇權和變異數交換契約作為評價和避險的標 的，不需要去對例如波動度動態的參數進行估計；(2)推導出容易使用和計算的 公式計算價格和避險比率；(3)在模擬測試下，誤差不大且穩健；(4)經過稍微 修改即可評價VIX選擇權。 Lin (2007)在 S&P500 指數價格的動態中，分別加入隨機波動度和狀態相依 (state-dependent)的跳躍(jump)過程，並依此推導 VIX 期貨價格的封閉解，並 且從樣本外評價和避險的角度來衡量各個動態過程推導出的封閉解的優劣。結 果發現價格和波動度的跳躍過程對 VIX 期貨的評價很重要。包含價格跳躍以及 隨機波動度的模型，在短天期 VIX 期貨的表現較佳，若再放入狀態相依的波動 度跳躍過程，則可進一步地減少在中、長期 VIX 期貨的預測誤差。而在避險的 表現上，若每星期調整一次避險部位，則包含狀態相依波動度跳躍的模型在短 天期的避險表現最好；然而若是每天調整部位，波動度跳躍便無法提升避險表 現。
Lin ＆ Chang (2009) 使用 Heston model 描述期貨價格的動態，然後分別 將價格的跳躍、隨機波動度、和波動度的跳躍納入價格動態，接著透過求解偏 微分方程（partial differential equation, PDE）來得到 VIX 選擇權的封閉 解。比較不同價格動態下所導出的封閉解，發現加入價格的跳躍和波動度的跳 躍有助於增加封閉解的準確度。儘管在內部一致性（internal consistency） 上，四個模型都必頇代入高得不合理的 VIX 期貨波動度才能得到合理市價，但
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是在樣本外預測上，加入價格的跳躍和波動度的跳躍仍可以分別提升 Heston model 在預測短、長期 VIX 選擇權價格的表現。但大致上並沒有一個模型明顯勝 過其他所有模型，而是在不同的衡量準則上各有勝負。Wang ＆ Daigler (2011) 針對 Whaley (1993)、Carr ＆ Lee (2007)以及 Lin ＆ Chang (2009)三篇文章當中的 VIX 選擇權模型，比較了評價的表現，結 果發現並沒有何者的模型在各個分類的選擇權評價表現都勝過他者。但是作者 相信 Whaley (1993) 的模型就整體來說是比較好的評價工具。很重要的一點是， Whaley (1993) 的模型勝過 Lin ＆ Chang (2009) 導入複雜的隨機波動度以及 跳躍過程的模型，這點多少說明了華爾街流傳的軼事：交易者通常是利用 Whaley 或 Carr ＆ Lee 等其他類似 Black 的選擇權定價模型來評價 VIX 選擇權，而非 太過複雜的模型。此外，由 Whaley 模型產生的評價誤差的型態，與使用 Black- Sholes 模型評價 S&P500 指數選擇權產生的評價誤差型態不同，這說明了 VIX 選 擇權的波動度平面和 S&P500 指數選擇權的波動度平面是不同的。有鑑於 Whaley 和 Carr ＆ Lee 的模型在評價價平或價外選擇權仍有一定的誤差，更佳的評價 模型仍待發展，或者其實是市場錯誤地評價了 VIX 選擇權。
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第３章 研究方法與資料
本文接下來首先將以 VIX 選擇權市價透過 Black 期貨選擇權公式反推求得 VIX 選擇權隱含波動度，觀察其波幅的情形以及其期間結構。檢視若將隱含波動 度表達成價內外程度 (moneyness)的函數，其笑狀波幅視呈現什麼樣的情形， 到期時間是否及如何對隱含波動度造成影響，並觀察笑狀波幅與到期時間之間 的關係。之後，我們將分別測試數個隱含波動度函數在預測波動度及選擇權價 格上的效果。3.1 VIX 選擇權評價模型
Whaley (1993)文中在衡量使用 VIX 選擇權2 規避波動度風險的成本時，使用 了 Black (1976)的期貨選擇權公式，以 VIX 指數取代期貨價格，以 VIX 波動度 取代期貨波動度，求得 VIX 選擇權價格，即：
期貨價格之波動度 ： 期貨價格 ： ：到期天數 ：無風險利率 賣權價格 買權、 、 VIX VIX VIX VIX : 2 1 ln 1 2 2 1 2 1 2 1 F T r P C T d d T T K F d d KN d FN e P d KN d FN e C rT rT 2 這裡提到的 VIX 和 VIX 選擇權指得並不是現在市場上所公布和交易的，而是當時 Whaley 提出
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而對於當中關鍵的參數 ，Whaley (1993)並沒有提出如何估計。Wang ＆ Daigler (2011)則分別使用了前一天的隱含波動度、過去 5 天、過去 30 天的歷 史波動度以及到期前的實現波動度 (realized volatility)作為估計選擇權隱 含波動度的方法。結果發現使用前一天隱含波動度的 Whaley 模型就整體上來說 是最好的。 當我們要以選擇權價格反推出隱含波動度，可以配合前面的 Black (1976) 期貨選擇權公式，配合「二分法」來逼近隱含波動度。二分法的概念是先設定 一個隱含波動度可能落在的區間，然後將波動度以區間上下界的中間值(或者說 平均值)代入期貨選擇權公式。若是求得的價格高過市價，表示剛剛代入過高的 波動度，真實的隱含波動度應落在剛剛代入的值之下，因此我們將以中間值取 代原本的上界。相對的若價格低估，則以中間值取代下界。重複以上的動作， 直到誤差滿足要求便可求得隱含波動度。在計算隱含波動度時，雖然 VIX 選擇權的標的為 VIX 指數，但是由於 VIX 指數本身並沒有交易，因此如同台指選擇權，影響 VIX 選擇權價格的真正標的 是 VIX 期貨。Lin (2009) 和 Wang (2011)在評價 VIX 選擇權時，也都是使用 VIX 期貨作為標的資產，因此我們使用 Black 的期貨選擇權公式來求解隱含波動度， 模型估計出未來的隱含波動度後，一樣以期貨選擇權公式求得選擇權價格。
然而，Whaley (1993)假設波動度固定不變，因此是使用過去的歷史波動度 或者目前的隱含波動度作為對未來隱含波動度的預測值。但我們知道在選擇權 的市場，波動度往往受到價內外程度和到期時間的影響而呈現出笑狀波幅， Dumas (1998)便以 DVF (deterministic volatility function)捕捉笑狀波幅的 型態，將波動度表達成履約價格和到期時間的函數。而 Dumas 以 DVF 評價 S&P500 選擇權時，認為 DVF 模型的效果比不上進行每週重新估計的 B-S 模型，針對此 問題，Rosenberg (2000)讓 DVF 模型也進行每週重估係數的動作。此外， Rosenberg 提出的動態隱含波動度函數提供了另一種解決的方法，即將隱含波動
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度透過兩步驟來估計出來：一部份為隨時間變動的價平隱含波動度，考慮到波 動度均數迴歸的性質和標的報酬對於波動度的影響，將價平隱含波動度表示為 前一期價平隱含波動度以及報酬的函數；另一部份則為不隨時間變動的相對波 動度rel,i,t ln
i,t/ATM,t
。若分別將價平波動度和相對波動度估計出來後，便 可求得在各價內外程度下的隱含波動度，即：DIVF：ATM,t f
ATM,t1,rt1
DIVF：rel,i,t g
Ft,Ki,T t,ATM,t
DIVF：t ATM,texp
rel,i,t
3.2 模型設定
在隱含波動度為價內外程度與到期時間函數的設定下，
MN ,T
可為 任意的函數，我們嘗試以下數個 DVF 模型： Model 0：i,t a0i,t Model 1： it a a MNit a MNit i,t 2 , 2 , 1 0 , Model 2： it a a MNit a MNit aTit a Tit a5MNi,t Ti,t i,t 2 , 4 , 3 2 , 2 , 1 0 , t t i t i F K MN , ln , t i, 、Ti,t和MNi,t是分別為時間 t 時第 i 個合約的隱含波動度、到期時間和 價內外程度， K 為履約價格， F 為期貨價格。在 Model 0～2 當中， Model 0 即為 B-S 的波動度固定模型；Model 1 僅考 慮價內外程度對隱含波動度的影響；Model 2 則再加入時間因素對隱含波動度的 影響。
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動態隱含波動度函數則參照 Rosenberg (2000)的設定： Model 3：ATM,t a0 a1ATM,t1 a2 max
0,rt a3max
0,rt
t ATM t i t i rel t ATM t i t ATM t i t i rel t T F K t T F K , , , , 2 , 2 , 1 0 , , ln ln ln 其中 Model 3 為動態的隱含波動度函數。動態的隱含波動度受到兩個部分影響： 價平隱含波動度和相對波動度。Rosenberg (2000)在價內外程度上採用的是 Tompkins (1995) 提出的「標準化價內外程度」： T t F K t ATM t i , ln ，即同時 考量價平隱含波動度與到期時間的價內外程度，這樣操作的目的是為了提高函 數(係數)的穩定度。而價平隱含波動度受到兩個因素影響：前一期的價平隱含 波動度，以及標的報酬。前者考慮了隱含波動度均數回復的特性；後者則為所 謂的「Fischer Black effect」，或者說是槓桿效果。考量到不對稱性，將上漲 和下跌看作兩個不同的因子。在股票或股價指數的現象是當價格下跌將使得波 動度上升，但是當價格上漲時，波動度下跌的幅度較小，甚至不顯著，我們 也將看看在 VIX 指數和 VIX 選擇權隱含波動度的關係又是如何。
3.3 資料
本研究的資料期間為 2006 年 2 月 24 日至 2010 年 6 月 30 日，分別自 CBOE 和 CFE（Chicago Futures Exchange）取得 VIX 指數、VIX 選擇權和 VIX 期貨的 資料；從美國財政部（U.S Department of the Treasury）取得 30 天、90 天、 180 天、以及 360 天的美國國庫券 (T-bill)的利率作為無風險利率，再以內插
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而得相對應到期天數的無風險利率。例如若 30 天期和 90 天期的利率分別為 1 ％和 1.2％，則尚有 60 天到期的選擇權合約利率即設為 1.1％。根據以上資料 算出隱含波動度後，還將對資料做出幾個篩選條件： (1) 價格需落在無法套利的區間，即對於 VIX 買權：
0,exp rC FtVIX T K
C
t,C
exp
rC
FtVIX
Tmax
對於 VIX 賣權：
0,exp rP KFtVIX T
P
t,P
exp
rP
Kmax (2) 捨去選擇權價格＜$ 0.1 的合約，因為最小的交易單位為$ 0.05，避免交易 價格不連續造成的影響； (3) 捨去隱含波動度＞200％的合約； (4) 捨去到期天數小於 7 天的資料，因到期前的波動度往往變化劇烈； (5) 捨去過度價內和價外的合約，只保留 0.7 ln 0.7 F K 的合約。 資料期間內共有 239,355 筆合約，經過以上條件的篩選，剩下 160,033 筆 合約，大約為原本的將近 67％。
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第４章 實證結果與分析
4.1 VIX 選擇權隱含波動度型態描述
表 2 是符合條件之 VIX 選擇權資料的敘述統計，表 3 和表 4 則是依買賣權、 到期天數和價內外程度進行分類的隱含波動度分類敘述統計。可以看到不論是 從價內外程度或是到期時間來看，VIX 選擇權的隱含波動度確實都呈現有微笑波 幅的情況。就均值來看，隱含波動度在價內外程度大於-0.4 的範圍都呈現隨價 內外程度的增加而上升，也就是 skew 的情形，唯有部分天期的隱含波動度在價 內外程度小於-0.4 時彈起而呈現 smile 的情形。另外，我們也觀察到隱含波動 度隨著到期時間愈長而下降，期間結構為一條負斜率的曲線。隱含波動度隨著 價內外程度上升而提高這點與前面的推測相符，但是這裡我們看到其期間結構 的曲線和權益市場呈現一個相反的情形。或許是因為波動度具有均數迴歸的特 性，投資人即使預期短期間 VIX 指數可能產生大波動，但長期來說，VIX 仍將回 到一個平均的水準，因此長期合約的隱含波動度反而較低。 表 2 VIX 選擇權敘述統計 變數 平均數 標準差 最小值 最大值 到期天數 113 79.86 7 456 履約價格 30.41 14.95 9 120 權利金價格 5.756 6.869 0.125 59.7 隱含波動度 69.39％ 0.2243％ 7.81％ 200％
K /i Ft
ln 0.1167 0.3274 -0.7 0.7
t T F K t ATM t i , / ln 0.3321 0.9346 -6.496 7.437 說明：樣本在 1,095 交易日當中共有 160,033 筆資料。‧
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表 3 VIX 買權隱含波動度分類敘述統計 說明：2006 年 2 月 24 日至 2010 年 6 月 30 日 VIX 買權分類敘述統計。深價內至深價外 對應的合約範圍分別為 0.7 ln 0.4 F K 、 0.4 ln 0.1 F K 、 1 . 0 ln 1 . 0 F K 、0.1 ln 0.4 F K 、ln 0.4 F K 。 VIX 買權 到期天數 1～30 31～60 61～90 ＞90 價 內 外 程 度 深 價 內 樣本數＝385 平均＝75.03％ 標準差＝30.94％ 樣本數＝896 平均＝107.87％ 標準差＝35.43％ 樣本數＝1,068 平均＝61.52％ 標準差＝14.44％ 樣本數＝3,061 平均＝47.77％ 標準差＝12.73％ 價 內 樣本數＝2,550 平均＝81.30％ 標準差＝24.88％ 樣本數＝3,166 平均＝65.29％ 標準差＝15.40％ 樣本數＝3,366 平均＝58.32％ 標準差＝11.85％ 樣本數＝10,006 平均＝49.26％ 標準差＝9.92％ 價 平 樣本數＝2,191 平均＝88.80％ 標準差＝21.68％ 樣本數＝2,458 平均＝75.76％ 標準差＝13.34％ 樣本數＝2,473 平均＝67.48％ 標準差＝9.50％ 樣本數＝7,739 平均＝55.84％ 標準差＝8.58％ 價 外 樣本數＝3,228 平均＝110.24％ 標準差＝21.50％ 樣本數＝3,834 平均＝87.77％ 標準差＝13.37％ 樣本數＝3,904 平均＝75.37％ 標準差＝9.91％ 樣本數＝11,876 平均＝60.70％ 標準差＝9.10％ 深 價 外 樣本數＝1,345 平均＝130.51％ 標準差＝21.06％ 樣本數＝2,904 平均＝99.61％ 標準差＝13.94％ 樣本數＝3,340 平均＝82.64％ 標準差＝10.71％ 樣本數＝11,034 平均＝65.34％ 標準差＝10.31％‧
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表 4 VIX 賣權隱含波動度分類敘述統計 說明：2006 年 2 月 24 日至 2010 年 6 月 30 日 VIX 賣權分類敘述統計。深價外至深價內 對應的合約範圍分別為 0.7 ln 0.4 F K 、 0.4 ln 0.1 F K 、 1 . 0 ln 1 . 0 F K 、0.1 ln 0.4 F K 、ln 0.4 F K 。 VIX 賣權 到期天數 1～30 31～60 61～90 ＞90 價 內 外 程 度 深 價 外 樣本數＝103 平均＝118.79％ 標準差＝20.24％ 樣本數＝311 平均＝86.28％ 標準差＝13.20％ 樣本數＝587 平均＝71.98％ 標準差＝9.45％ 樣本數＝2,854 平均＝54.00％ 標準差＝11.87％ 價 外 樣本數＝1,500 平均＝87.64％ 標準差＝22.28％ 樣本數＝2,607 平均＝69.71％ 標準差＝13.90％ 樣本數＝3,086 平均＝60.60％ 標準差＝10.55％ 樣本數＝9,880 平均＝50.41％ 標準差＝9.51％ 價 平 樣本數＝2,184 平均＝88.15％ 標準差＝21.7％ 樣本數＝2,458 平均＝75.48％ 標準差＝13.45％ 樣本數＝2,473 平均＝67.29％ 標準差＝9.49％ 樣本數＝7,736 平均＝55.64％ 標準差＝8.66％ 價 內 樣本數＝3,454 平均＝107.72％ 標準差＝22.80％ 樣本數＝3,833 平均＝87.07％ 標準差＝13.70％ 樣本數＝3,902 平均＝74.54％ 標準差＝10.08％ 樣本數＝11,874 平均＝59.87％ 標準差＝9.26％ 深 價 內 樣本數＝2,380 平均＝123.38％ 標準差＝30.35％ 樣本數＝3,321 平均＝95.55％ 標準差＝16.75％ 樣本數＝3,452 平均＝78.56％ 標準差＝13.11％ 樣本數＝10,665 平均＝62.02％ 標準差＝12.28％‧
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圖 3 VIX 選擇權隱含波動度平面(到期天數 30 天以內) 圖 4 VIX 選擇權隱含波動度平面(到期天數 30～60 天)‧
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圖 5 VIX 選擇權隱含波動度平面(到期天數 60～90 天) 圖 6 VIX 選擇權隱含波動度平面(到期天數超過 90 天) 說明：圖 3～圖 6 為以 2006 年 2 月 24 日至 2010 年 6 月 30 日之間，到期天數依序為 30 天以內、30 天到 60 天、60 天到 90 天、大於 90 天的合約配適出的隱含波動度平面。 圖 3 是以到期時間 30 天以內的所有合約配適出的隱含波動度平面。從圖形 可以更清楚看出波幅的型態。在到期時間最短的這個分類中，笑狀波幅接近 smile 的形狀，隱含波動度的最低點落在買權價內之處。也可以看出在分類內，‧
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隱含波動度依然是隨著到期時間的減少而一路上升。圖 4 則是到期時間 30～60 天的隱含波動度平面，和圖 3 相比，明顯地波幅的型態有了不同，在 30～60 天 當中，波幅變成較接近 skew 的情形，隱含波動度基本上是隨著價內外程度一路 上升。但是分類內隱含波動度隨著到期時間減少而上升的情況並沒有改變。如 果再比較圖 5 和圖 6，則可以發現波幅的曲度愈來愈低，愈來愈接近直線的型態， 而期間結構則總是維持負斜率。不同的到期期間在波幅上會有這樣的差異，可 能是因為在接近到期前，投資者除了預期 VIX 可能突然上升，也會針對 VIX 突 然 下 降 的 風 險 來 進 行 避 險 ， 導 致 屢 約 價 格 較 低 的 合 約 的 隱 含 波 動 度 也 因此而上升。4.2 模型估計
表 5 是各個模型以最小平方法得到的估計結果。Model 1 的調整後相關係數 僅有 10.95％，Model 2 則有 61.90％，Model 3 在價平波動度的部分調整後相 關係數達到了 89.70％，但是在相對波動度的部分則只有 20.48％。從前面的圖 形已經可以看到隱含波動度明顯受到到期時間的影響，因此 Model 1 在整個樣 表 5 各模型係數估計結果 0 a a 1 a 2 a3 a 4 a5 Adj R 2 Model 0 0.6939 Model 1 0.6591 0.2115 0.0755 0.1095 Model 2 0.9739 0.3056 0.1464 -1.4967 0.9826 -0.3523 0.6190 Model 3 0.0602 0.9206 0.7810 -0.5375 0.8970 0 1 2 -0.3248 0.3429 0.0619 0.2048 說明：表中所有係數均在 99％的信心水準下顯著異於 0。‧
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圖7 不同合約的隱含波動度 說明：2009年10月1日時，不同履約價格和到期時間的合約的隱含波動度，分別由2009 年10月、11月、12月以及2010年1月到期的各個履約價格合約計算而得。標準化價內外 程度為 T t F K t ATM t t i , , ln 圖8 相同合約在不同到期時間之隱含波動度 說明：2009年10月到期的各個履約價格合約，在分別尚有7天、14天、21天和28天到期 時的隱含波動度。‧
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本的配適度不佳是可以預期的，也因此在加入到期時間因子後，配適度有了大 幅的上升。至於 Model 3 在價平隱波動度的配適上看起來似乎不錯，但是在相 對隱含波動度的配適上，經過價平波動度和到期時間調整的標準化價內外程度 對於相對波動度的解釋能力卻不甚理想，不同於此函數在 S&P500 指數選擇權市 場上的表現。之前的文獻提到使用標準化價內外程度的好處是估計出來的係數 穩定，但是我們從圖 7 可以看到使用標準化價內外程度畫出的笑狀波幅，在同 一時間點上若對應不同的到期時間，波幅的位置和形狀並不一致，圖 8 也顯示 交易日及到期時間相同的一組合約，隨著時間經過，波幅也在變動，因此配適 的效果不佳。 表 6 各模型樣本內評價誤差 所有選擇權 模型 平均誤差 均方誤 平均絕對誤差 Model 0 0.2068 0.4486 0.4970 Model 1 0.1983 0.4415 0.4877 Model 2 0.0370 0.1888 0.3049 Model 3 0.0941 0.4165 0.4358 買權 平均誤差 均方誤 平均絕對誤差 Model 0 0.1933 0.4349 0.4882 Model 1 0.1947 0.4278 0.4796 Model 2 -0.0377 0.1871 0.3007 Model 3 0.0749 0.3974 0.4221 賣權 Model 0 0.2208 0.4633 0.5062 Model 1 0.2018 0.4562 0.4965 Model 2 -0.0353 0.1912 0.3096 Model 3 0.1045 0.4557 0.4449 說明：平均誤差為預測價格減去實際價格後誤差的平均，正值表示預測值平均起來高估。均方 誤和平均絕對價格分別為將誤差取平方和取絕對值後的平均值。‧
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各個模型配適出隱含波動度後，就可以依此算出選擇權價格的理論值。表 6 是各 模型在所有樣本，以及分別在買權以及賣權內的評價誤差。只使用價內外程度的 Model 1 由於配適度低，評價上表現出來的結果也極差，和固定波動度的 model 0（BS model） 相比效果幾乎相同；相對的，model 2 加入到期時間因子後，配適度提高的效果也確實 反映在誤差的降低。而動態的 model 3 雖然在捕捉價平波動度上看起來不錯，但由於 在相對波動度的預測不佳，因此樣本內的表現僅較 model 1 好一些。 前面我們透過對資料作分類後的隱含波動度平面來觀察隱含波動度的特性，這裡 我 們 再 從 函 數 估 計 出 來 的 係 數 來 觀 察 各 個 因 子 對 隱 含 波 動 度 的 影 響 。 Model 2 的係數中，a 控制波幅的最低點落於何處，1 a 控制了笑狀波幅的寬度。2 a3和a4 控制到期時間對波動度的影響，a5則捕捉到期時間和價內外程度的混合效果。a 和1 a 分2 別為為 0.3056 和 0.1464，意謂著這條迴歸線的最低點大約落在 ln(K/F) ＝－1.04 處， 表示就整體來看，在我們的資料範圍（-0.7, 0.7）內，在到期時間不變的情況下，隱 含波動度大致隨著價內外程度的上升而上升，呈現 skew 的情形。而若價內外程度固定， 則到期時間與隱含波動度的關係為：
2
, 2 , 1 0 , , 5 3 2 , 4 ,t it it it it it i a T a a MN T a a MN a MN 由於a4 0，隱含波動度對到期時間的二次迴歸曲線最低點落在T
a3 a5MNi,t
2a4的位置，
a3a5MNi,t
2a4的最小值為 0.6361 3 (年)，表 示到期時間小於 0.6361 年(約 232 天)的合約4 ，其隱含波動度大致隨著到期時間的減少 而上升，而且愈接近到期，隱含波動度提高的速度愈快。 3 由於 t i MN, 的範圍落在(-0.7, 0.7)之間，
a3a5MNi,t
2a4的最小值發生在MNi,t 0.7時， 1.4967(0.3523)(0.7) 20.98260.6361 T 4 到期天數小於 232 天的合約佔樣本的絕大部分，約 90.75％。‧
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圖 9 曲線右移示意圖 圖 10 實際與預測價平隱含波動度比較圖 至於價內外程度與到期時間的關係，若到期時間固定，迴歸式為：
2
, 4 , 3 0 , , 5 1 2 , 2 ,t it it it it it i a MN a a T MN a a T a T 由於a5 0，當 T 變大時，將使得迴歸曲線右移，這將使得 (虛線) 範圍內的波幅斜率 降低 (見圖 9)，也就是到期時間愈短，即Ti,t愈小時，微笑波幅較為陡峭，而長期合約‧
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的笑狀波幅則相對較平坦。 圖 10 為動態的 Model 3 在價平波動度的預測上與實際走勢的比較。首先，在價平 波動度的部分，由係數a2和
a3可以看出 VIX 選擇權的隱含波動度和 VIX 報酬有正向的 關係，即當 VIX 上升時，將帶動 VIX 選擇權的隱含波動度也跟著上升，反之亦然。同 時我們也觀察到，VIX 上升和下跌時對隱含波動度的影響幅度是不同的，隱含波動度因 為 VIX 上漲而上升的幅度大過因 VIX 下跌而下降的幅度，這種不對稱的性質在 VIX 選擇權也是存在的。4.3 模型測試結果
每週三評價結果 接著我們將比較各模型在評價上的表現。比較的方法是採用前一週的資料來估計 模型參數，然後用以估計本週的隱含波動度，進而估計本週的選擇權價格，這裡採用 的是每週三的資料，表 7 是各模型的評價結果。表中Model 0～2 採用 2006 年 2 月 24 日至 2010 年 6 月 30 日當中所有週三的資料來估計參數，即參數不隨時間變動的模型。 Model 0R～2R 則是進行每週重估，以前一個週三的資料進行模型參數估計，並用以預 測本週三的隱含波動度。動態的 Model 3 和 Model 3R 均使用每週三的價平波動度以及 VIX 指數的週變動率來進行價平波動度的估計，唯 Model 3 使用所有週三的資料估計參 數以預測相對隱含波動度，Model 3R 進行每週重估，以前一個週三的資料進行模型參 數估計，並用以預測本週三的相對隱含波動度。 表 8 和表 9 分別為各模型估計出的隱含波動度和選擇權價格與實際值的誤差。預 測的結果不論是從隱含波動度或者是選擇權價格的誤差來看，得到的結果基本上和前 面樣本內的結果是一致的：Model 2R 明顯勝過其他所有模型，表示加入到期時間因子 的模型有最好的預測誤差，而進行每星期重估更可以進一步地縮小誤差。但如果比較 Model 1 和 Model 1R，可以發現每星期重估係數對於僅使用價內外程度的模型的幫助‧
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表 7 各模型隱含波動度預測值(每週三) 模型 平均 標準差 最小值 最大值 Model 0 69.39％ 9.15％ 52.86％ 95.85％ Model 1 69.39％ 7.50％ 54.21％ 84.58％ Model 2 69.39％ 17.96％ 39.93％ 122.81％ Model 3 69.29％ 21.97％ 32.11％ 299.10％ Model 0R 69.40％ 17.22％ 12.37％ 132.57％ Model 1R 69.25％ 13.54％ 16.77％ 154.21％ Model 2R 69.43％ 22.23％ 17.33％ 270.90％ Model 3R 69.40％ 34.71％ 11.74％ 297.50％ 實際值 69.39％ 22.74％ 15.63％ 199.20％ 表 8 各模型隱含波動度誤差(每週三) 平均 誤差 均方誤 平均絕對 誤差 標準差 最小值 最大值 Model 0 0.000％ 0.0517 16.90％ 22.74％ -129.62％ 53.98％ Model 1 0.000％ 0.0461 15.85％ 21.47％ -143.6％ 60.74％ Model 2 0.000％ 0.0194 10.04％ 13.96％ -116.51％ 73.61％ Model 3 -0.716％ 0.0340 13.84％ 18.44％ -107.60％ 188.10％ Model 0R -0.271％ 0.0452 15.59％ 21.27％ -131.55％ 62.77％ Model 1R -0.400％ 0.0376 13.94％ 19.31％ -151.50％ 62.54％ Model 2R -0.205％ 0.0155 6.33％ 10.25％ -130.94％ 127.31％ Model 3R -0.475％ 0.0342 12.65％ 18.84％ -140.70％ 195.80％‧
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表 9 各模型選擇權評價誤差(每週三) 平均 均方誤 平均絕對 誤差 標準差 最小值 最大值 Model 0 0.2165 0.4475 0.4964 0.633 -4.024 2.452 Model 1 0.2099 0.4405 0.4868 0.9296 -4.123 2.599 Model 2 -0.0342 0.1805 0.2997 0.4235 -2.893 1.752 Model 3 0.1076 0.4599 0.4419 0.6696 -2.367 4.969 Model 0R 0.2328 0.3734 0.4506 0.565 -3.095 3.398 Model 1R 0.2396 0.3663 0.4902 0.5764 -2.993 3.616 Model 2R -0.002 0.0585 0.1554 0.2407 -1.273 3.869 Model 3R 0.0893 0.3253 0.3874 0.5633 -4.023 4.647 微乎其微。再比較 Model 3 和 Model 3R，可以發現若對估計相對波動度的參數進行每 週重估，表現雖然有些許的改善，但是仍遠遠不如 Model 2R 的表現，顯示每週重估係 數的動作並無法太有效地提升標準化價內外程度對於相對波動度估計的準確度。 前面曾經提到過，Rosenberg (2000) 使用標準化價內外程度的理由是過去的文 獻曾說明使用標準化價內外程度可以得到較穩健的係數估計結果。但是我們發現，在 VIX 選擇權市場，標準化價內外程度似乎無法有效解釋相對波動度。反之，在對於 S&P500 選擇權的研究中被認為僅能造成模型過度配適，無法提升評價表現的到期時間因子， 在 VIX 選擇權中卻是提升評價準確度的關鍵之一。於是，本研究嘗試綜合 Model 2 和 Model 3，保留 Model 3 預測價平波動度的函數，並利用 Model 2 的概念來預測相對隱 含波動度，即：Model 4：ATM,t a0a1ATM,t1a2max
0,rt a3max
0,rt
2 5 , , , 4 , 3 2 , 2 , 1 0 , ,it it it it it it it rel MN MN T T MN T
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t t i t i t ATM t i t i rel F K MN, , , , , , ln , ln 其中 表 10 是 Model 樣本內的模型參數估計結果。可以看到除了常數項外，所有的係數 和調整後相關係數都和 Model 2 相當接近，表示相對隱含波動度的型態其實和隱含波 動度並沒有太大差別。表 11 則為進行每星期估計的結果，可以看到和 Model 2R 相比， Model 4 在隱含波動度誤差上幾乎和 Model 2 不相上下，但是在選擇權價格誤差上，Model 4 卻仍然比 Model 2R 稍微差了一些，意謂著 Model 4 較大的隱含波動度誤差可能多是 發生在 vega5 較大處，即接近價平處。Model 4 針對了價平隱含波動度來進行預測，企 圖捕捉價平隱含波動度隨著時間以及報酬率而變的動態。但是得到的結果卻是價平處 的誤差拉低了 Model 4 整體的評價表現。 圖 11 是每週三的實際價平隱含波動度與預測值的比較，與圖 10 相比，已經可以 看出每週三的預測效果有明顯的落差。表 12 則是預測隔天和預測隔週時的誤差比較。 首先，預測隔週時配適度降低，調整後相關係數從 0.8970 降到 0.7182，帶來的影響就 是平均絕對誤差上升了將近一倍。因此，當預測的時間點拉長，或許需要找到新的因 子來解釋價平隱含波動度的變化。 表 10 Model 4 係數估計結果 0 a a 1 a 2 a3 Adj R 2 0.0602 0.9206 0.7810 -0.5375 0.8970 0 1 2 3 4 5 -0.033 0.395 0.169 -1.643 0.983 -0.359 0.6280 5 即選擇權價格對波動度的敏感度，表示當波動度每變動一單位，會對選擇權價格造成的變化。‧
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表 11 Model 4 隱含波動度與選擇權評價誤差(每週三) 平均 均方誤 平均絕對 誤差 標準差 最小值 最大值 隱含波動度 誤差 0.06％ 0.0139 7.97％ 11.77％ -134.30％ 85.06％ 價格誤差 0.0201 0.1141 0.2288 0.3372 -1.566 2.606 說明：以上皆為參數進行每週重估下的結果 圖 11 實際與預測價平隱含波動度比較圖(每週三)‧
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表 12 價平波動度預測誤差 預測頻率 調整後 相關係數 平均 均方誤 平均絕對 誤差 標準差 最小值 最大值 每天 0.8970 0％ 0.0046 4.53％ 3.32％ -29.89％ 54.63％ 每週三 0.7182 0％ 0.0131 8.76％ 11.46％ -39.49％ 33.92％ 不同天數後評價結果 接下來我們將比較評價一週後和一天後的價格上的表現。評價一天後的價格是以 最近七天的交易資料估計模型係數，然後用以評價隔天的價格。表 13 是各個模型在評 價一天後選擇權價格的誤差。和表 9 以及表 11 的結果相比，可以看到各個模型在評價 一天後的價格準確度都高過評價一週後的價格。而各個模型之間在評價上的相對優劣 程度並沒有改變，依舊是 Model 2R 稍微勝過 Model 4，Model 3R 有明顯的落差，而 Model 1R 和 Model 0R 是最差的。 我們進一步拿 Model 2R 來看在更多不同天數後的評價結果，從表 14 顯示價格誤 差的絕對值的確是和欲評價的時間成正向關係。要評價愈久天數後的價格，誤差自然 也愈大了。 表 13 各模型選擇權評價誤差(每日) 平均 均方誤 平均絕對 誤差 標準差 最小值 最大值 Model 0R 0.2280 0.3615 0.4449 0.5563 -4.079 3.495 Model 1R 0.2323 0.3651 0.4220 0.5578 -4.104 3.503 Model 2R -0.0086 0.0440 0.1309 0.2096 -2.312 12.86 Model 3R 0.0640 0.2358 0.3373 0.4814 -4.410 11.02 Model 4 0.0060 0.0675 0.1739 0.2596 -2.469 2.556‧
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表 14 Model 2R 不同天數後評價誤差 平均 均方誤 平均絕對 誤差 標準差 最小值 最大值 1 天 -0.0086 0.0440 0.1309 0.2096 -2.312 12.86 3 天 -0.0064 0.0717 0.1473 0.2678 -2.303 12.85 5 天 -0.0073 0.0763 0.1573 0.2763 -2.293 11.69 7 天 -0.0036 0.1192 0.1733 0.3453 -2.292 13.99 與之前模型的比較 本研究中，在評價一天後的價格時，表現最佳的 Model 2R 評價誤差的平均值和平 均絕對值分別為＄-0.009 和＄0.1309，這樣的數字究竟算不算一個好的表現呢？這裡 我們和 Wang (2011)的結果進行比較。Wang 採用 2007 年 1 月至 9 月的資料，進行每天 的價格預測。這裡我們自資料中截取相同時段的資料，以表現最佳的 Model 2R 進行每 天的價格預測。表 14 為評價結果，關於到期時間與價內外程度的分類都參照 Wang (2011)。可以看到即便 Wang (2011)當中認為表現最佳的 Whaley 模型相比6 ，Model 2R 表 15 Model 2R 每日評價誤差 到期天數 價內外程度 小於 30 天 30 天～90 天 大於 90 天 MN＜-0.3 0.047 0.094 0.109 -0.3＜MN＜-0.03 0.112 0.137 0.164 -0.03＜MN＜0.03 0.146 0.132 0.152 0.03＜MN＜0.3 0.142 0.127 0.156 MN＞0.3 0.098 0.101 0.138 6 Wang 的評價結果請參考 Wang (2011)。‧
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的誤差仍然在所有的分類都勝過了 Whaley 模型。4.4 模型在各期間表現
最後，我們將觀察模型在各個期間的表現，看看模型是否在某些期間表現得比較 好，而在其他期間表現得比較差。這裡我們觀察表現最好的兩個模型－Model 2R 和 Model 4－在各個年度的表現，表 15 是這兩個模型逐年的每日評價表現。可以看到兩 個模型都在 2006 年表現最佳，Model 2R 在 2007 年到 2010 年的平均絕對誤差大致都在 ＄0.13，算是相當穩定；Model 4 則在 2010 年稍高，2007 年到 2009 年也是穩定維持 在＄0.13。這裡也看到，金融海嘯期間雖然 VIX 指數飆漲，但是誤差並沒有產生明顯 的變化，顯示 VIX 雖然大幅攀升，但是 VIX 波動度的型態並沒有什麼變動。 表 16 各年度評價誤差 年度 模型 平均 均方誤 平均絕對 誤差 標準差 最小值 最大值 2006 Model 2R 0.0124 0.1109 0.1068 0.3328 -0.8837 12.86 Model 4 0.0279 0.0410 0.1392 0.2007 -0.9237 1.956 2007 Model 2R -0.0070 0.0340 0.1373 0.1844 -2.312 1.593 Model 4 0.0078 0.0684 0.1715 0.2614 -2.469 2.556 2008 Model 2R -0.0123 0.0393 0.1319 0.1980 -1.537 2.871 Model 4 -0.0112 0.0648 0.1707 0.2543 -1.676 1.624 2009 Model 2R -0.0086 0.0323 0.1309 0.1795 -2.165 1.009 Model 4 0.0038 0.0603 0.1771 0.2456 -2.318 1.346 2010 Model 2R -0.0206 0.0426 0.1355 0.2055 -1.712 1.182 Model 4 0.0235 0.1023 0.2013 0.3190 -1.498 1.966‧
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第 5 章 結論
VIX 選擇權在市場上已經有相當熱絡的交易，因此交易者需要一個正確的工具來評 價此商品。一個好的模型可以使交易者和避險者都受惠，因為可以避免價格誤差帶來 的損失，經紀商也可以避免收取不足權利金的風險。 本論文利用 2006 年 2 月 24 日至 2010 年 6 月 30 日的 VIX 選擇權資料，計算出其 隱含波動度。針對隱含波動度，首先透過隱含波動度函數以及隱含波動度平面的配適， 觀察其表現出來的笑狀波幅，結果發現 VIX 選擇權的隱含波動度具有以下性質：(1)隱 含波動度隨著價內外程度的提高而上升，故其笑狀波幅大致呈現由左下至右上的型 態；(2)隱含波動度隨著到期時間的減少而上升，愈長期的合約平均來說隱含波動度愈 低；(3)隨著到期時間的減少，微笑波幅的斜率更為增加，即隨著到期日的接近，微笑 波幅更為陡峭，價內和價外選擇權的隱含波動度的差距加大；(4)VIX 和 VIX 的波動度 具有正向的不對稱關係，即 VIX 的上漲將使 VIX 波動度上升，且 VIX 上漲使 VIX 波動 度上升的幅度大於 VIX 下跌使 VIX 波動度下降的幅度。而當欲透過預測隱含波動度來評價選擇權價格，一般投資者都會注意到價內外程 度或者履約價格對於隱含波動度的影響，但我們發現在 VIX 選擇權中，到期時間也扮 演著相當重要的角色。不論是從樣本內的配適度或是從評價結果來看，加入到期時間 因子後，誤差都有大幅的改善，顯示到期時間對於評價選擇權價格很重要，這點和 Whaley (1993) 在 S&P500 市場上得到的結論並不相同，Whaley 發現評價 S&P500 選擇 權時，加入到期時間因子雖然能使配適度提高，但是卻無助於提高評價的正確度。但 在 VIX 選擇權上，我們發現以價內外程度和到期時間因子的模型在預測上擁有最高的 準確度，而且模型誤差相當穩定，在各個年度當中並沒有明顯的落差。此外，比較模 型在評價一天到一週後的價格的表現時，誤差的幅度也隨著要評價愈長天數後的選擇 權而提高。最後，與 Wang (2011) 使用過去各個模型得到的評價誤差相比，我們得到
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的評價誤差即便和 Wang (2011)當中最佳的 Whaley 模型相比，誤差仍然明顯地勝過 Whaley 模型。 而從 Wang (2011)和本文的結果，可以得到如此的推測：儘管 B-S 模型有部分的假 設和市場上明顯不符，但是市場上的交易者或許仍然是採用這種較簡單的方式來評價 選擇權，而非透過類似 Lin ＆ Chang 此類複雜的模型。也就是以 B-S 公式推得的隱含 波動度為基礎，再利用價內外程度、到期時間或其他的因子針對不同的合約去對隱含 波動度作調整，藉此算出選擇權的價格。 而本文中，動態的隱含波動度模型表現則不如預期，在相對波動度的預測上，與 以價內外程度和到期時間直接預測隱含波動度的成效接近，但是在價平波動度的預測 效果並不甚理想，導致動態模型的預測效果稍微不如每週重新估計的靜態模型。加入 額外的狀態變數以更精準地捕捉價平隱含波動度的動態或許是未來可以繼續研究的方 向。‧
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