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最後，前面曾經提到在S&P500市場，價格的下跌會造成隱含波動度的上升，
即所謂的「槓桿效果」，而且這種反向的關係通常是不對稱的，即價格下跌時 使波動度上升的幅度大過價格上漲時使波動度下降的幅度，因此我們也將觀 察，VIX指數和VIX選擇權的隱含波動度之間的關係究竟為何。
1.2 研究目的
本文希望基於Whaley (1993)的概念，透過推估VIX選擇權的隱含波動度來 求解VIX選擇權的價格，並結合Dumas, Fleming, ＆ Whaley (1998)和Rosenberg (2000)的想法，以隱含波動度函數來捕捉隱含波動度的型態，以達到評價VIX選 擇權的目的。因此，本研究擬採用CBOE的VIX選擇權資料，計算出VIX選擇權的 隱含波動度，並觀察隱含波動度呈現出來的一些特性。然後比較不同的隱含波 動度函數對於VIX選擇權隱含波動度和價格的評價表現。
1.3 研究架構
本章之後還有４個章節，第２章為文獻回顧，大致介紹發表於國際期刊的 關於VIX評價以及隱含波動度的文章。第３章為研究方法，說明本研究模型的設 定。第４章為實證結果，探討VIX選擇權隱含波動度表現出的各種現象，以及比 較各個模型在評價VIX選擇權上的表現。第５章為結論與建議。
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第２章 文獻回顧
Dumas et al. (1998) 在波動度函數為deterministic的假設下，比較了四 種不同的DVF(deterministic volatility function) model在S&P500選擇權市 場的預測能力和避險表現。結果發現「節約參數模型」(Parsimonious Model) 在預測誤差上表現較好。加入到期時間因子的模型，在預測上表現得特別差，
代表到期時間因子是導致模型過度配適 (overfitting) 的主因。此外，由B-S 模型得到的避險比率也比DVF模型得出的較為可靠。因此，愈簡單的模型反而會 有較好的表現 (simpler is better)。
Rosenberg (2000)針對Dumas et al. (1998)的研究，提出了新的動態隱含 波動度函數(Dynamic Implied Volatility Function, DIVF)，針對隱含波動度 函數的係數往往隨時間變化劇烈的問題提出了改善的方法。作者將隱含波動度 函數分為兩部分：一為會隨時間經過而變動的價平隱含波動度，另一部份則為 不隨時間變動的相對波動度，而由兩者結合推得預測結果。結果顯示動態隱含 波動度函數能夠有效地提升對於S&P500選擇權的預測表現，降低預測誤差。
Borovkova (2009)針對原油選擇權在OTC市場因為交易量稀少，導致資料量 不足，難以建構出隱含波動度平面 (implied volatility surface)的問題，介 紹了一種新的「半參數」(semi-parametric）的方法。之前，建構隱含波動度 平面的方法主要有兩種：一為參數法（parametric method），例如可以透過以 下的函數建立隱含波動度平面：
MN
,T b
1b
2MN b
3MN
2b
4T b
5MN T
MN,T
另一方法則為無母數法 (non-parametric method)，即將資料點以內插法 補上資料點之間的平面，例如Bourke (1998)的nearest neighbor weighted interpolation。然而，無母數法建構出來的平面形狀相當複雜，佈滿了許多局 部的高點或低點，導致一般在實務上很少被使用，因為一般從業者會認為實際
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上波幅的形狀應該是smile或skew之一，而非一個不規則的形狀。且以無母數建 構出來的平面來預測波動度，將會產生套利機會，也就是明顯不合理的預測值。
此外，選擇權的特性是vega(即選擇權價格對波動度的敏感度)在價平處最大，
無母數方法建構出來的平面將會破壞此一特性，這也是與實務衝突的地方。而 參數法建構出來的平面，對於所有的到期時間，其笑狀波幅的形狀皆相同，與 現實中觀察到，有些到期期間的笑狀波幅呈smile，有的呈skew的情況不符。半 參數法同時具有參數法的簡易性和無母數法的彈性，不會像無母數法建構出不 合理的平面，配適度和預測能力則勝過參數法，因此當某個OTC市場的選擇權交 易量稀少，而且在其他交易所中沒有相同到期日及相同履約價格的合約，我們 要評估這個選擇權的波動度，進而計算其價格，使用半參數法會有較好的表現。
Campa et al. (1998) 針對OTC市場的外匯選擇權，分別使用cubic spline、
隱含二元樹（implied binomial tree）、和混合對數常態分配（mixture of lognormal distribution）三種不同的方法透過選擇權價格畫出風險中立機率 密度函數（risk- neutral probability density function）。在不同的方法下，
得出的機率密度函數皆很相似，且都與對數常態分配有明顯的差別。此外，比 較相同價外程度的買權與賣權的價格是另一種衡量偏態係數的方式，而由機率 密度函數的偏態係數和即期匯率（spot rate）正相關關係我們可以得出，愈強 勢的貨幣有愈大的可能性繼續升值。瞭解了機率密度函數與報酬之間的關係，
政府可以依機率密度函數的形狀來判斷財政和貨幣政策的走向；企業可以依此 避險；投資者也可以作出投資決策。
Whaley (1993)首先提出了波動度指數的概念，說明如何編制波動度指數，
並說明了波動度衍生性商品存在的必要和好處。投資者若持有一個選擇權的投 資組合，目前處於價格風險中立 (delta-neutral)，但是投資組合的vega為負，
投資者若要規避波動度風險，但又不想破壞價格風險中立，在沒有波動度衍生 性商品下，只能同時買入買權和賣權來規避投資組合的波動度風險。但是若能
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透過波動度衍生性商品來避險，則可以大大降低避險成本。波動度期貨在不考 慮保證金的情況下成本為零。至於購買波動度選擇權所需的成本，也就是波動 度選擇權的權利金，Whaley採用Black (1976)的期貨選擇權公式來計算。而使 用波動度選擇權避險所需成本也遠低於同時買入一般的買權和賣權。因此，波 動度衍生性商品在規避波動度風險上具有容易操作和成本低廉的好處。
Carr ＆ Lee (2007) 提出了評價和避險「實際波動度選擇權」 (options on realized volatility)的策略，Carr ＆ Lee提出的策略有以下的特色：(1)所 需的參數容易取得：使用一般的選擇權和變異數交換契約作為評價和避險的標 的，不需要去對例如波動度動態的參數進行估計；(2)推導出容易使用和計算的 公式計算價格和避險比率；(3)在模擬測試下，誤差不大且穩健；(4)經過稍微 修改即可評價VIX選擇權。
Lin (2007)在 S&P500 指數價格的動態中，分別加入隨機波動度和狀態相依 (state-dependent)的跳躍(jump)過程，並依此推導 VIX 期貨價格的封閉解，並 且從樣本外評價和避險的角度來衡量各個動態過程推導出的封閉解的優劣。結 果發現價格和波動度的跳躍過程對 VIX 期貨的評價很重要。包含價格跳躍以及 隨機波動度的模型，在短天期 VIX 期貨的表現較佳，若再放入狀態相依的波動 度跳躍過程，則可進一步地減少在中、長期 VIX 期貨的預測誤差。而在避險的 表現上，若每星期調整一次避險部位，則包含狀態相依波動度跳躍的模型在短 天期的避險表現最好；然而若是每天調整部位，波動度跳躍便無法提升避險表 現。
Lin ＆ Chang (2009) 使用 Heston model 描述期貨價格的動態，然後分別 將價格的跳躍、隨機波動度、和波動度的跳躍納入價格動態，接著透過求解偏 微分方程（partial differential equation, PDE）來得到 VIX 選擇權的封閉 解。比較不同價格動態下所導出的封閉解，發現加入價格的跳躍和波動度的跳 躍有助於增加封閉解的準確度。儘管在內部一致性（internal consistency）
上，四個模型都必頇代入高得不合理的 VIX 期貨波動度才能得到合理市價，但
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是在樣本外預測上，加入價格的跳躍和波動度的跳躍仍可以分別提升 Heston model 在預測短、長期 VIX 選擇權價格的表現。但大致上並沒有一個模型明顯勝 過其他所有模型，而是在不同的衡量準則上各有勝負。
Wang ＆ Daigler (2011) 針對 Whaley (1993)、Carr ＆ Lee (2007)以及 Lin ＆ Chang (2009)三篇文章當中的 VIX 選擇權模型，比較了評價的表現，結 果發現並沒有何者的模型在各個分類的選擇權評價表現都勝過他者。但是作者 相信 Whaley (1993) 的模型就整體來說是比較好的評價工具。很重要的一點是，
Whaley (1993) 的模型勝過 Lin ＆ Chang (2009) 導入複雜的隨機波動度以及 跳躍過程的模型，這點多少說明了華爾街流傳的軼事：交易者通常是利用 Whaley 或 Carr ＆ Lee 等其他類似 Black 的選擇權定價模型來評價 VIX 選擇權，而非 太過複雜的模型。此外，由 Whaley 模型產生的評價誤差的型態，與使用 Black- Sholes 模型評價 S&P500 指數選擇權產生的評價誤差型態不同，這說明了 VIX 選 擇權的波動度平面和 S&P500 指數選擇權的波動度平面是不同的。有鑑於 Whaley 和 Carr ＆ Lee 的模型在評價價平或價外選擇權仍有一定的誤差，更佳的評價 模型仍待發展，或者其實是市場錯誤地評價了 VIX 選擇權。
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而對於當中關鍵的參數
，Whaley (1993)並沒有提出如何估計。Wang ＆ Daigler (2011)則分別使用了前一天的隱含波動度、過去 5 天、過去 30 天的歷 史波動度以及到期前的實現波動度 (realized volatility)作為估計選擇權隱 含波動度的方法。結果發現使用前一天隱含波動度的 Whaley 模型就整體上來說 是最好的。當我們要以選擇權價格反推出隱含波動度，可以配合前面的 Black (1976) 期貨選擇權公式，配合「二分法」來逼近隱含波動度。二分法的概念是先設定 一個隱含波動度可能落在的區間，然後將波動度以區間上下界的中間值(或者說 平均值)代入期貨選擇權公式。若是求得的價格高過市價，表示剛剛代入過高的 波動度，真實的隱含波動度應落在剛剛代入的值之下，因此我們將以中間值取 代原本的上界。相對的若價格低估，則以中間值取代下界。重複以上的動作，
直到誤差滿足要求便可求得隱含波動度。
在計算隱含波動度時，雖然 VIX 選擇權的標的為 VIX 指數，但是由於 VIX 指數本身並沒有交易，因此如同台指選擇權，影響 VIX 選擇權價格的真正標的 是 VIX 期貨。Lin (2009) 和 Wang (2011)在評價 VIX 選擇權時，也都是使用 VIX 期貨作為標的資產，因此我們使用 Black 的期貨選擇權公式來求解隱含波動度，
在計算隱含波動度時，雖然 VIX 選擇權的標的為 VIX 指數，但是由於 VIX 指數本身並沒有交易，因此如同台指選擇權，影響 VIX 選擇權價格的真正標的 是 VIX 期貨。Lin (2009) 和 Wang (2011)在評價 VIX 選擇權時，也都是使用 VIX 期貨作為標的資產，因此我們使用 Black 的期貨選擇權公式來求解隱含波動度，