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第１章 緒論
1.1 研究背景
1987年十月的股市大崩盤，使得市場和學術界開始注意到波動度商品，而 芝加哥選擇權交易所(Chicago Board Options Exchange, CBOE)在2006年2月24 日推出了一個新的波動度商品：VIX選擇權 (Options on Volatility Index)。
VIX選擇權讓投資者可以針對S&P500指數的波動度來進行投機或避險的交易。
VIX選擇權推出後交易量便迅速地成長，在2006年總交易量為約500萬口，到了 2009年已經成長到3,300萬口，2010年僅上半年交易量就已經超過3,000萬口，
平均每日交易量已達到25萬口，因此VIX選擇權的正確評價更顯重要。
VIX的理念是為了衡量市場對市場未來30天波動度的預期，最初CBOE以 S&P100指數選擇權的價格算出隱含波動度，利用8個近月與次近月接近價平買賣 權合約的隱含波動度加權平均而計算出VIX。而在2003年9月，CBOE改用使用上 更為廣泛的S&P500股價指數選擇權作為標的，重新編制VIX，並將1993年提出的 VIX更名為VXO。有別於舊的VXO指數使用隱含波動度的加權平均求得，新的VIX 在計算上不需模型 (model-free)，在變異數交換契約 (variance swaps)的理 論基礎下，直接透過近月與次近月價平和價外的買賣權的履約價格和市價計算 而得。
由圖1可以看到S&P500指數和VIX指數走勢呈現一個反向的關係，兩者一階 差分的的相關係數為-0.83。因此VIX選擇權除了可以作為規避波動度風險的商 品，這種負相關的特性使得VIX選擇權也可以加入權益的投資組合以分散風險並 提昇效率前緣。此外，當投資者因為投機或避險需求而要交易股票市場的波動 度，若利用一般選擇權的跨(勒)式策略(straddle/strangle)，則損益勢必要受 到標的指數價格、利率、股利等因素的影響。相對的，VIX選擇權的標的VIX在
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圖 1 S&P 500 指數與 VIX 指數走勢
0 10 20 30 40 50 60 70 80
600 800 1000 1200 1400 1600
02/24/2006 02/24/2007 02/24/2008 02/24/2009 02/24/2010 S&P 500 VIX
說明：2006年2月24日～2010年6月30日之間的S&P 500指數與VIX指數(週資料)
計算上與上述影響一般選擇權價格的因素皆無關，因此使用VIX選擇權來交易波 動度便不必考慮這些因素對波動度部位的影響，可以更方便地達到規避波動度 風險的目的。
關於VIX選擇權的評價，過去相關的文獻並不多。Whaley (1993)以Black (1976)的期貨選擇權評價模式為基礎，假設波動度固定，以歷史資料估算出VIX 選擇權的隱含波動度，再求得VIX選擇權價格；Grunbichler ＆ Longstaff (1996)和Detemple ＆ Osakwe (2000)基於波動度具有均數迴歸 (mean- reverting)的性質，在VIX的波動度固定的假設下，建構VIX的動態，並推導出 VIX選擇權公式解；Lin ＆ Chang (2009)則是透過建構具有跳躍 (jump- diffusion)過程，且波動度具有報酬相關性的均數迴歸性質的S&P500動態過 程，來求得VIX選擇權的封閉解；Carr ＆ Lee (2007)的VIX選擇權評價方法則 為無模型(model-free)方法的先驅，不需要進行參數估計的動作，直接利用市 場資料計算而得。然而，過去這些評價模型及方法缺乏資料檢驗，只能使用模 擬產生VIX指數路徑以檢驗模型，直到Wang ＆ Daigler(2011)才針對過去的模
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型以市場資料驗證比較各個模型的優劣。
如同交易一般選擇權面臨波動度風險，交易VIX選擇權同樣必頇面臨VIX的 波動度風險。Black-Sholes公式假設同一標的的選擇權波動度皆相同，且不隨 時間改變。因此若將隱含波動度表達成履約價格和到期時間的函數，畫出一個 隱含波動度平面(implied volatility surface)，此平面應該為一個固定不變 的水平面。但實際上觀察由選擇權市價反推而得的隱含波動度，可以發現市場 的情形和理論的假設並不同。不同履約價格的合約隱含波動度會有所差別，不 同到期時間的合約隱含波動度可能也不盡相同。
若將隱含波動度表示成履約價格(或價內外程度1)的函數畫出其波幅，隨著 市場不同，波幅可能呈現smile (價平附近隱含波動度較低)或skew (價內或價 外處隱含波動度較低)的形狀。會有這樣的現象，可能是因為標的報酬實際分配 的尾端機率大過常態分配的尾端機率。例如在外匯市場，匯率驟升和驟跌的機 率都大過常態分配的預期，導致價外的買權和賣權價格都較高，因此若畫出波 幅，曲線呈現兩端都較高，類似U字型的情形，為名副其實的笑狀波幅。Campa, Chang ＆ Reider (1998)中就有展示在多種外匯市場確實都有如此現象；而在 權益市場，價格大跌的機率較大，因此對於股票或股價指數選擇權，投資人較 傾向購買價外賣權避險，因此履約價格較低的合約隱含波動度較大，波幅呈現 左上至右下的skew。Dumas, Fleming ＆ Whaley (1998)的文章中可以看到 S&P500股價指數選擇權具有此特性；而在Borovkova ＆ Permana (2009)中，顯 示原油市場的波幅為左下至右上的曲線，因為在原油或農產品等商品市場，商 品 容 易 受 到 戰 爭 或 氣 候 等 因 素 的 影 響 導 致 價 格 突 然 大 漲 ， 因 此 避 險 需 求 將推升價外買權的價格，故履約價格愈高，隱含波動度愈大。
至於本文研究的對象 VIX 選擇權，由前面圖 1 我們看到了 VIX 指數和股價 指數具有反向的關係，且觀察 VIX 指數報酬的分配，如圖 2 和表 1 所示，可以 發現 VIX 指數報酬呈現右偏，偏態係數為大於零的 0.8582，也就是類似商品市
1 價內外程度一般定義為 ln(K/F) 或 (K/F) - 1
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圖 2 VIX 指數日變動率分配
說明：2006年2月24日～2010年6月30日之間的VIX指數日變動率頻率分配圖，橫軸為VIX 指數的每日變動率，縱軸為相對頻率，即各區間次數除以總次數。資料中移除離群值2007 年2月27日，當日之VIX變動率為64.92％。
表 1 VIX指數日變動率分配 平均 0.31％
標準差 7.30％
最小值 -29.57％
最大值 34.48％
偏態係數 0.8582 峰態係數 6.1377 說明：資料同圖2。
場，價格大漲的機率較大，因此我們會推測VIX選擇權的波幅應該也會是一條左 下至右上的曲線。而觀察隱含波動度與到期時間之間的關係，則可以得到隱含 波動度的期間結構 (term structure)。S&P500選擇權一般來說到期時間愈長，
隱含波動度愈高，Borovkova ＆ Permana (2009)中有提到原油選擇權也有類似 情形。因此VIX選擇權的期間結構或許也不會是一條水平的線段。
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最後，前面曾經提到在S&P500市場，價格的下跌會造成隱含波動度的上升，
即所謂的「槓桿效果」，而且這種反向的關係通常是不對稱的，即價格下跌時 使波動度上升的幅度大過價格上漲時使波動度下降的幅度，因此我們也將觀 察，VIX指數和VIX選擇權的隱含波動度之間的關係究竟為何。