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的笑狀波幅則相對較平坦。
圖 10 為動態的 Model 3 在價平波動度的預測上與實際走勢的比較。首先，在價平 波動度的部分，由係數
a
2和 a
3可以看出 VIX 選擇權的隱含波動度和 VIX 報酬有正向的 關係，即當 VIX 上升時，將帶動 VIX 選擇權的隱含波動度也跟著上升，反之亦然。同 時我們也觀察到，VIX 上升和下跌時對隱含波動度的影響幅度是不同的，隱含波動度因 為 VIX 上漲而上升的幅度大過因 VIX 下跌而下降的幅度，這種不對稱的性質在 VIX 選擇權也是存在的。4.3 模型測試結果
每週三評價結果
接著我們將比較各模型在評價上的表現。比較的方法是採用前一週的資料來估計 模型參數，然後用以估計本週的隱含波動度，進而估計本週的選擇權價格，這裡採用 的是每週三的資料，表 7 是各模型的評價結果。表中Model 0～2 採用 2006 年 2 月 24 日至 2010 年 6 月 30 日當中所有週三的資料來估計參數，即參數不隨時間變動的模型。
Model 0R～2R 則是進行每週重估，以前一個週三的資料進行模型參數估計，並用以預 測本週三的隱含波動度。動態的 Model 3 和 Model 3R 均使用每週三的價平波動度以及 VIX 指數的週變動率來進行價平波動度的估計，唯 Model 3 使用所有週三的資料估計參 數以預測相對隱含波動度，Model 3R 進行每週重估，以前一個週三的資料進行模型參 數估計，並用以預測本週三的相對隱含波動度。
表 8 和表 9 分別為各模型估計出的隱含波動度和選擇權價格與實際值的誤差。預 測的結果不論是從隱含波動度或者是選擇權價格的誤差來看，得到的結果基本上和前 面樣本內的結果是一致的：Model 2R 明顯勝過其他所有模型，表示加入到期時間因子 的模型有最好的預測誤差，而進行每星期重估更可以進一步地縮小誤差。但如果比較 Model 1 和 Model 1R，可以發現每星期重估係數對於僅使用價內外程度的模型的幫助
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表 7 各模型隱含波動度預測值(每週三) 模型 平均 標準差 最小值 最大值 Model 0 69.39％ 9.15％ 52.86％ 95.85％
Model 1 69.39％ 7.50％ 54.21％ 84.58％
Model 2 69.39％ 17.96％ 39.93％ 122.81％
Model 3 69.29％ 21.97％ 32.11％ 299.10％
Model 0R 69.40％ 17.22％ 12.37％ 132.57％
Model 1R 69.25％ 13.54％ 16.77％ 154.21％
Model 2R 69.43％ 22.23％ 17.33％ 270.90％
Model 3R 69.40％ 34.71％ 11.74％ 297.50％
實際值 69.39％ 22.74％ 15.63％ 199.20％
表 8 各模型隱含波動度誤差(每週三) 平均
誤差 均方誤 平均絕對
誤差 標準差 最小值 最大值 Model 0 0.000％ 0.0517 16.90％ 22.74％ -129.62％ 53.98％
Model 1 0.000％ 0.0461 15.85％ 21.47％ -143.6％ 60.74％
Model 2 0.000％ 0.0194 10.04％ 13.96％ -116.51％ 73.61％
Model 3 -0.716％ 0.0340 13.84％ 18.44％ -107.60％ 188.10％
Model 0R -0.271％ 0.0452 15.59％ 21.27％ -131.55％ 62.77％
Model 1R -0.400％ 0.0376 13.94％ 19.31％ -151.50％ 62.54％
Model 2R -0.205％ 0.0155 6.33％ 10.25％ -130.94％ 127.31％
Model 3R -0.475％ 0.0342 12.65％ 18.84％ -140.70％ 195.80％
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表 9 各模型選擇權評價誤差(每週三) 平均 均方誤 平均絕對
誤差 標準差 最小值 最大值 Model 0 0.2165 0.4475 0.4964 0.633 -4.024 2.452 Model 1 0.2099 0.4405 0.4868 0.9296 -4.123 2.599 Model 2 -0.0342 0.1805 0.2997 0.4235 -2.893 1.752 Model 3 0.1076 0.4599 0.4419 0.6696 -2.367 4.969 Model 0R 0.2328 0.3734 0.4506 0.565 -3.095 3.398 Model 1R 0.2396 0.3663 0.4902 0.5764 -2.993 3.616 Model 2R -0.002 0.0585 0.1554 0.2407 -1.273 3.869 Model 3R 0.0893 0.3253 0.3874 0.5633 -4.023 4.647
微乎其微。再比較 Model 3 和 Model 3R，可以發現若對估計相對波動度的參數進行每 週重估，表現雖然有些許的改善，但是仍遠遠不如 Model 2R 的表現，顯示每週重估係 數的動作並無法太有效地提升標準化價內外程度對於相對波動度估計的準確度。
前面曾經提到過，Rosenberg (2000) 使用標準化價內外程度的理由是過去的文 獻曾說明使用標準化價內外程度可以得到較穩健的係數估計結果。但是我們發現，在 VIX 選擇權市場，標準化價內外程度似乎無法有效解釋相對波動度。反之，在對於 S&P500 選擇權的研究中被認為僅能造成模型過度配適，無法提升評價表現的到期時間因子，
在 VIX 選擇權中卻是提升評價準確度的關鍵之一。於是，本研究嘗試綜合 Model 2 和 Model 3，保留 Model 3 預測價平波動度的函數，並利用 Model 2 的概念來預測相對隱 含波動度，即：
Model 4：
ATM,t a
0 a
1
ATM,t1 a
2max
0,r
t a
3max
0, r
t
rel,i,t
0
1MN
i,t
2MN
i2,t
3T
i,t
4T
i2,t
5MN
i,t T
i,t
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表 11 Model 4 隱含波動度與選擇權評價誤差(每週三) 平均 均方誤 平均絕對
誤差 標準差 最小值 最大值 隱含波動度
誤差 0.06％ 0.0139 7.97％ 11.77％ -134.30％ 85.06％
價格誤差 0.0201 0.1141 0.2288 0.3372 -1.566 2.606 說明：以上皆為參數進行每週重估下的結果
圖 11 實際與預測價平隱含波動度比較圖(每週三)
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表 12 價平波動度預測誤差 預測頻率 調整後
相關係數 平均 均方誤 平均絕對
誤差 標準差 最小值 最大值 每天 0.8970 0％ 0.0046 4.53％ 3.32％ -29.89％ 54.63％
每週三 0.7182 0％ 0.0131 8.76％ 11.46％ -39.49％ 33.92％
不同天數後評價結果
接下來我們將比較評價一週後和一天後的價格上的表現。評價一天後的價格是以 最近七天的交易資料估計模型係數，然後用以評價隔天的價格。表 13 是各個模型在評 價一天後選擇權價格的誤差。和表 9 以及表 11 的結果相比，可以看到各個模型在評價 一天後的價格準確度都高過評價一週後的價格。而各個模型之間在評價上的相對優劣 程度並沒有改變，依舊是 Model 2R 稍微勝過 Model 4，Model 3R 有明顯的落差，而 Model 1R 和 Model 0R 是最差的。
我們進一步拿 Model 2R 來看在更多不同天數後的評價結果，從表 14 顯示價格誤 差的絕對值的確是和欲評價的時間成正向關係。要評價愈久天數後的價格，誤差自然 也愈大了。
表 13 各模型選擇權評價誤差(每日) 平均 均方誤 平均絕對
誤差 標準差 最小值 最大值 Model 0R 0.2280 0.3615 0.4449 0.5563 -4.079 3.495 Model 1R 0.2323 0.3651 0.4220 0.5578 -4.104 3.503 Model 2R -0.0086 0.0440 0.1309 0.2096 -2.312 12.86 Model 3R 0.0640 0.2358 0.3373 0.4814 -4.410 11.02 Model 4 0.0060 0.0675 0.1739 0.2596 -2.469 2.556
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表 14 Model 2R 不同天數後評價誤差 平均 均方誤 平均絕對
誤差 標準差 最小值 最大值 1 天 -0.0086 0.0440 0.1309 0.2096 -2.312 12.86 3 天 -0.0064 0.0717 0.1473 0.2678 -2.303 12.85 5 天 -0.0073 0.0763 0.1573 0.2763 -2.293 11.69 7 天 -0.0036 0.1192 0.1733 0.3453 -2.292 13.99
與之前模型的比較
本研究中，在評價一天後的價格時，表現最佳的 Model 2R 評價誤差的平均值和平 均絕對值分別為＄-0.009 和＄0.1309，這樣的數字究竟算不算一個好的表現呢？這裡 我們和 Wang (2011)的結果進行比較。Wang 採用 2007 年 1 月至 9 月的資料，進行每天 的價格預測。這裡我們自資料中截取相同時段的資料，以表現最佳的 Model 2R 進行每 天的價格預測。表 14 為評價結果，關於到期時間與價內外程度的分類都參照 Wang (2011)。可以看到即便 Wang (2011)當中認為表現最佳的 Whaley 模型相比6，Model 2R
表 15 Model 2R 每日評價誤差 到期天數
價內外程度 小於 30 天 30 天～90 天 大於 90 天 MN＜-0.3 0.047 0.094 0.109 -0.3＜MN＜-0.03 0.112 0.137 0.164 -0.03＜MN＜0.03 0.146 0.132 0.152 0.03＜MN＜0.3 0.142 0.127 0.156 MN＞0.3 0.098 0.101 0.138
6 Wang 的評價結果請參考 Wang (2011)。
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的誤差仍然在所有的分類都勝過了 Whaley 模型。